冪零根基

同義語：nilradical

概要

前提知識: 可換環, イデアル, 素イデアル, 冪零元
冪零根基は、可換環の冪零元（何乗かすると $0$ になる元）をすべて集めたものである。それはイデアルになり、しかもすべての素イデアルの共通部分に一致する。冪零根基で割った剰余環は $0$ 以外に冪零元をもたない環（被約環）になり、これは環から冪零な「無限小」の情報を取り除く操作にあたる。イデアル $I$ に対しては、何乗かすると $I$ に入る元の全体として、根基 $\sqrt{I}$ が同じように定まる。本記事では、環は乗法の単位元 $1$ をもつ可換環とし（可換環の記事の流儀）、零環も許す。

定義

冪零根基

$A$ を可換環とする。$A$ の冪零元全体の集合
$$ \operatorname{nil}(A):=\{x\in A\mid \text{ある整数 }n\ge1\text{ について }x^n=0\} $$
を $A$ の 冪零根基（nilradical）という。$\operatorname{nil}(A)=\{0\}$ のとき、$A$ は被約（reduced）であるという。

$0^1=0$ なので $0\in\operatorname{nil}(A)$ であり、冪零根基は空でない。$A$ が零環なら $\operatorname{nil}(A)=A=\{0\}$ で、$A$ は被約である。冪零根基は $\sqrt{0}$、$\mathfrak{N}_A$ とも書かれる。
冪零根基は $A$ のイデアルである。$x^m=0$、$y^n=0$ なら、乗法が可換なので二項定理により $(x+y)^{m+n-1}$ を展開でき、各項 $\binom{m+n-1}{i}x^iy^{m+n-1-i}$ では $i\ge m$ か $m+n-1-i\ge n$ のどちらかが成り立つので $(x+y)^{m+n-1}=0$ となる。また $r\in A$ について $(rx)^m=r^mx^m=0$ である。この証明の詳細は可換環の記事の命題「冪零根基はイデアル」にある。可換でない環では冪零元の全体は和についても閉じない（冪零元の記事の例「反例：非可換な環での冪零元の和と積」）ので、本記事では可換環だけを扱う。

イデアルの根基

$A$ を可換環、$I$ を $A$ のイデアルとする。
$$ \sqrt{I}:=\{x\in A\mid \text{ある整数 }n\ge1\text{ について }x^n\in I\} $$
を $I$ の根基（radical）という。$\sqrt{I}=I$ となるイデアルを 根基イデアル という。

定義から $\operatorname{nil}(A)=\sqrt{(0)}$ であり、$I\subset\sqrt{I}$ である（$n=1$ をとる）。$\sqrt{I}$ がイデアルであることは下の prop-nilradical-radical で示す。

直感

可換環 $A$ の元 $f$ を、素イデアル全体の集合 $\operatorname{Spec}A$ の上の「関数」とみる。点 $\mathfrak{p}$ での $f$ の値は、剰余環 $A/\mathfrak{p}$（整域）での $f$ の像である。冪零元はどの整域でも $0$ に写るので、すべての点で値が $0$ の関数である。逆にすべての点で値が $0$ の元は冪零である、というのが thm-nilradical-primes の内容である。したがって冪零根基は「点の上の値だけでは見えない部分」を集めたものであり、冪零根基で割ることは、点の集合を変えずに（Zariski位相の意味で同じ空間のまま）この見えない部分を捨てることにあたる。

例と反例

整数を 12 で割った剰余環

$A=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ とし、整数 $a$ の類を $\bar a$ と書く。$\bar a$ が冪零であることは、ある $n\ge1$ について $12\mid a^n$ となることである。$12=2^2\cdot3$ なので、これは $2\mid a^n$ かつ $3\mid a^n$、素数の性質により $2\mid a$ かつ $3\mid a$、すなわち $6\mid a$ と同値である（逆に $6\mid a$ なら $36\mid a^2$ なので $12\mid a^2$）。よって
$$ \operatorname{nil}(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})=\{\bar0,\bar6\}=6\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} $$
であり、$\bar6^{\,2}=\overline{36}=\bar0$ である。被約化は $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})/(6\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ である（剰余環の記事の定理「イデアルの対応定理」の 2）。一般に $n\ge2$ について、$n$ の相異なる素因数の積を $r$ とすると $\operatorname{nil}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=r\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である（可換環の記事の例「整数の剰余環の冪零根基」）。$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ では $r=6$ である。

直線に埋め込まれた点をもつ環

$k$ を体、$A=k[x,y]/(x^2,xy)$ とし、$x,y$ の類を $\bar x,\bar y$ と書く。このとき
$$ \operatorname{nil}(A)=(\bar x)=\{c\bar x\mid c\in k\} $$
であり、$A/\operatorname{nil}(A)\cong k[y]$ である。
実際、$\bar x^{\,2}=0$ なので $\bar x\in\operatorname{nil}(A)$ であり、$\operatorname{nil}(A)$ はイデアルなので $(\bar x)\subset\operatorname{nil}(A)$ である。$(x^2,xy)\subset(x)$ なので、$A/(\bar x)\cong k[x,y]/(x)\cong k[y]$ である（剰余環の記事の定理「イデアルの対応定理」の 2 と、$x$ に $0$ を代入する準同型の核が $(x)$ であること）。$k[y]$ は整域なので被約である。$f\in A$ が冪零なら、その $A/(\bar x)\cong k[y]$ での像も冪零なので $0$ であり、$f\in(\bar x)$ である。よって $\operatorname{nil}(A)=(\bar x)$ である。$(\bar x)$ の元が $c\bar x$（$c\in k$）の形になるのは、$\bar x\bar x=0$、$\bar x\bar y=0$ により $\bar x$ に多項式を掛けると定数項だけが残るからである。また $\bar x\ne0$ である。$(x^2,xy)$ の元は $2$ 次以上の項だけからなる多項式なので、$1$ 次の $x$ はこのイデアルに属さないからである。
$A/(\bar x)\cong k[y]$ が整域なので $(\bar x)=\operatorname{nil}(A)$ 自身が素イデアルであり、$A$ のすべての素イデアルがこれを含む（thm-nilradical-primes）。幾何学的には、$A$ の素スペクトルは $y$ 軸 $\operatorname{Spec}k[y]$ と同じ空間であるが、原点 $(x,y)$ のところにだけ $x$ 方向の「厚み」$\bar x$ が付いている（$\bar x$ は $\bar y$ を掛けると消えるので、原点以外では $0$ になる）。この例は「$0$ でない冪零元は零因子であるが、零因子が冪零とは限らない」ことも示す。$\bar y$ は $\bar x\bar y=0$ を満たす零因子だが、$k[y]$ での像 $y$ が冪零でないので冪零でない。

直積環の冪零根基

可換環 $A,B$ の直積環 $A\times B$ では $(a,b)^n=(a^n,b^n)$ なので、$(a,b)$ が冪零であることと、$a,b$ がともに冪零であることは同値である（$a^m=0$、$b^n=0$ なら $\max(m,n)$ 乗をとる）。よって
$$ \operatorname{nil}(A\times B)=\operatorname{nil}(A)\times\operatorname{nil}(B) $$
である。たとえば $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ で、$\operatorname{nil}(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})=\{\bar0,\bar2\}$、$\operatorname{nil}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})=\{\bar0\}$ であり、$\bar6\mapsto(\bar2,\bar0)$ が ex-nilradical-z-mod-12 と対応する。

反例：被約だが整域でない環

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は、$6$ が平方因子をもたないので ex-nilradical-z-mod-12 の一般形で $r=6$ となり、$\operatorname{nil}(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})=6\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}=\{\bar0\}$、すなわち被約である。しかし $\bar2\cdot\bar3=\bar0$ なので整域ではない。この例は「被約」を満たし「整域」を満たさない。破る含意は「$A/\operatorname{nil}(A)$ は整域である」（冪零根基は素イデアルである）である。冪零根基はすべての素イデアルの共通部分だが、それ自身が素イデアルになるとは限らない。$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の素イデアルは $(\bar2)$ と $(\bar3)$ の 2 つであり、共通部分 $\{\bar0\}$ はどちらとも異なる。

反例：根基が元のイデアルより大きい場合

$\mathbb{Z}$ のイデアル $(4)$ について、$2^2=4\in(4)$ なので $2\in\sqrt{(4)}$ だが $2\notin(4)$ である。よって $(4)$ は根基イデアルでない。実際 $\sqrt{(4)}=(2)$ である（$a^n\in(4)$ なら $2\mid a^n$ から $2\mid a$）。この例は「$\sqrt{I}=I$」を破り、剰余環 $\mathbb{Z}/(4)$ が被約でないこと（$\bar2^{\,2}=\bar0$）に対応する（下の prop-nilradical-reduced の 1）。一般に $n\ge1$ について $\sqrt{(n)}=(r)$（$r$ は $n$ の相異なる素因数の積）であり、$\sqrt{(0)}=(0)$ である。

性質

素イデアルの共通部分

素イデアル全体の共通部分としての冪零根基

可換環 $A$ について
$$ \operatorname{nil}(A)=\bigcap_{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A}\mathfrak{p} $$
が成り立つ。ここで $\operatorname{Spec}A$ は $A$ の素イデアル全体であり、$A$ が零環のときは $\operatorname{Spec}A=\emptyset$ で、空な族の共通部分は $A$ と約束する。

定理の証明の所在と要点

証明は可換環の記事の定理「冪零根基は素イデアルの共通部分」にあり、筋の異なる別証明が冪零元の記事の定理「冪零元と素イデアル全体の共通部分」にある（AM69 Chapter 1）。要点は次の 2 つである。

（$\subset$）$x^n=0\in\mathfrak{p}$ なら、素イデアルの条件を $x\cdot x^{n-1}$ に繰り返し使って $x\in\mathfrak{p}$ となる。
（$\supset$）$x$ が冪零でなければ $S=\{1,x,x^2,\dots\}$ は $0$ を含まない。$S$ と交わらないイデアルのうち極大なものを Zornの補題でとると、それは素イデアルで $x$ を含まない。
包含（$\supset$）は選択公理（Zorn の補題）を使う。

この定理から、$A$ が被約であることと、$A$ のすべての素イデアルの共通部分が $(0)$ であることは同値である。また $f\in A$ が冪零であることは、$f$ を含まない素イデアルが存在しないこと、すなわちZariski位相の基本開集合 $D(f)$ が空であることと同値である（Zariski位相の記事の命題「基本開集合の性質」）。

イデアルの根基

根基と素イデアル

$A$ を可換環、$I$ をイデアル、$\pi\colon A\to A/I$ を剰余写像とする。

$\sqrt{I}=\pi^{-1}\bigl(\operatorname{nil}(A/I)\bigr)$ である。とくに $\sqrt{I}$ は $I$ を含むイデアルであり、$\sqrt{I}/I=\operatorname{nil}(A/I)$ である。
$\sqrt{I}$ は $I$ を含む素イデアル全体の共通部分に等しい：$\sqrt{I}=\bigcap_{\mathfrak{p}\supset I}\mathfrak{p}$（$I=A$ のときは空な共通部分で $A$）。
$\sqrt{I}=A$ であることと $I=A$ は同値である。

$x\in A$ と $n\ge1$ について、$x^n\in I$ と $\pi(x)^n=\pi(x^n)=0$ は同値である。よって $x\in\sqrt{I}$ と $\pi(x)\in\operatorname{nil}(A/I)$ は同値であり、$\sqrt{I}=\pi^{-1}(\operatorname{nil}(A/I))$ である。$\operatorname{nil}(A/I)$ は $A/I$ のイデアルなので、その逆像は $A$ のイデアルであり、$\ker\pi=I$ を含む（イデアルの記事の命題「環準同型による核・逆像・像」）。$\pi$ は全射なので $\pi(\sqrt{I})=\operatorname{nil}(A/I)$、すなわち $\sqrt{I}/I=\operatorname{nil}(A/I)$ である。
$A/I$ に thm-nilradical-primes を適用すると $\operatorname{nil}(A/I)=\bigcap_{\mathfrak{q}}\mathfrak{q}$（$\mathfrak{q}$ は $A/I$ の素イデアル全体）である。剰余環の記事の定理「イデアルの対応定理」により、$A/I$ のイデアル $\mathfrak{q}$ は $I$ を含む $A$ のイデアル $\mathfrak{p}=\pi^{-1}(\mathfrak{q})$ と一対一に対応し、$A/\mathfrak{p}\cong(A/I)/\mathfrak{q}$ である。素イデアルの記事の命題「剰余環が整域であることとの同値」により、$\mathfrak{q}$ が素であることと $(A/I)/\mathfrak{q}$ が整域であること、すなわち $A/\mathfrak{p}$ が整域であること、すなわち $\mathfrak{p}$ が素であることは同値である。したがって $\mathfrak{q}$ が $A/I$ の素イデアル全体を動くとき、$\pi^{-1}(\mathfrak{q})$ は $I$ を含む $A$ の素イデアル全体を動く。逆像は共通部分と可換なので、1 と合わせて
$$ \sqrt{I}=\pi^{-1}\Bigl(\bigcap_{\mathfrak{q}}\mathfrak{q}\Bigr)=\bigcap_{\mathfrak{q}}\pi^{-1}(\mathfrak{q})=\bigcap_{\mathfrak{p}\supset I}\mathfrak{p} $$
である。$I=A$ のときは $A/I$ が零環で、両辺とも $A$ になる。
$I=A$ なら $A\subset\sqrt{I}$ である。逆に $\sqrt{I}=A$ なら $1\in\sqrt{I}$ なので、ある $n$ について $1=1^n\in I$ であり、$I=A$ である。

2 の等式は Zariski位相の記事でも同じ論法で導かれ、閉集合 $V(I)=\{\mathfrak{p}\mid\mathfrak{p}\supset I\}$ が根基イデアル $\sqrt{I}$ だけで決まること（$V(I)=V(\sqrt{I})$）と、根基イデアルと閉集合の一対一対応に使われる（同記事の命題「イデアルと閉集合の対応」）。

根基の演算

$A$ を可換環、$I,J$ をイデアルとする。

$I\subset J$ なら $\sqrt{I}\subset\sqrt{J}$ である。
$\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$ である。とくに $\sqrt{I}$ は根基イデアルである。
$\sqrt{IJ}=\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap\sqrt{J}$ である。
$\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$ である。
素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$n\ge1$ なら $\sqrt{\mathfrak{p}^n}=\mathfrak{p}$ である。

$x^n\in I$ なら $x^n\in J$ である。
$I\subset\sqrt{I}$ と 1 から $\sqrt{I}\subset\sqrt{\sqrt{I}}$ である。逆に $x^n\in\sqrt{I}$ なら $(x^n)^m=x^{nm}\in I$ となる $m$ があるので $x\in\sqrt{I}$ である。
$IJ\subset I\cap J\subset I$、$I\cap J\subset J$ と 1 から $\sqrt{IJ}\subset\sqrt{I\cap J}\subset\sqrt{I}\cap\sqrt{J}$ である。逆に $x\in\sqrt{I}\cap\sqrt{J}$ とし、$x^m\in I$、$x^n\in J$ とすると、$x^{m+n}=x^mx^n\in IJ$ なので $x\in\sqrt{IJ}$ である。
$I+J\subset\sqrt{I}+\sqrt{J}$ と 1 から $\sqrt{I+J}\subset\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$ である。逆に、$\sqrt{I}\subset\sqrt{I+J}$、$\sqrt{J}\subset\sqrt{I+J}$（1 による）と $\sqrt{I+J}$ がイデアルであること（prop-nilradical-radical の 1）から $\sqrt{I}+\sqrt{J}\subset\sqrt{I+J}$ である。両辺の根基をとり 1・2 を使うと $\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}\subset\sqrt{\sqrt{I+J}}=\sqrt{I+J}$ である。
$\mathfrak{p}^n\subset\mathfrak{p}$ なので $\sqrt{\mathfrak{p}^n}\subset\sqrt{\mathfrak{p}}$ である。$\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$ は、$x^m\in\mathfrak{p}$ から素イデアルの条件で $x\in\mathfrak{p}$ となることによる。逆に $x\in\mathfrak{p}$ なら $x^n\in\mathfrak{p}^n$ なので $x\in\sqrt{\mathfrak{p}^n}$ である。

3 で $IJ$ と $I\cap J$ は一般に異なるが（$\mathbb{Z}$ で $I=J=(2)$ なら $IJ=(4)\ne(2)=I\cap J$）、根基をとると一致する。4 で $\sqrt{I+J}=A$ となるのは $I+J=A$ のときに限る（prop-nilradical-radical の 3）ので、$\sqrt{I}$ と $\sqrt{J}$ が互いに素（和が $A$）であることと $I$ と $J$ が互いに素であることは同値である。

被約化

被約化の性質

$A$ を可換環、$A_{\mathrm{red}}:=A/\operatorname{nil}(A)$、$\pi\colon A\to A_{\mathrm{red}}$ を剰余写像とする。

イデアル $I$ について、剰余環 $A/I$ が被約であることと、$I$ が根基イデアルであることは同値である。とくに $A_{\mathrm{red}}$ は被約である。
$\operatorname{nil}(A)$ は根基イデアルのうち最小のものである。すなわち、$A/I$ が被約となるイデアル $I$ はすべて $\operatorname{nil}(A)$ を含む。
（普遍性）$B$ を被約な可換環とすると、任意の環準同型 $\varphi\colon A\to B$ に対し、$\varphi=\bar\varphi\circ\pi$ となる環準同型 $\bar\varphi\colon A_{\mathrm{red}}\to B$ がただ 1 つ存在する。

prop-nilradical-radical の 1 により $\operatorname{nil}(A/I)=\sqrt{I}/I$ であり、これが零イデアルであることは $\sqrt{I}=I$ と同値である（$\sqrt{I}\supset I$ であり、剰余類 $x+I$ が $0$ であることは $x\in I$ と同値だから）。$I=\operatorname{nil}(A)=\sqrt{(0)}$ は prop-nilradical-radical-operations の 2 により根基イデアルなので、$A_{\mathrm{red}}$ は被約である。
$A/I$ が被約なら、1 により $I=\sqrt{I}$ であり、$(0)\subset I$ と prop-nilradical-radical-operations の 1 から $\operatorname{nil}(A)=\sqrt{(0)}\subset\sqrt{I}=I$ である。
$x\in\operatorname{nil}(A)$、$x^n=0$ なら $\varphi(x)^n=\varphi(x^n)=0$ なので $\varphi(x)\in\operatorname{nil}(B)=\{0\}$ である。よって $\operatorname{nil}(A)\subset\ker\varphi$ であり、剰余環の記事の定理「剰余環の普遍性」により $\bar\varphi(x+\operatorname{nil}(A))=\varphi(x)$ で定まる環準同型 $\bar\varphi$ が存在し、$\varphi=\bar\varphi\circ\pi$ を満たす。$\pi$ は全射なので、$\bar\varphi\circ\pi=\varphi$ となる写像は各剰余類での値が決まり、一意である。

$A_{\mathrm{red}}$ を $A$ の 被約化 という。3 は、被約な環への準同型を考える限り、$A$ を $A_{\mathrm{red}}$ に取り替えても情報が失われないことを表す。一方、$A$ のすべての素イデアルは $\operatorname{nil}(A)$ を含むので、$\pi$ は $\operatorname{Spec}A_{\mathrm{red}}$ から $\operatorname{Spec}A$ への全単射 $\mathfrak{q}\mapsto\pi^{-1}(\mathfrak{q})$ を与え、これは同相写像である（冪零元の記事の節「素イデアルとの関係」）。ex-nilradical-embedded-point の $A=k[x,y]/(x^2,xy)$ と $A_{\mathrm{red}}=k[y]$ は、素スペクトルとしては同じだが環としては異なる。代数幾何学ではこの差を、アフィンスキーム $\operatorname{Spec}A$ が被約でない（原点に冪零な構造をもつ）こととして扱う。

局所化との両立

局所化と冪零根基

$A$ を可換環、$S\subset A$ を積閉集合、$S^{-1}A$ を局所化とする。このとき
$$ \operatorname{nil}(S^{-1}A)=S^{-1}\operatorname{nil}(A):=\Bigl\{\frac{x}{s}\ \Big|\ x\in\operatorname{nil}(A),\ s\in S\Bigr\} $$
である。とくに $A$ が被約なら $S^{-1}A$ も被約であり、各素イデアル $\mathfrak{p}$ での局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ も被約である。

$S^{-1}A$ では、$x/s=0$ であることは、ある $t\in S$ について $tx=0$ となることと同値である（局所化の定義の同値関係による）。
（$\supset$）$x^n=0$ なら $(x/s)^n=x^n/s^n=0$ である。
（$\subset$）$x/s$ が冪零で $(x/s)^n=x^n/s^n=0$ とすると、ある $t\in S$ について $tx^n=0$ である。すると $(tx)^n=t^{n-1}(tx^n)=0$ なので $tx\in\operatorname{nil}(A)$ であり、$ts\in S$ だから
$$ \frac{x}{s}=\frac{tx}{ts}\in S^{-1}\operatorname{nil}(A) $$
である。$A$ が被約なら右辺は $\{0\}$ なので $S^{-1}A$ も被約である。

$0\in S$ のときは $S^{-1}A$ が零環になり、両辺とも $\{0\}$ で等式は成り立つ。逆向きに、$A$ が被約であることは、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$（あるいはすべての極大イデアル $\mathfrak{m}$）で $A_{\mathfrak{p}}$ が被約であることと同値である。実際、すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $A_{\mathfrak{m}}$ が被約とし、$x\in\operatorname{nil}(A)$ をとる。$x/1$ は $A_{\mathfrak{m}}$ の冪零元なので $x/1=0$ であり、ある $t\notin\mathfrak{m}$ について $tx=0$ となる。よって零化イデアル $\operatorname{Ann}(x)=\{a\in A\mid ax=0\}$ はどの極大イデアルにも含まれない。真のイデアルはある極大イデアルに含まれるので $\operatorname{Ann}(x)=A$ であり、$x=1\cdot x=0$ である。したがって $A$ は被約である（これは局所化の記事の命題「零加群であることの局所判定」と同じ論法である）。

有限生成の場合

有限生成な冪零根基は冪零イデアル

可換環 $A$ の冪零根基 $\operatorname{nil}(A)$ がイデアルとして有限生成なら、ある $N\ge1$ について $\operatorname{nil}(A)^N=0$ である。すなわち、$\operatorname{nil}(A)$ の元を $N$ 個掛けた積はつねに $0$ である。とくに $A$ が Noether環ならこれが成り立つ。

$\operatorname{nil}(A)=(x_1,\dots,x_r)$ とし、$x_i^{n_i}=0$（$n_i\ge1$）とする。$N:=\sum_{i=1}^r(n_i-1)+1$ とおく。$\operatorname{nil}(A)$ の元 $y_1,\dots,y_N$ をとり、$y_j=\sum_ia_{ij}x_i$（$a_{ij}\in A$）と書く。積 $y_1\cdots y_N$ を展開すると、各項は $A$ の元と単項式 $x_1^{e_1}\cdots x_r^{e_r}$（$e_1+\cdots+e_r=N$）の積である。もしすべての $i$ で $e_i\le n_i-1$ なら $e_1+\cdots+e_r\le N-1$ となって矛盾するので、ある $i$ で $e_i\ge n_i$ であり、その単項式は $0$ である。よって $y_1\cdots y_N=0$ である。$\operatorname{nil}(A)^N$ はこのような積の有限和で生成されるので $0$ である。Noether環ではすべてのイデアルが有限生成である。

有限生成の仮定は省けない。$A=k[x_1,x_2,\dots]/(x_1,x_2^2,x_3^3,\dots)$ では $\operatorname{nil}(A)$ は $\bar x_1,\bar x_2,\dots$ で生成されるが（各 $\bar x_i$ は $\bar x_i^{\,i}=0$ で冪零であり、逆に $A/(\bar x_1,\bar x_2,\dots)\cong k$ は被約なので prop-nilradical-reduced の 2 により $\operatorname{nil}(A)\subset(\bar x_1,\bar x_2,\dots)$ である）、どの $N$ についても $\operatorname{nil}(A)^N\ne0$ である（冪零元の記事の注意「冪零イデアルとの違い」）。この環は $\operatorname{nil}(A)$ の元がすべて冪零でありながら、冪零指数に上限がない例である。

Jacobson根基との比較

可換環 $A$ のすべての極大イデアルの共通部分を Jacobson根基 $\operatorname{Jac}(A)$ という。極大イデアルは素イデアルなので、thm-nilradical-primes から $\operatorname{nil}(A)\subset\operatorname{Jac}(A)$ である（Zorn の補題を使わない直接の証明が Jacobson根基の記事の命題「冪零根基は Jacobson根基に含まれる」にある）。冪零根基は素イデアル全体、Jacobson根基は極大イデアル全体の共通部分であり、違いは「極大でない素イデアル」の有無から生じる。

等号が成り立つ例：$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ では $\operatorname{Jac}=\{\bar0,\bar6\}=\operatorname{nil}$ である（Jacobson根基の記事の例「整数の剰余環」）。$\mathbb{Z}$ や体上の多項式環 $k[x]$ ではどちらも $0$ である（同記事の例「整数環と一変数多項式環」）。
反例：$p$ を素数として $\mathbb{Z}_{(p)}=\{a/b\mid a,b\in\mathbb{Z},\ p\nmid b\}$ は整域なので $\operatorname{nil}(\mathbb{Z}_{(p)})=0$ だが、ただ 1 つの極大イデアル $p\mathbb{Z}_{(p)}$ をもつ局所環なので $\operatorname{Jac}(\mathbb{Z}_{(p)})=p\mathbb{Z}_{(p)}\ne0$ である（同記事の例「反例：冪零でない元を含む Jacobson根基」）。ここで破れているのは「$\operatorname{Jac}(A)\subset\operatorname{nil}(A)$」であり、原因は極大でない素イデアル $(0)$ の存在である。
体上有限生成な可換環（有限生成 $k$ 代数）では、より強く、すべての素イデアルが極大イデアルの共通部分になる。これは Hilbertの零点定理の帰結である。thm-nilradical-primes により $\operatorname{nil}$ は素イデアル全体の共通部分なので、とくにこのような環では $\operatorname{nil}=\operatorname{Jac}$ が成り立つ。すべての素イデアルが極大イデアルの共通部分であるような環を Jacobson環という（Mat86 §5、AM69 Chapter 5 の演習）。Jacobson環の剰余環はまた Jacobson環なので、Jacobson環ではすべての剰余環 $A/I$ で $\operatorname{nil}(A/I)=\operatorname{Jac}(A/I)$ が成り立つ。
$A$ 自身で $\operatorname{nil}(A)=\operatorname{Jac}(A)$ が成り立つだけでは、$A$ は Jacobson環とは限らない。$k[\![t]\!]$ を $k$ 上の形式的冪級数環とし、$A=k[\![t]\!][x]$ とする。一般に可換環 $R$ 上の多項式環 $R[x]$ では $\operatorname{Jac}(R[x])=\operatorname{nil}(R[x])$ であり（AM69 Chapter 1 の演習）、$A$ は整域なので $\operatorname{nil}(A)=\operatorname{Jac}(A)=0$ である。しかし素イデアル $(x)$ による剰余環 $A/(x)\cong k[\![t]\!]$ は、ただ 1 つの極大イデアル $(t)$ をもつ局所環なので $\operatorname{Jac}=(t)\ne0=\operatorname{nil}$ である。対応定理により、$(x)$ を含む極大イデアルの共通部分は $(t,x)\ne(x)$ となり、$(x)$ は極大イデアルの共通部分でない。