K3曲面

前提知識: 射影空間, 可逆層, 層コホモロジー, 標準因子, 交叉理論

K3曲面とは

K3 曲面（K3 surface）とは、滑らかで固有な代数曲面であって、標準層（2 次の微分形式の層）が自明であり、構造層の 1 次コホモロジーが消えているものである。1 次元で標準層が自明な曲線は楕円曲線であり、その意味で K3 曲面は楕円曲線の 2 次元での類似の一つである。ただし楕円曲線と違って $H^1(X,\mathcal{O}_X)=0$ を課すので、同じく標準層が自明なアーベル曲面（2 次元のアーベル多様体）とは別の種類になる。
代表例は射影空間 $\mathbb{P}^3$ の滑らかな 4 次曲面である。この記事では、4 次曲面が K3 曲面であることを示したあと、K3 曲面の上では Riemann–Roch の定理が $\chi(\mathcal{O}_X(D))=D^2/2+2$ という簡単な形になることから、交点数が偶数になること、自己交点数が $-2$ 以上の因子が（符号を除いて）有効になること、Picard 群に捩れがないことを証明する。複素数体上の位相的な性質（$H^2$ の格子、Torelli 定理）は出典を示して紹介する。

定義

$k$ を体とする。曲面とは $k$ 上の 2 次元の分離的な有限型スキームのことで、滑らかな曲面 $X$ の標準層を $\omega_X:=\Omega^2_{X/k}$（2 次の Kähler 微分の層、局所的には $f\,dx\wedge dy$ の形の元からなる可逆層）とおく。$\omega_X$ に対応する因子類を $K_X$ と書き、標準因子と呼ぶ。

この形の定義は Vak25 Exercise 21.5.I（p. 624）による。そこでは Calabi–Yau 曲面（$\omega_X\cong\mathcal{O}_X$ をみたす滑らかな射影曲面）のうち (ii) をみたすものとして導入される（Calabi–Yau多様体）。名前は Weil によるもので、Kummer・Kähler・小平邦彦の 3 人と山の K2 にちなむ（Vak25 同所の注記）。
複素数体上では、同じ条件 (i)(ii) をコンパクト複素曲面（2 次元のコンパクト複素多様体）に課したものも K3 曲面と呼ぶ。この意味の K3 曲面は代数的とは限らないが、すべて Kähler 多様体になる（Todorov と Siu の定理。Yau09 §3.1, p. 286。この記事では証明しない）。
以下、コホモロジーの次元を $h^i(\mathcal{F}):=\dim_kH^i(X,\mathcal{F})$ と書く。直線束 $L=\mathcal{O}_X(D)$ の Euler 標数を $\chi(L)=\sum_i(-1)^ih^i(L)$ とし、射影曲面の上の交点数 $D\cdot D'$（交叉理論の「曲面の交叉形式」）を用いる。$D^2:=D\cdot D$ である。

直感

曲線の世界では、標準層の次数 $2g-2$ の符号で射影直線（$g=0$）、楕円曲線（$g=1$）、一般型の曲線（$g\ge2$）が分かれる。曲面でも標準層の「正負」で振る舞いが大きく変わり、標準層が自明な曲面は、その境目にある。標準層が自明な曲面のうち、正則な 1 次微分形式を持たないもの（複素数体上の射影曲面では、Hodge分解による $h^{0,1}=h^{1,0}$ から、条件 (ii) は $H^0(X,\Omega^1_X)=0$ と同じ意味になる）が K3 曲面である。標準層の自明性は Riemann–Roch の公式から $K_X$ を含む項を消し、条件 (ii) は Euler 標数 $\chi(\mathcal{O}_X)$ を $2$ に固定する。この二つが、次の節以降の証明の主な材料になる。

例

4 次曲面

以下の証明で使う射影空間の事実をまとめておく。$\mathbb{P}^n=\mathbb{P}^n_k$ の上で、

• $H^0(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(m))$ は $m$ 次の斉次多項式の空間で、特に $m<0$ なら $0$、$m=0$ なら $k$。
• $0< i< n$ ならすべての $m$ で $H^i(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(m))=0$。
• $H^n(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(m))$ の次元は $\binom{-m-1}{n}$（$m\le-n-1$ のとき）、それ以外は $0$。特に $h^n(\mathcal{O}(-n-1))=1$、$h^n(\mathcal{O})=0$。
  （Vak25 Theorem 18.1.2, pp. 494–495。）また $\omega_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)$ である。これは Euler 完全列 $0\to\Omega^1_{\mathbb{P}^n}\to\mathcal{O}(-1)^{\oplus(n+1)}\to\mathcal{O}\to0$（Vak25 Theorem 21.3.6, p. 614）の最高次外積をとると $\det\Omega^1_{\mathbb{P}^n}\otimes\det\mathcal{O}\cong\det\mathcal{O}(-1)^{\oplus(n+1)}=\mathcal{O}(-n-1)$ となることから従う。滑らかな多様体 $Y$ の滑らかな因子 $Z$ については随伴公式 $\omega_Z\cong(\omega_Y\otimes\mathcal{O}_Y(Z))|_Z$ が成り立つ（Vak25 Exercise 21.5.B, p. 623）。

同じ議論で、$\mathbb{P}^3$ の滑らかな $d$ 次曲面の標準層は $\mathcal{O}_X(d-4)$ になる。$d\le3$ なら $\omega_X^{-1}$ が豊富、$d\ge5$ なら $\omega_X$ が豊富で、$d=4$ だけが標準層の自明な場合である。

完全交叉

$\mathbb{P}^4$ の 2 次式と 3 次式の完全交叉、$\mathbb{P}^5$ の 3 つの 2 次式の完全交叉も、滑らかなら K3 曲面である。これは Calabi–Yau多様体 の「完全交叉の Calabi–Yau 多様体」で、次数の和が $N+1$ になる完全交叉として、途中の交わりもすべて滑らかな場合に証明する。途中の交わりが特異になりうる一般の場合はこの記事では証明しない（Vak25 Exercise 21.5.G, 21.5.I, p. 624 に演習として挙がっている）。

基本的な性質

この節では $k$ を代数閉体とし、$X$ を $k$ 上の射影的な K3 曲面とする。道具は次の 3 つで、いずれも滑らかな射影曲面について成り立つ（この記事では証明しない）。

• Serre 双対性：局所自由層 $\mathcal{F}$ について $h^i(\mathcal{F})=h^{2-i}(\omega_X\otimes\mathcal{F}^\vee)$（Vak25 Theorem 18.5.1, p. 514。そこでの双対化層が $\omega_X=\Omega^2_{X/k}$ に一致することは同書 §29.4）。
• 曲面の Riemann–Roch の定理：因子 $D$ について $\chi(\mathcal{O}_X(D))=\tfrac12D\cdot(D-K_X)+\chi(\mathcal{O}_X)$（Vak25 Exercise 20.2.B(b), p. 582）。
• 曲面の随伴公式：$X$ の上の曲線 $C$ について $C\cdot(K_X+C)=2p_a(C)-2$（同 Exercise 20.2.B(a), p. 581）。ここで $p_a(C):=1-\chi(\mathcal{O}_C)$ は算術種数である。

最後の主張は、すべての多重種数が $1$ であること、したがって小平次元が $0$ であることを意味する（多重種数と小平次元の定義は双有理幾何学の「多重種数と小平次元」）。

一般の滑らかな射影曲面では、Riemann–Roch の定理から $D\cdot(D-K_X)=2(\chi(\mathcal{O}_X(D))-\chi(\mathcal{O}_X))$ が偶数、すなわち $D^2\equiv D\cdot K_X\pmod 2$ が従うだけである。$K_X=0$ だから $D^2$ そのものが偶数になる。射影平面の直線 $L$ では $L^2=1$ で、この性質は成り立たない（下の反例の表）。

(c) は、K3 曲面が極小（$(-1)$ 曲線をもたない）であることを意味する。$(-1)$ 曲線は点のブローアップで現れる曲線なので（ブローアップ）、K3 曲面は、滑らかな曲面の点をブローアップして得られることがない。

たとえば $D^2=-2$ の因子は、$D$ か $-D$ のどちらかが必ず曲線の和（重複度つき）と線形同値になる。一般の曲面ではこのような結論はない。$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の $D=F_1-F_2$（2 つの方向のファイバーの差）は $D^2=-2$ なのに、$D$ も $-D$ も有効因子と線形同値でない（下の反例の表）。

この証明は条件 (ii) を直接には使っていないように見えるが、$\chi(\mathcal{O}_X)=2$ を通じて使っている。条件 (ii) を外したアーベル曲面では、Picard 群に捩れ元が現れる（下の反例の表）。

複素数体上の K3 曲面

この節では $X$ をコンパクト複素曲面としての K3 曲面とする。$\operatorname{Pic}(X)=H^1(X,\mathcal{O}_X^\ast)$ を正則な直線束の同型類の群とする。

したがって K3 曲面の直線束は、その Chern 類、つまり $H^2(X,\mathbb{Z})$ の元で決まる。この $H^2$ については次のことが知られている（この記事では証明しない。Yau09 §3.1, pp. 285–286）。

• $H^2(X,\mathbb{Z})$ は階数 $22$ の自由アーベル群であり、カップ積による交点形式で、格子 $(-E_8)^{\oplus2}\oplus U^{\oplus3}$ と同型である。ここで $E_8$ は $E_8$ 型ルート系の Cartan 行列（正定値）、$U$ は行列 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ の定める格子である。この格子は、Gram 行列の対角成分がすべて偶数の偶格子で、行列式が $-1$ のユニモジュラー格子であり、符号は $(3,19)$ である（$U$ が正と負を 1 つずつ、$-E_8$ が負を 8 つもつ）。cor-k3-even の偶性は、これの代数的な影である。
• 正則 2 形式 $\sigma$（$\omega_X\cong\mathcal{O}_X$ の生成元で、定数倍を除いて一意）の類 $[\sigma]$ の $H^2(X,\mathbb{C})$ の中での位置（周期）が K3 曲面を決める。正確には、印付き K3 曲面は周期によって、Picard–Lefschetz 変換が生成する格子の自己同型を除いて定まる（Torelli 型定理。代数的な場合は Pjateckii-Šapiro–Šafarevič、Kähler の場合は Burns–Rapoport と Looijenga–Peters による）。周期写像は全射である（Kulikov ら）。
• K3 曲面は Kähler 多様体であり（Todorov と Siu）、$c_1(X)=0$ なので、Yau の定理により各 Kähler 類に Ricci 平坦な Kähler 計量をもつ（Calabi–Yau多様体の「微分幾何的な側面」）。
  Hodge 数 $h^{p,q}$ については Hodge分解の例「K3 曲面の Hodge 菱形」も参照。

反例：条件を外すと

定義の条件を 1 つずつ外すと、上で証明した性質が崩れる。以下 $k$ は代数閉体とする。

関連項目

• 前提: 射影空間, 層コホモロジー, 標準因子, 交叉理論
• 比較: Calabi–Yau多様体, アーベル多様体, 楕円曲線
• 道具: Riemann–Rochの定理, Hodge分解, 第1Chern類
• 発展: 双有理幾何学, Picard群