Rieszの補題(ノルム空間)
概要
Rieszの補題(ノルム空間)（Riesz's lemma）とは、ノルム空間 $V$ の閉じた真部分空間 $U$ と $0<\theta<1$ に対して、長さ $1$ で $U$ のどの元からも距離 $\theta$ 以上離れたベクトルが存在するという補題である。これを繰り返すと、無限次元のノルム空間には互いの距離が $1/2$ 以上の単位ベクトルの無限列がとれ、閉単位球がコンパクトなノルム空間は有限次元に限ることが従う（F. Riesz の定理）。$U$ か $V$ が反射的な Banach 空間なら $\theta=1$ にできるが、一般にはできず、連続関数の空間の閉超平面に例がある。
前提知識: ノルム空間, Banach空間, Hahn–Banachの定理
Rieszの補題（Riesz's lemma）は、ノルム空間 $V$ の閉じた真部分空間 $U$ と $0<\theta<1$ に対して、長さ $1$ のベクトル $x$ で、$U$ のどの元からも距離 $\theta$ 以上離れたものがとれることを述べる。Hilbert 空間なら、$U$ に直交する単位ベクトル $x$ をとると $\|x-u\|^2=1+\|u\|^2$ なので $U$ からの距離はちょうど $1$ になるが、一般のノルム空間には直交の概念がない。Riesz の補題は、その代わりに「ほとんど直交する」単位ベクトルがいつもとれることを保証する。
この補題を繰り返し使うと、無限次元のノルム空間には、互いの距離が $1/2$ 以上の単位ベクトルの無限列がとれる。そこから、閉単位球がコンパクトなノルム空間は有限次元に限ることが従う（F. Riesz の定理）。有限次元で使えた「有界な列から収束する部分列をとる」議論が無限次元で使えないのはこのためであり、コンパクト作用素の固有空間が有限次元であることなど、関数解析の多くの議論の出発点になる。この記事では、補題と Riesz の定理を証明し、$\theta=1$ にできる場合（部分空間か全体が反射的な場合）とできない例を調べる。
Hilbert 空間の連続線形汎関数がある元との内積で表されるという Rieszの表現定理 を「Riesz の補題」と呼ぶ文献もある（Tes09 Theorem 1.8、p. 44）。この記事が扱うのはノルム空間の補題で、別の結果である。
主張
以下、$V$ は $\mathbb K=\mathbb R$ または $\mathbb C$ 上のノルム空間とする。$x\in V$ と部分集合 $U\subset V$ について $\operatorname{dist}(x,U):=\inf_{u\in U}\|x-u\|$ と書く。$V$ の閉単位球を $B_V:=\{x\in V\mid\|x\|\le1\}$、単位球面を $S_V:=\{x\in V\mid\|x\|=1\}$ とする。
$U\subsetneq V$ を閉集合である真の線形部分空間とし、$0<\theta<1$ とする。このとき、$\|x\|=1$ かつ $\operatorname{dist}(x,U)\ge\theta$ を満たす $x\in V$ が存在する。
$v\in V\setminus U$ を 1 つとり、$\delta:=\operatorname{dist}(v,U)$ とおく。$\delta=0$ なら $\|v-u_n\|\to0$ となる $u_n\in U$ があり、$U$ が閉なので $v\in U$ となって矛盾するから、$\delta>0$ である。$\delta/\theta>\delta$ なので、下限の定義から $\|v-u_0\|\le\delta/\theta$ となる $u_0\in U$ がとれる。$x:=(v-u_0)/\|v-u_0\|$ とおくと $\|x\|=1$ である。$u\in U$ について $u_0+\|v-u_0\|\,u\in U$ なので
$$
\|x-u\|=\frac{\bigl\|v-\bigl(u_0+\|v-u_0\|\,u\bigr)\bigr\|}{\|v-u_0\|}\ge\frac{\delta}{\|v-u_0\|}\ge\theta
$$
であり、$\operatorname{dist}(x,U)\ge\theta$ を得る。$\square$
$0\in U$ なので、単位ベクトル $x$ についていつも $\operatorname{dist}(x,U)\le\|x-0\|=1$ である。したがって $\theta$ は $1$ を超えられず、補題は「距離の上限 $1$ にいくらでも近い単位ベクトルがある」と言っている。上限 $1$ が実際にとれるかどうかは thm-rl-attained と ex-rl-no-attain で調べる。
証明で使ったのは、$U$ の外の点 $v$ に「ほぼ最も近い」点 $u_0$ をとって差を正規化することだけである。最も近い点 $u_0$（$\|v-u_0\|=\delta$）がとれれば同じ計算で $\theta=1$ となる。
商空間による言い換え
$U$ が閉部分空間なら、商空間 $V/U$ には $\|x+U\|:=\operatorname{dist}(x,U)$ によってノルムが入る（右辺は代表 $x$ のとり方によらない。斉次性と三角不等式は $U$ が線形部分空間であること（$c\ne0$ なら $cU=U$、$U+U\subset U$）と下限の性質から、$\operatorname{dist}(x,U)=0\Rightarrow x\in U$ は補題の証明の最初の段と同じく $U$ が閉であることから従う）。商写像 $q\colon V\to V/U$ は $\|q(x)\|\le\|x\|$ を満たすので $\|q\|\le1$ である。Riesz の補題は、$U\ne V$ なら $\|q\|=\sup_{\|x\|=1}\operatorname{dist}(x,U)=1$ であると言い換えられる。$\theta=1$ にできるかどうかは、この上限が実際にとれるか、すなわち $q$ が単位球面上でノルムを達成するかどうかである。
閉単位球のコンパクト性
補題を $\theta=1/2$ で繰り返し使うと、無限次元の空間に互いに離れた単位ベクトルの列が作れる。
$V$ が無限次元なら、$0<\theta<1$ について、単位ベクトルの列 $x_1,x_2,\dots$ で、$j\ne k$ なら $\|x_j-x_k\|\ge\theta$ となるものがある。
$x_1\in S_V$ を任意にとる。$x_1,\dots,x_n$ まで選んだとき、$U_n:=\operatorname{span}\{x_1,\dots,x_n\}$ は有限次元なので $V$ の閉集合であり（ノルム空間 の記事の系「有限次元ノルム空間の性質」の 4）、$V$ が無限次元なので $U_n\ne V$ である。lem-rl-main により $\|x_{n+1}\|=1$、$\operatorname{dist}(x_{n+1},U_n)\ge\theta$ となる $x_{n+1}$ がとれる。$j< k$ なら $x_j\in U_{k-1}$ なので $\|x_k-x_j\|\ge\operatorname{dist}(x_k,U_{k-1})\ge\theta$ である。$\square$
ノルム空間 $V$ について、次は同値である。
- $V$ は有限次元である。
- 閉単位球 $B_V$ はコンパクトである。
- 単位球面 $S_V$ はコンパクトである。
- $V$ は局所コンパクトである（各点がコンパクトな近傍をもつ）。
1 ⇒ 2：$B_V$ は有界閉集合なので、ノルム空間 の記事の系「有限次元ノルム空間の性質」の 3 によりコンパクトである。
2 ⇒ 3：$S_V$ はノルムという連続関数による閉集合 $\{1\}$ の逆像なので、コンパクトな $B_V$ の閉部分集合であり、コンパクトである。
3 ⇒ 1：対偶を示す。$V$ が無限次元なら、prop-rl-separated を $\theta=1/2$ で使って得た列 $(x_j)$ は $S_V$ に含まれ、$j\ne k$ で $\|x_j-x_k\|\ge1/2$ を満たす。このような列のどの部分列も Cauchy 列でないので、収束する部分列をもたない。距離空間がコンパクトならすべての点列が収束する部分列をもつ（点列コンパクト の記事の定理「距離空間における同値性」）ので、$S_V$ はコンパクトでない。
2 ⇒ 4：点 $x$ の近傍 $x+B_V$ は、連続写像 $y\mapsto x+y$ による $B_V$ の像なのでコンパクトである。
4 ⇒ 2：$0$ のコンパクトな近傍 $K$ をとる。$K$ はある開球 $\{\|y\|< 2\varepsilon\}$（$\varepsilon>0$）を含むので、閉球 $\varepsilon B_V$ を含む。$\varepsilon B_V$ はコンパクト集合 $K$ の閉部分集合なのでコンパクトであり、$B_V$ はその $1/\varepsilon$ 倍、すなわち連続写像の像なのでコンパクトである。$\square$
補題とその証明、および 2 ⇒ 1 は Bre11 Lemma 6.1 と Theorem 6.5（p. 160）にある。同じ頁の Remark 3 は、$U$ が有限次元（より一般に反射的）なら $\theta=1$ にできること、一般にはできないことを注意している（下の thm-rl-attained と ex-rl-no-attain）。
この定理から、無限次元のノルム空間ではコンパクト集合は内点をもたない。コンパクト集合 $K$ が球 $x+\varepsilon B_V$ を含めば、4 ⇒ 2 の証明と同じく $B_V$ がコンパクトになってしまうからである。とくに無限次元の Banach 空間では、有界閉集合とコンパクト集合が一致しない。閉球 の記事で扱う $\ell^2$ の標準基底 $e_n$ は、$\|e_j-e_k\|_2=\sqrt2$ を満たす具体的な列である。
数列の空間（ノルム空間 の記事の例「数列の空間」）の単位ベクトル $e_n=(0,\dots,0,1,0,\dots)$（第 $n$ 成分だけが $1$）について、$j\ne k$ なら
$$
\|e_j-e_k\|_p=2^{1/p}\quad(1\le p<\infty),\qquad\|e_j-e_k\|_\infty=1
$$
である。$\ell^p$（$1\le p<\infty$）と $c_0$ のどれでも、$(e_n)$ は閉単位球の中の収束する部分列をもたない列である。$c_0$ では距離はちょうど $1$ で、prop-rl-separated の $\theta<1$ を $\theta=1$ にした列になっている。
定数 1 がとれる場合ととれない場合
$\theta=1$ にできるかどうかは、$U$ の上で $0$ になる汎関数がノルムを達成するかどうかで判定できる。
$U\subsetneq V$ を閉部分空間とする。次は同値である。
- $\|x\|=1$ かつ $\operatorname{dist}(x,U)=1$ となる $x\in V$ がある。
- $f\in V^*$ で、$\|f\|=1$、$U$ の上で $f=0$ であり、ある $x\in S_V$ で $|f(x)|=1$ となるものがある。
1 ⇒ 2：Hahn–Banachの定理 の記事の系「閉部分空間の外の点を検出する汎関数」を $x_0=x$、$d=\operatorname{dist}(x,U)=1$ で使うと、$U$ の上で $0$ で、$\|f\|=1$、$f(x)=1$ となる $f\in V^*$ が得られる。
2 ⇒ 1：$c:=\overline{f(x)}$ とおくと $|c|=1$ であり、$x':=cx$ は $\|x'\|=1$、$f(x')=|f(x)|^2=1$ を満たす。$u\in U$ について $1=f(x')=f(x'-u)\le\|f\|\,\|x'-u\|=\|x'-u\|$ なので $\operatorname{dist}(x',U)\ge1$ であり、上の注意から $\operatorname{dist}(x',U)=1$ である。$\square$
$U$ が閉超平面（$0$ でない $f\in V^*$ の核）のときは、距離が $f$ で書ける。
$f\in V^*$、$f\ne0$、$H:=\ker f$ とする。すべての $x\in V$ について $\operatorname{dist}(x,H)=|f(x)|/\|f\|$ である。とくに、$\|x\|=1$ かつ $\operatorname{dist}(x,H)=1$ となる $x$ があることは、$f$ が単位球面上でノルムを達成する（$|f(x)|=\|f\|$ となる $x\in S_V$ がある）ことと同値である。
$y\in H$ について $|f(x)|=|f(x-y)|\le\|f\|\,\|x-y\|$ なので、$\operatorname{dist}(x,H)\ge|f(x)|/\|f\|$ である。逆に $f(z)\ne0$ となる $z$ をとり、$y:=x-\frac{f(x)}{f(z)}z$ とおくと $f(y)=0$ なので $y\in H$ であり、$\|x-y\|=|f(x)|\,\|z\|/|f(z)|$ である。$\|f\|=\sup_{z\ne0}|f(z)|/\|z\|$ で、$f(z)=0$ の $z$ はこの上限に寄与しないから、$f(z)\ne0$ の $z$ にわたる $\|z\|/|f(z)|$ の下限は $1/\|f\|$ である。よって $\operatorname{dist}(x,H)\le|f(x)|/\|f\|$ である。後半は、$\|x\|=1$ のとき $\operatorname{dist}(x,H)=1$ が $|f(x)|=\|f\|$ と同値であることによる。$\square$
$U\subsetneq V$ を閉部分空間とする。次のどちらかが成り立てば、$\|x\|=1$ かつ $\operatorname{dist}(x,U)=1$ となる $x\in V$ がある。
- $U$（$V$ のノルムを制限したもの）が反射的な Banach 空間である。とくに $U$ が有限次元である。
- $V$ が反射的な Banach 空間である。
要点：1 では $U$ の外の点 $v$ に最も近い $U$ の点 $u_0$ が存在することを示し、lem-rl-main の証明を $\theta=1$ で繰り返す。2 では、$U$ の上で $0$ になるノルム $1$ の汎関数がノルムを達成することから prop-rl-functional を使う。
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1。 $v\in V\setminus U$ をとり、$\delta:=\operatorname{dist}(v,U)>0$ とし、$\|v-u_n\|\to\delta$ となる $u_n\in U$ をとる。$\|u_n\|\le\|v\|+\|v-u_n\|$ なので $(u_n)$ は有界であり、反射的Banach空間 の記事の定理「有界列の弱収束部分列」により、部分列（同じ記号で書く）が $U$ の弱位相である $u_0\in U$ に収束する。$g\in V^*$ の $U$ への制限は $U$ の連続線形汎関数なので、$g(u_n)\to g(u_0)$ である。$v\ne u_0$ なので、連続双対空間 の記事の定理「点でノルムを実現する汎関数」により $\|g\|=1$、$g(v-u_0)=\|v-u_0\|$ となる $g\in V^*$ がある。すると $$\|v-u_0\|=g(v-u_0)=\lim_n g(v-u_n)\le\lim_n\|v-u_n\|=\delta$$ である（$|g(v-u_n)|\le\|v-u_n\|$）。$u_0\in U$ なので $\|v-u_0\|=\delta$ である。$x:=(v-u_0)/\delta$ とおくと、$u\in U$ について $u_0+\delta u\in U$ なので $\|x-u\|=\|v-(u_0+\delta u)\|/\delta\ge1$ であり、$\operatorname{dist}(x,U)=1$ である。有限次元のノルム空間は完備で（ノルム空間 の記事の系「有限次元ノルム空間の性質」の 1）、反射的である（反射的Banach空間 の記事の例「有限次元のノルム空間」）。
2。 $v\in V\setminus U$ をとり、Hahn–Banachの定理 の記事の系「閉部分空間の外の点を検出する汎関数」で、$U$ の上で $0$ で $\|f\|=1$ となる $f\in V^*$ をとる。反射的Banach空間 の記事の命題「反射的なら汎関数はノルムを達成する」により、$\|x\|\le1$ かつ $|f(x)|=1$ となる $x$ がある。$1=|f(x)|\le\|x\|$ なので $\|x\|=1$ であり、prop-rl-functional の 2 ⇒ 1 から結論を得る。$\square$
Hilbert 空間は反射的なので（反射的Banach空間 の記事の命題「Hilbert 空間は反射的」）、2 により Hilbert 空間ではいつも $\theta=1$ にできる。2 の逆向きについては次が言える。
$V$ を Banach 空間とする。次は同値である。
- $V$ は反射的である。
- $V$ のすべての閉超平面 $H$ について、$\|x\|=1$ かつ $\operatorname{dist}(x,H)=1$ となる $x$ がある。
1 ⇒ 2 は thm-rl-attained の 2 である。2 を仮定すると、prop-rl-hyperplane により、$0$ でないすべての $f\in V^*$ が単位球面上でノルムを達成する。すべての連続線形汎関数がノルムを達成する Banach 空間は反射的である（R. C. James の定理。Bre11 Remark 3、p. 4。この記事では証明しない）。$\square$
2 ⇒ 1 は James の定理に依存している。反射的でない空間では、ノルムを達成しない汎関数の核が、$\theta=1$ にできない閉部分空間の具体例になる。
$V:=\{u\in C([0,1])\mid u(0)=0\}$ に上限ノルム $\|u\|=\max_t|u(t)|$ を入れ（関数は実数値）、$f(u):=\int_0^1u(t)\,dt$、$U:=\ker f$ とおく。$V$ は $C([0,1])$ の閉部分空間なので Banach 空間であり、$U$ は閉超平面である。このとき、どの単位ベクトル $u\in V$ についても $\operatorname{dist}(u,U)< 1$ である（Bre11 Exercise 1.17 の 3、p. 24）。
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$|f(u)|\le\|u\|$ なので $\|f\|\le1$ である。$u_n(t):=\min(nt,1)$ は $V$ に属し、$\|u_n\|=1$、$f(u_n)=1-\frac1{2n}$ なので $\|f\|=1$ である。$\|u\|=1$ で $|f(u)|=1$ となる $u\in V$ があるとすると、必要なら $-u$ に替えて $f(u)=1$ としてよく、$\int_0^1(1-u(t))\,dt=0$ で $1-u\ge0$ は連続なので $u\equiv1$ となり、$u(0)=0$ に反する。したがって $f$ はノルムを達成せず、prop-rl-hyperplane により単位ベクトル $u$ について $\operatorname{dist}(u,U)=|f(u)|< 1$ である。thm-rl-attained の 1 から、$U$ は反射的でもない。
$V=C([0,1])$（実数値、上限ノルム）、$U$ を定数関数の全体とする。$U$ は 1 次元なので thm-rl-attained の 1 が当てはまる。具体的に $v(t)=t$ をとると、定数 $c$ について $\|v-c\|=\max(|c|,|1-c|)\ge\frac12$ で、等号は $c=\frac12$ のときだけである。よって $\operatorname{dist}(v,U)=\frac12$ で、最も近い点は $u_0=\frac12$ である。$x:=(v-u_0)/\frac12=2t-1$ は $\|x\|=1$ を満たし、定数 $c$ について $\|x-c\|=\max(|1+c|,|1-c|)=1+|c|\ge1$ なので $\operatorname{dist}(x,U)=1$ である。
$V=c_0$（実数列、上限ノルム）とし、$f(x):=\sum_{k\ge1}2^{-k}x_k$ とおく。$|f(x)|\le\sum_k2^{-k}\|x\|_\infty=\|x\|_\infty$ で、$x=(1,\dots,1,0,0,\dots)$（$1$ が $n$ 個）について $f(x)=1-2^{-n}$ なので $\|f\|=1$ である。$\|x\|_\infty=1$ で $|f(x)|=1$ なら、必要なら $-x$ に替えて $\sum_k2^{-k}(1-x_k)=0$、各項は $0$ 以上なので $x_k=1$ がすべての $k$ で成り立ち、$x_k\to0$ に反する。したがって $f$ はノルムを達成せず、prop-rl-hyperplane により $H=\ker f$ について、どの単位ベクトル $x\in c_0$ でも $\operatorname{dist}(x,H)< 1$ である。$c_0$ が反射的でないことと整合している。
この 2 つの反例では、$U$ の外の点 $v$ に最も近い $U$ の点も存在しない。最も近い点 $u_0$ があれば thm-rl-attained の証明の最後の段で $\theta=1$ の単位ベクトルが作れてしまうからである。
コンパクト作用素への応用
コンパクト作用素（$T(B_E)$ の閉包がコンパクトな有界線形作用素 $T\colon E\to E$）の理論では、Riesz の補題とその帰結がくり返し使われる。
$E$ を Banach 空間、$T\colon E\to E$ をコンパクト作用素、$\lambda\in\mathbb K$、$\lambda\ne0$ とする。$N:=\ker(\lambda I-T)$ は有限次元である。
$N$ は有界作用素の核なので閉部分空間である。$x\in N$ なら $x=\lambda^{-1}Tx$ なので $B_N:=B_E\cap N\subset\lambda^{-1}T(B_E)$ である。右辺の閉包はコンパクトで、$B_N$ はその閉部分集合なのでコンパクトである。$B_N$ はノルム空間 $N$ の閉単位球なので、thm-rl-compact の 2 ⇒ 1 により $N$ は有限次元である。$\square$
$\lambda I-T$ が単射なら全射であること、$0$ でない固有値が $0$ にしか集積しないことの証明では、閉部分空間の真の減少列や増大列に lem-rl-main を $\theta=1/2$ で当てて、各段の部分空間から距離 $1/2$ 以上離れた単位ベクトルの列を作り、その像の列が収束する部分列をもたないことから矛盾を導く（Bre11 Theorem 6.6 の (c) の証明、p. 161、Lemma 6.2 の証明、p. 164。この記事では証明しない）。詳しくは コンパクト作用素・Riesz–Schauder理論・Fredholm作用素 の記事にある。
条件を外した反例
lem-rl-main の条件を 1 つずつ外すと、結論が成り立たなくなる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $U$ が閉 | $V=c_0$、$U=c_{00}$（有限個の項以外が $0$ の数列） | 単位ベクトルが $U$ から正の距離をもつ |
| $U\ne V$ | $U=V$ | 単位ベクトルが $U$ から正の距離をもつ |
| $\theta< 1$ | ex-rl-no-attain の $V$ と $U$、$\theta=1$ | 距離 $\theta$ 以上の単位ベクトルの存在 |
各行は左の列の条件だけを破っている。
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1 行目：$c_{00}\ne c_0$ は真の部分空間だが閉でない。$x\in c_0$ について $x^{(n)}:=(x_1,\dots,x_n,0,0,\dots)\in c_{00}$ は $\|x-x^{(n)}\|_\infty=\sup_{k>n}|x_k|\to0$ を満たすので、すべての $x$ で $\operatorname{dist}(x,c_{00})=0$ である。$0<\theta<1$ のどれについても結論は成り立たない。
2 行目：$U=V$ は閉部分空間で、すべての $x$ で $\operatorname{dist}(x,U)=0$ である。
3 行目：$U$ は閉な真部分空間で、$\theta=1$ とすると単位ベクトル $u$ で $\operatorname{dist}(u,U)\ge1$ となるものはない（ex-rl-no-attain）。$1<\theta$ の場合は、どの $V$、$U$ でも $\operatorname{dist}(x,U)\le\|x-0\|=1$ なので結論は成り立たない。
関連項目
- 前提: ノルム空間, Banach空間, Hahn–Banachの定理
- 比較: Rieszの表現定理, 閉球, 反射的Banach空間
- 道具: 連続双対空間, コンパクト空間
- 応用: コンパクト作用素, Riesz–Schauder理論, Fredholm作用素
参考文献
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