順像(層)

1：$Z$ の開集合 $W$ について $(g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W))$ なので、$((g\circ f)_*\mathcal{F})(W)=\mathcal{F}(f^{-1}(g^{-1}(W)))=(g_*f_*\mathcal{F})(W)$ であり、制限写像もどちらも $\mathcal{F}$ の制限写像である。射についても同じである。恒等写像については $\mathrm{id}^{-1}(U)=U$ である。
2：$f^{-1}(Y)=X$ である。1 点空間の開集合は $\emptyset$ と $\{*\}$ だけで、$(f_*\mathcal{F})(\{*\})=\mathcal{F}(X)$ である。
3：$V$ に含まれる開集合 $V'$ について $f_V^{-1}(V')=f^{-1}(V')$ である。$\square$

$x\in f^{-1}(V)$ なので $s_x$ は意味をもつ。$s\in\mathcal{F}(f^{-1}(V))$、$t\in\mathcal{F}(f^{-1}(V'))$ が $y$ で同じ芽をもつとすると、$y$ の開近傍 $V''\subset V\cap V'$ で $s|_{f^{-1}(V'')}=t|_{f^{-1}(V'')}$ となるものがある。$f^{-1}(V'')$ は $x$ の開近傍なので $s_x=t_x$ である。準同型であることは、芽をとる写像が準同型であることから従う。
$f=j$ が開集合 $U$ の包含のとき、$x$ の開近傍 $W\subset U$ は $X$ の開集合で $j^{-1}(W)=W$ を満たす。$x$ の $X$ での開近傍 $V$ について $j^{-1}(V)=V\cap U$ であり、$V\cap U$ の形の集合の中で $W\subset U$ なる開近傍は共終なので、帰納極限は一致し、$\theta_x$ は同型である。$\square$

まず前層の段階で、$X$ 上の前層 $\mathcal{F}$ と $Y$ 上の前層 $\mathcal{G}$ について全単射
$$ \operatorname{Hom}_{\mathrm{PSh}(X)}(f_p^{-1}\mathcal{G},\mathcal{F})\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{PSh}(Y)}(\mathcal{G},f_*\mathcal{F}) $$
を作る。
（右から左）前層の射 $\psi\colon\mathcal{G}\to f_*\mathcal{F}$、すなわち制限と可換な写像の族 $\psi_V\colon\mathcal{G}(V)\to\mathcal{F}(f^{-1}(V))$ をとる。$f(U)\subset V$ なら $U\subset f^{-1}(V)$ なので、
$$ \Phi(\psi)_U([V,t]):=\psi_V(t)|_U $$
とおける。これは帰納系の遷移と両立する。実際、$f(U)\subset V'\subset V$ のとき $\psi_{V'}(t|_{V'})|_U=(\psi_V(t)|_{f^{-1}(V')})|_U=\psi_V(t)|_U$ である。よって $\Phi(\psi)_U$ は帰納極限からの写像として矛盾なく定まる。$U'\subset U$ について $\Phi(\psi)_{U'}([V,t])=\psi_V(t)|_{U'}=(\psi_V(t)|_U)|_{U'}$ なので、$\Phi(\psi)$ は前層の射である。
（左から右）前層の射 $\chi\colon f_p^{-1}\mathcal{G}\to\mathcal{F}$ に対し、$f(f^{-1}(V))\subset V$ に注意して
$$ \Psi(\chi)_V(t):=\chi_{f^{-1}(V)}([V,t])\in\mathcal{F}(f^{-1}(V)) $$
とおく。$V'\subset V$ のとき、$f_p^{-1}\mathcal{G}$ の $f^{-1}(V)$ から $f^{-1}(V')$ への制限は $[V,t]\mapsto[V,t]$ であり、$f^{-1}(V')$ についての帰納系では $V$ と $V'$ がともに $f(f^{-1}(V'))$ を含むので $[V,t]=[V',t|_{V'}]$ である。よって
$$ \Psi(\chi)_V(t)|_{f^{-1}(V')}=\chi_{f^{-1}(V')}([V,t])=\chi_{f^{-1}(V')}([V',t|_{V'}])=\Psi(\chi)_{V'}(t|_{V'}) $$
であり、$\Psi(\chi)$ は前層の射 $\mathcal{G}\to f_*\mathcal{F}$ である。
（互いに逆）$\Psi(\Phi(\psi))_V(t)=\Phi(\psi)_{f^{-1}(V)}([V,t])=\psi_V(t)|_{f^{-1}(V)}=\psi_V(t)$ である。また $f(U)\subset V$ なら $U\subset f^{-1}(V)$ で、$f^{-1}(V)$ から $U$ への制限は $[V,t]\mapsto[V,t]$ なので、
$$ \Phi(\Psi(\chi))_U([V,t])=\chi_{f^{-1}(V)}([V,t])|_U=\chi_U([V,t]) $$
である。
（自然性）層の射 $\alpha\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}'$ について $\Phi(f_*\alpha\circ\psi)_U([V,t])=\alpha_{f^{-1}(V)}(\psi_V(t))|_U=\alpha_U(\psi_V(t)|_U)=(\alpha\circ\Phi(\psi))_U([V,t])$ である。$\beta\colon\mathcal{G}'\to\mathcal{G}$ についても、$f_p^{-1}\beta$ が $[V,t']\mapsto[V,\beta_V(t')]$ で与えられることから同様に $\Phi(\psi\circ\beta)=\Phi(\psi)\circ f_p^{-1}\beta$ が従う。アーベル群の前層では、$\Phi$、$\Psi$ はどちらも和を保つ。
最後に $\mathcal{F}$ が層のとき、層 の定理「層化の構成と普遍性」の 3 により、層化の射 $\tau\colon f_p^{-1}\mathcal{G}\to f^{-1}\mathcal{G}$ との合成は全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathrm{Sh}(X)}(f^{-1}\mathcal{G},\mathcal{F})\to\operatorname{Hom}_{\mathrm{PSh}(X)}(f_p^{-1}\mathcal{G},\mathcal{F})$ を与え、$\mathcal{F}$、$\mathcal{G}$ について自然である。前層の段階の全単射と合成すれば主張を得る。$\square$

thm-dimg-adjunction により $f_*$ は右随伴関手であり、右随伴は極限を保つ（極限(圏論) の命題「右随伴は極限を保存する」）。$\square$

$Y$ の開集合 $V$ をとり、$W:=f^{-1}(V)$ とおく。開集合への制限は茎を変えないので、$0\to\mathcal{F}'|_W\to\mathcal{F}|_W\to\mathcal{F}''|_W$ は $W$ 上の層の完全列である。層コホモロジー の命題「大域切断関手の左完全性」を $W$ 上で用いると、
$$ 0\to\mathcal{F}'(W)\to\mathcal{F}(W)\to\mathcal{F}''(W) $$
はアーベル群の完全列である。これは $0\to(f_*\mathcal{F}')(V)\to(f_*\mathcal{F})(V)\to(f_*\mathcal{F}'')(V)$ にほかならない。
したがって $f_*\mathcal{F}'\to f_*\mathcal{F}$ は各開集合上で単射、すなわち層の単射である。また、射 $f_*\mathcal{F}\to f_*\mathcal{F}''$ の核前層 $V\mapsto\ker\bigl((f_*\mathcal{F})(V)\to(f_*\mathcal{F}'')(V)\bigr)$ は層であり（層 の命題「核は層、像と余核は層化が要る」の 1）、上の完全性によりその値は $f_*\mathcal{F}'$ の像前層の値に一致する。像前層が既に層 $\ker$ に一致するので、層としての像も核に一致し、$f_*\mathcal{F}$ での完全性が成り立つ。$\square$