Schwarzの鏡像原理

段 1。$K\subset U$ を閉上半平面 $\{\operatorname{Im}z\ge0\}$ に含まれるコンパクトな凸多角形（頂点 $v_0,\dots,v_m$ を順に結んだ閉折れ線 $\partial K$ で囲まれたもの）とし、$\oint_{\partial K}F\,dz=0$ を示す。$K$ はコンパクトで $U$ は開集合なので、$\delta>0$ があって $K_\delta:=\{z\mid\operatorname{dist}(z,K)\le\delta\}$ は $U$ に含まれる。$0<\varepsilon\le\delta$ について平行移動 $K+i\varepsilon$ は $K_\delta$ に含まれ、虚部は $\varepsilon$ 以上なので、$K+i\varepsilon\subset U\setminus\mathbb{R}$ である。$K+i\varepsilon$ は凸なので三角形 $[v_0+i\varepsilon,\,v_j+i\varepsilon,\,v_{j+1}+i\varepsilon]$（$1\le j\le m-1$）に分けられ、各三角形は $F$ が正則な開集合 $U\setminus\mathbb{R}$ に含まれる。Cauchyの積分定理 の定理「Goursat の定理」によりそれぞれの周の積分は $0$ であり、内側の辺は逆向きに 2 回ずつ通るので打ち消し合う。よって

$$0=\oint_{\partial(K+i\varepsilon)}F(w)\,dw=\oint_{\partial K}F(z+i\varepsilon)\,dz$$

である。$F$ はコンパクト集合 $K_\delta$ の上で一様連続なので、$\varepsilon\to0$ のとき $F(z+i\varepsilon)\to F(z)$ が $\partial K$ の上で一様に成り立ち、$\partial K$ の長さは有限だから $\oint_{\partial K}F\,dz=\lim_{\varepsilon\to0}\oint_{\partial K}F(z+i\varepsilon)\,dz=0$ である。

段 2。閉下半平面に含まれる凸多角形についても、$K-i\varepsilon$ を使って同じく周の積分は $0$ である。

段 3。$\Delta\subset U$ を三角形（内部を含む）とする。$\Delta$ が閉上半平面または閉下半平面に含まれるなら、段 1・段 2 により $\oint_{\partial\Delta}F\,dz=0$ である。そうでないとき、$\Delta$ は虚部が正の点と負の点を含むので、凸性により $\Delta\cap\mathbb{R}$ は長さが正の線分 $[\alpha,\beta]$ であり、$K^\pm:=\Delta\cap\{\pm\operatorname{Im}z\ge0\}$ はどちらも凸多角形である。$\partial K^+$ と $\partial K^-$ は、$\partial\Delta$ の上側の部分と下側の部分に、線分 $[\alpha,\beta]$ を互いに逆向きに付け加えたものなので、

$$\oint_{\partial\Delta}F\,dz=\oint_{\partial K^+}F\,dz+\oint_{\partial K^-}F\,dz=0$$

である。以上で $U$ に含まれるすべての三角形について周の積分が $0$ になり、Morera の定理により $F$ は $U$ の上で正則である。$\square$

段 1。$z=x+iy$ と書くと、$\Omega^-$ の上で $V(x,y)=-v(x,-y)$ であり、$y\mapsto-y$ で 2 階の偏微分は変わらないので $\Delta V(x,y)=-(\Delta v)(x,-y)=0$ である。よって $V$ は $\Omega^-$ の上で調和である。また $x\in I$ に $\Omega^-$ の点 $z$ が近づくと $V(z)=-v(\bar z)\to-v(x)=0=V(x)$ なので、$V$ は $\Omega$ の上で連続で、すべての $z\in\Omega$ について $V(\bar z)=-V(z)$ を満たす。

段 2。$x_0\in I$ をとり、$\overline B(x_0,r)\subset\Omega$ となる $r>0$ をとる。単位円周 $S$ の上の連続関数 $g(\zeta):=V(x_0+r\zeta)$ に Dirichlet問題 の定理「Poisson積分による球のDirichlet問題の解」（$n=2$）を当て、$u(z):=P[g]\bigl((z-x_0)/r\bigr)$ とおく。平行移動と相似拡大は調和性を保つので、$u$ は $\overline B(x_0,r)$ の上で連続、$B(x_0,r)$ の上で調和で、円周の上で $u=V$ である。

段 3（$u$ は奇関数）。$x_0$ は実数なので $\overline{x_0+r\zeta}=x_0+r\bar\zeta$ であり、段 1 から $g(\bar\zeta)=-g(\zeta)$ である。Poisson 核は $P(\bar w,\bar\zeta)=\dfrac{1-\lvert w\rvert^2}{\lvert w-\zeta\rvert^2}=P(w,\zeta)$ を満たし、円周の弧長は $\zeta\mapsto\bar\zeta$ で保たれるので、$w\in B(0,1)$ について

$$P[g](\bar w)=\int_Sg(\zeta)P(\bar w,\zeta)\,d\sigma(\zeta)=\int_Sg(\bar\zeta)P(\bar w,\bar\zeta)\,d\sigma(\zeta)=-\int_Sg(\zeta)P(w,\zeta)\,d\sigma(\zeta)=-P[g](w)$$

である。よって $u(\bar z)=-u(z)$ であり、とくに実軸の上で $u=0$ である。

段 4。$B^+:=B(x_0,r)\cap\mathbb{H}^+$ は有界な開集合で、$h:=V-u$ は $B^+$ の上で調和、閉包の上で連続であり、$B^+$ の境界（上半分の円弧と直径）の上で $0$ である（円弧の上では $u=V$、直径の上では $u=0=V$）。調和関数 の定理「弱最大値原理」を $h$ と $-h$ に当てると $h=0$ である。$B(x_0,r)\cap\mathbb{H}^-$ の上でも同じ議論（または段 1・段 3 の奇関数性）により $V=u$ であり、直径の上ではどちらも $0$ である。よって $B(x_0,r)$ の上で $V=u$ は調和である。

以上により $V$ は $\Omega^+$、$\Omega^-$ と $I$ の各点の近くで調和であり、$\Omega$ の上で調和である。$\square$

$v:=\operatorname{Im}f$ を $I$ の上で $0$ と定めると、仮定により $v$ は $\Omega^+\cup I$ の上で連続である。thm-srp-harmonic により、その奇関数としての延長 $V$ は $\Omega$ の上で調和である。

$x\in I$ をとり、$B(x,r_x)\subset\Omega$ となる $r_x>0$ をとって $D_x:=B(x,r_x)$、$D_x^\pm:=D_x\cap\mathbb{H}^\pm$ とおく。調和関数 の命題「円板上の共役調和関数」により、$D_x$ の上の実数値調和関数 $W$ で $V+iW$ が正則になるものがある。$G:=i(V+iW)=-W+iV$ は $D_x$ の上で正則で $\operatorname{Im}G=V$ である。半円板 $D_x^+$ は連結で、その上で $G-f$ は虚部が $0$ の正則関数なので、正則関数 の命題「実数値の正則関数」により実の定数 $c$ である。$G_x:=G-c$ とおくと、$G_x$ は $D_x$ の上で正則、$D_x^+$ の上で $G_x=f$、$\operatorname{Im}G_x=V$ である。

次に $H(z):=\overline{G_x(\bar z)}$ は（$D_x$ は実軸に関して対称なので）lem-srp-conjugate により $D_x$ の上で正則で、$\operatorname{Im}H(z)=-V(\bar z)=V(z)$ である。よって $H-G_x$ は $D_x$ の上で実の定数である。$D_x\cap\mathbb{R}$ の上では $\operatorname{Im}G_x=V=0$ なので $G_x$ は実数値で $H=G_x$ となり、定数は $0$ である。したがって $D_x$ の上で $G_x(z)=\overline{G_x(\bar z)}$ であり、$z\in D_x^-$ では $\bar z\in D_x^+$ だから $G_x(z)=\overline{f(\bar z)}$ である。

$F$ を、$\Omega^+$ では $f$、$\Omega^-$ では $\overline{f(\bar z)}$、$x\in I$ では $G_x(x)$ と定める。$y\in D_x\cap\mathbb{R}$ について $G_y(y)$ と $G_x(y)$ はどちらも $z\to y$（$z\in\Omega^+$）のときの $f(z)$ の極限なので等しい。よって各 $D_x$ の上で $F=G_x$ であり、$F$ は $\Omega^+$、$\Omega^-$、各 $D_x$ の上で正則、したがって $\Omega$ の上で正則である。$F(\bar z)=\overline{F(z)}$ は $\Omega^\pm$ では定義から、$I$ の上では $F$ が実数値であることから従う。$\square$

段 1（$Z^*$ は閉集合）。$\iota(z):=1/\bar z$ は $\Omega$ からそれ自身への同相写像で、$\iota\circ\iota=\mathrm{id}$ である。$Z$ は $\Omega_{\mathrm{in}}$ の閉集合である。$Z$ の点列は $A$ の点に収束しない（$A$ の上では $\lvert f\rvert=1$ で $f$ は連続）し、$\lvert w\rvert>1$ の点にも収束しない。よって $Z$ は $\Omega$ の閉集合で、$Z^*=\iota(Z)$ も閉集合である。

段 2（$\Omega_{\mathrm{out}}$ の上の正則性）。$U:=\Omega_{\mathrm{in}}$ とすると、$z\in\Omega_{\mathrm{out}}$ のとき $1/z\in U^*$ で、lem-srp-conjugate の $f^*$ について $\overline{f(1/\bar z)}=f^*(1/z)$ である。これは正則関数の合成なので $\Omega_{\mathrm{out}}$ の上で正則で、$Z^*$ の外で $0$ にならないから、その逆数 $F$ は $\Omega_{\mathrm{out}}\setminus Z^*$ の上で正則である。

段 3（$A$ での連続性）。$\zeta\in A$ に $\Omega_{\mathrm{out}}$ の点 $z$ が近づくと $1/\bar z\to1/\bar\zeta=\zeta$ なので、$F(z)\to1/\overline{f(\zeta)}=f(\zeta)$ である（$\lvert f(\zeta)\rvert=1$ より $f(\zeta)\overline{f(\zeta)}=1$）。よって $F$ は開集合 $\Omega\setminus Z^*$ の上で連続である。

段 4（$A$ での正則性）。$\zeta_0=e^{i\theta_0}\in A$ とし、$E(s):=e^{is}$ とおく。$\lvert E(s)\rvert=e^{-\operatorname{Im}s}$、$E(\bar s)=1/\overline{E(s)}$ である。$E$ の連続性により、半径 $\rho>0$ を小さくとると $W:=B(\theta_0,\rho)$ について $E(W)\subset\Omega\setminus Z^*$ であり、$E$ は $W\cap\mathbb{H}^+$ を $\Omega_{\mathrm{in}}$ に、$W\cap\mathbb{R}$ を $A$ に、$W\cap\mathbb{H}^-$ を $\Omega_{\mathrm{out}}\setminus Z^*$ に移す。$G:=F\circ E$ は $W$ の上で連続、$W\setminus\mathbb{R}$ の上で正則（段 2 と $\Omega_{\mathrm{in}}$ での $f$ の正則性）なので、lem-srp-gluing により $W$ の上で正則である。$\zeta_0$ の近くでは $0$ を含まない円板 $B(\zeta_0,\tfrac12)$ の上の対数の分枝 $\log$ で $\log\zeta_0=i\theta_0$ となるものがあり（Cauchyの積分定理 の系「単連結領域上の原始関数と対数の分枝」）、$L(z):=-i\log z$ は $E(L(z))=z$、$L(\zeta_0)=\theta_0$ を満たす連続な正則関数である。$\zeta_0$ の近傍 $N:=L^{-1}(W)\cap B(\zeta_0,\tfrac12)$ の上で $F=G\circ L$ は正則関数の合成なので正則である。

段 5（極）。$z_0\ne0$ に注意する。$w_0:=1/\bar z_0$ の近くの $w\in\Omega_{\mathrm{out}}$ で、$\hat g(w):=\overline{g(1/\bar w)}$ は段 2 と同じ理由で正則かつ $\hat g(w_0)=\overline{g(z_0)}\ne0$ であり、

$$\overline{f(1/\bar w)}=\Bigl(\frac1w-\bar z_0\Bigr)^m\hat g(w)=\Bigl(\frac{-\bar z_0}{w}\Bigr)^m(w-w_0)^m\,\hat g(w)$$

である。よって $F(w)=\dfrac{(-w/\bar z_0)^m}{\hat g(w)}\,(w-w_0)^{-m}$ で、第 1 の因子は $w_0$ の近くで正則かつ $0$ にならないから、$F$ は $w_0$ に位数 $m$ の極をもつ。$\square$