楕円の共役直径

前提知識: 2次曲線の媒介変数表示, 1次変換と行列式：面積の拡大率, 中点連結定理, ベクトルの内積

高校での出発点：平行な弦の中点を集める

楕円に、同じ傾きの直線を何本も引く。直線が楕円と 2 点で交わるとき、その 2 点を結ぶ線分（弦）の中点をとる。中点はどこに並ぶだろうか。まず計算してみる。

楕円の傾き 1 の平行な弦（青）の中点（赤）は、原点を通る直線 y＝－4x/9 の上に並ぶ
円では、平行な弦の中点は弦に垂直な直径の上に並ぶ。楕円でも中点は中心を通る 1 本の直線に並ぶが、その直線は弦に垂直ではない。傾きの積は $1\cdot\left(-\dfrac49\right)=-\dfrac49$ で、楕円の $a=3$、$b=2$ を使うと $-\dfrac{b^2}{a^2}$ である。この記事で答える問いは次の 3 つである。

1. 平行な弦の中点は、どの楕円でも、どの向きの弦でも中心を通る 1 本の直線に並ぶか。その直線はどう求まるか。→ thm-cdia-main
2. 逆向きに、その直線に平行な弦の中点はどこに並ぶか。→ thm-cdia-main の (2)
3. こうして組になる 2 本の直径の長さや、2 本が張る平行四辺形の面積について何がいえるか。→ thm-cdia-apollonius、cor-cdia-tangent

   高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
   解と係数の関係で弦の中点を求める	共役直径	2 次形式に付随する内積での直交
   楕円を $y$ 方向に伸ばして円にする	1 次変換 $\varphi$ で円にもどす	アフィン変換で保たれる性質
   傾きの積 $-\dfrac{b^2}{a^2}$	共役直径の傾きの関係	対称行列に関する直交
   平行四辺形の面積	Apollonius の等式	行列式が変換で一律に拡大されること

言葉の準備：楕円の媒介変数と直径

以下、$a>0$、$b>0$ を定数とする（$a\ge b$ とは限らない）。

「ただ 1 通り」は、$\left(\dfrac xa\right)^2+\left(\dfrac yb\right)^2=1$ なので $\left(\dfrac xa,\dfrac yb\right)$ が単位円の点になり、単位円の点は $(\cos t,\sin t)$（$0\le t<2\pi$）とただ 1 通りに書けることから分かる（2次曲線の媒介変数表示）。
注意したいのは、$t$ は中心 $O$ から見た点 $P(t)$ の向きの角ではないことである。点 $(a\cos t,\ a\sin t)$ は、中心 $O$、半径 $a$ の円（補助円とよぶ）の上で、$x$ 軸の正の向きから角 $t$ の位置にある。$P(t)$ はこの点の $y$ 座標だけを $\dfrac ba$ 倍した点である（$a>b$ なら縦に縮めた点）。図 2 のように、$OP(t)$ が $x$ 軸となす角 $\theta$ は一般に $t$ と違う。
補助円の上の角 t の点を縦に b/a 倍に縮めると楕円の点 P になり、OP が x 軸となす角 θ は t と違う

冒頭の計算で見た関係に名前を付ける。

ex-cdia-start では、傾き $1$ の直径 $y=x$（両端 $\pm\left(\dfrac{6}{\sqrt{13}},\dfrac{6}{\sqrt{13}}\right)$）に共役な直径は、直線 $y=-\dfrac49x$ の上の直径である。ここでは「どの弦の中点も」と言っているので、ex-cdia-start のように $k$ を文字のまま計算する必要がある。何本かの弦で確かめただけでは、共役とは言えない。
定義は $d_1$ と $d_2$ について対称な形をしていない。$d_2$ が $d_1$ に共役なとき、$d_1$ が $d_2$ に共役になるかどうかは、定義からは分からない。これは thm-cdia-main の (2) で示す。

1 次変換で円にもどす

楕円の点の $y$ 座標を $\dfrac ab$ 倍すると、半径 $a$ の円の点になる。この操作を 1 次変換として書く。

これは 中点連結定理 の「大学数学で見る」や Steinerの内接楕円 で使ったアフィン変換の、いちばん簡単な場合である。
円の場合の答えは、中学校で習う円の性質から出る。

主定理：共役な直径の求め方

図 3 と図 4 は、段 1〜段 2 の様子である。左の円では、直径 $OP_1$ に平行な弦の中点が、$OP_1$ に垂直な直径の上に並ぶ。右の楕円は左の図を縦に $\dfrac ba$ 倍に縮めたもので、平行な弦・中点・直径がそのまま移る。垂直という性質だけが保たれない。

円では、赤い直径に平行な弦の中点が、赤い直径に垂直な緑の直径の上に並ぶ

左の図を縦に縮めた楕円では、赤い直径 OP に平行な弦の中点が緑の直径 OQ の上に並ぶが、2 本は垂直ではない

証明の段 1 から、共役な半直径 $OP$、$OQ$ は、補助円の上では $90^\circ$ 離れた 2 点 $P_1$、$Q_1$ に対応する。媒介変数で言えば、$t$ を $\dfrac\pi2$ だけ進めると共役な直径が得られる。中心から見た角を $90^\circ$ 進めるのではない（ex-cdia-cx-angle）。

共役な半直径を座標軸にとる

共役な半直径 $OP$、$OQ$ を斜めの座標軸にとると、楕円は「単位円」の式で書ける。

この補題から thm-cdia-main の (1) をもう一度見ることができる。$OP$ に平行な直線は、$u$ を一定にした点 $sP+uQ$ の集まりである。$\lvert u\rvert<1$ なら、楕円との交点は $s=\pm\sqrt{1-u^2}$ の 2 点で、中点は $s=0$ の点 $uQ$、つまり直線 $OQ$ の上の点である。ex-cdia-main の弦は $u=\dfrac12$、$s=\pm\dfrac{\sqrt3}2$ の場合で、$X=\dfrac{\sqrt3}2P+\dfrac12Q$、$Y=-\dfrac{\sqrt3}2P+\dfrac12Q$ である。

Apollonius の等式

共役な半直径の長さはいろいろに変わるが、2 乗の和と、2 本が張る平行四辺形の面積は変わらない。

2. は 1 次変換の見方でも分かるが、(1) はこの見方では出てこない。1 次変換は面積を一律に拡大するが、長さを一律には拡大しないからである。
   (2) を 1 次変換で見る別証明を開く

   thm-cdia-main の証明の段 1 の $P_1$、$Q_1$ は長さ $a$ で垂直なので、$\overrightarrow{OP_1}$、$\overrightarrow{OQ_1}$ が張る平行四辺形は 1 辺 $a$ の正方形で、面積は $a^2$ である。$\varphi^{-1}$ は行列式 $\dfrac ba$ の 1 次変換なので、面積を一律に $\dfrac ba$ 倍にする（1次変換と行列式：面積の拡大率）。正方形は $\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OQ}$ が張る平行四辺形に移るので、面積は $a^2\cdot\dfrac ba=ab$ である。

2. の $t=\dfrac\pi4$ のように、共役な半直径の長さが等しくなることがある。$OP^2-OQ^2=(a^2-b^2)(\cos^2t-\sin^2t)=(a^2-b^2)\cos2t$ なので、$a\ne b$ のとき長さが等しいのは $\cos2t=0$、つまり $t=\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}2$（$k$ は整数）のときに限る。このとき $P=\left(\pm\dfrac a{\sqrt2},\pm\dfrac b{\sqrt2}\right)$ で、$P$ は長方形 $\lvert x\rvert\le a$、$\lvert y\rvert\le b$ の対角線の上にある。

端点での接線と外接する平行四辺形

$P(t)$ を $t$ で微分すると $(-a\sin t,\ b\cos t)$ で、これはちょうど $\overrightarrow{OQ}$ である。$P$ での接線の向きは、共役な直径の向きである。

共役な半直径 OP、OQ について、4 点 ±P、±Q を結ぶ平行四辺形（青、面積 2ab）と、4 点での接線が囲む平行四辺形（橙、面積 4ab）
図 5 は $t=\dfrac\pi6$ の場合である。外側の平行四辺形の各辺は楕円に接し、どの $t$ でも面積は $4ab=24$ である。内側の平行四辺形の面積 $2ab=12$ は、楕円に内接する四角形の面積の最大値になっている。これは次に読む 楕円に内接する多角形の最大面積 で示す。

例と反例

共役であることを別の条件ととりかえると、thm-cdia-main や thm-cdia-apollonius の結論が崩れる。$a=3$、$b=2$ の楕円 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}4=1$ で確かめる。

直径 y＝x に平行な弦 y＝x＋1 の中点 M は、垂直な直線 y＝－x（灰色の破線）の上になく、共役な直径 y＝－4x/9（緑）の上にある

円・楕円・双曲線を比べる

双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ でも、平行な弦の中点は中心を通る直線に並ぶ（rem-cdia-hyperbola）。3 つの曲線を並べる。

大学数学で見る：2 次形式の内積で直交する

楕円の式の左辺から、ベクトル $\vec u=(u_1,u_2)$、$\vec v=(v_1,v_2)$ の「積」
$$ B(\vec u,\vec v)=\frac{u_1v_1}{a^2}+\frac{u_2v_2}{b^2} $$
を作る。$B$ はふつうの内積と同じ計算規則（対称で、各ベクトルについて 1 次、$\vec u\ne\vec0$ なら $B(\vec u,\vec u)>0$）を満たす。楕円 $E$ は $B(\vec x,\vec x)=1$ となる点 $\vec x$ の集まりである。

共役とは、楕円の式が決める「もう 1 つの内積」$B$ での直交であり、長軸と短軸は 2 つの内積の両方で直交する組である。

さらに先へ

• Steinerの内接楕円 の補題「楕円の媒介変数表示と面積」の楕円 $\vec c+\cos\theta\,\vec p+\sin\theta\,\vec q$ では、$\vec p$、$\vec q$ がいつも共役な半直径になる。点 $\vec c+s\vec p+u\vec q$ が楕円の上にあるのは $(s,u)=(\cos\theta,\sin\theta)$ となる $\theta$ があるとき、つまり $s^2+u^2=1$ のときで、lem-cdia-oblique と同じ形だからである。楕円の面積 $\pi\lvert\det(\vec p,\vec q)\rvert$ は、thm-cdia-apollonius の (2) の面積 $ab$ の $\pi$ 倍にあたる。
• 共役な半直径が張る平行四辺形 $P$、$Q$、$-P$、$-Q$ は、楕円に内接する四角形のうち面積が最大のものである。三角形や一般の $n$ 角形の場合を含めて 楕円に内接する多角形の最大面積 で示す。
• 長さの関係 $OP^2+OQ^2=a^2+b^2$ は、1 次変換では長さが一律に拡大されないのに成り立つ等式である。長さを 1 次変換で扱えない例として、周の長さ 楕円の周の長さ がある。

関連項目

• 前提: 2次曲線の媒介変数表示, 1次変換と行列式：面積の拡大率, 中点連結定理, ベクトルの内積
• 前に読む: 2次曲線の媒介変数表示, 1次変換と行列式：面積の拡大率, 中点連結定理
• 次に読む: 楕円に内接する多角形の最大面積
• 関連（高校数学）: Steinerの内接楕円, 2次曲線の接線と光学的性質, 2次曲線と2次形式
• 発展: 2次形式