層

同義語：sheaf層（位相空間上の）

概要

前提知識: 位相空間, 開集合, 前層, 圏, 関手, 帰納極限, アーベル群

定義

層は、位相空間の各開集合の上に「そこで観測できるデータ」を割り当て、データが局所的に決まり、局所的に整合するデータが一意に貼り合わさることを要求した構造である。記事を単独で読めるように、位相空間上の前層の定義から述べる（一般の圏上の前層と表現可能前層については前層を参照）。

位相空間上の前層と切断

$X$ を位相空間とし、$\mathrm{Open}(X)$ を $X$ の開集合を対象とし、包含 $V\subset U$ があるときちょうど 1 本の射 $V\to U$ をもつ圏とする。$X$ 上の（集合に値をとる）前層（presheaf）とは、反対圏 $\mathrm{Open}(X)^{\mathrm{op}}$ から集合の圏 $\mathbf{Set}$ への関手 $\mathcal{F}$ のことである。すなわち、各開集合 $U$ に集合 $\mathcal{F}(U)$ を、包含 $V\subset U$ に写像 $\rho_{UV}\colon\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}(V)$ を対応させ、
$$ \rho_{UU}=\mathrm{id}_{\mathcal{F}(U)},\qquad \rho_{VW}\circ\rho_{UV}=\rho_{UW}\quad(W\subset V\subset U) $$
を満たすものである。$\mathcal{F}(U)$ の元を $U$ 上の切断（section）、$\rho_{UV}$ を制限写像といい、$\rho_{UV}(s)$ を $s|_V$ と書く。$\mathcal{F}(X)$ の元を大域切断といい、$\Gamma(U,\mathcal{F}):=\mathcal{F}(U)$ とも書く。値の圏をアーベル群の圏 $\mathbf{Ab}$、環の圏、加群の圏などに取り替えたものをアーベル群の前層・環の前層などという（制限写像は群準同型・環準同型）。
前層の射 $\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ とは自然変換、すなわち写像 $\varphi_U\colon\mathcal{F}(U)\to\mathcal{G}(U)$ の族で、$V\subset U$ のとき $\varphi_V(s|_V)=\varphi_U(s)|_V$ を満たすものである。$X$ 上の前層とその射のなす圏を $\mathrm{PSh}(X)$ と書く。

層の条件

$X$ 上の前層 $\mathcal{F}$ が層（sheaf）であるとは、任意の開集合 $U$ と $U$ の任意の開被覆 $U=\bigcup_{i\in I}U_i$（$U_i$ は開集合）について、次の 2 条件を満たすことをいう。

（局所性）$s,t\in\mathcal{F}(U)$ がすべての $i\in I$ について $s|_{U_i}=t|_{U_i}$ を満たすならば $s=t$ である。
（貼り合わせ）切断の族 $(s_i)_{i\in I}$、$s_i\in\mathcal{F}(U_i)$ が、すべての $i,j\in I$ について $s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}$ を満たすならば、$s|_{U_i}=s_i$（すべての $i$）となる $s\in\mathcal{F}(U)$ が存在する。
条件 1 だけを満たす前層を分離前層（separated presheaf）という。層の射とは前層としての射のことであり、$X$ 上の層のなす $\mathrm{PSh}(X)$ の充満部分圏を $\mathrm{Sh}(X)$ と書く。アーベル群の層・環の層も同様に定める（条件は台の集合について要求すればよい）。

2 条件をあわせると、貼り合わせ条件の $s$ は一意に存在する。これは、直積と制限写像で作った図式
$$ \mathcal{F}(U)\xrightarrow{\ e\ }\prod_{i\in I}\mathcal{F}(U_i)\ \underset{q}{\overset{p}{\rightrightarrows}}\ \prod_{(i,j)\in I\times I}\mathcal{F}(U_i\cap U_j), $$
$e(s)=(s|_{U_i})_i$、$p((s_i)_i)=(s_i|_{U_i\cap U_j})_{i,j}$、$q((s_i)_i)=(s_j|_{U_i\cap U_j})_{i,j}$ において、$e$ が $p,q$ の等化子であること、すなわち $e$ が単射でその像が $\{(s_i)_i\mid p((s_i)_i)=q((s_i)_i)\}$ に一致することと同値である（局所性が単射性、貼り合わせが像の記述）。この定式化は Grothendieck位相上の層の定義にそのまま拡張される（rem-sheaf-grothendieck-topology）。
開被覆として添字集合 $I$ が空のもの、すなわち $U=\emptyset$ の空被覆をとると、空の直積は 1 点集合なので、層ならば $\mathcal{F}(\emptyset)$ は 1 点集合である（アーベル群の層なら $\mathcal{F}(\emptyset)=0$）。

茎と芽

$\mathcal{F}$ を $X$ 上の前層、$x\in X$ とする。$x$ を含む開集合（開近傍）の全体は、逆向きの包含（$U\le V\iff V\subset U$）により有向集合をなす（$U,V\ni x$ なら $U\cap V\ni x$）。$x$ における $\mathcal{F}$ の茎（stalk）とは、帰納極限
$$ \mathcal{F}_x:=\varinjlim_{U\ni x}\mathcal{F}(U) $$
のことである。具体的には、$\mathcal{F}_x$ は組 $(U,s)$（$U$ は $x$ の開近傍、$s\in\mathcal{F}(U)$）の全体を、「$x$ の開近傍 $W\subset U\cap V$ で $s|_W=t|_W$ となるものが存在する」という同値関係 $(U,s)\sim(V,t)$ で割った商集合である。$(U,s)$ の類を $s_x$ と書き、$s$ の $x$ における芽（germ）という。$\mathcal{F}$ がアーベル群（環）の前層なら $\mathcal{F}_x$ はアーベル群（環）である。前層の射 $\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ は、$s_x\mapsto\varphi_U(s)_x$ により写像 $\varphi_x\colon\mathcal{F}_x\to\mathcal{G}_x$ を誘導する（$\varphi$ が制限と可換なので代表の取り方によらない）。

層の射の単射・全射・同型

$\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ を $X$ 上の層の射とする。

$\varphi$ が単射であるとは、すべての開集合 $U$ について $\varphi_U$ が単射であることをいう。
$\varphi$ が全射であるとは、すべての点 $x\in X$ について茎の写像 $\varphi_x\colon\mathcal{F}_x\to\mathcal{G}_x$ が全射であることをいう。
$\varphi$ が同型であるとは、層の射 $\psi\colon\mathcal{G}\to\mathcal{F}$ で $\psi\circ\varphi=\mathrm{id}$、$\varphi\circ\psi=\mathrm{id}$ となるものが存在することをいう。
$\mathcal{F}$ の部分層とは、層 $\mathcal{F}'$ で各 $\mathcal{F}'(U)$ が $\mathcal{F}(U)$ の部分集合であり、制限写像が $\mathcal{F}$ のものの制限であるものをいう。

全射だけが「各開集合上で」ではなく「各茎で」定義されることに注意する。単射は茎で判定しても同じであり（prop-sheaf-stalk-criterion）、全射を「各開集合上で全射」と定めるとアーベル圏をなすなどの自然な性質が失われる（ex-sheaf-counterexample-square）。
開集合 $U\subset X$ への制限 $\mathcal{F}|_U$ は、$U$ の開集合 $V$ に $\mathcal{F}(V)$ を対応させる $U$ 上の前層であり、$\mathcal{F}$ が層なら層である（$U$ の開集合とその開被覆は $X$ のものでもあるから）。

直感

前層は「開集合ごとのデータと、小さい開集合への制限」を与えるだけである。層はそこに「データは局所的に見れば全部分かる」という要請を加えたもので、局所性は局所的に一致する切断が全体でも一致すること、貼り合わせは重なりで矛盾しない局所データが全体に延びることをいう。連続関数・可微分多様体上の $C^\infty$ 関数・複素多様体上の正則関数は「点のまわりで確かめられる性質」で定義されるので層をなし（ex-sheaf-functions）、「有界である」「大域的に平方根をもつ」のような大域的な性質は貼り合わせで壊れて前層にとどまる（ex-sheaf-counterexample-bounded・ex-sheaf-counterexample-square）。
層の本質は茎にある。切断は各点の芽で決まり（prop-sheaf-germs-determine）、射の単射・全射・同型は茎で判定でき（prop-sheaf-stalk-criterion）、どんな前層も茎を保ったまま層に置き換えられる（thm-sheaf-sheafification）。それでも「全射だが大域切断では全射でない」という現象が起こり、その差を測るのが層コホモロジーである。

例と反例

連続関数・可微分関数・正則関数の層

$X$ を位相空間とし、開集合 $U$ に $U$ 上の実数値連続関数の全体 $\mathcal{C}_X(U):=\{f\colon U\to\mathbb{R}\mid f\text{ は連続}\}$ を対応させ、制限写像を関数の制限とする。$\mathcal{C}_X$ は環の層である。実際、局所性：$f,g\in\mathcal{C}_X(U)$ が開被覆 $U=\bigcup U_i$ の各 $U_i$ 上で一致すれば、$U$ の各点はある $U_i$ に属するので $f=g$ である。貼り合わせ：$f_i\in\mathcal{C}_X(U_i)$ が重なりで一致すれば、$x\in U_i$ のとき $f(x):=f_i(x)$ と定めて写像 $f\colon U\to\mathbb{R}$ が矛盾なく定まり、$f|_{U_i}=f_i$ が連続なので $f$ は各点の近傍で連続、したがって連続である（連続写像の連続性は局所的な性質である）。制限写像は明らかに環準同型である。
同じ論法で、可微分多様体 $M$ 上の $C^\infty$ 関数の層 $\mathcal{C}^\infty_M$、複素多様体（$\mathbb{C}$ の開集合や Riemann面）上の正則関数の層 $\mathcal{O}_M$ も環の層である（微分可能性・正則性は各点の近傍で確かめられる性質だから）。より一般に、連続写像 $\pi\colon E\to X$ に対し、$U$ 上の連続切断 $\{\sigma\colon U\to E\mid\pi\circ\sigma=\mathrm{id}_U\}$ を対応させる前層は層であり（ベクトル束の切断の層など）、逆に任意の層はこの形で書ける（thm-sheaf-etale-space）。
茎について、$\mathcal{O}_{\mathbb{C},0}$ は $0$ の近傍で正則な関数の芽の環であり、正則関数が冪級数展開をもつことから、正の収束半径をもつ収束冪級数環 $\mathbb{C}\{z\}$ と同型である。これは局所環であり、環付き空間の記事で用いられる。

定数層と局所定数関数

$A$ を集合（またはアーベル群）とする。開集合 $U$ に局所定数な写像 $f\colon U\to A$（各点の近傍で定数であるもの、局所定数関数）の全体を対応させる前層 $A_X$ は層である。証明は ex-sheaf-functions と同じで、局所定数性が局所的な性質だからである。$A_X$ を $A$ に値をもつ定数層という。$A$ に離散位相を入れれば、局所定数写像とは連続写像 $U\to A$ のことである。
茎は $(A_X)_x=A$ である。実際、局所定数な $f$ は $x$ のある近傍で定数なので芽 $f_x$ は値 $f(x)\in A$ で決まり、逆に各 $a\in A$ は定数関数の芽を与える。$U$ が連結空間なら $A_X(U)=A$（連結集合上の局所定数関数は定数）、$U$ が $n$ 個の連結な開集合の非交和なら $A_X(U)=A^n$ である。とくに $\mathbb{R}$ 上で $U=(0,1)\cup(2,3)$ とすると $A_X(U)=A\times A\ne A$ である。定数層は「各開集合上で定数 $A$」ではなく「局所的に定数」であり、この差が ex-sheaf-counterexample-constant の内容である。

摩天楼層の構成と茎

$x\in X$ を固定し、$A$ をアーベル群とする。開集合 $U$ に対し、$x\in U$ なら $A$、$x\notin U$ なら $0$ を対応させ、制限写像を $x\in V\subset U$ のとき $\mathrm{id}_A$、そうでないとき零写像とする前層を $x$ における $A$ の摩天楼層といい、$i_{x*}A$ と書く（1 点空間 $\{x\}$ 上の層 $A$ の包含写像 $i_x\colon\{x\}\to X$ による順像である。def-sheaf-direct-inverse-image）。これは層である。実際、$x\notin U$ なら $i_{x*}A(U)=0$ で条件は自明である。$x\in U$ のとき、開被覆 $U=\bigcup U_i$ の中で $x$ を含む $U_i$ への制限写像は恒等写像、含まないものへは零写像なので、$x\in U_{i_0}$ となる $i_0$ をとれば、局所性は $s=s|_{U_{i_0}}=t|_{U_{i_0}}=t$ により、貼り合わせは $s:=s_{i_0}$ とおくと $x\in U_i$ なる $i$ で $s_i=s_i|_{U_i\cap U_{i_0}}=s_{i_0}|_{U_i\cap U_{i_0}}=s_{i_0}=s|_{U_i}$、$x\notin U_i$ なる $i$ で $s_i=0=s|_{U_i}$ となることにより成り立つ。
茎は $(i_{x*}A)_y=A$（$y\in\overline{\{x\}}$ のとき）、$0$（そうでないとき）である。実際、$y\in\overline{\{x\}}$（閉包）とは $y$ のすべての開近傍が $x$ を含むことで、このとき帰納系はすべて $A$、射はすべて恒等写像なので極限は $A$ である。そうでなければ $x$ を含まない $y$ の開近傍があり、それ以下の開近傍上では値が $0$ なので極限は $0$ である。$X$ が Hausdorff空間なら茎は $x$ でだけ $A$、他では $0$ であり、「$x$ の上にだけそびえる」層になる。

反例：定数前層は層でない

$A$ を 2 個以上の元をもつ集合とし、空でない開集合 $U$ に $A$、$\emptyset$ に 1 点集合 $\{*\}$ を対応させ、制限写像を（空でない開集合の間では）$\mathrm{id}_A$ とする前層 $P$ を定数前層という。$X$ が互いに交わらない空でない開集合 $U_1,U_2$ をもつとき、$P$ は層でない。実際、$U:=U_1\cup U_2$ とその開被覆 $\{U_1,U_2\}$ をとり、$a\ne b$ なる $a,b\in A$ について $s_1:=a\in P(U_1)$、$s_2:=b\in P(U_2)$ とおくと、$U_1\cap U_2=\emptyset$ 上で $s_1|_{\emptyset}=*=s_2|_{\emptyset}$ なので族 $(s_1,s_2)$ は整合する。しかし $s\in P(U)=A$ が $s|_{U_1}=a$、$s|_{U_2}=b$ を満たすなら $s=a$ かつ $s=b$ となって矛盾する。よって貼り合わせ条件が破れる。一方、局所性は成り立つ（空でない $U_i$ への制限が恒等写像だから）ので、$P$ は分離前層である。$P$ の層化（thm-sheaf-sheafification）が定数層 $A_X$ である。$P(\emptyset)$ を $A$ とする流儀では、$\emptyset$ の空被覆について $P(\emptyset)$ が 1 点でないことから局所性さえ破れる。
この反例が破る含意は「各開集合上で同じ集合を対応させれば層になる」であり、原因は $X$ が交わらない 2 つの空でない開集合をもつことである。逆に、空でない任意の 2 つの開集合が交わる空間（密着位相の空間、Zariski位相をもつ既約空間）の上では定数前層 $P$ は層である。実際、空でない $U$ の開被覆 $U=\bigcup U_i$ で整合する族 $(s_i)$ をとると、空でない $U_i,U_j$ について $U_i\cap U_j\ne\emptyset$ なので $s_i=s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}=s_j$ となり、共通の値 $a$ が $s:=a\in P(U)$ として一意に貼り合わさる。2 点の離散空間の場合は前層と Grothendieck位相の記事にある。

反例：有界関数の前層

$X=\mathbb{R}$ とし、開集合 $U$ に $U$ 上の有界な連続関数の全体 $\mathcal{B}(U)$ を対応させる。制限は有界性を保つので $\mathcal{B}$ は $\mathcal{C}_X$ の部分前層であり、局所性を満たす（関数の一致は $\mathcal{C}_X$ で確かめられる）が貼り合わせを満たさない。実際、$U_n:=(n-1,n+1)$（$n\in\mathbb{Z}$）は $\mathbb{R}$ の開被覆であり、$f_n:=\mathrm{id}|_{U_n}\in\mathcal{B}(U_n)$（$|f_n|<|n|+1$）は重なり $U_n\cap U_{n+1}=(n,n+1)$ でともに恒等関数なので整合するが、貼り合わさる $f\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ があれば $f=\mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ となって有界でない。この反例が満たす性質は局所性、満たさない性質は貼り合わせであり、破る含意は「層の部分前層は層である」である。$\mathcal{B}$ の層化は $\mathcal{C}_X$ 自身である（局所有界な連続関数は連続関数にほかならない。thm-sheaf-sheafification）。

反例：前層の全射が層の全射と異なる例

$X:=\mathbb{C}\setminus\{0\}$ とし、$\mathcal{O}^*$ を、開集合 $U$ に $U$ 上の零点をもたない正則関数の全体を対応させ、積を演算とするアーベル群の層とする（層であることは ex-sheaf-functions と同じ）。射 $\varphi\colon\mathcal{O}^*\to\mathcal{O}^*$ を $\varphi_U(g):=g^2$ で定める。$\varphi$ は各茎で全射である。実際、$x\in X$ と $x$ の近傍で零点をもたない正則関数 $h$ に対し、$x$ を中心とし $h$ の定義域に含まれる開円板 $D$ をとると、$h'/h$ は $D$ 上で正則なので、円板上の Cauchy の定理（Cauchyの積分定理、Ahl79 4.1.5）により原始関数 $\ell$ をもつ。$(h\exp(-\ell))'=(h'-h\ell')\exp(-\ell)=0$ なので $h\exp(-\ell)$ は定数であり、$\ell$ に定数を加えて $\exp\ell=h$（$h$ の正則な対数関数）とできる。よって $g:=\exp(\ell/2)$ が $g^2=h$ を満たし、$h$ の芽は $\varphi_x$ の像に入る。したがって $\varphi$ は層の射として全射である（def-sheaf-morphism）。
一方 $\varphi_X\colon\mathcal{O}^*(X)\to\mathcal{O}^*(X)$ は全射でない。実際、$g\in\mathcal{O}^*(X)$ が $g^2=z$（恒等関数）を満たすとする。零点をもたない正則関数 $g$ の単位円周 $|z|=1$ に沿う対数微分の積分
$$ n(g):=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\oint_{|z|=1}\frac{g'(z)}{g(z)}\,dz $$
は整数である。実際、置換 $w=g(z)$ によりこれは閉曲線 $\theta\mapsto g(e^{\sqrt{-1}\theta})$（$0\le\theta\le2\pi$）の点 $0$ に関する回転数 $\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\oint\frac{dw}{w}$ に等しく、回転数は整数である（Ahl79 4.2.1）。$g^2=z$ の対数微分をとると $2g'/g=1/z$ なので $2n(g)=n(z)=1$ となり、整数 $n(g)$ について矛盾する。よって $z$ は $\varphi_X$ の像に入らない。
この反例が満たす性質は「各茎で全射」、満たさない性質は「各開集合上で全射」であり、破る含意は「層の全射は各開集合上で全射である」というものである。像の前層 $U\mapsto\varphi_U(\mathcal{O}^*(U))$ は層でなく（prop-sheaf-kernel-image）、$\varphi_X$ の全射性の破れは $H^1(X,\mathbb{Z}/2)\ne0$ に対応する（層コホモロジー）。

性質

切断と芽

切断は芽で決まる

$\mathcal{F}$ を $X$ 上の前層とする。

$\mathcal{F}$ が局所性を満たす（分離前層である）ことと、任意の開集合 $U$ と $s,t\in\mathcal{F}(U)$ について「すべての $x\in U$ で $s_x=t_x$ ならば $s=t$」が成り立つこととは同値である。
$\mathcal{F}$ が層なら、写像 $\mathcal{F}(U)\to\prod_{x\in U}\mathcal{F}_x$、$s\mapsto(s_x)_{x\in U}$ は単射である。

1：局所性を仮定し、$s,t\in\mathcal{F}(U)$ がすべての $x\in U$ で $s_x=t_x$ を満たすとする。芽の定義により、各 $x\in U$ に対して $x$ の開近傍 $W_x\subset U$ で $s|_{W_x}=t|_{W_x}$ となるものがある。$\{W_x\}_{x\in U}$ は $U$ の開被覆なので局所性により $s=t$ である。逆に芽による判定を仮定し、開被覆 $U=\bigcup U_i$ の各 $U_i$ で $s|_{U_i}=t|_{U_i}$ とする。各 $x\in U$ はある $U_i$ に属し、$s_x=(s|_{U_i})_x=(t|_{U_i})_x=t_x$ である。よって $s=t$ である。2 は 1 の言い換えである。$\square$

層化

層化の構成と普遍性

$\mathcal{F}$ を $X$ 上の前層とする。開集合 $U$ に対し、$\mathcal{F}^+(U)$ を、写像 $\sigma\colon U\to\coprod_{x\in U}\mathcal{F}_x$ で次の 2 条件を満たすものの全体とする。

すべての $x\in U$ について $\sigma(x)\in\mathcal{F}_x$ である。
各 $x\in U$ に対し、$x$ の開近傍 $V\subset U$ と $t\in\mathcal{F}(V)$ があって、すべての $y\in V$ について $\sigma(y)=t_y$ である。
制限写像を写像の制限とし、$\theta_U\colon\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}^+(U)$ を $\theta_U(s):=(x\mapsto s_x)$ で定める。このとき

$\mathcal{F}^+$ は層であり、$\theta\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}^+$ は前層の射である。
各 $x\in X$ で $\theta_x\colon\mathcal{F}_x\to\mathcal{F}^+_x$ は全単射である。
（普遍性）任意の層 $\mathcal{G}$ と前層の射 $\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ に対し、層の射 $\psi\colon\mathcal{F}^+\to\mathcal{G}$ で $\psi\circ\theta=\varphi$ となるものがただ 1 つ存在する。
$\mathcal{F}$ が層なら $\theta$ は同型である。
$\mathcal{F}^+$ を $\mathcal{F}$ の層化（sheafification、associated sheaf）といい、$\mathcal{F}^{\mathrm{sh}}$、$\mathcal{F}^a$ とも書く。$\mathcal{F}$ がアーベル群（環）の前層なら、$\mathcal{F}^+(U)$ に各点ごとの演算を入れて $\mathcal{F}^+$ はアーベル群（環）の層になり、同じ主張が成り立つ。

以下、$\mathcal{F}^+(U)$ の元の定義の 2 番目の条件を「$\sigma$ は $x$ の近くで $\mathcal{F}$ の切断から来る」と呼ぶ。これは局所的な条件である。
1：$\sigma\in\mathcal{F}^+(U)$ の $V\subset U$ への制限は $V$ の各点の近くで $\mathcal{F}$ の切断から来るので $\mathcal{F}^+(V)$ に属し、$\mathcal{F}^+$ は前層である。$\mathcal{F}^+$ の切断は $U$ 上の写像なので、開被覆の各成員上で一致する 2 つの切断は等しい（局所性）。開被覆 $U=\bigcup U_i$ と重なりで一致する族 $\sigma_i\in\mathcal{F}^+(U_i)$ に対し、$\sigma(x):=\sigma_i(x)$（$x\in U_i$）は矛盾なく定まり、$x\in U_i$ の近くでは $\sigma=\sigma_i$ が $\mathcal{F}$ の切断から来るので $\sigma\in\mathcal{F}^+(U)$ である（貼り合わせ）。$\theta_U(s)$ は $U$ の各点で $s$ 自身から来るので $\mathcal{F}^+(U)$ に属し、$\theta_V(s|_V)(x)=s_x=\theta_U(s)|_V(x)$ なので $\theta$ は制限と可換である。
2：$\varepsilon_x\colon\mathcal{F}^+_x\to\mathcal{F}_x$ を $\varepsilon_x(\sigma_x):=\sigma(x)$ で定める（$\sigma_x=\tau_x$ なら $x$ の近傍で $\sigma=\tau$ なので矛盾なく定まる）。$\varepsilon_x(\theta_x(s_x))=\theta_U(s)(x)=s_x$ なので $\varepsilon_x\circ\theta_x=\mathrm{id}$ であり、$\theta_x$ は単射である。$\sigma\in\mathcal{F}^+(U)$ と $x\in U$ に対し、定義により $x$ の開近傍 $V\subset U$ と $t\in\mathcal{F}(V)$ で $\sigma|_V=\theta_V(t)$ となるものがあるので $\sigma_x=\theta_x(t_x)$ であり、$\theta_x$ は全射である。
3：$\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ を層 $\mathcal{G}$ への前層の射とする。$\sigma\in\mathcal{F}^+(U)$ に対し、開被覆 $U=\bigcup V_i$ と $t_i\in\mathcal{F}(V_i)$ で $\sigma|_{V_i}=\theta_{V_i}(t_i)$ となるものをとる。$y\in V_i\cap V_j$ では $(t_i)_y=\sigma(y)=(t_j)_y$ なので $\varphi_{V_i}(t_i)_y=\varphi_y(\sigma(y))=\varphi_{V_j}(t_j)_y$ であり、$\mathcal{G}$ は層なので prop-sheaf-germs-determine により $\varphi_{V_i}(t_i)$ と $\varphi_{V_j}(t_j)$ は $V_i\cap V_j$ 上で一致し、貼り合わさって $\psi_U(\sigma)|_{V_i}=\varphi_{V_i}(t_i)$ を満たす $\psi_U(\sigma)\in\mathcal{G}(U)$ をただ 1 つ与える。$\psi_U(\sigma)$ の各点 $y$ での芽は $\varphi_y(\sigma(y))$ で、被覆と $t_i$ の選び方によらないので、再び prop-sheaf-germs-determine により $\psi_U(\sigma)$ は選び方によらない。同じ理由で $\psi$ は制限と可換であり（$\psi_U(\sigma)|_V$ と $\psi_V(\sigma|_V)$ の芽はともに $\varphi_y(\sigma(y))$）、$s\in\mathcal{F}(U)$ については被覆 $\{U\}$、$t=s$ をとれば $\psi_U(\theta_U(s))=\varphi_U(s)$ である。一意性：層の射 $\psi'$ が $\psi'\circ\theta=\varphi$ を満たせば $\psi'_U(\sigma)|_{V_i}=\psi'_{V_i}(\theta_{V_i}(t_i))=\varphi_{V_i}(t_i)=\psi_U(\sigma)|_{V_i}$ なので、$\mathcal{G}$ の局所性により $\psi'=\psi$ である。
4：$\mathcal{F}$ が層のとき、$\theta_U$ は prop-sheaf-germs-determine の 2 により単射である。$\sigma\in\mathcal{F}^+(U)$ に対し 3 と同じく $V_i$、$t_i$ をとると、$(t_i)_y=(t_j)_y$（$y\in V_i\cap V_j$）と $\mathcal{F}$ の局所性から $t_i|_{V_i\cap V_j}=t_j|_{V_i\cap V_j}$ であり、貼り合わせた $t\in\mathcal{F}(U)$ は $\theta_U(t)(y)=t_y=(t_i)_y=\sigma(y)$ を満たすので $\theta_U(t)=\sigma$ である。よって各 $\theta_U$ は全単射であり、逆写像の族は制限と可換なので層の射である。$\square$

普遍性は、層化が包含関手 $\mathrm{Sh}(X)\hookrightarrow\mathrm{PSh}(X)$ の左随伴関手であることを意味し、前層の射 $\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}'$ は層の射 $\varphi^+\colon\mathcal{F}^+\to\mathcal{F}'^+$ を誘導する（層化は関手である）。$\mathcal{F}$ が分離前層なら $\theta_U$ は単射であり（prop-sheaf-germs-determine の 1）、$\mathcal{F}^+(U)$ は「$\mathcal{F}$ の切断を局所的に貼り合わせて得られるもの」の全体である。ex-sheaf-counterexample-constant の定数前層の層化が定数層 $A_X$、ex-sheaf-counterexample-bounded の有界関数の前層の層化が $\mathcal{C}_X$ であるのはこのためである。同じ構成は thm-sheaf-etale-space のエタール空間の連続切断としても述べられる。

射の茎による判定

層の射の茎による判定

$\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ を $X$ 上の層の射とする。

$\varphi$ が単射である（すべての $U$ で $\varphi_U$ が単射）ことと、すべての $x\in X$ で $\varphi_x$ が単射であることとは同値である。
すべての $x\in X$ で $\varphi_x$ が全射であることと、次の局所的全射性とは同値である：任意の開集合 $U$ と $t\in\mathcal{G}(U)$ に対し、$U$ の開被覆 $U=\bigcup U_i$ と $s_i\in\mathcal{F}(U_i)$ で $\varphi_{U_i}(s_i)=t|_{U_i}$ となるものが存在する。
$\varphi$ が同型であることと、すべての $x\in X$ で $\varphi_x$ が全単射であることとは同値である。

1：各茎で単射とする。$s,t\in\mathcal{F}(U)$ が $\varphi_U(s)=\varphi_U(t)$ を満たせば、各 $x\in U$ で $\varphi_x(s_x)=\varphi_U(s)_x=\varphi_U(t)_x=\varphi_x(t_x)$ なので $s_x=t_x$ であり、prop-sheaf-germs-determine により $s=t$ である。逆に各 $\varphi_U$ が単射とする。$a,b\in\mathcal{F}_x$ が $\varphi_x(a)=\varphi_x(b)$ を満たすとし、共通の開近傍 $U$ 上の切断 $s,t$ で $a=s_x$、$b=t_x$ と表す。$\varphi_U(s)_x=\varphi_U(t)_x$ なので $x$ の開近傍 $W\subset U$ で $\varphi_W(s|_W)=\varphi_U(s)|_W=\varphi_U(t)|_W=\varphi_W(t|_W)$ となるものがあり、$\varphi_W$ の単射性から $s|_W=t|_W$、よって $a=b$ である。
2：各茎で全射とし、$t\in\mathcal{G}(U)$ をとる。各 $x\in U$ について $t_x=\varphi_x(s_x)$ となる $s\in\mathcal{F}(V)$（$V\subset U$ は $x$ の開近傍）があり、$\varphi_V(s)_x=t_x$ なので $x$ の開近傍 $U_x\subset V$ で $\varphi_V(s)|_{U_x}=t|_{U_x}$ となるものがある。$s^{(x)}:=s|_{U_x}$ とおけば $\varphi_{U_x}(s^{(x)})=t|_{U_x}$ であり、$\{U_x\}_{x\in U}$ が求める開被覆である。逆に局所的全射性を仮定し、$b\in\mathcal{G}_x$ を $b=t_x$（$t\in\mathcal{G}(U)$）と表す。$U$ の開被覆 $\{U_i\}$ と $s_i$ をとり $x\in U_i$ となる $i$ を選べば $\varphi_x((s_i)_x)=\varphi_{U_i}(s_i)_x=t_x=b$ である。
3：$\varphi$ が同型なら、逆射 $\psi$ の誘導する $\psi_x$ が $\varphi_x$ の逆写像なので各茎で全単射である。逆に各茎で全単射とする。1 により各 $\varphi_U$ は単射である。$t\in\mathcal{G}(U)$ に対し、2 により開被覆 $U=\bigcup U_i$ と $s_i\in\mathcal{F}(U_i)$ で $\varphi_{U_i}(s_i)=t|_{U_i}$ となるものがある。$U_i\cap U_j$ 上で $\varphi(s_i|_{U_i\cap U_j})=t|_{U_i\cap U_j}=\varphi(s_j|_{U_i\cap U_j})$ なので、$\varphi_{U_i\cap U_j}$ の単射性から $s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}$ であり、$\mathcal{F}$ の貼り合わせにより $s|_{U_i}=s_i$ となる $s\in\mathcal{F}(U)$ がある。$\varphi_U(s)|_{U_i}=\varphi_{U_i}(s_i)=t|_{U_i}$ なので $\mathcal{G}$ の局所性により $\varphi_U(s)=t$ である。よって各 $\varphi_U$ は全単射であり、逆写像の族 $(\varphi_U^{-1})_U$ は制限と可換なので層の射である。$\square$

2 の局所的全射性は「各開集合上で全射」より弱く、ex-sheaf-counterexample-square がその差を示す。3 は前層では成り立たない：ex-sheaf-counterexample-constant の定数前層 $P$ から定数層 $A_X$ への射 $\theta$ は各茎で全単射だが、$P(U)=A\ne A\times A=A_X(U)$ となる開集合 $U$ があるので同型でない。

核・像・商

以下、アーベル群の層を考える。層の射 $\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ に対し、開集合ごとに核・像・余核をとった前層
$$ U\mapsto\ker\varphi_U,\qquad U\mapsto\operatorname{im}\varphi_U,\qquad U\mapsto\operatorname{coker}\varphi_U=\mathcal{G}(U)/\varphi_U(\mathcal{F}(U)) $$
を、それぞれ核前層・像前層・余核前層という。

核は層、像と余核は層化が要る

$\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ をアーベル群の層の射とする。

核前層 $\ker\varphi$ は層であり、その茎は $(\ker\varphi)_x=\ker(\varphi_x)$ である。
像前層は分離前層であるが、一般に層ではない。
余核前層は一般に分離前層ですらない。

1：$(\ker\varphi)(U)=\ker\varphi_U$ は $\mathcal{F}(U)$ の部分群であり、$s\in\ker\varphi_U$ なら $\varphi_V(s|_V)=\varphi_U(s)|_V=0$ なので制限で閉じ、部分前層である。局所性は $\mathcal{F}$ から遺伝する。貼り合わせ：開被覆 $U=\bigcup U_i$ と重なりで一致する $s_i\in\ker\varphi_{U_i}$ を $\mathcal{F}$ で貼り合わせて $s\in\mathcal{F}(U)$ を得ると、$\varphi_U(s)|_{U_i}=\varphi_{U_i}(s_i)=0$ なので $\mathcal{G}$ の局所性により $\varphi_U(s)=0$、すなわち $s\in\ker\varphi_U$ である。茎について、有向集合上の帰納極限はアーベル群の圏で完全関手なので（Wei94 2.6.15）、$0\to\ker\varphi_U\to\mathcal{F}(U)\to\mathcal{G}(U)$ の極限 $0\to(\ker\varphi)_x\to\mathcal{F}_x\to\mathcal{G}_x$ は完全、すなわち $(\ker\varphi)_x=\ker\varphi_x$ である。
2：像前層は層 $\mathcal{G}$ の部分前層なので局所性を満たす。層でない例は ex-sheaf-counterexample-square の $\varphi\colon\mathcal{O}^*\to\mathcal{O}^*$、$g\mapsto g^2$（$X=\mathbb{C}\setminus\{0\}$）である。$z\in\mathcal{O}^*(X)$ は各点 $x$ を中心とする開円板 $D_x\subset X$ 上では像前層の切断（$z|_{D_x}$ は $D_x$ 上で平方根をもつ）であり、これらは $\mathcal{G}=\mathcal{O}^*$ の切断として重なりで一致するが、貼り合わせた $z$ は像前層の $X$ 上の切断ではない。
3：同じ例で（群は乗法的に書くが余核の単位元を $0$ と書く）、余核前層の $X$ 上の切断 $[z]\in\mathcal{O}^*(X)/\varphi_X(\mathcal{O}^*(X))$ は $0$ でないが、各 $D_x$ への制限 $[z|_{D_x}]$ は $0$ である。開被覆 $\{D_x\}_{x\in X}$ について $[z]$ と $0$ の制限がすべて一致するのに $[z]\ne0$ なので、局所性が破れる。$\square$

層の像・余核と商層

$\varphi\colon\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ をアーベル群の層の射とする。像前層の層化を $\varphi$ の像（image）$\operatorname{im}\varphi$、余核前層の層化を余核 $\operatorname{coker}\varphi$ という。部分層 $\mathcal{F}'\subset\mathcal{F}$ に対し、前層 $U\mapsto\mathcal{F}(U)/\mathcal{F}'(U)$ の層化を商層 $\mathcal{F}/\mathcal{F}'$ という。

像前層は $\mathcal{G}$ の分離部分前層なので、thm-sheaf-sheafification の構成により $\operatorname{im}\varphi$ は $\mathcal{G}$ の部分層 $U\mapsto\{t\in\mathcal{G}(U)\mid t\text{ は局所的に }\varphi\text{ の像に入る}\}$ と同一視され、茎は $\operatorname{im}(\varphi_x)$ である。したがって $\varphi$ が全射（def-sheaf-morphism）であることと $\operatorname{im}\varphi=\mathcal{G}$ とは同値で、prop-sheaf-stalk-criterion の 2 はその言い換えである。層化が茎を変えないので $(\operatorname{coker}\varphi)_x=\operatorname{coker}(\varphi_x)$、$(\mathcal{F}/\mathcal{F}')_x=\mathcal{F}_x/\mathcal{F}'_x$ である。

アーベル群の層の圏はアーベル圏である

$X$ 上のアーベル群の層の圏 $\mathrm{Ab}(X)$ は、上の核・余核・像によりアーベル圏である。層の列 $\mathcal{F}'\xrightarrow{\varphi}\mathcal{F}\xrightarrow{\psi}\mathcal{F}''$ が完全（$\operatorname{im}\varphi=\ker\psi$）であることと、すべての $x\in X$ で茎の列 $\mathcal{F}'_x\to\mathcal{F}_x\to\mathcal{F}''_x$ が完全列であることとは同値である。とくに $0\to\mathcal{F}'\to\mathcal{F}\to\mathcal{F}''\to0$ が短完全列なら、任意の開集合 $U$ について $0\to\mathcal{F}'(U)\to\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}''(U)$ は完全だが、最後の写像は全射とは限らない。

アーベル圏であることの出典

証明は Har77 II §1（命題 1.1・1.2、演習 1.2・1.4–1.8）、Stacks Tag 006A の「Exactness properties」の節、Bre97 I §2 に譲る。要点は、核・余核・像が茎ごとに計算できる（prop-sheaf-kernel-image と層化が茎を変えること）ので、余像 $\mathcal{F}/\ker\varphi$ から像への標準射が各茎で同型になり、prop-sheaf-stalk-criterion により同型になることである。切断の列の左完全性は層コホモロジーの記事で証明されており、右端の全射性が破れる例が ex-sheaf-counterexample-square である。環 $\mathcal{O}_X$ 上の加群の層についても同様で、環付き空間・準連接層・連接層の記事で扱われる。

順像と逆像

$f\colon X\to Y$ を連続写像とする。

$X$ 上の前層 $\mathcal{F}$ に対し、$Y$ の開集合 $V$ に $\mathcal{F}(f^{-1}(V))$ を対応させる $Y$ 上の前層を $\mathcal{F}$ の順像（direct image、押し出し、順像層）といい $f_*\mathcal{F}$ と書く。
$Y$ 上の層 $\mathcal{G}$ に対し、$X$ の開集合 $U$ に帰納極限
$$ (f_p^{-1}\mathcal{G})(U):=\varinjlim_{V\supset f(U)}\mathcal{G}(V) $$
（$V$ は $f(U)$ を含む $Y$ の開集合を走り、逆向きの包含で有向集合とみる）を対応させる $X$ 上の前層 $f_p^{-1}\mathcal{G}$ の層化を $\mathcal{G}$ の逆像（inverse image、引き戻し、逆像層）といい、$f^{-1}\mathcal{G}:=(f_p^{-1}\mathcal{G})^+$ と書く。

開集合 $U\subset X$ の包含写像 $j\colon U\to X$ については $j^{-1}\mathcal{F}=\mathcal{F}|_U$ である（$U$ の開集合 $W$ に対し $(j_p^{-1}\mathcal{F})(W)=\varinjlim_{V\supset W}\mathcal{F}(V)=\mathcal{F}(W)$ で、これは既に層）。1 点空間 $\{x\}$ の包含 $i_x$ については $i_{x*}A$ が ex-sheaf-skyscraper の摩天楼層である。$f$ が定数写像 $X\to\{*\}$ のとき $f_p^{-1}\mathcal{G}$ は定数前層になるので（ex-sheaf-counterexample-constant）、前層 $f_p^{-1}\mathcal{G}$ は一般に層でなく、層化が要る。

順像は層、逆像の茎

$f\colon X\to Y$ を連続写像とする。

$X$ 上の層 $\mathcal{F}$ の順像 $f_*\mathcal{F}$ は $Y$ 上の層である。
$Y$ 上の層 $\mathcal{G}$ と $x\in X$ について、$(f^{-1}\mathcal{G})_x=\mathcal{G}_{f(x)}$ である。

1：$f$ が連続なので $f^{-1}(V)$ は開集合であり、$V'\subset V$ なら $f^{-1}(V')\subset f^{-1}(V)$ なので、$\mathcal{F}$ の制限写像により $f_*\mathcal{F}$ は前層である。$Y$ の開集合 $V$ の開被覆 $V=\bigcup V_i$ に対し、$f^{-1}(V)=\bigcup f^{-1}(V_i)$ は開被覆で $f^{-1}(V_i)\cap f^{-1}(V_j)=f^{-1}(V_i\cap V_j)$ だから、$f_*\mathcal{F}$ の $\{V_i\}$ に関する局所性と貼り合わせは、$\mathcal{F}$ の $\{f^{-1}(V_i)\}$ に関するそれにほかならず、成り立つ。
2：層化は茎を変えない（thm-sheaf-sheafification の 2）ので、前層 $f_p^{-1}\mathcal{G}$ の茎を計算すればよい。
$$ (f_p^{-1}\mathcal{G})_x=\varinjlim_{U\ni x}\ \varinjlim_{V\supset f(U)}\mathcal{G}(V) $$
の元は組 $(U,V,t)$（$x\in U$、$f(U)\subset V$、$t\in\mathcal{G}(V)$）で代表され、$(U,V,t)$ と $(U',V',t|_{V'})$（$U'\subset U$、$V'\subset V$）は同じ元を定める。$f(x)\in V$ なので $(U,V,t)\mapsto t_{f(x)}$ は写像 $\lambda\colon(f_p^{-1}\mathcal{G})_x\to\mathcal{G}_{f(x)}$ を矛盾なく定める。逆に $V\ni f(x)$ と $t\in\mathcal{G}(V)$ に対し $U:=f^{-1}(V)$ は $x$ の開近傍で $f(U)\subset V$ を満たすので、$t_{f(x)}\mapsto(f^{-1}(V),V,t)$ の類は写像 $\mu\colon\mathcal{G}_{f(x)}\to(f_p^{-1}\mathcal{G})_x$ を定める（$t_{f(x)}=t'_{f(x)}$ なら $f(x)$ の開近傍 $V''\subset V\cap V'$ で $t|_{V''}=t'|_{V''}$ となり、$(f^{-1}(V''),V'',t|_{V''})$ が共通の代表になる）。$\lambda\circ\mu=\mathrm{id}$ は明らかで、$\mu\circ\lambda$ は $(U,V,t)$ の類を $(f^{-1}(V),V,t)$ の類に送るが、$U\subset f^{-1}(V)$ なので両者は同じ元である。よって $\lambda$ は全単射である。$\square$

逆像と順像の随伴

$f\colon X\to Y$ を連続写像、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の層、$\mathcal{G}$ を $Y$ 上の層とする。$\mathcal{F}$、$\mathcal{G}$ について自然な全単射
$$ \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sh}(X)}(f^{-1}\mathcal{G},\mathcal{F})\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{Sh}(Y)}(\mathcal{G},f_*\mathcal{F}) $$
がある。すなわち $f^{-1}$ は $f_*$ の左随伴関手である。

随伴の証明の筋

完全な証明は環付き空間の記事（定理「引き戻しと押し出しの随伴」の証明の前半で、この全単射がそのまま構成されている）、Har77 II 演習 1.18、KS90 §2.3、Stacks Tag 006A の「Continuous maps and sheaves」の節に譲る。筋は、前層の射 $\mathcal{G}\to f_*\mathcal{F}$（写像の族 $\mathcal{G}(V)\to\mathcal{F}(f^{-1}(V))$）と前層の射 $f_p^{-1}\mathcal{G}\to\mathcal{F}$（帰納極限の普遍性により、$f(U)\subset V$ なる各対についての両立する写像の族 $\mathcal{G}(V)\to\mathcal{F}(U)$）とが、$U\subset f^{-1}(V)$ への制限と $U=f^{-1}(V)$ への特殊化で 1 対 1 に対応することを確かめ、層化の普遍性（thm-sheaf-sheafification の 3）で $\operatorname{Hom}_{\mathrm{PSh}(X)}(f_p^{-1}\mathcal{G},\mathcal{F})$ を $\operatorname{Hom}_{\mathrm{Sh}(X)}(f^{-1}\mathcal{G},\mathcal{F})$ に置き換えることである。
随伴の帰結として、$f^{-1}$ は余極限（余極限(圏論)）と、$f_*$ は極限（極限(圏論)）と可換であり、アーベル群の層に対しては prop-sheaf-direct-inverse-image の 2 と thm-sheaf-abelian により $f^{-1}$ は完全関手、$f_*$ は左完全関手である。$f_*$ の右導来関手が高次順像であり、層コホモロジーと Lerayスペクトル系列の記事で扱われる。環付き空間の記事は、この随伴を土台に $\mathcal{O}_X$ 加群の引き戻し $f^*$ と押し出し $f_*$ の随伴を証明している。

エタール空間との対応

層とエタール空間の対応

$X$ を位相空間とする。

$X$ 上の前層 $\mathcal{F}$ に対し、集合 $\operatorname{Et}(\mathcal{F}):=\coprod_{x\in X}\mathcal{F}_x$ に、$\{s_x\mid x\in U\}$（$U$ は開集合、$s\in\mathcal{F}(U)$）の形の集合全体を開基とする位相を入れると、射影 $\pi\colon\operatorname{Et}(\mathcal{F})\to X$、$s_x\mapsto x$ は局所同相写像である。$\operatorname{Et}(\mathcal{F})$ を $\mathcal{F}$ のエタール空間（espace étalé）という。
$\pi$ の連続な切断の層 $U\mapsto\{\sigma\colon U\to\operatorname{Et}(\mathcal{F})\mid\sigma\text{ は連続},\ \pi\circ\sigma=\mathrm{id}_U\}$ は $\mathcal{F}$ の層化 $\mathcal{F}^+$ と同型である。
$\mathcal{F}\mapsto\operatorname{Et}(\mathcal{F})$ と「局所同相写像 $E\to X$ にその連続切断の層を対応させる」対応は、$\mathrm{Sh}(X)$ と $X$ 上の局所同相写像のなす圏（射は $X$ 上の連続写像）との圏同値を与える。

エタール空間の出典

証明は God58 II §1、Bre97 I §1–§2、MLM92 II.5–II.6 に譲る。要点は、開基の元 $\{s_x\mid x\in U\}$ が $\pi$ により $U$ と同相に写ること、および $\pi$ の連続切断が「各点の近くで $x\mapsto s_x$ の形」の写像、すなわち thm-sheaf-sheafification の $\mathcal{F}^+(U)$ の元にほかならないことである。層は「各点の上に茎という離散的なファイバーをのせ、切断が連続に動くように貼った空間」と見ることができる。$\operatorname{Et}(\mathcal{F})$ は一般に Hausdorff空間でない。たとえば $\mathbb{R}$ 上の $\mathcal{C}^\infty$ 関数の層で、$x\le0$ で $0$、$x>0$ で $e^{-1/x}$ である関数と零関数は $0$ での芽が異なるが、$0$ のどの近傍でも負の側で一致するので 2 つの芽は分離できない。この観点は被覆空間（局所定数層に対応する局所同相写像）と局所系の理解に役立つ。

Grothendieck 位相上の層

Grothendieck 位相上の層への案内

def-sheaf の等化子による定式化は、開集合の包含という特別な射しか使っていない。圏 $\mathcal{C}$ の各対象 $U$ に「被覆族」$\{U_i\to U\}_{i\in I}$ を指定し、共通部分 $U_i\cap U_j$ をファイバー積 $U_i\times_UU_j$ で置き換えれば、前層 $\mathcal{F}\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ が層であることを「$\mathcal{F}(U)\to\prod_i\mathcal{F}(U_i)\rightrightarrows\prod_{i,j}\mathcal{F}(U_i\times_UU_j)$ が等化子である」と定義できる。被覆族の指定が Grothendieck位相、それを備えた圏が景（site）、景上の層の圏がトポスであり、$\mathcal{C}=\mathrm{Open}(X)$・被覆族＝開被覆とすれば本記事の層に戻る。スキームのエタール位相や fppf位相のように「開集合」が部分集合でない場合にも層・層化・コホモロジーが定義でき、エタールコホモロジーや結晶コホモロジーがそこから生じる。景上の層化は、整合する局所切断の族の類をとる「$+$ 構成」を 2 回繰り返して得られる（1 回目で分離前層、2 回目で層になる。MLM92 III.5）。ただし一般の景には十分な点がないことがあり、prop-sheaf-stalk-criterion のような茎による判定が使えない場合がある。