標準層
概要
標準層（canonical sheaf）とは、体 $k$ 上 $n$ 次元の滑らかなスキーム $X$ の Kähler 微分の層の最高次外積 $\omega_X=\bigwedge^n\Omega^1_{X/k}$ のことで、最高次の微分形式の可逆層である。射影空間では $\mathcal{O}(-n-1)$ であり、滑らかな閉部分スキーム $Z\subset X$ については随伴公式 $\omega_Z\cong\omega_X|_Z\otimes\det\mathcal{N}_{Z/X}$ が成り立ち、$\mathbb{P}^n$ の $d$ 次の滑らかな超曲面では $\omega_Z\cong\mathcal{O}_Z(d-n-1)$ となる。有理切断の因子が標準因子であり、射影的な非特異多様体では標準層が双対化層として Serre 双対性に現れる。
$n$ 次元の可微分多様体や複素多様体では、最高次の微分形式 $f\,dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$ は、座標を取り替えると Jacobi 行列式倍されるだけの「1 成分の量」である。代数幾何学でこれに当たるのが、Kähler 微分の層 $\Omega^1_{X/k}$（Kähler微分）の最高次の外積である。体 $k$ 上 $n$ 次元の滑らかなスキーム $X$ では $\Omega^1_{X/k}$ が階数 $n$ の局所自由層なので、その $n$ 次の外積
$$
\omega_X=\bigwedge^n\Omega^1_{X/k}
$$
は可逆層（可逆層）になる。これを $X$ の標準層という。標準層は $X$ だけから決まる可逆層であり、射影空間では $\mathcal{O}(-n-1)$、代数閉体上の種数 $g$ の非特異な完備曲線では次数 $2g-2$ の可逆層（標準因子 に対応）である。標準層が自明であることは、代数的な Calabi–Yau 多様体（Calabi–Yau多様体）の定義の条件になっている。
この記事では、行列式の層と標準層・相対標準層を定義し、主定理として随伴公式を証明する。滑らかなスキーム $X$ の滑らかな閉部分スキーム $Z$ について、$Z$ の標準層は $X$ の標準層の制限を $Z$ の法層の行列式でひねったものに等しい。帰結として、射影空間の滑らかな超曲面の標準層を計算し、滑らかな射と直積の標準層の公式を導く。最後に、標準因子・双対化層（双対化層）との関係を述べる。
定義
行列式の層
局所環付き空間 $X$ 上の階数 $r$ の局所自由層 $\mathcal{E}$ について、その $r$ 次の外積
$$
\det\mathcal{E}:=\bigwedge^r\mathcal{E}\qquad(r=0\text{ のときは }\det\mathcal{E}:=\mathcal{O}_X)
$$
を $\mathcal{E}$ の行列式（determinant）という。$\det\mathcal{E}$ は階数 $\binom rr=1$ の局所自由層、すなわち可逆層である（局所自由層 の記事の命題「局所自由層の構成で閉じること」の 3）。$\mathcal{E}$ が開集合 $U$ の上で基底 $e_1,\dots,e_r$ をもてば、$\det\mathcal{E}|_U$ は $e_1\wedge\cdots\wedge e_r$ を基底とし、別の基底 $e'_i=\sum_ja_{ji}e_j$ に取り替えると $e'_1\wedge\cdots\wedge e'_r=\det(a_{ji})\,e_1\wedge\cdots\wedge e_r$ となる。
$X$ をスキームとする。
- $0\to\mathcal{E}'\xrightarrow{\alpha}\mathcal{E}\xrightarrow{\beta}\mathcal{E}''\to0$ を、階数 $r',r,r''$ の局所自由層の完全列とする。このとき $r=r'+r''$ であり、局所切断について
$$ (e'_1\wedge\cdots\wedge e'_{r'})\otimes(\beta(e_1)\wedge\cdots\wedge\beta(e_{r''}))\longmapsto\alpha(e'_1)\wedge\cdots\wedge\alpha(e'_{r'})\wedge e_1\wedge\cdots\wedge e_{r''} $$
で定まる同型 $\det\mathcal{E}'\otimes\det\mathcal{E}''\cong\det\mathcal{E}$ がある。 - スキームの射 $g\colon Y\to X$ について $g^*\det\mathcal{E}\cong\det g^*\mathcal{E}$ である。
要点：局所的には基底の外積の対応で、右辺が持ち上げや基底の選び方によらないことを確かめれば貼り合わさる。
詳細
1：点の近傍 $U$ を小さくとり、$\mathcal{E}'|_U$ と $\mathcal{E}''|_U$ が基底 $e'_1,\dots,e'_{r'}$ と $\bar e_1,\dots,\bar e_{r''}$ をもつとする（$U$ をアフィンにとれば $\beta$ は大域切断の上で全射なので）$\beta(e_i)=\bar e_i$ となる $e_i\in\mathcal{E}(U)$ がとれる。このとき $\alpha(e'_1),\dots,\alpha(e'_{r'}),e_1,\dots,e_{r''}$ は $\mathcal{E}|_U$ の基底である（$\mathcal{E}|_U$ の切断 $v$ は $\beta(v)=\sum c_i\bar e_i$ と書け、$v-\sum c_ie_i$ は $\alpha$ の像に入るので生成し、1 次関係は $\beta$ で写して $e_i$ の係数が $0$、次に $\alpha$ の単射性で残りも $0$）。よって $r=r'+r''$ で、上の対応は基底を基底に写すので $U$ 上の同型である。持ち上げ $e_1$ を $e_1+\alpha(v')$ に替えても、$\alpha(v')$ は $\alpha(e'_j)$ の 1 次結合なので外積の値は変わらない。基底 $e'$ を行列 $P$ で、$\bar e$ を行列 $Q$ で取り替えると、左辺は $\det P\det Q$ 倍、右辺も（対応する持ち上げを使えば）ブロック三角行列の行列式 $\det P\det Q$ 倍になる。よって局所的な同型は選び方によらず、重なりで一致して貼り合わさる。2：局所的に $\mathcal{E}|_U\cong\mathcal{O}_U^{\oplus r}$ なら $g^*\mathcal{E}$ は $g^*e_1,\dots,g^*e_r$ を基底とし、$g^*(e_1\wedge\cdots\wedge e_r)\mapsto g^*e_1\wedge\cdots\wedge g^*e_r$ は基底の取り替えと両立するので貼り合わさる。$\square$
これは Liu06 Lemma 6.4.1・Corollary 6.4.2（pp. 236–237）と同じ主張である。同じ箇所に $\det(\mathcal{E}^\vee)\cong(\det\mathcal{E})^\vee$ もある。
標準層
$f\colon X\to S$ を相対次元 $n$ の滑らかな射とする（滑らかな射 の記事の定義「ファイバーによる定義」）。このとき $\Omega^1_{X/S}$ は階数 $n$ の局所自由層である（同記事の命題「相対微分の層の局所自由性」）。
相対次元 $n$ の滑らかな射 $f\colon X\to S$ について、可逆層
$$
\omega_{X/S}:=\det\Omega^1_{X/S}=\bigwedge^n\Omega^1_{X/S}=\Omega^n_{X/S}
$$
を $f$ の相対標準層（relative canonical sheaf）という。$S=\operatorname{Spec}k$（$k$ は体）のとき $\omega_X:=\omega_{X/k}$ と書き、$X$ の標準層（canonical sheaf）という。
体上の非特異多様体については Har77 II §8（p. 180）の定義と同じである。$\omega_X$ の局所切断は「最高次の微分形式」であり、座標 $x_1,\dots,x_n$ をもつ開集合の上では $dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$ が基底になる。複素多様体の対応物は正則接束の双対の最高次外積である標準束（正則ベクトル束）であり、コンパクト Riemann 面では標準束の有理型切断の因子が 標準因子 である。$X$ が滑らかでないときは $\Omega^1_{X/k}$ が局所自由でなく、上の定義は可逆層を与えない（Kähler微分 の記事の例「反例：尖点における捩れ元と階数の跳ね上がり」）。そのような $X$ の上では、標準層の役割を双対化層が引き継ぐ（rem-canonical-sheaf-dualizing）。
- $X=\mathbb{A}^n_S$ では $\Omega^1_{X/S}$ は $dx_1,\dots,dx_n$ を基底とする自由層なので、$\omega_{X/S}$ は $dx_1\wedge\cdots\wedge dx_n$ を基底とする自由層 $\mathcal{O}_X$ である。
- 体 $k$ 上の射影空間では $\omega_{\mathbb{P}^n_k}\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_k}(-n-1)$ である（Kähler微分 の記事の例「射影空間の Euler 列」と、その最高外冪を計算した証明）。$n=1$ では、$\mathbb{P}^1$ の 2 つの座標 $t$ と $u=t^{-1}$ について $dt=-t^2\,du$ なので、遷移関数 $-t^2$ から $\omega_{\mathbb{P}^1}\cong\mathcal{O}(-2)$ と直接分かる（可逆層 の記事の例「曲線の標準層」）。
主定理：随伴公式
$i\colon Z\to X$ を閉埋め込み、$\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_X$ をそのイデアル層とする。$\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ は $\mathcal{O}_X/\mathcal{I}=i_*\mathcal{O}_Z$ 加群なので $Z$ 上の準連接層とみなせ、これを $Z$ の余法層（conormal sheaf）$\mathcal{C}_{Z/X}$ という。余法層が局所自由なとき、その双対 $\mathcal{N}_{Z/X}:=\mathcal{C}_{Z/X}^\vee$ を法層（normal sheaf）という。
$S$ をスキーム、$X\to S$ を相対次元 $n$ の滑らかな射、$i\colon Z\to X$ をイデアル層 $\mathcal{I}$ の閉埋め込みとし、$Z\to S$ は相対次元 $n-r$ で滑らかであるとする。
- 余法層 $\mathcal{C}_{Z/X}=\mathcal{I}/\mathcal{I}^2$ は階数 $r$ の局所自由層であり、$Z$ 上の列
$$ 0\longrightarrow\mathcal{C}_{Z/X}\xrightarrow{\ \delta\ }i^*\Omega^1_{X/S}\longrightarrow\Omega^1_{Z/S}\longrightarrow0 $$
は完全である。ここで $\delta$ は $f\in\mathcal{I}$ の類を $df\otimes1$ に写す。 - 次の同型がある：
$$ \omega_{Z/S}\cong i^*\omega_{X/S}\otimes(\det\mathcal{C}_{Z/X})^\vee\cong i^*\omega_{X/S}\otimes\det\mathcal{N}_{Z/X}. $$ - さらに $\mathcal{I}$ が可逆層（$Z$ が有効 Cartier 因子）なら $r=1$ であり、$\mathcal{O}_X(Z):=\mathcal{I}^\vee$ とおくと
$$ \omega_{Z/S}\cong i^*\bigl(\omega_{X/S}\otimes\mathcal{O}_X(Z)\bigr). $$
1。 $Z$ は $S$ 上滑らかなので、余法完全列
$$
0\to\mathcal{C}_{Z/X}\to i^*\Omega^1_{X/S}\to\Omega^1_{Z/S}\to0
$$
は完全である（Stacks Lemma 29.35.17、Tag 06AA、pp. 2496–2497。右側の完全性は Kähler微分 の記事の命題「第2基本完全列」）。$i^*\Omega^1_{X/S}$ は階数 $n$、$\Omega^1_{Z/S}$ は階数 $n-r$ の局所自由層である（滑らかな射 の記事の命題「相対微分の層の局所自由性」）。$Z$ の点の近傍のアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}B$ を、両者が自由になるようにとる。$B^{\oplus n}\to B^{\oplus(n-r)}$ は全射で、終域が自由なので（基底の逆像を選んで）分裂する。よって $\mathcal{C}_{Z/X}(U)$ は $B^{\oplus n}$ の直和因子であり、有限生成射影加群なので $\mathcal{C}_{Z/X}|_U$ は局所自由である（局所自由層 の記事の定理「アフィンスキーム上の局所自由層と射影加群」）。各点の剰余体でファイバーをとると分裂した完全列から次元が $n=\operatorname{rank}\mathcal{C}+(n-r)$ となるので、階数は $r$ である。
2。 1 の列に lem-canonical-sheaf-determinant の 1 を使うと $\det(i^*\Omega^1_{X/S})\cong\det\mathcal{C}_{Z/X}\otimes\omega_{Z/S}$ であり、同補題の 2 により左辺は $i^*\det\Omega^1_{X/S}=i^*\omega_{X/S}$ である。両辺に可逆層 $(\det\mathcal{C}_{Z/X})^\vee$ をテンソルし、$\mathcal{L}\otimes\mathcal{L}^\vee\cong\mathcal{O}$（可逆層 の記事の命題「双対はテンソル逆」）を使えば最初の同型を得る。2 つめの同型は $\det(\mathcal{C}^\vee)\cong(\det\mathcal{C})^\vee$ による。
3。 $\mathcal{I}$ が可逆なら $\mathcal{C}_{Z/X}=\mathcal{I}/\mathcal{I}^2=\mathcal{I}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_X/\mathcal{I}=i^*\mathcal{I}$ は $Z$ 上の可逆層なので $r=1$、$\det\mathcal{C}_{Z/X}=i^*\mathcal{I}$ である。可逆層の双対は引き戻しと交換する（局所的に $\mathcal{I}=\mathcal{O}\cdot g$ なら $\mathcal{I}^\vee$ は $g^{-1}$ に当たる生成元をもつ）ので $(i^*\mathcal{I})^\vee\cong i^*(\mathcal{I}^\vee)=i^*\mathcal{O}_X(Z)$ であり、2 から $\omega_{Z/S}\cong i^*\omega_{X/S}\otimes i^*\mathcal{O}_X(Z)=i^*(\omega_{X/S}\otimes\mathcal{O}_X(Z))$ を得る。$\square$
体上の非特異多様体の場合は Har77 II 命題 8.20（p. 182）であり、Liu06 Definition 6.4.7 と Theorem 6.4.9 (a)（p. 239）は局所完全交叉の射に一般化した形を述べている。名前のとおり、随伴公式は「$Z$ の幾何（左辺）を外の空間 $X$ の幾何（右辺）で表す」式である。3 の形は、曲面の上の曲線の種数を交点数で表す公式（曲面の随伴公式）の層の形での源である。
射影空間の超曲面
$k$ を体、$n\ge1$、$F\in k[x_0,\dots,x_n]$ を次数 $d\ge1$ の斉次多項式とし、超曲面 $Z=V_+(F)\subset\mathbb{P}^n_k$ が $k$ 上相対次元 $n-1$ で滑らかであるとする。このとき
$$
\omega_Z\cong\mathcal{O}_Z(d-n-1)
$$
である。ここで $\mathcal{O}_Z(m):=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(m)|_Z$ である。
$Z$ のイデアル層 $\mathcal{I}$ は $F$ 倍の写像 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-d)\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}$ の像である。$\mathbb{P}^n_k$ は整スキームで $F\ne0$ なので、各アフィン開集合 $D_+(x_i)$ 上で $F/x_i^d$ 倍は整域の $0$ でない元の倍として単射であり、$\mathcal{I}\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-d)$ は可逆層、$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(Z)=\mathcal{I}^\vee\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)$ である。ex-canonical-sheaf-basic の 2 の $\omega_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)$ と thm-canonical-sheaf-adjunction の 3 から $\omega_Z\cong(\mathcal{O}(-n-1)\otimes\mathcal{O}(d))|_Z=\mathcal{O}_Z(d-n-1)$ である。$\square$
これは Har77 II Example 8.20.3（p. 183）である。$d$ と $n$ の大小で標準層の性質が分かれる。
| $n$ | $d$ | $\omega_Z$ | $Z$ |
|---|---|---|---|
| $2$ | $1$ | $\mathcal{O}_Z(-2)$ | 直線 $\cong\mathbb{P}^1$（ex-canonical-sheaf-basic と一致） |
| $2$ | $2$ | $\mathcal{O}_Z(-1)$ | 非特異 2 次曲線 |
| $2$ | $3$ | $\mathcal{O}_Z$ | 非特異 3 次曲線（種数 1。$k$ 有理点をもてば 楕円曲線） |
| $3$ | $4$ | $\mathcal{O}_Z$ | 非特異 4 次曲面（K3曲面） |
| $4$ | $5$ | $\mathcal{O}_Z$ | $\mathbb{P}^4$ の非特異 5 次超曲面（Calabi–Yau多様体） |
| $n$ | $d>n+1$ | $\mathcal{O}_Z(d-n-1)$ | 標準層が豊富な超曲面 |
$d=n+1$ のとき標準層は自明であり、$d< n+1$ では $\omega_Z^\vee$ が、$d>n+1$ では $\omega_Z$ が豊富な可逆層 $\mathcal{O}_Z(1)$ の正の冪になる。複数の超曲面の完全交叉については Calabi–Yau多様体 の記事の命題「完全交叉の標準層」がある。
滑らかな射と直積
$S$ をスキーム、$Y\to S$ を相対次元 $m$ の滑らかな射、$f\colon X\to Y$ を相対次元 $e$ の滑らかな射とする。このとき $X\to S$ は相対次元 $m+e$ で滑らかであり、
$$
\omega_{X/S}\cong\omega_{X/Y}\otimes f^*\omega_{Y/S}
$$
である。とくに $k$ 上滑らかな $X,Y$（次元 $n,m$）と射影 $p\colon X\times_kY\to X$、$q\colon X\times_kY\to Y$ について $\omega_{X\times_kY}\cong p^*\omega_X\otimes q^*\omega_Y$ である。
$X\to S$ が相対次元 $m+e$ で滑らかなことは 滑らかな射 の記事の命題「底変換と合成」の 2 による。$f$ は滑らかなので
$$
0\to f^*\Omega^1_{Y/S}\to\Omega^1_{X/S}\to\Omega^1_{X/Y}\to0
$$
は完全であり（Stacks Lemma 29.35.16、Tag 02K4、p. 2496）、3 項は階数 $m$、$m+e$、$e$ の局所自由層である。lem-canonical-sheaf-determinant により $\omega_{X/S}\cong\det f^*\Omega^1_{Y/S}\otimes\omega_{X/Y}\cong f^*\omega_{Y/S}\otimes\omega_{X/Y}$ である。直積の場合は、$q$ が $X\to\operatorname{Spec}k$ の底変換なので相対次元 $n$ で滑らかであり（同記事の命題「底変換と合成」の 1）、$\Omega^1_{X\times Y/Y}\cong p^*\Omega^1_{X/k}$（Kähler微分 の記事の命題「底変換との交換」をアフィン開集合ごとに使って貼り合わせる）から $\omega_{X\times Y/Y}\cong p^*\omega_X$ となる。前半を $q$ に使えばよい。$\square$
たとえば $\omega_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}\cong p^*\mathcal{O}(-2)\otimes q^*\mathcal{O}(-2)$ である。射影束 の記事の相対標準層 $\omega_{\mathbb{P}(\mathcal{E})/S}$ も、この記事の相対標準層の定義の特別な場合である。
標準因子・双対化層との関係
$k$ を体、$X$ を $k$ 上滑らかな整スキームとし、$\eta$ をその生成点とする。$\omega_X$ の生成点での茎の $0$ でない元 $s$（有理切断）をとり、$\omega_X$ が基底 $e_U$ をもつ開集合 $U$ の上で $s=f_Ue_U$（$f_U\in k(X)^\times$）と書く。このとき $\{(U,f_U)\}$ は Cartier 因子 $K_X=\operatorname{div}(s)$ を定め、$\omega_X\cong\mathcal{O}_X(K_X)$ である。別の有理切断 $s'$ をとると $\operatorname{div}(s')$ は $\operatorname{div}(s)$ と線形同値である。
要点：基底の取り替えで $f_U$ が単元倍だけ変わることを見る。
詳細
$U\cap V$ の上で $e_U=u\,e_V$（$u$ は $\mathcal{O}(U\cap V)$ の単元）なら $f_V=uf_U$ なので、$f_U/f_V$ は $U\cap V$ 上の単元であり、$\{(U,f_U)\}$ は Cartier 因子（Cartier因子）を定める。$\mathcal{O}_X(K_X)$ は $U$ の上で $f_U^{-1}$ で生成される $k(X)$ の部分層であり（Har77 II §6 の定義、p. 144）、$e_U\mapsto f_U^{-1}$ で定まる $\omega_X|_U\to\mathcal{O}_X(K_X)|_U$ は同型である。$e_U=ue_V$ と $f_U^{-1}=uf_V^{-1}$ から、これらは重なりで一致して貼り合わさる。$s'=gs$（$g\in k(X)^\times$）なら $\operatorname{div}(s')=\operatorname{div}(g)+\operatorname{div}(s)$ なので線形同値である。$\square$
$K_X$ を $X$ の標準因子とよぶ。整スキームの上では Cartier 因子の線形同値類と可逆層の同型類が一対一に対応するので（Har77 II 命題 6.13・命題 6.15、pp. 144–145）、標準因子の線形同値類（標準類）は $\omega_X$ と同じ情報をもつ。$k$ が代数閉体で $X$ が種数 $g$ の非特異な完備曲線なら $\deg K_X=2g-2$ である（Har77 IV Example 1.3.3、p. 296。この記事では証明しない）。これはコンパクト Riemann 面の 標準因子 の記事の定理「標準因子の次数」の代数版である。
- 双対化層。 $k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上 $n$ 次元の射影的な非特異多様体とすると、$\omega_X$ は $X$ の双対化層（双対化層）であり（Har77 III 系 7.12、p. 246）、局所自由層 $\mathcal{F}$ について $H^i(X,\mathcal{F})\cong H^{n-i}(X,\mathcal{F}^\vee\otimes\omega_X)^\vee$ が成り立つ（Serre双対性。Har77 III 系 7.7、p. 244）。この記事では証明しない。
- 特異点があるとき。 射影空間 $P$ の中の余次元 $r$ の局所完全交叉 $Z$ の双対化層は $\omega_P|_Z\otimes\det(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)^\vee$ で、可逆層である（双対化層 の記事の定理「局所完全交叉の双対化層」、Har77 III 定理 7.11、p. 245）。これは thm-canonical-sheaf-adjunction の 2 と同じ形であり、$Z$ が滑らかでないときは、$\bigwedge^{n-r}\Omega^1_{Z}$ ではなくこの双対化層が標準層の役割を果たす（下の反例の表の 1 行目）。
- 幾何種数。 射影的な非特異多様体 $X$ について $p_g(X):=\dim_kH^0(X,\omega_X)$ を幾何種数という。$p_g$ は双有理同値な射影的非特異多様体の間で等しい（Har77 II 定理 8.19、p. 181。この記事では証明しない）。
反例の表
$k$ を体とする。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $Z\to S$ の滑らかさ（thm-canonical-sheaf-adjunction の 3。$\omega_Z$ を $\Omega^1_{Z/k}$ と読む） | $X=\mathbb{A}^2_k$ の結節曲線 $Z=V(xy)$ | $\Omega^1_{Z/k}\cong i^*(\omega_X\otimes\mathcal{O}_X(Z))$ |
| $X\to S$ の滑らかさ（thm-canonical-sheaf-adjunction の 1） | 錐 $X=V(xy-z^2)\subset\mathbb{A}^3_k$ と直線 $Z=V(y,z)\subset X$ | 余法層 $\mathcal{C}_{Z/X}$ の局所自由性 |
| $f$ の滑らかさ（prop-canonical-sheaf-smooth-morphism。$Y\to S$ は滑らかなまま。$e=0$ で $\omega_{X/Y}=\mathcal{O}_X$ と読む） | 標数 $\ne2$ で $f\colon\mathbb{P}^1_k\to\mathbb{P}^1_k$、$[x_0:x_1]\mapsto[x_0^2:x_1^2]$ | $\omega_X\cong f^*\omega_Y$ |
1 行目。 $\mathcal{I}=(xy)$ は可逆で $X$ は滑らかなので、右辺 $i^*(\omega_X\otimes\mathcal{O}_X(Z))$ は $Z$ 上の可逆層である。$B=k[x,y]/(xy)$ について $\Omega_{B/k}=(B\,dx\oplus B\,dy)/(y\,dx+x\,dy)$ である。原点では関係式の係数 $y,x$ が $0$ になるので $\Omega^1_{Z/k}\otimes\kappa(0)$ は 2 次元である。一方 $x$ 軸の生成点 $\eta$（$y=0$、$x$ は単元）では関係式が $dy=-x^{-1}y\,dx=0$ を与え、$\Omega^1_{Z/k}\otimes\kappa(\eta)$ は $1$ 次元である。$\eta$ は原点のどの近傍にも含まれるので、ファイバーの次元が原点の近傍で一定にならず、$\Omega^1_{Z/k}$ は局所自由でない。よって可逆層と同型でない。$Z$ は原点で滑らかでないが、$X$ は滑らかである。
2 行目。 $X$ は原点で Jacobi 行列 $(y,x,-2z)$ が $0$ になり、$k$ 上滑らかでない。$Z\cong\mathbb{A}^1_k$ は滑らかである。$Z$ のイデアルは $\mathcal{I}=(y,z)$ である。原点 $0$ でのファイバーは $\mathcal{C}\otimes\kappa(0)=\mathcal{I}/\mathfrak{m}\mathcal{I}$（$\mathfrak{m}=(x,y,z)$）で、$k[x,y,z]$ の中で $xy-z^2\in\mathfrak{m}\cdot(y,z)$ なので $(y,z)/\mathfrak{m}(y,z)\cong k^2$、すなわち 2 次元である。一方 $Z$ の生成点 $\eta$ では $x$ が単元なので $y=x^{-1}z^2$ となり、$\mathcal{I}_\eta$ は $z$ だけで生成され、$\mathcal{C}\otimes\kappa(\eta)$ は高々 $1$ 次元である。1 行目と同じ理由で $\mathcal{C}_{Z/X}$ は局所自由でない。
3 行目。 $X=Y=\mathbb{P}^1_k$ はどちらも滑らかで、$\omega_X\cong\mathcal{O}(-2)$ である（ex-canonical-sheaf-basic）。$f$ は $x_0^2,x_1^2$ で与えられるので $f^*\mathcal{O}(1)\cong\mathcal{O}(2)$、$f^*\omega_Y\cong\mathcal{O}(-4)$ であり、$\mathcal{O}(-2)\not\cong\mathcal{O}(-4)$（可逆層 の記事の系「射影直線の可逆層は互いに同型でない」）。$f$ は $t=x_1/x_0$ の座標で $t\mapsto t^2$ であり、$\Omega_{X/Y}=k[t]\,dt/(2t\,dt)$ は原点で $0$ でないので、$f$ は相対次元 $0$ で滑らか（エタール）ではない。
関連項目
参考文献
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