エタールコホモロジーとfppfコホモロジーの比較定理

$V$ がエタールな $X$ スキームなら、定義により $(\varepsilon_*G)(V)=G(V)=\operatorname{Hom}_X(V,G)=G_{\mathrm{et}}(V)$ である。$i=0$ では両辺とも $G(X)$ である。$i=1$ については、景の射 $\varepsilon$ の Leray スペクトル系列
$$ E_2^{s,t}=H^s(X_{\mathrm{et}},R^t\varepsilon_*G)\Longrightarrow H^{s+t}(X_{\mathrm{fppf}},G) $$
の低次の完全列
$$ 0\to H^1(X_{\mathrm{et}},\varepsilon_*G)\to H^1(X_{\mathrm{fppf}},G)\to H^0(X_{\mathrm{et}},R^1\varepsilon_*G) $$
の左側が単射性を与える。これは下の補題1の $n=0$ の場合でもある。

(1)⇒(2)：$V$ の上の Leray スペクトル系列 $E_2^{s,t}=H^s(V,R^t\pi_*G)\Rightarrow H^{s+t}(\pi^{-1}V,G)$ を考える（高次順像は $V$ への制限と両立する）。(1) により $1\le t\le n$ の行は $0$ である。$s\le n+1$ とする。$E_r^{s,0}$ へ入る微分は $E_r^{s-r,r-1}$ から来るが、$r-1\le n$ なら源の行が $0$、$r-1>n$ なら $s-r<0$ なので源は $0$ である。$E_r^{s,0}$ から出る微分は $t<0$ の項へ行くので $0$ である。よって $E_\infty^{s,0}=E_2^{s,0}$ であり、辺準同型 $E_2^{s,0}\to H^s(\pi^{-1}V,G)$ は単射である。$s\le n$ なら、全次数 $s$ の他の項 $E_\infty^{s-t,t}$（$1\le t\le s$）はすべて $0$ なので、この辺準同型は同型である。
(2)⇒(1)：$R^i\pi_*G$ は前層 $V\mapsto H^i(\pi^{-1}V,G)$ の層化である。$1\le i\le n$ と $\xi\in H^i(\pi^{-1}V,G)$ をとると、(2) により $\xi$ はある $\eta\in H^i(V,\pi_*G)$ の像である。$\eta$ は $V$ の適当な被覆に制限すると $0$ になるので、$\xi$ も同じ被覆の上で $0$ になる。よって層化は $0$ である。

事実 (F1) により、$R^i\varepsilon_*G$ が $0$ であることはすべての幾何的点での茎が $0$ であることと同値である。茎は、前層 $U\mapsto H^i(U_{\mathrm{fppf}},G)$ の、$\bar x$ のエタール近傍をわたる帰納極限に等しく、再び (F1) によりそれは $H^i((X^{\mathrm{sh}}_{\bar x})_{\mathrm{fppf}},G)$ に等しい。

1. $Y,Y'\in\mathcal C$ とする。$Y\times_XY'$ は $X$ 上有限局所自由である。$X$ 上有限なので、その閉点はすべて $x$ の上にあり、閉ファイバーは $Y$ と $Y'$ の閉ファイバーの $k$ 上のテンソル積である。各閉ファイバーは、剰余体が $k$ の純非分離拡大であるような局所 Artin 環のスペクトルである。純非分離拡大 $K/k$、$K'/k$ について $K\otimes_kK'$ の各元は、十分高い $p$ 冪をとると $k\otimes1$ の元になるので、冪零元か単元である。したがって素イデアルはただ一つである（標数 $0$ なら $K=K'=k$）。よって閉ファイバーのテンソル積は $0$ でない環で、素イデアルがただ一つであり、$Y\times_XY'$ は閉点をただ一つもつ。したがって $Y\times_XY'\in\mathcal C$ である。
$Y''\to Y$ が有限局所自由で全射なら、$Y''\times_YY''$ は $Y''$ 上有限局所自由なので $X$ 上有限局所自由であり、全射性から空でない。また $Y\to X$ は分離的なので、$Y''\times_YY''$ は $Y''\times_XY''$ の閉部分スキームであり、閉点はただ一つである。帰納的に $j$ 重ファイバー積も $\mathcal C$ に属する。
2. $Y$ は Hensel 局所である。$Y$ の fppf 被覆は、事実 (F2) により準有限・平坦・有限表示なアフィン射からなる被覆で細分でき、その中に閉点 $y$ を像に含む $V\to Y$ がある。(F3) により $V=V_f\sqcup V_r$（$V_f$ は $Y$ 上有限、$V_r$ は閉ファイバーが空）と分かれ、$V_f$ は $y$ の上の点を含むので空でない。$V_f$ は有限・平坦・有限表示なので有限局所自由であり、(F3) により局所なスキームの有限個の直和である。$y$ の上の点を含む成分 $Y''$ をとる。$Y''$ は $V_f$ の開かつ閉な部分なので $Y$ 上有限局所自由であり、その像は開かつ閉で閉点 $y$ を含む。$Y$ は局所なので連結であり、$Y''\to Y$ は全射である。$Y''$ はただ一つの閉点をもち、$X$ 上有限局所自由なので $Y''\in\mathcal C$ であり、$Y''\to Y$ は $V\to Y$ を経由するので被覆を細分する。
3. $m\ge1$ について帰納法を使う。すべての $Y\in\mathcal C$ と $1\le q< m$ について $H^q(Y_{\mathrm{fppf}},G)=0$ と仮定し、$\xi\in H^m(Y_{\mathrm{fppf}},G)$ をとる。事実 (F4) の後半と 2 により、$\xi$ はある有限局所自由で全射な $Y''\to Y$（$Y''\in\mathcal C$）に制限すると $0$ になる。$Y''\to Y$ についての (F4) のスペクトル系列
$$ E_2^{p,q}=\check H^p(Y''/Y,\mathcal H^q(G))\Longrightarrow H^{p+q}(Y_{\mathrm{fppf}},G) $$
を見る。1 により $Y''$ の $Y$ 上の各ファイバー積は $\mathcal C$ に属するので、帰納法の仮定から $1\le q< m$ の行は $0$ である。仮定から $E_2^{p,0}=\check H^p(Y''/Y,G)=0$（$p\ge1$）である。したがって全次数 $m$ で残りうる項は $E_\infty^{0,m}$ だけであり、辺準同型
$$ H^m(Y_{\mathrm{fppf}},G)\longrightarrow E_\infty^{0,m}\subset E_2^{0,m}\subset H^m(Y''_{\mathrm{fppf}},G) $$
は単射である。この合成は制限写像なので、$\xi$ の像が $0$ であることから $\xi=0$ を得る。

仮定により、余鎖複体の完全列
$$ 0\to\check C^\bullet(X'/X,\mathcal N)\to\check C^\bullet(X'/X,G)\to\check C^\bullet(X'_0/X_0,G)\to0 $$
がある。その長完全列
$$ \cdots\to\check H^{i-1}(X'/X,G)\xrightarrow{\alpha_{i-1}}\check H^{i-1}(X'_0/X_0,G)\to\check H^i(X'/X,\mathcal N)\to\check H^i(X'/X,G)\xrightarrow{\alpha_i}\check H^i(X'_0/X_0,G)\to\cdots $$
から、$\check H^i(X'/X,\mathcal N)=0$ は「$\alpha_{i-1}$ が全射かつ $\alpha_i$ が単射」と同値である。

事実 (F3) により $B=\prod_mB_m$（$B_m$ は Hensel 局所環）であり、$B_m$ は $A$ 上有限なので $\mathfrak aB_m\subset\mathfrak m_{B_m}$ である。因子ごとに示せばよいので、$C:=B_m$、$J:=\mathfrak aC$ と書く。
$g_0\colon\operatorname{Spec}(C/J)\to P$ をとる。$C/J$ は局所環なので、閉点の像 $v$ のアフィン開近傍 $V$ は $g_0$ の像全体を含む（逆像は閉点を含む開集合だからである）。(F6) により、$V$ を小さくして、$\operatorname{Spec}A$ 上の $\mathbb A^d_A$ へのエタールな射 $\varphi\colon V\to\mathbb A^d_A$ があるとしてよい。$\varphi\circ g_0\in(C/J)^d$ を $a\in C^d$ に持ち上げ、$Q:=V\times_{\mathbb A^d_A,a}\operatorname{Spec}C$ とおく。$Q\to\operatorname{Spec}C$ はエタールで、$Q=\operatorname{Spec}D$ はアフィンである。$g_0$ と $a$ は切断 $s_0\colon D\to C/J$ を定める。合成 $D\to C/J\to C/\mathfrak m_C$ を (F5) により $C$ 代数の射 $\sigma\colon D\to C$ に持ち上げる。$\sigma$ を $J$ で割ったものと $s_0$ は、エタールで分離的な $Q\times\operatorname{Spec}(C/J)\to\operatorname{Spec}(C/J)$ の二つの切断で、閉点で一致する。$\operatorname{Spec}(C/J)$ は局所なので連結であり、(F5) の後半により両者は一致する。$\sigma$ と射影 $Q\to V$ の合成が、$g_0$ を持ち上げる $C$ 点である。
後半は、$B$ を $X'^{\,j}$ の座標環（$X'^{\,j}$ は $X$ 上有限）とし、$P=G$ とした場合、および $B=A$ とした場合である。

1. $X'':=X'^{\,i+1}$ は $X$ 上有限局所自由であり、$\mathbf C^i(\mathcal U)(Y)=\operatorname{Hom}_{X''}(Y\times_XX'',\mathcal U\times_XX'')$ なので、$\mathbf C^i(\mathcal U)$ は $\mathcal U\times_XX''$ の $X''\to X$ に沿う Weil制限である。$\mathcal U$ は $X$ 上アフィンで有限表示なので、Weil 制限の表現可能性により、$X$ 上アフィンで有限表示なスキームで表現される。滑らかさ：$Y$ をアフィンな $X$ スキーム、$Y_0\subset Y$ を平方零のイデアルで定まる閉部分スキームとすると、$Y\times_XX''$ はアフィンで、$Y_0\times_XX''$ はその平方零の閉部分スキームである。$\mathcal U$ は $X$ 上滑らかなので、$Y_0\times_XX''\to\mathcal U$ は $Y\times_XX''\to\mathcal U$ に延びる。
開部分関手であること：$Y\to\mathbf C^i(G)$、すなわち $g\colon Y\times_XX''\to G$ をとる。$O:=g^{-1}(\mathcal U)$ は開であり、射影 $\pi\colon Y\times_XX''\to Y$ は有限なので閉写像である。$Y_1:=Y\setminus\pi(\text{$O$ の補集合})$ は開である。$Y$ スキーム $T$ について、$T\times_XX''$ の $t\in T$ の上のファイバーは、$t$ の像 $y$ の上のファイバーへ全射に写るので、「$T\times_XX''$ が $O$ を経由する」ことと「$T$ が $Y_1$ を経由する」ことは同値である。
2. $d^i\colon\mathbf C^i(\mathcal U)\to\mathbf C^{i+1}(G)$ は関手の射なので、開部分関手 $\mathbf C^{i+1}(\mathcal U)$ の逆像は開部分スキームである。$d^i(0)=0$ で $e(X)\subset\mathcal U$ なので、零切断を含む。
3. $\mathbf C'^{\,i}(\mathcal U)$ の上で $d^i$ はスキーム $\mathbf C^{i+1}(\mathcal U)$ への射であり、$\mathbf Z'^{\,i}(\mathcal U)$ はその零切断の逆像である。$\mathbf C^{i+1}(\mathcal U)$ は $X$ 上アフィンなので分離的であり、零切断は有限表示な閉埋め込みである。
4. $c\in\mathbf C'^{\,i-1}(\mathcal U)$ なら $d^{i-1}c\in\mathbf C^i(\mathcal U)$ かつ $d^i d^{i-1}c=0\in\mathbf C^{i+1}(\mathcal U)$ なので、$d^{i-1}c\in\mathbf C'^{\,i}(\mathcal U)\cap\mathbf Z^i(G)=\mathbf Z'^{\,i}(\mathcal U)$ である。

1. $\sigma_j\colon X'^{\,j}\to X'^{\,j+1}$ を $(y_1,\dots,y_j)\mapsto(s(\bar y),y_1,\dots,y_j)$（$\bar y$ は $X$ への像）と定め、$h\colon F(X'^{\,j+1})\to F(X'^{\,j})$ を $\sigma_j$ による引き戻しとする（$j=0$ では $s$ による引き戻し $F(X')\to F(X)$）。面写像の関係式から、拡大した複体 $F(X)\to F(X')\to F(X'^{\,2})\to\cdots$ の上で $dh+hd=\mathrm{id}$ が成り立つ。よってこの複体は非輪状である。定数の余単体的群では、$j$ 次の微分は $j+2$ 個の恒等写像の交代和なので、$j$ が偶数なら $0$、奇数なら恒等写像であり、$1$ 次以上のコホモロジーは $0$ である。
2. $R'$ は忠実平坦なので、完全性は $\otimes_RR'$ した後で確かめればよい。$\otimes_RR'$ した複体は、$R'$ 代数 $R'\to R'\otimes_RR'$ についての $M\otimes_RR'$ の同じ型の複体であり、積 $R'\otimes_RR'\to R'$ がこの代数の切断を与えるので、1 と同じ縮約ホモトピーにより完全である。

2. $\mathcal N(Y)$ の元 $g$ は $Y_0$ 上で $e$ に一致し、$Y_0\to Y$ は同相なので、$g$ は $\mathcal U$ を経由する。$\mathcal U\times_XY=\operatorname{Spec}P$ とおくと、$Y$ から $\mathcal U$ への $X$ 射は $R$ 代数の射 $P\to R$ に対応する。$g$ と $e_Y$ に対応する射を $g^*,e^*$ とすると、$D_g:=g^*-e^*$ は $P$ から $I$ への写像で、$I^2=0$ により
$$ D_g(ab)=g^*(a)D_g(b)+D_g(a)e^*(b)=\bar e(a)D_g(b)+\bar e(b)D_g(a) $$
（$\bar e$ は $e^*$ を $I$ で割ったもの）を満たす。つまり $D_g$ は $P$ 加群 $I$ への $R$ 導分である。逆に導分 $D$ について $e^*+D$ は環の射である。よって $g\mapsto D_g$ は $\mathcal N(Y)$ から $\operatorname{Der}_R(P,I)=\operatorname{Hom}_R(e_Y^*\Omega_{P/R},I)$ への全単射であり、Kähler 微分の底変換により右辺は $\operatorname{Hom}(\omega\otimes\mathcal O_Y,I)$ である。
群の同型であること：$\mu$ を群の積とする。$(g,h)$ に対応する $P\otimes_RP$ からの導分 $\delta_{g,h}$ は $a\otimes b\mapsto D_g(a)\bar e(b)+\bar e(a)D_h(b)$ であり、$(g,e)$ と $(e,h)$ の導分の和である。$(e,e)$ の近くで $\mu$ は $\mathcal U\times\mathcal U$ の基本開集合 $D(s)$ から $\mathcal U$ への射 $\mu_s$ として書け、$Y$ の各点の近傍 $D(t)$（$t=(e,e)^*(s)$）の上では $(g,h)$ も $D(s)$ を経由する（$(g,h)^*(s)$ は $t$ と $I$ を法として等しく、$D(t)$ 上で単元だからである）。$\mu\circ(e,e)=e$ を使うと、$D(t)$ の上で $D_{gh}=\delta_{g,h}\circ\mu_s^*$ となる。右辺は $\delta_{g,h}$ について加法的なので、$D_{gh}=D_{ge}+D_{eh}=D_g+D_h$ を得る。導分は局所的に一致すれば一致するので、これは $Y$ 全体で成り立つ。
1. 問題は局所的なので、$X=\operatorname{Spec}A$、$G$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}P$、$P=B/J$（$B=A[x_1,\dots,x_n]$、$J$ は有限生成）とする。$\operatorname{Spec}P$ は $X$ 上形式的に滑らかなので、恒等写像 $P\to P=(B/J^2)/(J/J^2)$ は $A$ 代数の射 $s\colon P\to B/J^2$ に持ち上がる。$b\in B$ に対し $D(b):=\bar b-s(\pi(\bar b))\in J/J^2$（$\pi\colon B/J^2\to P$）とおくと、$D$ は $A$ 導分であり、$P$ 線形写像 $u\colon\Omega_{B/A}\otimes_BP\to J/J^2$ で $u(dj\otimes1)=\bar j$（$j\in J$）を満たすものを定める。したがって完全列 $J/J^2\to\Omega_{B/A}\otimes_BP\to\Omega_{P/A}\to0$ の最初の写像は分裂単射であり、$\Omega_{P/A}$ は自由加群 $P^n$ の直和因子、すなわち有限生成射影加群である。よって $\Omega^1_{G/X}$ は有限局所自由であり、その引き戻し $\omega$ も有限局所自由である。

補題6により両辺は $X$ 上有限表示なので、$d^{i-1}$ は局所有限表示である。形式的な滑らかさを示す。$Y$ をアフィンな $X$ スキーム、$I$ を平方零のイデアル、$Y_0:=V(I)$ とし、$z\in\mathbf Z'^{\,i}(\mathcal U)(Y)$ と $c_0\in\mathbf C'^{\,i-1}(\mathcal U)(Y_0)$ で $d c_0=z|_{Y_0}$ となるものが与えられたとする。$c|_{Y_0}=c_0$、$dc=z$ を満たす $c\in\mathbf C'^{\,i-1}(\mathcal U)(Y)$ を作る。
(a) $\mathbf C'^{\,i-1}(\mathcal U)$ は滑らかなスキーム $\mathbf C^{i-1}(\mathcal U)$ の開部分なので、$c_0$ は $c_1\in\mathbf C'^{\,i-1}(\mathcal U)(Y)$ に持ち上がる。
(b) $u:=dc_1-z\in\mathbf Z^i(G)(Y)$ は $u|_{Y_0}=0$ を満たす。$Y':=Y\times_XX'$ とおき、$Y_0\subset Y$ について核の関手 $\mathcal N$ を考えると、$u$ は Čech 余輪体 $u\in\check Z^i(Y'/Y,\mathcal N)$ である。
(c) $\check H^i(Y'/Y,\mathcal N)=0$（$i\ge1$）を示す。$W:=Y'^{\,j}$（$Y$ 上のファイバー積）はアフィンで、$Y$ 上有限局所自由、とくに平坦である。$W_0:=W\times_YY_0$ は平方零のイデアル $I\mathcal O_W$ で定まり、補題B と平坦性（$I\mathcal O_W\cong I\otimes_{\mathcal O_Y}\mathcal O_W$）、および $\omega$ の局所自由性から、$W$ について自然に
$$ \mathcal N(W)\cong M\otimes_R\Gamma(W,\mathcal O_W),\qquad R:=\Gamma(Y,\mathcal O_Y),\quad M:=\Gamma\bigl(Y,\ \omega_Y^{\vee}\otimes I\bigr) $$
となる。したがって $\check C^\bullet(Y'/Y,\mathcal N)$ は、$R':=\Gamma(Y',\mathcal O_{Y'})$ についての補題A の 2 の複体から $M$ の項を除いたものに同型である。$Y'\to Y$ が全射なら $R\to R'$ は忠実平坦であり、補題A により $1$ 次以上のコホモロジーは $0$ である。全射でなければ、像は開かつ閉なので $Y=Y_1\sqcup Y_2$（$Y'$ は $Y_1$ の上にある）と分けると、複体は $Y'\to Y_1$ についてのものと同じになり、同じ結論を得る。
(d) (c) により、$v\in\check C^{i-1}(Y'/Y,\mathcal N)\subset\mathbf C^{i-1}(G)(Y)$ で $dv=u$ となるものがある。$c:=c_1-v$ とおくと $c|_{Y_0}=c_0$、$dc=z$ である。$\mathbf C'^{\,i-1}(\mathcal U)$ は $\mathbf C^{i-1}(G)$ の開部分関手であり、$c$ による逆像は $Y$ の開集合で $Y_0$ の点をすべて含むので $Y$ 全体である。よって $c\in\mathbf C'^{\,i-1}(\mathcal U)(Y)$ である。

$X$ は局所なので、上の条件を満たす $\mathcal U$ がとれる。補題5により補題4の仮定が成り立つ。$i\ge1$ と $z\in\check Z^i(X'/X,\mathcal N)$ をとる。$z$ は $\mathbf Z^i(G)(X)$ の元で、$z|_{X_0}=0$ を満たす。
(a) $z\in\mathbf Z'^{\,i}(\mathcal U)(X)$ であること。$X'^{\,i+1}$ は $X$ 上有限なので、その閉点はすべて $X$ の閉点の上にある。$X_0$ は空でない閉集合なので $X$ の閉点を含む。よって $X'^{\,i+1}$ の閉点はすべて $X'^{\,i+1}\times_XX_0$ に属し、そこで $z$ は単位元に等しいので $\mathcal U$ に入る。$z^{-1}(\mathcal U)$ はアフィンなスキーム $X'^{\,i+1}$ の閉点をすべて含む開集合であり、どの点も閉点へ特殊化するので全体に等しい。よって $z\in\mathbf C^i(\mathcal U)(X)$ であり、$dz=0\in\mathbf C^{i+1}(\mathcal U)$ から $z\in\mathbf Z'^{\,i}(\mathcal U)(X)$ である。
(b) $W_z:=\mathbf C'^{\,i-1}(\mathcal U)\times_{d^{i-1},\,\mathbf Z'^{\,i}(\mathcal U),\,z}X$ とおく。補題7により、$W_z$ は滑らかな射の底変換なので $X$ 上滑らかである。零余鎖 $0\in\mathbf C'^{\,i-1}(\mathcal U)(X_0)$ は $d0=0=z|_{X_0}$ を満たすので、$W_z$ の $X_0$ 上の切断 $s_0$ を与える。
(c) 補題5（$B=A$、$P=W_z$）により、$s_0$ は切断 $s\colon X\to W_z$ に持ち上がる。$s$ に対応する $c\in\mathbf C'^{\,i-1}(\mathcal U)(X)$ は $dc=z$、$c|_{X_0}=0$ を満たすので、$c\in\check C^{i-1}(X'/X,\mathcal N)$ であり $z=dc$ である。
以上で $\check H^i(X'/X,\mathcal N)=0$ が示された。後半は補題4による。

$A$ の剰余体は $k$ の有限次拡大なので純非分離であり、$S_j:=\operatorname{Spec}(A^{\otimes(j+1)})$ も一点からなる（補題3の 1 の証明と同じ理由）。$\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}k$ は根基的（普遍単射）なので、任意の $k$ スキーム $T$ について $T\times_kS_j\to T$ の各ファイバーはただ一点からなる。
(a) $\mathbf C^j(G)$ の表現可能性。$G$ をアフィン開集合 $\mathcal U_\alpha$ で覆う。$\mathbf C^j(\mathcal U_\alpha)$ は Weil制限として表現され、補題6の 1 と同じ論法で $\mathbf C^j(G)$ の開部分関手である。$g\colon T\times_kS_j\to G$ と $t\in T$ について、$t$ の上のただ一つの点 $t'$ の像を含む $\mathcal U_\alpha$ をとれば、$t$ は $g$ による $\mathbf C^j(\mathcal U_\alpha)$ の逆像に入る。よって開部分関手 $\mathbf C^j(\mathcal U_\alpha)$ は $\mathbf C^j(G)$ を覆い、貼り合わせにより $\mathbf C^j(G)$ は $k$ 上局所有限型の滑らかなスキームで表現される。これは $k$ 上の群スキームであり、単位元は $k$ 有理点なので閉点、対角は $(a,b)\mapsto ab^{-1}$ による単位元の逆像なので閉である。よって分離的で、$\mathbf Z^j(G)=(d^j)^{-1}(0)$ は閉部分スキームである。
(b) $d^{j-1}\colon\mathbf C^{j-1}(G)\to\mathbf Z^j(G)$ は滑らか（$j\ge1$）。補題7の証明を $\mathcal U=G$ として繰り返す。変わるのは、(c) で $\mathcal N(W)$ の元が単位元のアフィン開近傍 $\mathcal U_0$ を経由することを使って補題B を $\mathcal U_0$ に当てる点と、(d) で $\mathbf C'=\mathbf C$ なので開であることの確認が要らない点だけである。
(c) $d^{j-1}$ は全射。$\mathbf Z^j(G)$ の点 $\zeta$ と、剰余体 $\kappa(\zeta)$ を含む代数閉体 $\Omega$ をとる。$\zeta$ の定める $\Omega$ 点は、$A\otimes_k\Omega$ の $\Omega$ 上の Čech 余輪体である。$A\otimes_k\Omega$ は $0$ でない有限 $\Omega$ 代数で、剰余体は $\Omega$ 自身なので、$\operatorname{Spec}(A\otimes_k\Omega)\to\operatorname{Spec}\Omega$ は切断をもつ。補題A によりこの余輪体は余境界であり、$\mathbf C^{j-1}(G)(\Omega)$ の点の像である。よって $\zeta$ は $d^{j-1}$ の像に入る。
(d) $z\in\check Z^j(A/k,G)=\mathbf Z^j(G)(k)$ をとる。ファイバー $\mathbf C^{j-1}(G)\times_{\mathbf Z^j(G),z}\operatorname{Spec}k$ は (b) により $k$ 上局所有限型で滑らかであり、(c) により空でない。事実 (F7) により $k$ 有理点 $c$ があり、$dc=z$ である。

1. $Y$ は狭義局所であり、閉点を $y$、剰余体を $K$（分離閉）とする。補題8を、底 $Y$、空でない閉部分 $\{y\}=\operatorname{Spec}K$、有限局所自由な $Y''\to Y$ に当てると、
$$ \check H^i(Y''/Y,G)\cong\check H^i(Y''_y/\operatorname{Spec}K,G)\qquad(i\ge1) $$
を得る。$Y''$ はただ一つの閉点をもち、$Y''_y$ の点はすべて閉点なので、$Y''_y=\operatorname{Spec}A'$（$A'$ は局所な有限 $K$ 代数）である。$G_y:=G\times_X\operatorname{Spec}K$ は $K$ 上の滑らかな可換群スキームで、$Y''_y$ の各ファイバー積の上での $G$ の値は $G_y$ の値に等しい。補題9により右辺は $0$ である。
2. 1 と補題3の 3 による。$X$ 自身は $\mathcal C$ に属する。

$X$ の各幾何的点 $\bar x$ について、$X^{\mathrm{sh}}_{\bar x}$ は狭義局所であり、$G\times_XX^{\mathrm{sh}}_{\bar x}$ はその上の滑らかな可換群スキームである。補題10により $H^i((X^{\mathrm{sh}}_{\bar x})_{\mathrm{fppf}},G)=0$（$i\ge1$）なので、補題2により $R^i\varepsilon_*G=0$（$i\ge1$）である。補題1を $V=X$ とすべての $n$ に当てれば、比較写像はすべての $i$ で同型である。主張 2 は補題10そのものである。

1. $X$ 上エタールな $f\colon X'\to X$ について、事実 (F8) により $(\varepsilon^*F)(X')\cong\Gamma(X'_{\mathrm{et}},f^*F)=F(X')$ が自然に成り立つ。
2. 1 により $\varepsilon_*\varepsilon^*F=F$ である。補題1と、$\varepsilon^*F$ についての補題2の類似（(F1) は $\varepsilon^*F$ の形の層にも適用される形で引用する）により、狭義局所な $S$ について $H^i(S_{\mathrm{fppf}},\varepsilon^*F)=0$（$i\ge1$）を示せばよい。$S$ 上の族 $\mathcal C$ をとり、補題3の 3 の仮定を確かめる。$Y,Y''\in\mathcal C$ と有限局所自由で全射な $Y''\to Y$ について、$Y''$ の $Y$ 上のファイバー積はすべて $\mathcal C$ に属し、狭義局所である。(F8)(F9) により、その上での $\varepsilon^*F$ の値は $S$ の閉点の上の幾何的点 $\bar s$ での茎 $F_{\bar s}$ に等しい。どのファイバー積の剰余体も $k(s)$ の純非分離拡大なので、その上の幾何的点は $\bar s$ の上に標準的に一つに定まり、面写像はこの同一視のもとで恒等写像になる。よって Čech 複体は定数の余単体的群であり、補題A により $\check H^i(Y''/Y,\varepsilon^*F)=0$（$i\ge1$）である。補題3の 3 により主張を得る。

2. 前半は補題8である。後半：$X'\to X$ の像 $X'_1$ は開かつ閉であり、$\check H^i(X'/X,G)=\check H^i(X'/X'_1,G)$ である。$X'$ の $X$ 上の各ファイバー積と $X'_1$ は、事実 (F3) により $\mathcal C$ の対象の有限直和なので、補題10により $1$ 次以上の fppf コホモロジーが消える。被覆 $X'\to X'_1$ についての (F4) のスペクトル系列で $q\ge1$ の行がすべて $0$ になるので、$\check H^p(X'/X'_1,G)\cong H^p((X'_1)_{\mathrm{fppf}},G)=0$（$p\ge1$）である。
1. fppf 位相の場合は、エタール位相の場合と主定理から従う（比較写像は制限と可換である）。エタール位相の場合は、次の標準的な事実を引用する：$X$ の剰余体を $k$ とすると、エタール層 $F$ について $H^i(X_{\mathrm{et}},F)\cong\operatorname*{colim}_LH^i(\operatorname{Gal}(L/k),F(X_L))$ が $(X,F)$ について自然に成り立つ。ここで $L$ は $k$ の分離閉包の中の有限次 Galois 拡大、$X_L\to X$ は剰余体の拡大 $L/k$ に対応する有限エタールな Galois 被覆であり、$X_L\times_XX_0$ は $X_0$ に対する同じ構成である。
$X_L\to X$ は有限局所自由なので、補題8により $\check H^i(X_L/X,\mathcal N)=0$（$i\ge1$）である。Galois 被覆の Čech 複体は Galois 群の非斉次余鎖の複体に同型なので、完全列
$$ 0\to\mathcal N(X_L)\to G(X_L)\to G(X_L\times_XX_0)\to0 $$
（右の全射は補題5）の群コホモロジーの長完全列から、$H^i(\operatorname{Gal}(L/k),G(X_L))\to H^i(\operatorname{Gal}(L/k),G(X_L\times_XX_0))$ は $i\ge1$ で全単射である。$L$ について帰納極限をとれば、エタール位相の場合を得る。