Artin–Schreier拡大

前提知識: Galois拡大, 有限体, Hilbertの定理90, 形式的冪級数

Artin–Schreier拡大（Artin–Schreier extension）とは、標数 $p>0$ の体 $K$ の上で、多項式 $X^p-X-a$（$a\in K$）の根を添加して得られる拡大のことである。写像 $\wp(x):=x^p-x$ は標数 $p$ では加法的で、核は素体 $\mathbb F_p$ なので、1 つの根 $\alpha$ が分かれば残りの根は $\alpha+1,\dots,\alpha+p-1$ である。このため $K(\alpha)/K$ は $K$ か、次数 $p$ の巡回拡大になる。
標数 $0$ で巡回拡大を「$n$ 乗根」で書く Kummer理論 は、$1$ の $n$ 乗根が $K$ に入っていることを使う。標数 $p$ では $1$ の $p$ 乗根は $1$ しかないので、$p$ 次の巡回拡大には Kummer 理論が使えない。その代わりをするのが Artin–Schreier 理論で、乗法群 $K^\times/(K^\times)^n$ の役割を加法群 $K/\wp K$ が担う。
この記事では、Artin–Schreier 多項式の既約性と根の形、$K/\wp K$ の部分群と指数 $p$ のアーベル拡大の一対一対応（Artin–Schreier 理論）、有限体の上の既約性の判定、Laurent 級数体 $k((t))$ の上の Artin–Schreier 拡大の分岐（分岐群の飛びの計算）を完全に証明する。分岐の飛びは、野性分岐とSwan導手 で Swan 導手を計算するときの基本の例になる。

定義

$K$ を標数 $p>0$ の体、$K^s$ をその分離閉包とする。

標数 $p$ では $(x+y)^p=x^p+y^p$ なので $\wp$ は加法群の準同型であり、$\wp(x)=0$ の解は $x^p=x$ の根、すなわち $\mathbb F_p$ の $p$ 個の元である。$X^p-X-a$ の導関数は $-1$ なので、この多項式は重根をもたず分離的であり、根は確かに $K^s$ に入る。したがって $\wp\colon K^s\to K^s$ は全射で、加法群の完全列
$$ 0\to\mathbb F_p\to K^s\xrightarrow{\ \wp\ }K^s\to0 $$
がある。これを Artin–Schreier 完全列という。$\wp K:=\wp(K)$ は $K$ の部分群である。

逆に、標数 $p$ の体の次数 $p$ の巡回拡大は、すべて 1 つの Artin–Schreier 多項式の根で生成される。これは Hilbertの定理90 の命題「標数 $p$ の $p$ 次巡回拡大」で、加法版の Hilbert 90 から導かれている。次の節の定理は、これを指数 $p$ のアーベル拡大全体に広げ、どの $a$ が同じ拡大を与えるかまで決める。

Artin–Schreier 理論

$\wp K\subset\Delta\subset K$ となる部分群 $\Delta$ と、$\sigma\in\operatorname{Gal}(K_\Delta/K)$、$a\in\Delta$ について
$$ \langle\sigma,a\rangle:=\sigma(\alpha)-\alpha\qquad(\wp(\alpha)=a) $$
とおく。$\wp(\sigma(\alpha)-\alpha)=\sigma(a)-a=0$ なので値は $\mathbb F_p$ に入る。

$\Delta=\wp K+\mathbb F_pa$（$a\notin\wp K$）の場合が $p$ 次の巡回拡大 $K(\wp^{-1}a)$ であり、定理から次が従う。

Galois コホモロジーで言えば、Artin–Schreier 完全列と $H^q(G_K,K^s)=0$（$q\ge1$。NSW20 Chapter VI, §1, Proposition (6.1.1), p. 337）から $H^1(G_K,\mathbb Z/p\mathbb Z)\cong K/\wp K$ が従い、これが定理の双対の形である（同 Corollary (6.1.2), p. 338 と p. 340 の同型）。$K/\wp K$ の $\mathbb F_p$ 上の次元は、$K$ の最大 $p$ 拡大の Galois 群（自由副 $p$ 群）の階数に等しい（同 Theorem (6.1.4), p. 338。この記事では証明しない）。指数 $p^n$ のアーベル拡大は、$K$ を Witt ベクトルの環 $W_n(K)$ に替えた同じ形の同型で記述される（Artin–Schreier–Witt の定理、同 Theorem (6.1.9), p. 341。この記事では証明しない）。

有限体の上の Artin–Schreier 拡大

$q=p^r$ とし、$\operatorname{Tr}\colon\mathbb F_q\to\mathbb F_p$、$\operatorname{Tr}(x):=x+x^p+\cdots+x^{p^{r-1}}$ をトレースとする（有限体の Galois 群は Frobenius 写像 $x\mapsto x^p$ で生成される）。

$\mathbb F_q/\wp\mathbb F_q$ が 1 次元なので、cor-as-same-extension は「$\mathbb F_q$ の $p$ 次拡大はただ 1 つ」という有限体の既知の事実と合う。たとえば $\operatorname{Tr}(1)=r\bmod p$ なので、$q=p$ では $X^p-X-1$ が $\mathbb F_p$ の上で既約で、$\mathbb F_{p^p}$ を生成する。$p=2$ では $X^2+X+1$ が $\mathbb F_2$ の上で既約で、$\mathbb F_4$ を生成する。

Laurent 級数体の Artin–Schreier 拡大と分岐

この節では $k$ を標数 $p$ の完全体、$K:=k((t))$ を Laurent 級数体、$v$ を $v(t)=1$ となる $K$ の付値とする。$K$ は形式的冪級数環 $k[\![t]\!]$ を付値環とする完備離散付値体である。分岐群 $G_i$ は 分解群と惰性群 の定義「高次分岐群」と同じく、有限次 Galois 拡大 $L/K$、$L$ の正規化された付値 $v_L$、付値環の $\mathcal O_K$ 代数としての生成元 $x$ について $i_G(s):=v_L(s(x)-x)$ とおき、$G_i:=\{s\mid i_G(s)\ge i+1\}$ で定める（Ser79 Chapter IV, §1, p. 62）。

$K/\wp K$ の代表系

これは NSW20 Chapter VI, §1, Lemma (6.1.6)（p. 339）と同じ内容であり、同書は証明を「容易な計算」として略しているので、ここでは全部を示した。補題から、$K/\wp K$ は $k/\wp k$ と、$p$ と素な負の整数 $i$ ごとの $k$ の直和になる。$k=\mathbb F_q$ なら $K/\wp K$ は無限次元なので、cor-as-same-extension により $\mathbb F_q((t))$ は $p$ 次の巡回拡大を無限個もつ。

分岐の飛び

lem-as-reduced により、どの $a\notin\wp K$ も $\wp K$ を法として 1 か 2 の形の元と合同であり、cor-as-same-extension により $K(\wp^{-1}a)$ はその元で決まる。したがってこの定理は、$K$ のすべての $p$ 次巡回拡大の分岐を決めている。

この飛びの計算は Ser79 Chapter IV, §2, Exercise 5（p. 72。$K$ の標数が $0$ のときは $m< pe_K/(p-1)$ を仮定して述べられた演習で、解答はない）の標数 $p$ の場合にあたる。ここでは演習に頼らず完全に証明した。Lau81 1.1.7（pp. 178–179）も、剰余体を代数閉体として、同じ形の一意化元（根の冪と基礎体の一意化元の冪の積）で同じ計算をしている。
定理から、$\mathbb F_p((t))$ の $p$ 次巡回拡大の飛びは $p$ と素な正の整数を全部とる。これは、Hasse–Arfの定理 が求める「アーベル拡大の上付き番号の飛びは整数」と合っている。飛び $m$ から、Artin 導手 $f=m+1$、Swan 導手 $m$、判別式の指数 $(p-1)(m+1)$ が決まる（野性分岐とSwan導手 の命題「Artin–Schreier拡大のSwan導手」）。

例

曲線 $y^p-y=f(x)$ を完備化した射影曲線は Artin–Schreier 曲線と呼ばれる。その種数が $(p-1)(m-1)/2$ であることは、野性分岐とSwan導手 で Grothendieck–Ogg–Shafarevich の公式から計算する。

反例

各行を確かめる。1 行目：$X^3-X-1$ は $\pm1$ を根にもたないので $\mathbb Q$ の上で既約で、判別式は $-4(-1)^3-27=-23$ で平方数でないので、Galois 群は 3 次の対称群で巡回群でない。根の差は有理数ではない：根 $\alpha,\beta,\gamma$ を巡回的に入れ替える位数 $3$ の元 $\sigma$ があり、$\alpha-\beta=r\in\mathbb Q$ なら $\sigma$ を施して $\beta-\gamma=\gamma-\alpha=r$、3 つを足して $3r=0$ となり、根が重なって矛盾する。prop-as-polynomial の証明で「$\wp$ が加法的で核が $\mathbb F_p$」を使ったところが、標数 $0$ では成り立たない。2 行目：$a=0$ なら $X^p-X=\prod_{c\in\mathbb F_p}(X-c)$ は $\mathbb F_p$ の上で 1 次式の積である。3 行目：ex-as-char2 の 2 と同じく $t^{-p}=\wp(t^{-1})+t^{-1}$ なので、拡大は $K(\wp^{-1}t^{-1})$ で飛びは $1$ だが、$-v(a)=p$ である。thm-as-ramification の証明で $p\nmid m$ を使ったのは、$\pi$ を作る $\lambda,\mu$ の存在と $p\nmid\lambda$ である。4 行目：$\mathbb F_{p^{p^2}}/\mathbb F_p$ は位数 $p^2$ の巡回群を Galois 群にもつので、指数が $p$ でない。thm-as-theory の 1 により $K_\Delta$ の Galois 群は指数 $p$ なので、この拡大は $K_\Delta$ の形に書けない（2 段の Artin–Schreier 拡大の塔にはなる。1 つの式で書くには Witt ベクトルが要る）。

関連する結果

• Kummer 理論との比較。 $p\nmid n$ で $\mu_n\subset K$ のとき、指数 $n$ のアーベル拡大は $K^\times/(K^\times)^n$ の部分群と一対一に対応する（Kummer理論 の定理「Kummer理論の基本定理」）。Artin–Schreier 理論は、この対応の乗法群 $K^\times$ と $n$ 乗写像を、加法群 $K$ と $\wp$ に置き換えたものである。証明の要がそれぞれ乗法版・加法版の Hilbertの定理90 である点も対応している。
• Artin–Schreier–Witt 理論。 指数 $p^n$ のアーベル拡大は、長さ $n$ の Wittベクトル の環 $W_n(K)$ と $\wp=F-\mathrm{id}$ を使って $\operatorname{Hom}(W_n(K)/\wp W_n(K),\mathbb Q/\mathbb Z)$ で記述される（NSW20 Chapter VI, §1, Theorem (6.1.9), p. 341）。
• Swan 導手。 thm-as-ramification の飛び $m$ は、Artin–Schreier 拡大の自明でない指標の Swan 導手に等しく、曲線の上の層の Euler 標数を野性分岐の分だけ変える（野性分岐とSwan導手）。

関連項目

• 前提: Galois拡大, 有限体, Hilbertの定理90, 形式的冪級数
• 比較: Kummer理論, Wittベクトル, Galoisコホモロジー
• 分岐: 分解群と惰性群, Herbrand関数と上付き番号, Hasse–Arfの定理
• 発展: 野性分岐とSwan導手, Artin導手