Hilbert類体

制限による写像 $\operatorname{Gal}(L_1L_2/K)\to\operatorname{Gal}(L_1/K)\times\operatorname{Gal}(L_2/K)$ は単射（$L_1L_2$ は $L_1$ と $L_2$ で生成される）なので、$L_1L_2/K$ はアーベル拡大である。
素イデアル $\mathfrak{p}$ の上の $L_1L_2$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ と、惰性群の元 $\sigma\in I(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$ をとる（分解群と惰性群 の記事の定義「惰性群」）。$\sigma$ は $\mathfrak{P}$ を保ち、$\mathcal{O}_{L_1L_2}$ の各元を $\mathfrak{P}$ を法として動かさないので、$\sigma|_{L_i}$ は $\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_{L_i}$ を保ち、$\mathcal{O}_{L_i}$ の各元を $\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_{L_i}$ を法として動かさない。すなわち $\sigma|_{L_i}\in I(\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_{L_i}\mid\mathfrak{p})$ である。惰性群の位数は分岐指数に等しい（同記事の系「惰性群の位数と完全列」）ので、仮定からこの群は自明で、$\sigma|_{L_1}=\sigma|_{L_2}=1$、よって $\sigma=1$ である。したがって $e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})=\lvert I(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})\rvert=1$ である。
実素点 $v$ を延ばす埋め込み $\tau\colon L_1L_2\to\mathbb{C}$ について、$\tau|_{L_i}$ は $v$ を延ばす $L_i$ の埋め込みなので仮定から $\tau(L_i)\subset\mathbb{R}$ であり、$\tau(L_1L_2)$ は $\tau(L_1)$ と $\tau(L_2)$ で生成される体なので $\mathbb{R}$ に含まれる。$\square$

1。$L/K$ で分岐する素イデアルはないので、射類体と導手 の記事の定理「導手の存在と基本性質」の 2 により導手の有限部分は $\mathcal{O}_K$ である。$K$ の実素点の上の $L$ の素点はすべて実素点なので、同定理の 3 により導手の無限部分は空である。よって $\mathfrak{f}(L/K)=(1)$ であり、同定理の 1 により法 $(1)$ は定義法である。すなわち $\psi_{L/K}$ は $I_K^{(1)}=I_K$ の上で定義され、$\psi_{L/K}(P_K)=1$ である。Artin写像とArtin相互法則 の記事の命題「Artin写像の基本性質」の 4 により $\psi_{L/K}$ は全射なので、全射 $\operatorname{Cl}_K=I_K/P_K\to\operatorname{Gal}(L/K)$ が得られる。$[L:K]=\lvert\operatorname{Gal}(L/K)\rvert$ は $\operatorname{Cl}_K$ の商の位数なので $h_K$ を割る。
2。1 により、すべての素点で不分岐な有限次アーベル拡大の次数は $h_K$ 以下である（$K$ 自身もその 1 つである）。次数が最大のもの $H$ をとる。すべての素点で不分岐な有限次アーベル拡大 $L$ について、lem-hcf-compositum により $HL$ もそうであり、$[HL:K]\ge[H:K]$ と最大性から $HL=H$、すなわち $L\subset H$ である。よって $H$ は最大のものであり、そのようなものはただ 1 つである。$[H:K]$ が $h_K$ を割ることは 1 による。$\square$

$H_K$ の最大性から $L\subset H_K$ で、thm-hcf-main の 2 から $[H_K:K]\le h_K=[L:K]$ なので $L=H_K$ である。thm-hcf-main の 1 の全射 $\operatorname{Cl}_K\to\operatorname{Gal}(L/K)$ は位数の等しい有限群の間の全射なので同型である。$\square$

thm-hcf-main の 1 の証明で見たとおり $\mathfrak{f}(H_K/K)=(1)$ なので、射類体と導手 の記事の命題「射類体に含まれるための条件」の 1 により $H_K\subset K_{(1)}$ である。$\operatorname{Gal}(K_{(1)}/K)\cong\operatorname{Cl}_{(1)}=\operatorname{Cl}_K$ から $[K_{(1)}:K]=h_K$ である。分岐しない素イデアルについての主張は同記事の定理「次数と素な素イデアルでの不分岐性」の後半（$\mathfrak{m}=(1)$）である。$K_{(1)}$ がすべての素点で不分岐なら最大性から $K_{(1)}\subset H_K$、よって $H_K=K_{(1)}$ で、cor-hcf-criterion により同型が成り立つ。同型が成り立てば $[H_K:K]=h_K=[K_{(1)}:K]$ で $H_K\subset K_{(1)}$ なので $H_K=K_{(1)}$ であり、$H_K$ はすべての素点で不分岐である。$\square$

$\mathfrak{p}$ は $H_K$ で分岐しないので、Frobenius元 の記事の命題「Frobenius元の基本性質」の 1 により剰余次数は $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{p}}=\psi_{H_K/K}(\mathfrak{p})$ の位数に等しい。thm-hcf-main の 1 により $\psi_{H_K/K}(\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}$ の類の、準同型 $\operatorname{Cl}_K\to\operatorname{Gal}(H_K/K)$ による像なので、その位数は類の位数を割り、同型なら等しい。完全分解は剰余次数が $1$ であること（同命題の 3）なので、残りの主張が従う。$\square$