Rückertの零点定理

1. $V_0(I_0(X))=X$ は 解析集合(複素解析) の命題「芽とイデアルの対応」の 2 で、$I_0(V_0(I))=\sqrt I=I$（$I$ が根基イデアルのとき）は thm-rn-main である。包含を逆にすることは同じ命題の 3 による。2. 既約な芽と素イデアルの対応は同じ記事の定理「既約分解」の 1 である。$I_0(\{0\})=\mathfrak{m}$ と $V_0(\mathcal{O}_n)=\emptyset$ は定義から従う。3. $V_0(I)\subset\{0\}$ なら $\mathfrak{m}=I_0(\{0\})\subset I_0(V_0(I))=\sqrt I$ なので、各 $z_j$ のある冪が $I$ に入り、$N$ を大きくとれば $\mathfrak{m}^N\subset I$ である。逆に $\mathfrak{m}^N\subset I$ なら $z_j^N\in I$ なので $V_0(I)\subset V_0((z_1^N,\dots,z_n^N))=\{0\}$ である。$\square$

$I=\mathcal{O}_n$ なら $V_0(I)$ は空で、両辺は $\mathcal{O}_n$ である。$I\ne\mathcal{O}_n$ とする。$\mathcal{O}_n$ は Noether 環なので（Weierstrassの予備定理 の系「収束冪級数環は Noether 環」）、$\sqrt I=\mathfrak{p}_1\cap\dots\cap\mathfrak{p}_m$（$\mathfrak{p}_i$ は素イデアル）と書ける（極小素イデアル の定理「Noether環における有限性」の 1）。$I\subset\mathfrak{p}_i$ だから $V_0(\mathfrak{p}_i)\subset V_0(I)$ である。$f$ が $V_0(I)$ の上で $0$ なら、各 $V_0(\mathfrak{p}_i)$ の上でも $0$ なので、仮定により $f\in\mathfrak{p}_i$ がすべての $i$ で成り立ち、$f\in\sqrt I$ である。$\square$

要点：$\mathfrak{p}$ から $0$ でない元をとり、予備定理で最後の変数の Weierstrass 多項式に直す。$\mathfrak{p}\cap\mathcal{O}_{n-1}$ がまた $0$ でなければ、残りの変数で同じことを繰り返す。

$B:=\mathcal{O}_n/\mathfrak{p}$ は整域で、lem-rn-normal の 3 により $\mathcal{O}_d$ を部分環として含み、その上で有限生成加群である。よって $f$ の像 $\bar f$ は $\mathcal{O}_d$ 上整であり（整拡大 の定理「有限生成な加群による判定」）、$\bar f^m+c_{m-1}\bar f^{m-1}+\dots+c_0=0$（$c_i\in\mathcal{O}_d$、$m\ge1$）の形の関係式のうち $m$ が最小のものをとる。$c_0=0$ なら、$m\ge2$ のとき $\bar f(\bar f^{m-1}+\dots+c_1)=0$ と $\bar f\ne0$ から次数 $m-1$ の関係式が得られ、$m=1$ のときは $\bar f=0$ となって、どちらも矛盾する。よって $c_0\ne0$ で、$N:=-c_0=\bar f\,(\bar f^{m-1}+c_{m-1}\bar f^{m-2}+\dots+c_1)$ は $\bar fB$ に入る。$h$ を括弧の中の元の代表にとればよい。$\square$

割り算で余りに直す。 Weierstrassの割り算定理 により $g_i=Q_iW+R_i$（$Q_i\in\mathcal{O}_{k+1}$、$R_i\in\mathcal{O}_k[z_{k+1}]$、$\deg R_i< b$）と書け、$W\in\mathfrak{q}$ なので $W=\sum_i\lambda_ig_i$（$\lambda_i\in\mathcal{O}_{k+1}$）とも書ける。これらの有限個の等式が成り立ち、すべての関数が正則な多重円板 $\Delta'_0\times D(\rho)$（$\Delta'_0\subset U$、$\rho\le\varepsilon$）をとる。$W$ の係数は原点で $0$ なので、多重円板 $\Delta'\subset\Delta'_0$ を小さくとれば、$a\in\Delta'$ について $W(a,\cdot)$ の $b$ 個の根はすべて $D(\rho)$ に入る（Weierstrassの予備定理 の注意「根の大きさの評価」）。$\Delta'\times D(\rho)$ の上では、2 つの等式から
$$ \{g_1=\dots=g_s=0\}=\{W=0,\ R_1=\dots=R_s=0\} $$
である。
行列式。 $u=(u_1,\dots,u_s)$ を不定元とし、環 $S:=\mathcal{O}(\Delta')[u]$ の上で $G_u(T):=\sum_iu_iR_i(z',T)\in S[T]$ を考える（$z'\in\Delta'$ は $\mathbb{C}^k$ の点）。$W$ はモニックなので $S[T]/(W)$ は $1,T,\dots,T^{b-1}$ を基底とする自由 $S$ 加群で、$G_u$ を掛ける写像の表現行列を $M_u$ とし、$\delta_u:=\det M_u\in S$ とおく。$M_u$ の固有多項式 $\chi(X)=\det(X-M_u)$ について、Cayley–Hamiltonの定理 により $\chi(M_u)=0$、すなわち $\chi(G_u)\in W\cdot S[T]$ である。$\chi(G_u)=G_u\cdot H+\chi(0)$（$H\in S[T]$）、$\chi(0)=(-1)^b\delta_u$ なので、
$$ \delta_u=(-1)^{b}\bigl(K\,W-H\,G_u\bigr)\qquad(H,K\in S[T]) $$
と書ける。両辺を $u$ の単項式 $u^\alpha$ の係数で比べると、$\delta_u=\sum_\alpha\delta_\alpha u^\alpha$ の各係数 $\delta_\alpha\in\mathcal{O}(\Delta')$ は、$W,R_1,\dots,R_s$ の $\mathcal{O}(\Delta')[T]$ 係数の一次結合である。$R_i=g_i-Q_iW$、$W=\sum\lambda_ig_i$ なので、$\delta_\alpha$ の原点での芽は $\mathfrak{q}$ に入り、$z_{k+1}$ によらないので $\mathfrak{q}\cap\mathcal{O}_k=\mathfrak{q}'$ に入る。$\delta_\alpha$ は有限個なので、$\Delta'$ をさらに小さくとれば、各 $\delta_\alpha$ は $\Delta'$ 上で $c_1,\dots,c_l$ の正則関数係数の一次結合になる。
根で値を取る。 $a\in\Delta'$、$c_1(a)=\dots=c_l(a)=0$ とすると、すべての $\delta_\alpha(a)=0$ なので、任意の $u\in\mathbb{C}^s$ で $\det M_u(a)=0$ である。$M_u(a)$ は $\mathbb{C}[T]/(W(a,T))$ の上で $G_u(a,T)$ を掛ける写像の行列で、$W(a,\cdot)$ の根を重複度こみで $\theta_1,\dots,\theta_b$ とすると
$$ \det M_u(a)=\prod_{\nu=1}^b G_u(a,\theta_\nu)=\prod_{\nu=1}^b\Bigl(\sum_{i=1}^su_iR_i(a,\theta_\nu)\Bigr) $$
である（rem-rn-det）。右辺は $u$ の一次式の積で、$\mathbb{C}^s$ 全体で $0$ なので多項式として $0$ であり、$\mathbb{C}[u]$ は整域だから、ある $\nu$ について一次式 $\sum_iu_iR_i(a,\theta_\nu)$ が $0$、すなわち $R_1(a,\theta_\nu)=\dots=R_s(a,\theta_\nu)=0$ である。$W(a,\theta_\nu)=0$、$|\theta_\nu|<\rho$ なので、$t:=\theta_\nu$ とおけば $g_1(a,t)=\dots=g_s(a,t)=0$ である。$\square$

要点：lem-rn-lift を $j=d,d+1,\dots,n-1$ の各段に使い、原点の近くの点 $a\in\mathbb{C}^d$ を 1 座標ずつ持ち上げる。各段の近傍は、上の段の多重円板に収まるように上から順に選んでおく。

lem-rn-reduce により、$\mathfrak{p}$ が素イデアルのとき $I_0(V_0(\mathfrak{p}))\subset\mathfrak{p}$ を示せばよい。$\mathfrak{p}=0$ のとき、$V_0(0)$ は原点の近傍全体の芽で、その上で $0$ になる芽は $0$ である。以下 $\mathfrak{p}\ne0$ とし（$\mathfrak{p}\ne\mathcal{O}_n$ は素イデアルの定義に含まれる）、lem-rn-normal の座標と $\mathfrak{p}=(g_1,\dots,g_s)$ をとる。
$f\in I_0(V_0(\mathfrak{p}))$ とし、$f\notin\mathfrak{p}$ と仮定して矛盾を導く。$f$ はある $\varepsilon_1>0$ について $\{|x|<\varepsilon_1,\ g_1(x)=\dots=g_s(x)=0\}$ の上で $0$ である。lem-rn-norm により、$0$ でない $N\in\mathcal{O}_d$ と $h\in\mathcal{O}_n$、$e_i\in\mathcal{O}_n$ で
$$ N(\pi_d(x))=f(x)\,h(x)+\sum_{i=1}^se_i(x)\,g_i(x) $$
となるものがある。これは原点の近傍 $\{|x|<\varepsilon_2\}$ で成り立つとしてよい。$\varepsilon:=\min(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$ として lem-rn-surj の $\Delta_d$ をとる（必要なら $N$ が $\Delta_d$ で正則になるよう小さくする）。$a\in\Delta_d$ に対し、$\pi_d(x)=a$、$|x|<\varepsilon$ となる $g_1,\dots,g_s$ の共通零点 $x$ がある。そこで $f(x)=0$、$g_i(x)=0$ なので、上の式から $N(a)=0$ である。$a\in\Delta_d$ は任意なので、$N$ は原点の近傍で恒等的に $0$ になり、$N\ne0$ に反する（$d=0$ のときは $N$ は $0$ でない定数で、$a$ は $\mathbb{C}^0$ のただ一つの点）。よって $f\in\mathfrak{p}$ である。$\square$