局所Noetherスキーム

条件 (i) から (ii) は Noetherスキーム の記事の定理「局所 Noether スキームのアフィン開集合」である。その要点は、2 つのアフィン開集合の共通部分が両方の側から見て基本開集合になる開集合で覆えること（同記事の補題「2 つのアフィン開集合に共通な基本開集合」）と、環 $A$ の Noether 性が「単位イデアルを生成する有限個の元 $f_1,\dots,f_n$ による局所化 $A_{f_i}$ がすべて Noether」から従うこと（同記事の補題「局所化による Noether 性の判定」）である。

条件 (ii) から (iii) はスキームがアフィン開被覆をもつことによる。条件 (iii) から (iv) は、$X_j:=\operatorname{Spec}A_i$ とすればよい（アフィンスキーム $\operatorname{Spec}A_i$ は自分自身を開被覆として条件 (iii) をみたし、定義により局所 Noether である）。条件 (iv) から (i)：$x\in X$ は、ある $X_j$ の中で Noether 環のスペクトルに同型な開近傍 $V$ をもち、$X_j$ は $X$ の開集合なので $V$ は $X$ の開近傍でもある。$\operatorname{Spec}A$ についての主張は、$\operatorname{Spec}A$ 自身がアフィン開集合であることと (ii) による。$\square$

1．$x$ を含むアフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ をとり、$x$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とすると、$\mathcal{O}_{X,x}\cong A_{\mathfrak{p}}$ である（スキーム の記事の注意「アフィンスキームから使う事実」の 2）。prop-locally-noetherian-scheme-equivalent により $A$ は Noether 環であり、その局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ は Noether 環である（Noether環 の記事の命題「局所化への遺伝」）。

2．Noetherスキーム の記事の命題「開部分スキームと閉部分スキーム」である。開部分スキームについては prop-locally-noetherian-scheme-equivalent の条件 (iv) からも直ちに分かり、閉部分スキームについては、アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の上で閉部分スキームが $\operatorname{Spec}A/I$ の形になり、Noether 環の剰余環 $A/I$ が Noether 環であることによる。

3．$Z$ は開集合 $U_Z$ の閉集合である（局所閉集合 の記事の命題「局所閉性の言い換え」）。2 により開部分スキーム $U_Z$ は局所 Noether であり、その閉部分スキーム $Z$ も 2 により局所 Noether である。$\square$

$x\in X$ をとり、$f(x)$ のアフィン開近傍 $V=\operatorname{Spec}B$ と、$x$ のアフィン開近傍 $U=\operatorname{Spec}A\subset f^{-1}(V)$ で $A$ が $B$ 上有限生成な代数となるものをとる（局所的に有限型の射の定義）。$B$ は Noether 環なので（prop-locally-noetherian-scheme-equivalent）、Hilbert の基底定理により $A$ は Noether 環である（Noether環 の記事の系「有限生成代数」）。よって $x$ は Noether 環のスペクトルに同型な開近傍をもつ。$\square$

1．Noetherスキーム の記事の定理「Noetherスキームの底空間は Noether 位相空間」の 3 である（アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の $A$ は Noether 環で、$\operatorname{Spec}A$ の閉集合の降鎖は $A$ の根基イデアルの昇鎖に対応するので止まる）。

2．Noether 位相空間の任意の部分集合は準コンパクトである（Noetherスキーム の記事の補題「Noether 位相空間の基本性質」の 3）。2 つのアフィン開集合 $U,V$ の共通部分 $U\cap V$ は Noether 位相空間 $U$ の部分集合なので準コンパクトである。

3．$x\in X$ を含むアフィン開集合 $U$ をとる。1 により $U$ は Noether 位相空間なので、$U$ の既約成分は有限個である（既約成分 の記事の命題「Noether位相空間の既約分解」）。$X$ の既約成分のうち $U$ と交わるものは、$Z\mapsto Z\cap U$ によって $U$ の既約成分と 1 対 1 に対応する（既約成分 の記事の命題「開集合の既約成分」）ので、有限個である。

4．3 と同じ $U$ をとり、その既約成分を $Z_1,\dots,Z_n$ とする。$x$ を含まない $Z_i$ の和を $F$ とし、$W:=U\setminus F$ とおく。$F$ は $U$ の閉集合なので $W$ は $U$ の、したがって $X$ の開集合で、$x\in W$ である。$W=\bigcup_{x\in Z_i}(Z_i\cap W)$ であり、各 $Z_i\cap W$（$x\in Z_i$）は既約な $Z_i$ の空でない開集合なので既約（既約空間 の記事の命題「既約性の同値条件」）、したがって連結である。これらはすべて $x$ を含むので、その和 $W$ は連結である（連結空間 の記事の命題「共通点をもつ族の和」）。

必要性：整スキームは既約なので空でなく連結であり、空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の $A$ は整域である（整スキーム の記事の定理「整であることと被約かつ既約であること」）。点 $x$ の局所環は、$x$ を含むアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ での局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ であり、整域の局所化は整域である。

十分性：整域は被約なので、すべての局所環が被約であり、$X$ は被約である（被約スキーム の記事の定理「被約性の同値条件」）。$X$ が既約であることを示せば、同じく 整スキーム の記事の定理により $X$ は整である。

点 $x\in X$ を含むアフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ をとり、$x$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とする。$A$ は Noether 環なので $U$ の既約成分は有限個 $V(\mathfrak{q}_1),\dots,V(\mathfrak{q}_n)$ であり、$\mathfrak{q}_1,\dots,\mathfrak{q}_n$ は $A$ の極小素イデアルの全体である（極小素イデアル の記事の命題「極小素イデアルと既約成分」）。$x$ を含む既約成分は $\mathfrak{q}_i\subset\mathfrak{p}$ となる $V(\mathfrak{q}_i)$ であり、このような $\mathfrak{q}_i$ はちょうど 1 つである。

その $i$ を $i_0$ とし、$W_x:=U\setminus\bigcup_{i\neq i_0}V(\mathfrak{q}_i)$ とおく。有限個の閉集合の和を除いたので $W_x$ は $X$ の開集合で、$x\in W_x\subset V(\mathfrak{q}_{i_0})$ である。$W_x$ は既約な $V(\mathfrak{q}_{i_0})$ の空でない開集合なので既約である（既約空間 の記事の命題「既約性の同値条件」）。

こうして $X$ は既約な開集合 $W_x$（$x\in X$）で覆われる。$X$ は連結なので、既約空間 の記事の命題「開被覆による既約性の判定」の 2 により $X$ は既約である。$\square$

1．$M$ の生成元 $m_1,\dots,m_n$ により全射 $\varphi\colon A^{\oplus n}\to M$ をとる。$A^{\oplus n}$ は有限生成 $A$ 加群なので、その部分加群 $\ker\varphi$ は有限生成である（Noether環 の記事の命題「Noether加群との関係」の 2）。$\ker\varphi$ の生成元 $k_1,\dots,k_m$ で $A^{\oplus m}\to A^{\oplus n}$ を定めれば、求める完全列が得られる。

2．局所 Noether スキームの上では、準連接層が有限型であることと、各アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の上で有限生成 $A$ 加群 $M$ により $\widetilde{M}$ と書けることは同値である（連接層 の記事の定理「Noether スキーム上の連接層の特徴づけ」）。$A$ は Noether 環なので（prop-locally-noetherian-scheme-equivalent）、1 によりこの $M$ は有限表示である。逆に有限表示の加群は有限生成である。$\square$