Riesz–Markov–角谷の表現定理

要点：$[0,1]$ の有理数 $r$ で番号付けた開集合 $V_r$ を、$r< s$ なら $\overline{V_s}\subset V_r$ となるように緩衝帯の命題で 1 つずつ挟み込み、$f(x):=\sup\{r\mid x\in V_r\}$ とおく。

要点：$K$ を $U_i$ の中のコンパクト集合 $K_i$ の和に分け、Urysohn の補題で $K_i\prec g_i\prec U_i$ をとって、$h_1:=g_1$、$h_i:=(1-g_1)\cdots(1-g_{i-1})g_i$ とおく。

段 1（開集合の大きさと外測度）。開集合 $U$ について
$$ \ell(U):=\sup\{\Lambda f\mid f\prec U\}\in[0,\infty] $$
とおき（$0\prec U$ なので $\ell(U)\ge0$）、$A\subset X$ について
$$ \mu^*(A):=\inf\{\ell(U)\mid U\text{ は開集合で }A\subset U\} $$
とおく。$U\subset V$ なら $f\prec U$ は $f\prec V$ でもあるので $\ell(U)\le\ell(V)$ であり、開集合 $U$ について $\mu^*(U)=\ell(U)$ である。
段 2（$\mu^*$ は外測度）。$\operatorname{supp}f\subset\emptyset$ となる $f$ は $0$ だけなので $\mu^*(\emptyset)=\ell(\emptyset)=0$ である。単調性は定義から明らかである。可算劣加法性を示す。$A_0,A_1,\ldots\subset X$ で $\sum_k\mu^*(A_k)<\infty$ とし、$\varepsilon>0$ をとる。各 $k$ について開集合 $U_k\supset A_k$ で $\ell(U_k)\le\mu^*(A_k)+\varepsilon2^{-k-1}$ となるものを選び（可算選択公理）、$U:=\bigcup_kU_k$ とおく。$f\prec U$ とすると、$\operatorname{supp}f$ はコンパクトなので有限個の $U_0,\dots,U_N$ で覆える。lem-rmk-partition で $h_k\prec U_k$、$\operatorname{supp}f$ の上で $\sum_{k\le N}h_k=1$ となるものをとると、$f=\sum_{k\le N}h_kf$ で、$0\le h_kf\le1$、$\operatorname{supp}(h_kf)\subset\operatorname{supp}h_k\subset U_k$ なので $h_kf\prec U_k$ である。よって
$$ \Lambda f=\sum_{k\le N}\Lambda(h_kf)\le\sum_{k\le N}\ell(U_k)\le\sum_k\mu^*(A_k)+\varepsilon $$
である。$f\prec U$ について上限をとると $\mu^*\bigl(\bigcup_kA_k\bigr)\le\ell(U)\le\sum_k\mu^*(A_k)+\varepsilon$ であり、$\varepsilon\to0$ とすればよい。
段 3（コンパクト集合の測度）。コンパクト集合 $K$ について
$$ \mu^*(K)=\inf\{\Lambda f\mid f\in C_c(X),\ f\ge1_K\}=\inf\{\Lambda f\mid K\prec f\}<\infty $$
である。まず $f\in C_c(X)$、$f\ge1_K$ とし、$0<\alpha<1$ をとる。$U_\alpha:=\{f>\alpha\}$ は $K$ を含む開集合である。$g\prec U_\alpha$ なら、$U_\alpha$ の上で $\alpha g\le\alpha< f$、$U_\alpha$ の外で $\alpha g=0\le f$ なので $\alpha g\le f$、単調性から $\Lambda g\le\Lambda f/\alpha$ である。上限をとって $\mu^*(K)\le\ell(U_\alpha)\le\Lambda f/\alpha$ であり、$\alpha\to1$ として $\mu^*(K)\le\Lambda f$ を得る。逆に、開集合 $U\supset K$ に対し lem-rmk-urysohn で $K\prec f\prec U$ をとると $\Lambda f\le\ell(U)$ なので、$\inf\{\Lambda f\mid K\prec f\}\le\mu^*(K)$ である。$K\prec f$ なら $f\ge1_K$ なので、3 つの量は等しい。$U=X$ として $K\prec f$ となる $f$ があるので有限である。
段 4（開集合は可測）。開集合 $G$ と $E\subset X$、$\mu^*(E)<\infty$ について $\mu^*(E)\ge\mu^*(E\cap G)+\mu^*(E\setminus G)$ を示す。まず $E$ が開集合の場合。$\varepsilon>0$ に対し、$f\prec E\cap G$ で $\Lambda f>\ell(E\cap G)-\varepsilon$ となるものをとり、$K:=\operatorname{supp}f$ とおく。$E\setminus K$ は開集合なので、$g\prec E\setminus K$ で $\Lambda g>\ell(E\setminus K)-\varepsilon$ となるものをとる。$f$ と $g$ の台は交わらないので $0\le f+g\le1$、$\operatorname{supp}(f+g)\subset K\cup\operatorname{supp}g\subset E$ であり、$f+g\prec E$ である。$E\setminus G\subset E\setminus K$ なので
$$ \mu^*(E)=\ell(E)\ge\Lambda f+\Lambda g>\ell(E\cap G)+\ell(E\setminus K)-2\varepsilon\ge\mu^*(E\cap G)+\mu^*(E\setminus G)-2\varepsilon $$
である。一般の $E$ については、開集合 $H\supset E$ で $\ell(H)\le\mu^*(E)+\varepsilon$ となるものをとり、開集合の場合を $H$ に使うと
$$ \mu^*(E)+\varepsilon\ge\mu^*(H)\ge\mu^*(H\cap G)+\mu^*(H\setminus G)\ge\mu^*(E\cap G)+\mu^*(E\setminus G) $$
である。よって開集合は $\mu^*$-可測である。外測度 の記事の定理「Carathéodoryの定理」により、$\mathcal{M}:=\mathcal{M}(\mu^*)$ は σ-代数で $\mu:=\mu^*|_{\mathcal{M}}$ は完備な測度であり、開集合を含むので $\mathcal{B}(X)\subset\mathcal{M}$ である。段 3 から 2 が、$\mu^*$ の定義から 3 が従う。
段 5（開集合での内部正則性）。$f\prec U$ とし $K:=\operatorname{supp}f$ とおく。$K$ を含む任意の開集合 $V$ について $f\prec V$ なので $\Lambda f\le\ell(V)$ であり、下限をとって $\Lambda f\le\mu(K)$ である。$f\prec U$ について上限をとると $\mu(U)=\ell(U)\le\sup\{\mu(K)\mid K\subset U\text{ はコンパクト}\}\le\mu(U)$ となり、$\mu$ は開集合で内部正則である。有限の測度をもつ $E\in\mathcal{M}$ での内部正則性は、次の lem-rmk-inner による。以上で 4 が示された。
段 6（積分による表示）。$f=f^+-f^-$ と $\Lambda$ および積分の線形性（Lebesgue積分 の記事の定理「積分の線形性と単調性」）により、$f\ge0$ の場合に示せばよい。$f=0$ なら明らかなので、正の定数倍して $0\le f\le1$ としてよい。$n\ge1$ を固定し、$K_0:=\operatorname{supp}f$、$K_i:=\{x\mid f(x)\ge i/n\}$（$1\le i\le n$）とおく。$K_i$ はコンパクト集合 $K_0$ の閉部分集合なのでコンパクトである。$i=1,\dots,n$ について
$$ f_i:=\min\Bigl(\max\Bigl(f-\frac{i-1}n,\,0\Bigr),\,\frac1n\Bigr) $$
とおくと、$f_i\in C_c(X)$ で $f=f_1+\cdots+f_n$ であり、
$$ 1_{K_i}\le nf_i\le1_{K_{i-1}},\qquad\operatorname{supp}f_i\subset K_{i-1} $$
である（$f(x)\ge i/n$ なら $f_i(x)=1/n$。$f_i(x)>0$ なら $f(x)>(i-1)/n$ なので $x\in K_{i-1}$ で、$\{f\ge(i-1)/n\}$ は閉集合）。積分の単調性から $\mu(K_i)/n\le\int f_i\,d\mu\le\mu(K_{i-1})/n$ である。一方、段 3 から $\Lambda(nf_i)\ge\mu(K_i)$ であり、$K_{i-1}$ を含む任意の開集合 $V$ について $nf_i\prec V$ なので $\Lambda(nf_i)\le\ell(V)=\mu(V)$、外部正則性から $\Lambda(nf_i)\le\mu(K_{i-1})$ である。$i$ について足すと、$\Lambda f$ と $\int f\,d\mu$ はどちらも
$$ \frac1n\sum_{i=1}^n\mu(K_i)\quad\text{と}\quad\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}\mu(K_i) $$
の間にあり、差は $\bigl(\mu(K_0)-\mu(K_n)\bigr)/n\le\mu(K_0)/n$ 以下である。$\mu(K_0)<\infty$ なので $n\to\infty$ として $\Lambda f=\int f\,d\mu$ を得る。これで 1 が示された。
段 7（一意性）。$\mu_1,\mu_2$ を、定理の最後の主張の条件を満たす Borel 測度とする。コンパクト集合 $K$ と $\varepsilon>0$ に対し、$\mu_2$ の外部正則性から開集合 $U\supset K$ で $\mu_2(U)<\mu_2(K)+\varepsilon$ となるものをとり、lem-rmk-urysohn で $K\prec f\prec U$ をとると、$1_K\le f\le1_U$ から
$$ \mu_1(K)\le\int f\,d\mu_1=\Lambda f=\int f\,d\mu_2\le\mu_2(U)<\mu_2(K)+\varepsilon $$
である。$\mu_1$ と $\mu_2$ を入れ替えて $\mu_1(K)=\mu_2(K)$ を得る。開集合での内部正則性から開集合で $\mu_1=\mu_2$、外部正則性から Borel 集合で $\mu_1=\mu_2$ である。$\mu|_{\mathcal{B}(X)}$ はこの条件を満たす（開集合は $\mathcal{B}(X)$ に属するので、外部正則性の下限は $\mathcal{B}(X)$ の中で同じである）。$\square$

要点：$E$ を外から開集合 $U$ で近似し、$U$ を内からコンパクト集合 $K$ で近似し、はみ出した部分 $U\setminus E$ を小さい開集合 $V$ で覆って $K$ から取り除く。