Greenberg近似定理

$F$ は Noether 環 $R$ 上有限型なので準コンパクト（準コンパクト）であり、有限個のアフィン開部分スキーム（アフィンスキーム）$U_1,\dots,U_t$ で覆われる。各 $U_j$ は $R$ 上有限型のアフィンスキームなので、$R$ が Noether 環であることから $U_j\cong\operatorname{Spec}R[x_1,\dots,x_{r_j}]/(f_{j1},\dots,f_{js_j})$ と書ける（Hilbertの基底定理）。組 $f_j=(f_{j1},\dots,f_{js_j})$ に thm-greenberg-approximation-main を適用して定数 $(c_j,d_j)$ をとり、$c:=\max_jc_j$、$d:=\max\{1,d_1,\dots,d_t\}$ とおく。
右辺が左辺に含まれることを示す。$\xi\in F(R/\mathfrak{m}^{cn+d})$ をとり、$\bar{\xi}\in F(R/\mathfrak{m}^n)$ をその像とする。$cn+d\ge1$ なので $R/\mathfrak{m}^{cn+d}$ は $0$ でない局所環であり、$\xi\colon\operatorname{Spec}R/\mathfrak{m}^{cn+d}\to F$ は閉点の像を含むアフィン開集合 $U_j$ に値をとる（局所環のスペクトルからの射は、閉点の像を含む任意の開集合の中に入る）。したがって $\xi$ は $f_j(\bar{x})=0$ をみたす $\bar{x}\in(R/\mathfrak{m}^{cn+d})^{r_j}$ で与えられる。各成分を $R$ に持ち上げて $x\in R^{r_j}$ をとると $f_j(x)\equiv0\pmod{\mathfrak{m}^{cn+d}}$ であり、$cn+d\ge c_jn+d_j$ だから thm-greenberg-approximation-main により $f_j(y)=0$、$y\equiv x\pmod{\mathfrak{m}^n}$ なる $y\in R^{r_j}$ がある。$y$ は点 $\eta\in U_j(R)\subset F(R)$ を定め、$\eta$ の $F(R/\mathfrak{m}^n)$ での像は $y\bmod\mathfrak{m}^n=x\bmod\mathfrak{m}^n$ の定める点、すなわち $\bar{\xi}$ である。
左辺が右辺に含まれることは、$F(R)\to F(R/\mathfrak{m}^n)$ が $F(R)\to F(R/\mathfrak{m}^{cn+d})\to F(R/\mathfrak{m}^n)$ と分解することから明らかである。次に $\hat{\xi}\in F(\hat{R})$ と $n\ge0$ を与える。$\hat{R}/\mathfrak{m}^{N}\hat{R}=R/\mathfrak{m}^{N}$（任意の $N$。完備化 の記事の命題「完備化の完全性と $\hat{A}\otimes_AM$」）なので、$\hat{\xi}$ の $F(R/\mathfrak{m}^{cn+d})$ における像 $\xi'$ が定まり、$\xi'$ の $F(R/\mathfrak{m}^n)$ における像は $\hat{\xi}$ の像に等しい。上で示した包含により $\xi'$ の像は $F(R)$ のある点 $\xi$ の像であり、これが求めるものである。$n=0$ のとき $R/\mathfrak{m}^0$ は零環で $F(R/\mathfrak{m}^0)$ は 1 点集合だから、等式は「$F(R)\ne\emptyset$ と $F(R/\mathfrak{m}^d)\ne\emptyset$ が同値」を意味し、$F(\hat{R})\ne\emptyset$ ならば $F(R/\mathfrak{m}^d)\ne\emptyset$、したがって $F(R)\ne\emptyset$ である。$\square$

$f$、$\hat{y}\in\hat{A}^r$（$f(\hat{y})=0$）、$n$ を与え、$f$ に対する写像 $\beta$ をとる。$A\to\hat{A}\to\hat{A}/\mathfrak{m}^{\beta(n)}\hat{A}\cong A/\mathfrak{m}^{\beta(n)}$ は全射なので（完備化 の記事の命題「完備化の完全性と $\hat{A}\otimes_AM$」）、$x\equiv\hat{y}\pmod{\mathfrak{m}^{\beta(n)}\hat{A}}$ をみたす $x\in A^r$ がとれる。多項式の値は法をとる操作と両立するので $f(x)\equiv f(\hat{y})=0\pmod{\mathfrak{m}^{\beta(n)}\hat{A}}$ であり、$f(x)\in A$ と $\mathfrak{m}^{\beta(n)}\hat{A}\cap A=\mathfrak{m}^{\beta(n)}$（同じ命題により $A\to\hat{A}/\mathfrak{m}^{\beta(n)}\hat{A}\cong A/\mathfrak{m}^{\beta(n)}$ は自然な全射なので、その核は $\mathfrak{m}^{\beta(n)}$）から $f(x)\equiv0\pmod{\mathfrak{m}^{\beta(n)}}$ となる。強近似性質により $f(y)=0$、$y\equiv x\pmod{\mathfrak{m}^n}$ なる $y\in A^r$ があり、$\beta(n)\ge n$ としてよいので $y\equiv x\equiv\hat{y}\pmod{\mathfrak{m}^n\hat{A}}$ である（$\beta(n)< n$ なら $\beta(n)$ を $n$ に取り替えても強近似性質の主張は保たれる）。$\square$

モニック多項式 $g\in A[t]$ と $\bar{g}\in k[t]$ の単根 $\alpha\in k$ を与える。完備局所環 $\hat{A}$ は Hensel 局所環なので（完備化 の記事の定理「Hensel の補題」）、$g(\hat{a})=0$ で剰余体 $\hat{A}/\mathfrak{m}\hat{A}=k$ における像が $\alpha$ となる $\hat{a}\in\hat{A}$ がある。近似性質を $f=g$、$r=s=1$、$n=1$ に適用すると、$g(a)=0$ かつ $a\equiv\hat{a}\pmod{\mathfrak{m}\hat{A}}$ なる $a\in A$ が得られ、$\bar{a}=\alpha$ である。よって $A$ は Hensel 局所環である。$\square$

$f$ を $A$ 上の多項式の組、$\beta$ を $f$ を $\hat{A}$ 上の組とみたときの強近似性質の写像とする。$x\in A^r$ が $f(x)\equiv0\pmod{\mathfrak{m}^{\beta(n)}}$ をみたすとすると、$\mathfrak{m}^{\beta(n)}\subset\mathfrak{m}^{\beta(n)}\hat{A}$ なので $x$ は $\hat{A}$ 上の $\mathfrak{m}^{\beta(n)}\hat{A}$ を法とする近似解であり、$\hat{A}$ の強近似性質から $f(\hat{y})=0$、$\hat{y}\equiv x\pmod{\mathfrak{m}^n\hat{A}}$ なる $\hat{y}\in\hat{A}^r$ がある。次に $A$ の近似性質から $f(y)=0$、$y\equiv\hat{y}\pmod{\mathfrak{m}^n\hat{A}}$ なる $y\in A^r$ がある。$y-x\in A^r$ の各成分は $\mathfrak{m}^n\hat{A}\cap A=\mathfrak{m}^n$ に属するので（完備化 の記事の命題「完備化の完全性と $\hat{A}\otimes_AM$」）$y\equiv x\pmod{\mathfrak{m}^n}$ である。$\square$

$e:=v(f'(x_0))$、$a:=v(f(x_0))$ とおく。$f(x_0)=0$ なら $y:=x_0$ が条件をみたす（$v(0)=\infty$）。以下 $f(x_0)\ne0$、すなわち $a$ は有限で $a>2e$ とし、$m:=a-e$ とおく。$m\ge e+1$ である。
存在。$g(z):=\pi^{-(m+e)}f(x_0+\pi^{m}z)\in K[z]$ とおく。Taylor 展開により
$$ g(z)=\sum_{j\ge0}f^{[j]}(x_0)\,\pi^{mj-m-e}\,z^{j} $$
であり、$j=0$ の係数 $u_0:=f(x_0)/\pi^{a}$ と $j=1$ の係数 $u_1:=f'(x_0)/\pi^{e}$ は $R$ の単元（単元）、$j\ge2$ の係数は $mj-m-e=m(j-1)-e\ge m-e=a-2e\ge1$ により $\mathfrak{m}$ に属する。よって $g\in R[z]$ で、$\bar{g}=\bar{u}_0+\bar{u}_1z\in k[z]$ は 1 次式であり、単根 $z_0:=-\bar{u}_0/\bar{u}_1\in k$ をもつ。
$g$ はモニックとは限らないので、Hensel 局所環の定義をそのまま使うために次の置き換えをする。$D:=\deg g$ とおく（$u_1\ne0$ より $D\ge1$）。$D=1$ なら $g=u_0+u_1z$ で $z:=-u_0/u_1\in R$ が $g$ の根である。$D\ge2$ のときは、反転多項式
$$ g^{*}(w):=w^{D}g(1/w)=u_0w^{D}+u_1w^{D-1}+\cdots+g_{D}\in R[w] $$
を考える（$g_j$ は $g$ の $z^j$ の係数）。$u_0^{-1}g^{*}$ はモニックであり、$\bar{g}_j=0$（$j\ge2$）なので $\overline{g^{*}}=\bar{u}_0w^{D}+\bar{u}_1w^{D-1}=w^{D-1}(\bar{u}_0w+\bar{u}_1)$ である。$w_0:=-\bar{u}_1/\bar{u}_0\in k$ は $0$ でないので $w^{D-1}$ の根ではなく、$\overline{g^{*}}$ の単根である。実際 $\overline{g^{*}}'(w_0)=(D-1)w_0^{D-2}(\bar{u}_0w_0+\bar{u}_1)+w_0^{D-1}\bar{u}_0=w_0^{D-1}\bar{u}_0\ne0$ である。$R$ は Hensel 局所環なので、$g^{*}(w)=0$ かつ $\bar{w}=w_0$ をみたす $w\in R$ がある。$\bar{w}\ne0$ より $w$ は単元で、$z:=w^{-1}\in R$ は $g(z)=w^{-D}g^{*}(w)=0$ をみたし、$\bar{z}=1/w_0=-\bar{u}_0/\bar{u}_1=z_0$ である。
どちらの場合も $g(z)=0$ なる $z\in R$ が得られた。$y:=x_0+\pi^{m}z$ とおくと $f(y)=\pi^{m+e}g(z)=0$ であり、$v(y-x_0)\ge m=a-e>e$ である。これで存在と評価が示された。
一意性。$y,y'\in R$ がともに $f$ の根で $v(y-x_0)>e$、$v(y'-x_0)>e$ をみたすとする。$f'$ の $x_0$ における Taylor 展開から $f'(y)=f'(x_0)+(y-x_0)h_1$（$h_1\in R$）で $v((y-x_0)h_1)>e=v(f'(x_0))$ だから $v(f'(y))=e$ である。また $f$ の $y$ における Taylor 展開から $0=f(y')-f(y)=(y'-y)f'(y)+(y'-y)^2h_2$（$h_2\in R$）なので、$y'\ne y$ なら $f'(y)=-(y'-y)h_2$ となり $v(f'(y))\ge v(y'-y)\ge\min\{v(y'-x_0),v(y-x_0)\}>e$ となって矛盾する。よって $y'=y$ である。$\square$

$f$ と $f'$ が $K[x]$ で互いに素なので、$K[x]$ における Bézout の等式（Euclid整域）$a_1f+b_1f'=1$（$a_1,b_1\in K[x]$）があり、係数の分母を払えば $a,b\in R[x]$、$0\ne\delta\in R$ で $af+bf'=\delta$ となるものが得られる。$x_0\in R$ が $v(f(x_0))\ge n+2e+1$ をみたすとする。$\delta=a(x_0)f(x_0)+b(x_0)f'(x_0)$ において $v(a(x_0)f(x_0))\ge 2e+1>e=v(\delta)$ なので $v(b(x_0)f'(x_0))=e$ でなければならず、$f'(x_0)\ne0$ かつ $v(f'(x_0))\le e$ である。したがって $v(f(x_0))\ge n+2e+1>2v(f'(x_0))$ となり、prop-greenberg-approximation-one-variable により $f(y)=0$ かつ $v(y-x_0)\ge v(f(x_0))-v(f'(x_0))\ge n+2e+1-e=n+e+1$ なる $y\in R$ がある。$\square$