冪零イデアル

$k$ を体、$m\ge1$ とし、$A=k[x]/(x^m)$ とする。$1\le j\le m$ について、イデアル $(\bar x^j)$ の元はすべて $\bar x^j$ の倍元なので、$(\bar x^j)^n=(\bar x^{jn})$ である。これは $jn\ge m$ のとき $0$ であり、$jn< m$ のとき $\bar x^{jn}\ne0$（$x^{jn}\notin(x^m)$）を含むので $0$ でない。よって $(\bar x^j)$ は冪零イデアルで、冪零指数は $m/j$ 以上の最小の整数である。たとえば $m=3$ では、$(\bar x)$ の冪零指数は $3$、$(\bar x^2)$ の冪零指数は $2$ である（$(\bar x^2)^2=(\bar x^4)=0$、$\bar x^2\ne0$）。

$p$ を素数、$n\ge1$ とし、$I:=p\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ とおく。$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ のイデアル $I$ は冪零イデアルで、冪零指数は $n$ である。実際、その $n$ 個の元の積は $p^n$ の倍数の類なので $0$ である。$n\ge2$ なら $\bar p^{\,n-1}\in I^{n-1}$ は $0$ でない。$n=1$ なら $I=0$ で冪零指数は $1$ である。

$k$ を体、$A=k[x,y]/(x^2,xy)$ とする。冪零根基 の記事の例「直線に埋め込まれた点をもつ環」により $\operatorname{nil}(A)=(\bar x)=\{c\bar x\mid c\in k\}$ であり、$\bar x\ne0$、$\bar x^{\,2}=0$ なので $(\bar x)^2=(\bar x^{\,2})=0$ である。よって $\operatorname{nil}(A)$ は冪零指数 $2$ の冪零イデアルである。一方 $\bar y$ は $\bar x\bar y=0$ を満たす零因子だが冪零でないので、$\bar y$ を含むイデアルは冪零イデアルでない。零因子を集めても冪零イデアルにはならない。

$k$ を体、$n\ge1$ とし、$R$ を $k$ 成分の $n$ 次上三角行列（対角線より下の成分が $0$ の行列）全体のなす環、$N$ を対角成分も $0$ の上三角行列（狭義上三角行列）全体とする。上三角行列 $a,b$ の積の $(i,i)$ 成分は $a_{ii}b_{ii}$ なので、$a$ か $b$ が $N$ に属すれば $ab\in N$ であり、$N$ は $R$ の両側イデアルである。
$N$ の元 $a$ は $e_1,\dots,e_n$ を $k^n$ の標準基底として $ae_j\in ke_1+\cdots+ke_{j-1}$ を満たす。したがって $N$ の元を $n$ 個掛けた積は各 $e_j$ を $0$ に写し、$N^n=0$ である。行列単位 $E_{ij}$ について $E_{12}E_{23}\cdots E_{n-1,n}=E_{1n}\ne0$（$n\ge2$）なので $N^{n-1}\ne0$ であり、$N$ の冪零指数は $n$ である（$n=1$ なら $N=0$ で冪零指数は $1$）。$R/N$ は対角成分を取り出す写像により体の直積環 $k^n$ と同型である。これは可換でない環の冪零イデアルの典型例である。

$k$ を体、$P=k[x_1,x_2,x_3,\dots]$ を可算無限個の変数の多項式環、$J=(x_1,x_2^2,x_3^3,\dots)$、$A=P/J$ とし、$x_i$ の類を $\bar x_i$ と書く。$I:=(\bar x_1,\bar x_2,\dots)$ とおく。
$\bar x_i^{\,i}=0$ なので各 $\bar x_i$ は冪零であり、冪零根基はイデアルなので（冪零根基 の記事）$I\subset\operatorname{nil}(A)$、すなわち $I$ は nil イデアルである。
一方、$m\ge2$ について $\bar x_m^{\,m-1}\in I^{m-1}$ は $0$ でない。実際、$J$ の元は $\sum_ig_ix_i^i$（有限和、$g_i\in P$）の形なので、単項式の $k$ 係数の 1 次結合として展開すると、現れる単項式はすべてある $x_i^i$ で割り切れる。単項式 $x_m^{m-1}$ はどの $x_i^i$ でも割り切れない（$i=m$ なら指数が足りず、$i\ne m$ なら $x_i$ を含まない）ので $J$ に属さない。よってどの $n$ についても $I^n\ne0$ であり（$n+1\ge2$ として $\bar x_{n+1}^{\,n}\in I^n$ をとる）、$I$ は冪零イデアルでない。
この例は「nil イデアル」を満たすが「冪零イデアル」を満たさず、含意「nil イデアルは冪零イデアルである」を破る。$A$ はNoether環でない。Noether環ではこの含意が成り立つ（prop-nilpotent-ideal-noetherian）。

可換環では、冪零元 $x$ が生成するイデアル $(x)$ は冪零である。$(x)$ の元は $x$ の倍元で、$(x)^n=(x^n)$ となるからである。可換でない環ではこれが成り立たない。体 $k$ 上の $2$ 次正方行列の環 $M_2(k)$（行列環）で $E_{12}$ は $E_{12}^2=0$ を満たす冪零元であるが、$E_{12}$ を含む両側イデアルは $E_{21}E_{12}=E_{22}$ と $E_{12}E_{21}=E_{11}$ を含み、したがって $E_{11}+E_{22}=1$ を含むので $M_2(k)$ 全体である。$1$ は冪零でないので、このイデアルは nil イデアルですらない。この例は「冪零元で生成される」を満たすが「冪零イデアル」を満たさず、含意「冪零元が生成する両側イデアルは冪零である」を破る。破れている仮定は乗法の可換性である。

$p$ を素数とし、$A=\mathbb{Z}_{(p)}=\{a/b\in\mathbb{Q}\mid p\nmid b\}$ を考える。$A$ はただ 1 つの極大イデアル $\mathfrak{m}=p\mathbb{Z}_{(p)}$ をもつ局所環なので、Jacobson根基は $\mathfrak{m}$ である（Jacobson根基 の記事の例「反例：冪零でない元を含む Jacobson根基」）。$A$ は整域なので $0$ でない冪零元をもたず、$\mathfrak{m}\ne0$ は冪零イデアルでない。可換環の冪零イデアルはつねに Jacobson 根基に含まれるが（prop-nilpotent-ideal-primes）、この例は含意「Jacobson 根基は冪零イデアルである」を破る。満たす性質は「Noether環」「局所環」、満たさない性質は「Artin環」である。Artin環では Jacobson 根基は冪零である（Artin環 の記事の命題「Jacobson根基は冪零」）。

$k$ を体とし、$A_0$ を、非負の有理数 $q$ についての記号 $t^q$ の $k$ 係数の有限和全体に、積 $t^rt^s=t^{r+s}$ を入れた可換環とする。$t^q$（$q\ge1$）の張る部分空間 $(t)$ はイデアルであり、$A:=A_0/(t)$ とおく。$A$ は $t^q$（$0\le q<1$）の類を $k$ 上の基底にもつ。$t^q$（$0< q<1$）の類の張る部分空間を $I$ とすると、$t^r\cdot t^q=t^{r+q}$ により $I$ はイデアルである。$I$ の元は $t^q$（$0< q<1$）の類の有限個の 1 次結合であり、現れる指数の最小値を $q_0>0$ とし $nq_0\ge1$ となる $n$ をとる。その $n$ 乗を展開すると、各項は $t^{q_1+\cdots+q_n}$（各 $q_i\ge q_0$）の類の定数倍で、指数が $1$ 以上なので $0$ である。よって $I$ は nil イデアルである。
一方 $t^q=t^{q/2}t^{q/2}$ なので $I=I\cdot I$ であり、$A$ 加群 $M:=I$ は $IM=M$ を満たすが、$t^{1/2}$ の類は $0$ でないので $M\ne0$ である。この例は「$I$ は nil イデアル」を満たすが「$I$ は冪零イデアル」を満たさず（$I^n=I\ne0$）、prop-nilpotent-ideal-nakayama の結論「$IM=M$ なら $M=0$」を破る。$I$ は $\operatorname{Jac}(A)$ に含まれるが、$M=I$ は有限生成でないので Nakayamaの補題 とも矛盾しない。