Burnsideのp^a q^b定理

$|G|$ に関する帰納法を用いる。$|G|=1$ なら明らかである。一方の指数が $0$ なら $G$ は有限 $p$-群または有限 $q$-群であり、後で完全に証明する命題により可解である。
$a,b>0$ とする。$G$ が単純群なら、上の非単純性定理により非可換ではあり得ない。単純な有限アーベル群は素数位数の巡回群であるから可解である。$G$ が単純でなければ、非自明な真の正規部分群 $N\trianglelefteq G$ が存在する。Lagrange の定理により
$$ |N|=p^{a_1}q^{b_1}, \qquad |G/N|=p^{a-a_1}q^{b-b_1} $$
となる非負整数 $a_1,b_1$ があり、$N$ と $G/N$ の位数はいずれも $|G|$ より小さい。帰納法の仮定により $N$ と $G/N$ は可解である。後述の拡大に関する命題から $G$ も可解である。

自然な全射 $\pi\colon G\to G/N$ は交換子を交換子へ写すので、すべての $r\geq0$ について
$$ \pi(G^{(r)})=(G/N)^{(r)} $$
が帰納的に成り立つ。$G/N$ が可解だから、ある $r$ について $(G/N)^{(r)}=\{N\}$ であり、従って $G^{(r)}\subset N$ である。$N$ も可解だから、ある $s$ について $N^{(s)}=\{e\}$ となる。部分群 $H\subset N$ なら $H^{(s)}\subset N^{(s)}$ なので
$$ G^{(r+s)}=(G^{(r)})^{(s)}\subset N^{(s)}=\{e\}. $$
従って $G$ は可解である。

まず、非自明な有限 $p$-群 $P$ の中心が非自明であることを示す。$P$ が自分自身へ共役で作用するとき、共役類の大きさは中心化群の指数だから $p$ の冪である。中心に属さない元の共役類の大きさは $p$ で割り切れる。類等式
$$ |P|=|Z(P)|+\sum_i |\mathcal C_i| $$
を $p$ を法として見ると $|Z(P)|\equiv|P|\equiv0\pmod p$ である。単位元は中心に属するので $|Z(P)|\geq p$、従って $Z(P)\neq\{e\}$ である。
$|P|$ に関する帰納法を用いる。$|P|=1$ なら明らかである。$P\neq\{e\}$ なら $Z(P)$ は非自明なアーベル正規部分群であり可解である。また $P/Z(P)$ は位数が真に小さい $p$-群だから帰納法により可解である。拡大に関する直前の命題により $P$ は可解である。

Sylow の定理より Sylow $q$-部分群の個数 $n_q$ は $p$ を割り、かつ $n_q\equiv1\pmod q$ を満たす。$p< q$ だから、この二条件を満たすのは $n_q=1$ だけである。従って Sylow $q$-部分群 $Q$ は正規部分群である。$Q$ は位数 $q$、$G/Q$ は位数 $p$ の巡回群なので、ともにアーベル、従って可解である。拡大に関する命題より $G$ は可解である。

$P$ を Sylow $p$-部分群全体の集合へ共役で作用させる。$P$ 自身は固定点である。別の Sylow $p$-部分群 $R$ の安定化群は
$$ P\cap N_G(R) $$
である。この群は $R$ を正規化する $p$-群なので、$(P\cap N_G(R))R$ は $p$-部分群である。$R$ の Sylow 性から
$$ P\cap N_G(R)\subset R, $$
従って $P\cap N_G(R)\subset P\cap R$ である。$D$ の最大性により
$$ |P\cap N_G(R)|\leq|D|. $$
これらの位数はすべて $p$ の冪だから、$R\neq P$ の軌道の大きさ
$$ [P:P\cap N_G(R)] $$
は $[P:D]$ の倍数である。また $P$ 以外に固定点があれば、上の包含で $P\subset R$ となり、Sylow部分群の位数が等しいことから $P=R$ となって矛盾する。従って一つの固定点 $P$ と、いずれも大きさが $[P:D]$ の倍数である軌道とに分解されるので、主張の合同式を得る。

$H\subset P$ を $[P:H]=p$ とし、$P$ の左剰余類への作用から準同型
$$ \varphi\colon P\longrightarrow S_p $$
を得る。像は推移的な $p$-部分群である。$p!$ に含まれる素因子 $p$ の個数は一つなので、$|\operatorname{Im}\varphi|$ は $p$ 以下である。一方、推移的な作用の軌道の大きさ $p$ は像の位数を割るから、$|\operatorname{Im}\varphi|=p$ である。従って核の指数は $p$ である。核は $H$ に含まれ、両者の指数が等しいので $H=\ker\varphi$、従って $H\trianglelefteq P$ である。

$|G|=2^6\cdot7^3$ とする。Sylow の定理により、Sylow $7$-部分群の個数は $64$ の約数で $7$ を法として $1$ に合同だから
$$ n_7(G)\in\{1,8,64\} $$
である。$n_7(G)=1$ なら唯一の Sylow $7$-部分群が非自明な真の正規部分群なので、$G$ は単純でない。
$n_7(G)\neq1$ とする。相異なる Sylow $7$-部分群 $S,T$ を、$|S\cap T|$ が最大となるように選び、$D:=S\cap T$ とおく。最大交叉補題より
$$ n_7(G)\equiv1\pmod{[S:D]}. $$
$S\neq T$ だから $[S:D]$ は $7,49,343$ のいずれかである。$n_7(G)-1$ は $7$ または $63$ なので、これを割る可能性があるのは $[S:D]=7$ だけである。従って $|D|=7^2=49$ である。
$D$ は $S$ と $T$ の双方で指数 $7$ だから、直前の補題により双方の正規部分群である。従って
$$ H:=N_G(D) $$
は $S$ と $T$ を含む。$S,T$ は $H$ の相異なる Sylow $7$-部分群なので、Sylow の定理から $n_7(H)\geq8$ である。さらに
$$ n_7(H)=[H:N_H(S)], \qquad S\subset N_H(S) $$
だから
$$ |H|\geq8|S|=2^3\cdot7^3, \qquad [G:H]\leq8. $$
$H=G$ なら $D\trianglelefteq G$ であり、$1<|D|<|G|$ だから $G$ は単純でない。$H< G$ とする。$G$ の右剰余類 $H\backslash G$ への右作用は非自明であり、準同型
$$ \varphi\colon G\longrightarrow S_{[G:H]} $$
を与える。もし $G$ が単純なら、非自明な作用の核は $G$ ではあり得ず、正規部分群なので自明である。従って $G$ は $S_{[G:H]}$ へ埋め込まれる。しかし $[G:H]\leq8$ である一方、$8!$ は素因子 $7$ を一つしか含まないので
$$ 7^3\nmid [G:H]!, $$
これは Lagrange の定理に反する。従って $G$ は単純でない。