Dehn手術

要点：$V$ を子午円板で切り開くと球体 $B:=[0,2\pi]\times D^2$ になる。$\psi$ は切り開いた円環の同相写像を与え、両端の円板の上には $\psi\vert_m$ を錐で延ばし、球体の中へはもう一度錐で延ばす（イソトピー の例「イソトピーの例」の 3 の Alexander のトリックと同じ考え方）。

1．$\psi:=\varphi'^{-1}\circ\varphi$ は $\partial V$ の同相写像で $\psi(m)=m$ なので、lem-dehn-extend により $V$ の同相写像 $\Psi$ に延びる。$E$ の上で恒等写像、$V$ の上で $\Psi$ となる写像 $\Phi$ を考える。$v\in\partial V$ は $E\cup_\varphi V$ で $\varphi(v)$ と同一視され、$\Phi(v)=\varphi'^{-1}\varphi(v)$ は $E\cup_{\varphi'}V$ で $\varphi'(\varphi'^{-1}\varphi(v))=\varphi(v)=\Phi(\varphi(v))$ と同一視されるので、$\Phi$ は矛盾なく定まる連続な全単射で、逆写像も同じ形（$\Psi^{-1}$ を使う）なので同相写像である。
2．$T$ はコンパクトなので、イソトピー の定理「イソトピー拡張定理」により、$T$ のアンビエントイソトピー $h$ で $h_1(\varphi(m))=\varphi'(m)$ となるものがある。$\varphi'':=h_1\circ\varphi$ とおくと $\varphi''(m)=\varphi'(m)$ なので、1 により $E\cup_{\varphi''}V\cong E\cup_{\varphi'}V$ である。残りは $E\cup_\varphi V\cong E\cup_{\varphi''}V$ で、$E$ のカラー $\kappa\colon T\times[0,1]\to E$、$\kappa(\iota(w,v),s):=\iota(w,(1+s\epsilon)v)$（$0< \epsilon<\rho-1$）を使う。$V$ の上と $\kappa(T\times[0,1])$ の外の $E$ の上で恒等写像、カラーの上で $\kappa(z,s)\mapsto\kappa(h_{1-s}(z),s)$ とする写像を考える。$s=0$ では $z\in T$ を $h_1(z)$ に写し、$z$ は $\varphi^{-1}(z)$ と、$h_1(z)$ は $\varphi''^{-1}(h_1(z))=\varphi^{-1}(z)$ と同一視されるので矛盾がなく、$s=1$ では恒等写像につながる。$(s,z)\mapsto h_s^{-1}(z)$ も連続なので（円板定理 の補題「イソトピーで移り合う関係」の証明の対称律）、逆写像も同じ形で書け、同相写像である。
3．$S^1\times D^2$ は $S^1\times B_\rho$ のコンパクト集合なので、イソトピー拡張定理により $M$ の微分同相写像 $H$ で $S^1\times D^2$ の上で $H\circ\iota=\iota'$ となるものがある。$H$ は $\iota$ の外部 $E$ を $\iota'$ の外部 $E'$ の上へ写す。$E$ の上で $H$、$V$ の上で恒等写像とすれば $E\cup_\varphi V\cong E'\cup_{H\circ\varphi}V$ であり、$(H\circ\varphi)(m)=H(\iota(c_{p,q}))=\iota'(c_{p,q})$ なので、右辺は 1 により $M_{\iota'}(p/q)$ である。$\square$

1．開集合 $U_1:=S^3\setminus\iota(S^1\times\{\lvert u\rvert\le\frac12\})$ と $U_2:=\iota(S^1\times B_{\rho'})$（$1<\rho'<\rho$）は $S^3$ を覆い、$\lvert u\rvert$ の方向に縮めることで $U_1\simeq E$、$U_2\simeq S^1$、$U_1\cap U_2\simeq T$ である。$H_2(S^3)=H_1(S^3)=0$ なので、Mayer–Vietoris完全列 は同型
$$ H_1(T)\xrightarrow{\ \cong\ }H_1(E)\oplus H_1(U_2) $$
を与える。$H_1(T)$ は $[\mu],[\lambda]$ を基底とする階数 $2$ の自由加群で、$H_1(U_2)\cong\mathbb{Z}$ への成分は $[\mu]\mapsto0$、$[\lambda]\mapsto$ 生成元である。よって同型は $[\mu]\mapsto([\mu]_E,0)$、$[\lambda]\mapsto([\lambda]_E,\pm1)$ の形で、$H_1(E)\oplus0$ に入る元は $[\mu]$ の倍数の像に限るので $H_1(E)=\mathbb{Z}[\mu]_E$ であり、同型が単射なので $[\mu]_E$ の位数は無限である。$[\lambda]_E$ は $[\mu]_E$ のただ 1 つの整数倍 $n[\mu]_E$ である。
2．$\iota\circ\tau_{-n}$ の縦線のホモロジー類は $[\lambda]-n[\mu]$ で、$H_1(E)$ での像は $n[\mu]_E-n[\mu]_E=0$ である。$\square$

$X:=E\cup_\varphi V$ とする。prf-dehn-seifert と同じくカラーで太らせた開集合で $X$ を覆うと、$E$、$V$、$T$ とホモトピー同値な開集合の組が得られ、$\tilde H_0(T)=0$ なので Mayer–Vietoris完全列 から
$$ H_1(T)\xrightarrow{\ (i_E,\,-i_V)\ }H_1(E)\oplus H_1(V)\longrightarrow H_1(X)\longrightarrow0 $$
が完全である。$H_1(\partial V)$ の基底 $[m],[\ell]$ の $\varphi_\ast$ による像を $H_1(T)$ の基底にとる。$H_1(V)=\mathbb{Z}[\ell]_V$ で $[m]\mapsto0$、$[\ell]\mapsto[\ell]_V$ である。$\varphi_\ast[m]=\pm(p[\mu]+q[\lambda])$ で、Seifert の枠なので $[\lambda]_E=0$、prop-dehn-seifert により $H_1(E)=\mathbb{Z}[\mu]_E$ だから、$i_E(\varphi_\ast[m])=\pm p[\mu]_E$ であり、$i_E(\varphi_\ast[\ell])=k[\mu]_E$ となる整数 $k$ がある。よって
$$ H_1(X)\cong\mathbb{Z}^2/\bigl\langle(\pm p,0),\,(k,-1)\bigr\rangle $$
で、2 番目の関係で $[\ell]_V$ を $k[\mu]_E$ に置き換えれば $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$（$p=0$ なら $\mathbb{Z}$）が残る。$\square$

1．$\iota_0(c_{0,1})=\lambda$ は $V_1$ の子午円板の縁である。$j(w,u):=(u/\sqrt2,\ w\sqrt{1-\lvert u\rvert^2/2})$ は $V$ から $V_1$ への同相写像で $j(m)=\lambda$ なので、thm-dehn-well-defined の 1 により $\varphi:=j\vert_{\partial V}$ を使ってよい。すると $S^3_{\iota_0}(0/1)\cong V\cup_{\mathrm{id}_{\partial V}}V=S^1\times(D^2\cup_{\mathrm{id}}D^2)\cong S^1\times S^2$ である。
2．要点：$G=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の作用 $(z_1,z_2)\mapsto(\zeta z_1,\zeta^{q'}z_2)$（$\zeta=e^{2\pi i/p}$）は $V_1$、$V_2$ を保つので、$L(p;q')=V_1/G\cup V_2/G$ である。$V_1/G$ と $V_2/G$ をそれぞれ $V_1$、$V_2$ と同一視する写像を角座標で書くと、$q'r\equiv1\pmod p$ として $(\alpha,\beta)\mapsto(\alpha-r\beta,\ p\beta)$ と $(\alpha,\beta)\mapsto(p\alpha,\ \beta-q'\alpha)$ になる。$V_2/G$ の子午線（$\{\alpha=0\}$ の像）は前者で $\{(-r\beta,p\beta)\}=\iota_0(c_{p,-r})$ に写るので、$L(p;q')\cong S^3_{\iota_0}(-p/r)$ である。$r$ は $p$ を法とする合同類の中で自由に選べるので、$q'\equiv-q^{-1}\pmod p$、$r:=-q$ とすれば $S^3_{\iota_0}(p/q)\cong L(p;-q^{-1})$ を得る。最後に レンズ空間 の注意「記法の流儀と直ちに従うこと」により $L(p;-q^{-1})\cong L(p;q)$ である。