確率の最大

同義語：最も起こりやすい回数most likely value

概要

前提知識: 反復試行の確率

高校での出発点：いちばん起こりやすい回数

成功の確率が $p$ の試行を $n$ 回くり返すとき、成功がちょうど $k$ 回である確率は
$$ P_k=\binom nk p^kq^{n-k}\qquad(q=1-p,\ k=0,1,\dots,n) $$
である（反復試行の確率）。では、$P_0,P_1,\dots,P_n$ のうちどれがいちばん大きいか。つまり、成功の回数はいくつになるのが最も起こりやすいか。この記事では、この問いに答える技法と、その答えを扱う。

硬貨を 4 回投げる

硬貨を 4 回投げて表が $k$ 回出る確率は $P_k=\dbinom4k\dfrac1{16}$ で、
$$ P_0=\frac1{16},\quad P_1=\frac4{16},\quad P_2=\frac6{16},\quad P_3=\frac4{16},\quad P_4=\frac1{16} $$
である。最も起こりやすいのは $k=2$ で、表と裏が半分ずつになる回数である。

成功の確率 $0.3$ で 10 回

成功の確率 $0.3$ の試行を 10 回くり返す。$P_k=\dbinom{10}{k}(0.3)^k(0.7)^{10-k}$ を計算すると、小数第 4 位まで
$$ P_0\approx0.0282,\quad P_1\approx0.1211,\quad P_2\approx0.2335,\quad P_3\approx0.2668,\quad P_4\approx0.2001,\quad P_5\approx0.1029 $$
で、$k\ge5$ では減り続ける。最も起こりやすいのは $k=3$ である。ちょうど $10\times0.3=3$ 回である。

ex-mlv-n10 では 11 個の確率を全部計算した。$n$ が大きくなると、これは大変である。そこで、隣り合う 2 つの確率の比 $\dfrac{P_{k+1}}{P_k}$ を見る。比が $1$ より大きければ確率は増え、$1$ より小さければ減る。比は階乗が約分されて簡単な式になるので、どこで増加から減少に変わるかが一度に分かる。
この記事で答える問いは次の 4 つである。

比 $\dfrac{P_{k+1}}{P_k}$ を使うと、なぜ最大の場所が分かるのか。→ prop-mlv-ratio
最も起こりやすい回数は、$n$ と $p$ からどう決まるか。→ thm-mlv-binomial
最も起こりやすい回数が 2 つになるのはどんなときか。→ thm-mlv-binomial、ex-mlv-n9

同じ技法で、池の魚の数を推定できるのはなぜか。→ prop-mlv-capture

高校の計算	この記事の言葉	大学の言葉
確率を全部計算して比べる	隣どうしの比と $1$ の大小	数列の増減、単峰性
比 $\dfrac{P_{k+1}}{P_k}$ を約分する	比が $k$ について減る	対数凹数列
最も起こりやすい回数	$\lfloor(n+1)p\rfloor$	二項分布の最頻値
観測の確率を最大にする $N$ を選ぶ	比による最大化	最尤推定

比で増減を調べる

まず、確率に限らない一般の技法として述べる。

比の判定

$a_0,a_1,\dots,a_n$ はすべて正の数とし（$n\ge1$）、$r_k:=\dfrac{a_{k+1}}{a_k}$（$k=0,1,\dots,n-1$）とおく。
(1) $a_{k+1}>a_k$ と $r_k>1$ は同値である。$a_{k+1}=a_k$ と $r_k=1$、$a_{k+1}< a_k$ と $r_k<1$ も、それぞれ同値である。
(2) さらに $r_0>r_1>\cdots>r_{n-1}$（比が $k$ について減る）とする。$r_k>1$ となる $k$ の個数を $K$ とすると、$a_k$ は $k=K$ で最大になる。最大になる $k$ は、$r_K=1$ のとき（$K\le n-1$ の場合に限る）$K$ と $K+1$ の 2 つで、それ以外のときは $K$ だけである。

比が 1 をまたぐ場所で分ける

要点：(1) は両辺を正の数 $a_k$ で割ればよい。(2) では、比が減るので「比が $1$ より大きい $k$」は小さい方の $0,1,\dots,K-1$ にまとまる。よって $a_k$ は $k=K$ まで増え、そこから先は増えない。$a_K$ と等しくなりうるのは $a_{K+1}$ だけで、それは $r_K=1$ のときである。

詳しい証明を開く

段 1（(1) の証明）。$a_k>0$ なので、$a_{k+1}>a_k$ の両辺を $a_k$ で割ると $r_k>1$ になり、逆に $r_k>1$ の両辺に $a_k$ を掛けると $a_{k+1}>a_k$ になる。等号・逆向きの不等号も同じである。

段 2（比が $1$ より大きい $k$ は $0,1,\dots,K-1$）。比が減るので、ある $k$ で $r_k>1$ なら、それより小さい $j< k$ でも $r_j>r_k>1$ である。よって $r_k>1$ となる $k$ は、小さい方から $K$ 個並んだ $0,1,\dots,K-1$ であり、$k\ge K$ では $r_k\le1$ である。

段 3（$K$ までは増える）。段 2 と (1) により、$a_0< a_1<\cdots< a_K$ である。

段 4（$K$ からは減る）。$K\le n-1$ のとき、$r_K\le1$ なので $a_{K+1}\le a_K$ で、等号は $r_K=1$ のときに限る。$k\ge K+1$ では、比が減ることから $r_k< r_K\le1$ なので、$a_{K+1}>a_{K+2}>\cdots>a_n$ である。

段 5（まとめ）。段 3・段 4 により、$a_K$ は $a_0,\dots,a_K$ の中で最大で、$a_{K+1},\dots,a_n$ はどれも $a_K$ 以下である。$a_K$ と等しくなりうるのは $a_{K+1}$ だけで、それは $r_K=1$ のときである。$K=n$ のときは段 3 だけで $a_n$ が最大である。$\square$

比で 10 回の例を見直す

ex-mlv-n10 の確率で、$k=2$ から $k=3$ への比を計算する。二項係数を階乗で書くと、分子と分母の $10!$ が約分できて
$$ \frac{P_3}{P_2}=\frac{\dfrac{\cancel{10!}}{3!\,7!}(0.3)^3(0.7)^7}{\dfrac{\cancel{10!}}{2!\,8!}(0.3)^2(0.7)^8} =\frac{2!\,8!}{3!\,7!}\cdot\frac{(0.3)^3}{(0.3)^2}\cdot\frac{(0.7)^7}{(0.7)^8} $$
となる。ここで $\dfrac{8!}{7!}=8$、$\dfrac{2!}{3!}=\dfrac13$、$\dfrac{(0.3)^3}{(0.3)^2}=0.3$、$\dfrac{(0.7)^7}{(0.7)^8}=\dfrac1{0.7}$ なので
$$ \frac{P_3}{P_2}=\frac{8}{3}\cdot\frac{0.3}{0.7}=\frac{8}{7}>1 $$
である。同じ計算で、比は順に
$$ \frac{P_1}{P_0}=\frac{30}{7},\quad \frac{P_2}{P_1}=\frac{27}{14},\quad \frac{P_3}{P_2}=\frac87,\quad \frac{P_4}{P_3}=\frac34,\quad \frac{P_5}{P_4}=\frac{18}{35},\ \dots $$
となる（図 1）。比が $1$ より大きいのは $k=0,1,2$ の 3 つなので、prop-mlv-ratio の $K$ は $3$ で、最大は $P_3$ である。$r_3=\dfrac34\ne1$ なので、最大になる $k$ は $3$ だけである。比が $k$ について減っていることは、並べた値から見てとれる（一般に減ることは prf-mlv-binomial の段 3 で示す）。11 個の確率を計算しなくても、分数と $1$ の比較だけで分かる。

成功の確率 0.3 の試行を 10 回くり返すときの比 P(k+1)/P(k)。比は k とともに減り、k = 2 と k = 3 の間で 1 を下回る
図 1 の網をかけた範囲（$k=0,1,2$）では比が $1$ より大きく、確率は増える。$k\ge3$ では比が $1$ より小さく、確率は減る。増加から減少に変わる $k=3$ が山の頂上である。

主定理：二項分布で最も起こりやすい回数

最も起こりやすい回数

$n\ge1$、$0< p<1$ とし、$P_k=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}$（$k=0,1,\dots,n$）とする。$a:=(n+1)p$ とおく。
(1) $a$ が整数でないとき、$P_k$ を最大にする $k$ はただ 1 つで、$k=\lfloor a\rfloor$（$a$ を超えない最大の整数）である。
(2) $a$ が整数のとき、$P_k$ を最大にする $k$ は $a-1$ と $a$ の 2 つで、$P_{a-1}=P_a$ である。

$\lfloor a\rfloor$ はガウス記号 $[a]$ と同じものである（ガウス記号と整数の個数）。証明の前に、2 つの場合を数値で見る。

$n=10$、$p=0.3$

$a=(10+1)\times0.3=3.3$ は整数でないので、thm-mlv-binomial の (1) により、最も起こりやすい回数は $\lfloor3.3\rfloor=3$ である。ex-mlv-n10、ex-mlv-n10-ratio と一致する。

$n=9$、$p=0.3$

$a=(9+1)\times0.3=3$ は整数なので、(2) により、最も起こりやすい回数は $2$ と $3$ の 2 つである。実際に計算すると
$$ P_2=\binom92(0.3)^2(0.7)^7=36\cdot0.09\cdot(0.7)^7=3.24\cdot(0.7)^7, $$
$$ P_3=\binom93(0.3)^3(0.7)^6=84\cdot0.027\cdot(0.7)^6=2.268\cdot(0.7)^6 $$
で、$3.24\times0.7=2.268$ なので $P_2=P_3$（どちらも約 $0.2668$）である。比で言えば $\dfrac{P_3}{P_2}=\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{0.3}{0.7}=1$ である。

成功の確率 0.3 の試行を 10 回くり返すときの確率。最大は k = 3 の 1 本（赤）で、点線は (n + 1)p = 3.3

成功の確率 0.3 の試行を 9 回くり返すときの確率。k = 2 と k = 3 の 2 本（赤）が同じ高さで最大になり、点線は (n + 1)p = 3

図 2 と図 3 を比べると、$n$ を 1 つ減らしただけで、山の頂上が 1 本から 2 本に変わる。頂上が 2 本になるのは、点線の $(n+1)p$ がちょうど整数になり、その両側の棒が同じ高さになるときである。

比を計算して比の判定を使う

方針：比 $\dfrac{P_{k+1}}{P_k}$ を $k$ の式で表し、それと $1$ の大小を $k$ の 1 次不等式に直す。比が $k$ について減ることを確かめて、prop-mlv-ratio を使う。$q=1-p$ とおく。
段 1（比を計算する）。$0< p<1$ なので、どの $P_k$ も正である。$k=0,1,\dots,n-1$ について、二項係数を階乗で書いて約分すると
$$ \frac{P_{k+1}}{P_k}=\frac{\dfrac{n!}{(k+1)!\,(n-k-1)!}\,p^{k+1}q^{n-k-1}}{\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\,p^kq^{n-k}} =\frac{k!}{(k+1)!}\cdot\frac{(n-k)!}{(n-k-1)!}\cdot\frac{p^{k+1}}{p^k}\cdot\frac{q^{n-k-1}}{q^{n-k}} $$
である。$\dfrac{k!}{(k+1)!}=\dfrac1{k+1}$、$\dfrac{(n-k)!}{(n-k-1)!}=n-k$、$\dfrac{p^{k+1}}{p^k}=p$、$\dfrac{q^{n-k-1}}{q^{n-k}}=\dfrac1q$ なので
$$ r_k:=\frac{P_{k+1}}{P_k}=\frac{(n-k)\,p}{(k+1)\,q} $$
となる。
段 2（比と $1$ の大小）。分母 $(k+1)q$ は正なので、$r_k>1$ は $(n-k)p>(k+1)q$ と同値である。左辺は $np-kp$、右辺は $kq+q$ なので、これは
$$ np-q>kp+kq=k(p+q)=k $$
と同値である。$np-q=np-(1-p)=(n+1)p-1=a-1$ なので、
$$ r_k>1\iff k< a-1,\qquad r_k=1\iff k=a-1,\qquad r_k<1\iff k>a-1 $$
である（等号・逆向きも同じ計算）。
段 3（比は $k$ について減る）。$k$ が 1 増えると、段 1 の式の分子の $n-k$ は減り、分母の $k+1$ は増える。$p,q$ は $k$ によらない正の数なので、$r_0>r_1>\cdots>r_{n-1}$ である。
段 4（$K$ を求める）。prop-mlv-ratio の $K$ は、$0\le k\le n-1$ で $r_k>1$、つまり段 2 により $k< a-1$ となる $k$ の個数である。$0< p<1$ なので $0< a< n+1$ である。
(1) $a$ が整数でないとき。$a<1$ なら $k< a-1<0$ となる $k\ge0$ はないので $K=0=\lfloor a\rfloor$ である。$a>1$ なら、$k< a-1$ となる整数 $k\ge0$ は $0,1,\dots,\lfloor a\rfloor-1$ の $\lfloor a\rfloor$ 個である（$a-1$ は整数でないので、$k< a-1$ は $k\le\lfloor a-1\rfloor=\lfloor a\rfloor-1$ と同じ）。$a< n+1$ より $\lfloor a\rfloor\le n$ なので、これらはどれも $n-1$ 以下で、$K=\lfloor a\rfloor$ である。どちらの場合も、$K\le n-1$ なら段 2 により $r_K=1$ は $K=a-1$ を意味するが、$a-1$ は整数でないので $r_K\ne1$ である。prop-mlv-ratio により、最大になる $k$ は $K=\lfloor a\rfloor$ だけである。
(2) $a$ が整数のとき。$0< a< n+1$ なので $1\le a\le n$ である。$k< a-1$ となる整数 $k\ge0$ は $0,1,\dots,a-2$ の $a-1$ 個で、$K=a-1\le n-1$ である。段 2 により $r_{a-1}=1$ なので、prop-mlv-ratio により、最大になる $k$ は $a-1$ と $a$ の 2 つで、$P_{a-1}=P_a$ である。$\square$

さいころを 30 回投げる

さいころを 30 回投げるとき、6 の目が最も出やすい回数を求める。$n=30$、$p=\dfrac16$ で、$a=\dfrac{31}{6}=5.16\cdots$ は整数でないので、答えは $\lfloor a\rfloor=5$ 回である。段 1 の比 $r_k=\dfrac{(30-k)\cdot\frac16}{(k+1)\cdot\frac56}=\dfrac{30-k}{5(k+1)}$ で確かめると、$r_4=\dfrac{26}{25}>1$、$r_5=\dfrac{25}{30}=\dfrac56<1$ なので、$P_4< P_5>P_6$ である。実際、$P_4\approx0.1847$、$P_5\approx0.1921$、$P_6\approx0.1601$ である。

硬貨を奇数回投げる

硬貨を 7 回投げる。$a=8\times\dfrac12=4$ は整数なので、表の回数で最も起こりやすいのは $3$ と $4$ の 2 つで、$P_3=P_4=\dfrac{35}{128}$ である。一般に、硬貨を奇数回 $2m+1$ 回投げると $a=m+1$ となり、$m$ 回と $m+1$ 回が同じ確率で最も起こりやすい。表と裏の役目を入れかえると「表が $m$ 回」と「表が $m+1$ 回（裏が $m$ 回）」が入れかわるので、2 つの確率が等しいことは、この対称性からも分かる。

平均・中央値と比べる

最も起こりやすい値を 最頻値 という。二項分布の平均は $np$ である（証明は二項分布から正規分布へ、平均の意味は確率変数の期待値と分散）。最頻値は平均とどのくらい違うか。

最頻値と平均の差

thm-mlv-binomial の最も起こりやすい回数 $M$ は、どれも
$$ np-(1-p)\le M\le np+p $$
をみたす。とくに $\lvert M-np\rvert<1$ である。

$a-1$ と $a$ の間にある

方針：$a=(n+1)p$ を $np$ で書き直し、thm-mlv-binomial の 2 つの場合で $M$ が $a-1$ 以上 $a$ 以下にあることを使う。
段 1（書き直し）。$a=np+p$、$a-1=np+p-1=np-(1-p)$ である。
段 2（(1) の場合）。$M=\lfloor a\rfloor$ で、ガウス記号の定義から $a-1<\lfloor a\rfloor\le a$ である。よって $a-1< M\le a$。
段 3（(2) の場合）。$M$ は $a-1$ か $a$ なので、$a-1\le M\le a$ である。
段 4（まとめ）。どちらの場合も $np-(1-p)\le M\le np+p$ である。$0< p<1$ なので $1-p<1$、$p<1$ であり、$-1< M-np<1$ となる。$\square$

同じ分布で、平均・最頻値・中央値を並べる。ここで中央値は、$P(X< c)\le\frac12$ かつ $P(X>c)\le\frac12$ をみたす実数 $c$ のことである（確率分布の中央値）。下の 5 つの例では、中央値はどれもただ 1 つに決まる。

分布	平均 $np$	最頻値	中央値
$n=4$、$p=0.5$（ex-mlv-coin4）	$2$	$2$	$2$
$n=10$、$p=0.3$（図 2）	$3$	$3$	$3$
$n=9$、$p=0.3$（図 3）	$2.7$	$2$ と $3$	$3$
$n=30$、$p=\frac16$（ex-mlv-die30）	$5$	$5$	$5$
$n=10$、$p=0.95$（ex-mlv-edge）	$9.5$	$10$	$10$

平均は整数でなくてもよいが、最頻値は起こりうる値（整数）であり、表の例では中央値も整数である。表の例では 3 つとも近い。平均からの距離が 1 未満であることは prop-mlv-mean で示したとおりである。中央値と平均の関係は、この記事では扱わない。平均・中央値がそれぞれ何を最小にする代表値かは平均値と二乗誤差、中央値と絶対誤差で扱う。

応用：池の魚の数を推定する

比の技法は、二項分布以外にも使える。代表的な例が、池の魚の数の推定である。
池にいる魚の数 $N$ を知りたい。全部数えるのは難しいので、次のようにする。

魚を $m$ 匹捕まえ、しるしを付けて池に戻す。
しばらくして魚がよく混ざったあと、$s$ 匹を捕まえる。そのうち $x$ 匹にしるしがあった。
$N$ 匹のうちしるし付きが $m$ 匹で、2 回目に $s$ 匹を捕まえるとき、どの $s$ 匹の組も同じ確からしさで捕まると仮定する。すると、しるし付きがちょうど $x$ 匹である確率は
$$ L(N)=\frac{\dbinom mx\dbinom{N-m}{s-x}}{\dbinom Ns} $$
である（分母は $N$ 匹から $s$ 匹を選ぶ方法の数、分子はしるし付き $m$ 匹から $x$ 匹、しるしなし $N-m$ 匹から $s-x$ 匹を選ぶ方法の数）。これを $N$ の関数とみて、実際に観測した結果が 最も起こりやすくなる $N$ を推定値として選ぶ。これを 最尤推定 という（最尤推定）。
$N$ は、しるし付き $m$ 匹と、2 回目に捕まえたしるしなし $s-x$ 匹を合わせた $m+s-x$ 匹以上でなければならない。$N< m+s-x$ なら、しるしなしの魚が $s-x$ 匹もいないので $L(N)=0$ である。

捕獲再捕獲の推定値

$m,s\ge1$、$1\le x\le\min(m,s)$ とする。$N\ge m+s-x$ の範囲で、$L(N)$ は $N<\dfrac{ms}{x}$ の間は $N$ とともに増え、$N>\dfrac{ms}{x}$ では減る。よって $L(N)$ を最大にする $N$ は、$\dfrac{ms}{x}$ が整数でないとき $\left\lfloor\dfrac{ms}{x}\right\rfloor$ だけ、整数のとき $\dfrac{ms}{x}-1$ と $\dfrac{ms}{x}$ の 2 つである。ただし $x=m$ または $x=s$ のときは、最大にする $N$ は $\dfrac{ms}{x}$ だけである。

隣り合う $N$ の比

方針：$L(N)$ と $L(N-1)$ の比を計算し、$1$ との大小を $N$ の 1 次不等式に直す。
段 1（比を計算する）。$N-1\ge m+s-x$ とする。このとき $L(N)$ と $L(N-1)$ はどちらも正である。$\dbinom mx$ は共通なので約分でき、
$$ \frac{L(N)}{L(N-1)}=\frac{\dbinom{N-m}{s-x}}{\dbinom{N-1-m}{s-x}}\cdot\frac{\dbinom{N-1}{s}}{\dbinom{N}{s}} $$
である。$t:=s-x$ とおくと、階乗で書いて約分して
$$ \frac{\dbinom{N-m}{t}}{\dbinom{N-1-m}{t}}=\frac{(N-m)!}{(N-1-m)!}\cdot\frac{(N-1-m-t)!}{(N-m-t)!}=\frac{N-m}{N-m-t},\qquad \frac{\dbinom{N-1}{s}}{\dbinom{N}{s}}=\frac{(N-1)!}{N!}\cdot\frac{(N-s)!}{(N-1-s)!}=\frac{N-s}{N} $$
となる（$t!$ と $s!$ は約分した）。よって
$$ \frac{L(N)}{L(N-1)}=\frac{(N-m)(N-s)}{N\,(N-m-s+x)} $$
である。
段 2（$1$ との大小）。分母は正なので、比 $>1$ は $(N-m)(N-s)>N(N-m-s+x)$ と同値である。左辺を展開すると $N^2-(m+s)N+ms$、右辺は $N^2-(m+s)N+xN$ なので、これは $ms>xN$、つまり $N<\dfrac{ms}{x}$ と同値である。同じように、比 $=1$ は $N=\dfrac{ms}{x}$、比 $<1$ は $N>\dfrac{ms}{x}$ と同値である。
段 3（まとめ）。段 2 により、$L(N-1)< L(N)$ となるのは $N<\dfrac{ms}{x}$ のときで、$N$ がこれを超えると $L(N)$ は減る。$\dfrac{ms}{x}$ が整数でなければ最大は $N=\left\lfloor\dfrac{ms}{x}\right\rfloor$ でだけとられ、整数なら $L\left(\dfrac{ms}{x}-1\right)=L\left(\dfrac{ms}{x}\right)$ が最大である。なお $\dfrac{ms}{x}-(m+s-x)=\dfrac{(m-x)(s-x)}{x}\ge0$ なので、最大の点は $N\ge m+s-x$ の範囲に入っている（$\dfrac{ms}{x}$ が整数で $\dfrac{ms}{x}=m+s-x$ のとき、つまり $x=m$ か $x=s$ のときは、$\dfrac{ms}{x}-1< m+s-x$ で $L=0$ となるので、最大は $N=\dfrac{ms}{x}$ だけになる）。$\square$

しるし付き 7 匹

$m=30$ 匹にしるしを付けて戻し、あとで $s=20$ 匹を捕まえたら $x=7$ 匹にしるしがあった。$\dfrac{ms}{x}=\dfrac{600}{7}=85.7\cdots$ なので、推定値は $N=85$ 匹である。$L(84)\approx0.21014$、$L(85)\approx0.21043$、$L(86)\approx0.21032$ で、確かに $N=85$ で最大である（図 4）。
推定値 $\dfrac{ms}{x}$ は、「2 回目に捕まえた魚のうちしるし付きの割合 $\dfrac xs$ が、池全体のしるし付きの割合 $\dfrac mN$ に等しい」とおいた式 $\dfrac xs=\dfrac mN$ を $N$ について解いたものとほぼ同じである。最尤推定は、この割合の考え方に「確率を最大にする」という根拠を与え、整数への丸め方まで決める。

しるし付き 30 匹、2 回目に 20 匹を捕まえてしるし付きが 7 匹だったときの、池の魚の数 N に対する観測の確率 L(N)。N = 85 で最大になる
図 4 では、$N$ が $43$（$=m+s-x$）より小さいところでは $L(N)=0$ で、そこから増えて $N=85$ で最大になり、そのあとはゆるやかに減る。

例と反例

比の技法（prop-mlv-ratio）は、「すべての項が正」「比が $k$ について減る」という条件の上に成り立つ。条件を外したときと、見落としやすい場合をまとめる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
比が $k$ について減る	2 種類の硬貨を混ぜる（ex-mlv-two-peaks）	比が初めて $1$ 以下になる所で最大
比が途中で $1$ をまたぐ	$n=10$、$p=0.95$ ／しるし付きが $x=0$ 匹（ex-mlv-edge）	山の頂上が端でない／最大がある
すべての項が正	$N< m+s-x$ で $L(N)=0$（ex-mlv-zero）	比がとれる
比がちょうど $1$ にならない	$n=9$、$p=0.3$（ex-mlv-n9）	最も起こりやすい値は 1 つ

反例：山が 2 つある

表の出る確率が $0.9$ の硬貨と $0.2$ の硬貨がある。どちらかを確率 $\dfrac12$ ずつで選び、選んだ硬貨を 6 回投げる。表の回数が $k$ である確率は、2 つの硬貨の場合の平均
$$ P_k=\frac12\left\{\binom6k(0.9)^k(0.1)^{6-k}+\binom6k(0.2)^k(0.8)^{6-k}\right\} $$
である。小数第 4 位まで計算すると
$$ P_0\approx0.1311,\ P_1\approx0.1966,\ P_2\approx0.1235,\ P_3\approx0.0483,\ P_4\approx0.0569,\ P_5\approx0.1779,\ P_6\approx0.2658 $$
となる。比 $\dfrac{P_{k+1}}{P_k}$ は $k=0$ で約 $1.50$、$k=1$ で約 $0.63$ で、ここで初めて $1$ を下回る。「初めて $1$ 以下になる所で最大」と考えると $k=1$ を答えてしまうが、実際の最大は $P_6\approx0.2658$ である。$k=3$ で比が約 $1.18$ と再び $1$ を超えており、比が $k$ について減っていない。山が 2 つあるので、prop-mlv-ratio の (2) は使えない。このようなときは、比が $1$ をまたぐ所（山の頂上の候補）を全部求めて、その値を比べる必要がある。

注意と反例：比が $1$ を下回らない

$n=10$、$p=0.95$ のとき、$a=11\times0.95=10.45$ で、thm-mlv-binomial により最も起こりやすい回数は $\lfloor10.45\rfloor=10$、つまり端の $k=n$ である。比 $r_k=\dfrac{(10-k)\cdot0.95}{(k+1)\cdot0.05}=\dfrac{19(10-k)}{k+1}$ は $k=9$ でも $\dfrac{19}{10}>1$ で、比は最後まで $1$ を下回らない。山の頂上が内側にあるとは限らない。$P_{10}=(0.95)^{10}\approx0.5987$ である。
池の魚の例で、2 回目に捕まえた $s$ 匹にしるし付きが 1 匹もいなかった（$x=0$）とする。このとき $L(N)=\dfrac{\binom{N-m}{s}}{\binom Ns}$ で、prf-mlv-capture の段 1 と同じ計算で $\dfrac{L(N)}{L(N-1)}=\dfrac{(N-m)(N-s)}{N(N-m-s)}$ となる。分子から分母を引くと $ms>0$ なので、比はいつも $1$ より大きく、$L(N)$ は $N$ とともに増え続ける。最大にする $N$ はない。「池の魚は多ければ多いほどしるし付きが捕まりにくい」ので、観測だけからは $N$ の上限が決まらない。prop-mlv-capture で $x\ge1$ を仮定したのはこのためである。

反例：確率が $0$ の項で比がとれない

ex-mlv-fish で $N=42$ のとき、しるしなしの魚は $42-30=12$ 匹しかいないのに、2 回目にしるしなしを $13$ 匹捕まえている。このようなことは起こらないので $L(42)=0$ で、比 $\dfrac{L(43)}{L(42)}$ は $0$ で割ることになり意味をもたない。prf-mlv-capture の段 1 で $N-1\ge m+s-x$ と仮定したのはこのためである。比の技法は、確率が正の範囲に限って使い、確率が $0$ の範囲は別に扱う。

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最尤推定

池の魚の例では、未知の数 $N$ ごとに観測の確率 $L(N)$ が決まり、それを最大にする $N$ を推定値とした。一般に、未知の量 $\theta$ によって確率が決まるとき、観測した結果の確率を $\theta$ の関数とみたもの $L(\theta)$ を尤度（ゆうど）といい、$L(\theta)$ を最大にする $\theta$ を 最尤推定値 という（最尤推定）。$\theta$ が整数なら、この記事の比の技法がそのまま使える。$\theta$ が実数なら微分を使う（演習 3 は、反復試行の成功の確率 $p$ の最尤推定値が成功の割合 $\dfrac kn$ になることを示す）。

比が減ることと対数凹性

正の数列 $a_k$ で比 $\dfrac{a_{k+1}}{a_k}$ が $k$ について減る（増えない）ことは、$a_k^2\ge a_{k-1}a_{k+1}$ がすべての $k$ で成り立つことと同値であり、このような数列を 対数凹（たいすうおう）という（対数凹数列）。prop-mlv-ratio は、比が真に減る場合について「山が 1 つ（単峰）」であることの証明になっている（比が等しい所があると、頂上が平らに 3 か所以上続くこともある）。

同値であることと二項係数の場合を開く

比が減ることは $\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\le\dfrac{a_k}{a_{k-1}}$ で、両辺に正の数 $a_ka_{k-1}$ を掛けると $a_{k+1}a_{k-1}\le a_k^2$ になる。逆も同じである。対数をとると $\log a_k\ge\dfrac12(\log a_{k-1}+\log a_{k+1})$ で、点 $(k,\log a_k)$ が上に凸に並ぶことを意味する。これが「対数凹」の名前の由来である。

二項分布では $\dfrac{P_k^2}{P_{k-1}P_{k+1}}=\dfrac{(k+1)(n-k+1)}{k(n-k)}>1$（$1\le k\le n-1$）で、$p$ によらず対数凹である。池の魚の $L(N)$ は対数凹とは限らない（ex-mlv-fish の数値では、比は $N=146$ までは減るが、その先は増えて $1$ に近づく）。それでも prf-mlv-capture のとおり、比と $1$ の大小が $N=\dfrac{ms}{x}$ の前後で一度だけ入れかわるので、山は 1 つである。二項係数の列 $\dbinom n0,\dbinom n1,\dots,\dbinom nn$（$p=\frac12$ の場合に $2^n$ 倍したもの）が対数凹であることは、組合せ論で知られた多くの対数凹な数列の最初の例である。

演習

20 回のくり返し

成功の確率 $0.25$ の試行を 20 回くり返すとき、成功の回数で最も起こりやすいものを求めよ。また、比を使って確かめよ。

解答を開く

$a=21\times0.25=5.25$ は整数でないので、thm-mlv-binomial により $\lfloor5.25\rfloor=5$ 回である。比は $r_k=\dfrac{(20-k)\cdot0.25}{(k+1)\cdot0.75}=\dfrac{20-k}{3(k+1)}$ で、$r_4=\dfrac{16}{15}>1$、$r_5=\dfrac{15}{18}=\dfrac56<1$ なので $P_4< P_5>P_6$ である。実際、$P_4\approx0.1897$、$P_5\approx0.2023$、$P_6\approx0.1686$ である。

0 回が最も起こりやすい条件

$n\ge1$ とする。成功の確率 $p$（$0< p<1$）の試行を $n$ 回くり返すとき、成功 0 回が最も起こりやすい回数（の 1 つ）になるための $p$ の条件を求めよ。

解答を開く

thm-mlv-binomial で、$0$ が最も起こりやすい回数になるのは、(1) $a=(n+1)p$ が整数でなく $\lfloor a\rfloor=0$、つまり $0< a<1$ のときか、(2) $a$ が整数で $a-1=0$、つまり $a=1$ のときである。まとめると $(n+1)p\le1$、すなわち $p\le\dfrac1{n+1}$ である。$p<\dfrac1{n+1}$ なら 0 回だけ、$p=\dfrac1{n+1}$ なら 0 回と 1 回の 2 つである。

確かめ：$n=4$、$p=\dfrac15$ なら $P_0=\left(\dfrac45\right)^4=\dfrac{256}{625}$、$P_1=4\cdot\dfrac15\cdot\left(\dfrac45\right)^3=\dfrac{256}{625}$ で等しい。

成功の確率の推定

成功の確率 $p$ が分からない試行を $n$ 回くり返したら、ちょうど $k$ 回成功した（$0< k< n$）。$f(p)=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}$ を最大にする $p$（$0< p<1$）を求めよ。

解答を開く

$\dbinom nk$ は $p$ によらない正の定数なので、$g(p)=p^k(1-p)^{n-k}$ の最大を考える。積の微分で

$$g'(p)=kp^{k-1}(1-p)^{n-k}-(n-k)p^k(1-p)^{n-k-1}=p^{k-1}(1-p)^{n-k-1}\bigl\{k(1-p)-(n-k)p\bigr\}$$

である。中かっこの中は $k-kp-np+kp=k-np$ である。$0< p<1$ で $p^{k-1}(1-p)^{n-k-1}>0$ なので、$g'(p)$ の符号は $k-np$ の符号と同じで、$p<\dfrac kn$ で正、$p>\dfrac kn$ で負である。よって $g$ は $p=\dfrac kn$ で最大になり、求める $p$ は $\dfrac kn$（成功の割合）である。この値が、区間推定（高校数学）で母比率の推定の中心に使う標本比率である。

さらに先へ

隣り合う確率の比 $\dfrac{(n-k)p}{(k+1)q}$ で最大の回数を決める方法は GrS06 §3.2 の Exercise 7（p. 114）に、成功の確率 $p$ の最尤推定値が成功の割合（演習 3 の $\dfrac kn$）であることは同じ節の Exercise 29（p. 117）に、池の魚の数の最尤推定を「隣り合う $N$ の比を考えよ」という指示とともに求める問題は §5.1 の Exercise 9（p. 198）にある。
同じ比は、$n$ を大きくしたときの二項分布の形を調べるのにも使う。比の対数から釣鐘形の曲線が現れる話は二項分布から正規分布へで扱う。最大の確率 $P_M$ そのものの大きさは、$n$ が大きいとき約 $\dfrac1{\sqrt{2\pi np(1-p)}}$ で（たとえば $n=100$、$p=0.3$ で $P_{30}\approx0.0868$、近似値 $\approx0.0871$）、階乗の見積もり（階乗の大きさの見積もり）から導かれる。この記事では証明しない。
Poisson 分布でも、同じ比の技法で最も起こりやすい値が求まる（Poisson分布（高校数学））。