分離閉包

同義語：separable closure分離代数閉包separable algebraic closure

概要

前提知識: 体の拡大, 分離拡大, 代数閉体

標数が素数 $p$ の体 $F=\mathbb{F}_p(t)$（有理関数体）の代数閉包 $\Omega$ には、多項式 $x^p-t$ の根 $u$ が含まれる。$\Omega[x]$ では $x^p-t=x^p-u^p=(x-u)^p$ なので、$u$ の最小多項式は重根をもち、$u$ を動かす $F$ 上の自己同型は 1 つもない（$u$ の行き先は $x^p-t$ の根、すなわち $u$ 自身しかない）。代数閉包の中で Galois 理論がはたらくのは、最小多項式が重根をもたない元、すなわち分離的な元の部分である。この部分を集めた体が分離閉包である。体 $F$ の分離閉包 $F^{\mathrm{sep}}$ は $F$ の最大の Galois 拡大であり、その上の $F$ 上の自己同型の群が $F$ の絶対Galois群である。標数 $0$ の体や有限体では分離閉包は代数閉包と一致するが、$\mathbb{F}_p(t)$ のような完全体でない体では真に小さく、代数閉包との差は「$p$ 乗根をとる」だけの純非分離な拡大になる。

定義

以下、体の拡大 $E/F$ の元 $\alpha$ が $F$ 上代数的なとき、その $F$ 上の最小多項式を $m_{\alpha,F}$ と書く。$0$ でない多項式 $f\in F[x]$ が分離多項式であるとは、$f$ が 1 次式の積に分解するある拡大体で $f$ が重根をもたないことをいい、この性質は拡大体のとり方によらず、$f$ とその形式微分 $f'$ の最大公約数が $1$ であることと同値である。分離多項式の $0$ でない約元はまた分離多項式である。$\alpha$ が $F$ 上分離的であるとは、$\alpha$ が $F$ 上代数的で $m_{\alpha,F}$ が分離多項式であることをいう（以上は分離拡大の記事の定義「分離多項式」「分離元と分離拡大」とその直後の説明による）。

拡大の中の分離閉包

$E/F$ を体の拡大とする。$E$ の元のうち $F$ 上分離的なもの全体
$$ E_{\mathrm{sep}}:=\{\alpha\in E\mid \alpha\text{ は }F\text{ 上代数的かつ分離的}\} $$
を、$E$ における $F$ の分離閉包（separable closure of $F$ in $E$）という。

$F$ の元 $a$ の最小多項式は $x-a$ なので $F\subset E_{\mathrm{sep}}$ である。後の thm-separable-closure-subfield で、$E_{\mathrm{sep}}$ が $E$ の部分体であることを示す。定義から $E$ の元で $F$ 上分離的なものはすべて $E_{\mathrm{sep}}$ に入るので、$E_{\mathrm{sep}}$ は「$E$ に含まれる $F$ の分離代数拡大」のうち最大のものである。

分離閉体

体 $\Omega$ が分離閉体（separably closed field）であるとは、$\Omega[x]$ の定数でない分離多項式がすべて $\Omega$ で 1 次式の積に分解することをいう。

代数閉体は分離閉体である。後の反例で見るように、逆は成り立たない。

体の分離閉包

体 $F$ の分離閉包（separable closure）とは、$F$ の拡大体 $\Sigma$ であって、$\Sigma/F$ が分離的な代数拡大（分離拡大）であり、かつ $\Sigma$ が分離閉体であるものをいう。$F$ の分離閉包を $F^{\mathrm{sep}}$ と書く（$F^{\mathrm{s}}$ や $F_{\mathrm{s}}$ と書く文献もある）。分離代数閉包（separable algebraic closure）とも呼ぶ。

2 つの定義の関係は次のとおりである：$F$ を含む代数閉体 $\Omega$ をとると、$\Omega$ における $F$ の分離閉包 $\Omega_{\mathrm{sep}}$ は $F$ の分離閉包である（thm-separable-closure-existence）。また $F$ の分離閉包は $F$ 上の同型を除いてただ 1 つである（thm-separable-closure-uniqueness）。ただしその同型は一般にはただ 1 つには決まらない。このため、記号 $F^{\mathrm{sep}}$ は「1 つ選んで固定した分離閉包」を表し、多くの場合 $F$ の代数閉包 $\overline{F}$ を 1 つ固定して $F^{\mathrm{sep}}:=\overline{F}_{\mathrm{sep}}$ とおく。
分離閉体の条件は、次のように「根を 1 つもつ」ことや「真の分離代数拡大をもたない」ことで言い換えられる。

分離閉体の言い換え

体 $\Omega$ について、次は同値である。

$\Omega$ は分離閉体である。
$\Omega[x]$ の定数でない分離多項式は、どれも $\Omega$ に根をもつ。
$\Omega$ の拡大体の元で $\Omega$ 上分離的なものは、$\Omega$ に属する。

要点：分離的な元の最小多項式は既約な分離多項式なので、根を 1 つもてば 1 次式である。逆に分離多項式の根は、その最小多項式が分離多項式を割り切るので分離的である。

詳しい証明を開く

1 ⇒ 2：定数でない多項式が 1 次式の積に分解すれば、その 1 次因子の根が $\Omega$ にある。

2 ⇒ 3：$\alpha$ を $\Omega$ 上分離的な元とし、$m=m_{\alpha,\Omega}$ とする。$m$ は定数でない分離多項式なので、2 により根 $b\in\Omega$ をもつ。$m$ は $\Omega[x]$ で既約であり、1 次因子 $x-b$ で割り切れるので $m=x-b$ である。よって $\alpha=b\in\Omega$ である。

3 ⇒ 1：$f\in\Omega[x]$ を定数でない分離多項式とし、$f$ の $\Omega$ 上の分解体 $L$ をとる（分解体の記事の定理「分解体の存在」）。$f$ の $L$ における根 $\beta$ について、$m_{\beta,\Omega}$ は $f$ を割り切るので分離多項式であり、$\beta$ は $\Omega$ 上分離的である。3 により $\beta\in\Omega$ である。よって $f$ の根はすべて $\Omega$ にあり、$f$ は $\Omega$ で 1 次式の積に分解する。$\square$

直感

代数閉包 $\Omega$ の中の $F$ 上代数的な元は、「分離的に」得られる部分と「$p$ 乗根をとって」得られる部分からなる。分離閉包 $F^{\mathrm{sep}}=\Omega_{\mathrm{sep}}$ は前者を全部集めたもので、$F^{\mathrm{sep}}/F$ は Galois 拡大（prop-separable-closure-galois）、$\Omega/F^{\mathrm{sep}}$ は各元の $p$ 冪乗が $F^{\mathrm{sep}}$ に入る純非分離拡大（prop-separable-closure-purely-inseparable）である。
$$ \xymatrix{ \Omega \ar@{-}[d]^{\text{純非分離（自己同型は自明）}} \\ F^{\mathrm{sep}} \ar@{-}[d]^{\text{Galois 拡大}} \\ F } $$
純非分離の部分には $F$ 上の自己同型がはたらかないので（prop-separable-closure-automorphisms）、$\Omega$ の $F$ 上の自己同型はすべて $F^{\mathrm{sep}}$ への制限で決まる。Galois 理論の立場からは、代数閉包の代わりに分離閉包を見れば足りる。標数 $0$ の体や有限体のような完全体では純非分離の部分がなく、$F^{\mathrm{sep}}=\Omega$ である（prop-separable-closure-perfect）。

例

完全体の分離閉包

$F$ が標数 $0$ の体か有限体なら、$F$ の代数拡大はすべて分離的である（分離拡大の記事の命題「標数が 0 の体と有限体の上の代数拡大」）。したがって $F$ の代数閉包 $\overline{F}$ は $F$ 上分離的な代数拡大であり、代数閉体なので分離閉体でもあるから、$\overline{F}$ そのものが $F$ の分離閉包である。とくに、複素数のうち $\mathbb{Q}$ 上代数的なもの全体 $\overline{\mathbb{Q}}$（代数閉体の記事の例「代数的数全体のなす体」）は $\mathbb{Q}$ の分離閉包であり、$\mathbb{F}_{p^{n!}}$（$n\ge1$）の和集合 $\overline{\mathbb{F}}_p$（同じ記事の例「有限体の代数閉包」）は $\mathbb{F}_p$ の分離閉包である。

実数体の分離閉包

$\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$ は $\mathbb{R}$ 上 $2$ 次の拡大で、標数 $0$ なので分離的な代数拡大である。$\mathbb{C}$ は代数閉体なので（代数閉体の記事の定理「複素数体の代数閉性（代数学の基本定理）」）分離閉体でもある。よって $\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ の分離閉包である。$\mathbb{C}$ の $\mathbb{R}$ 上の自己同型は $i$ を $x^2+1$ の根 $\pm i$ に移すものに限られるので、恒等写像と複素共役の 2 つである。

有理関数体 $\mathbb{F}_p(t)$ の分離閉包

$p$ を素数、$F=\mathbb{F}_p(t)$、$\Omega$ を $F$ の代数閉包とし、$F^{\mathrm{sep}}=\Omega_{\mathrm{sep}}$ とおく。

$x^p-t$ の $\Omega$ における根 $u$ は $F^{\mathrm{sep}}$ に属さない。実際 $x^p-t$ は $F$ 上既約なので（完全体の記事の例「反例：有理関数体と $x^p-t$」）$m_{u,F}=x^p-t$ であり、$\Omega[x]$ で $x^p-t=(x-u)^p$ と重根をもつ。
$x^p-x-t$ の $\Omega$ における根 $v$ は $F^{\mathrm{sep}}$ に属するが、$F$ には属さない。実際 $(x^p-x-t)'=px^{p-1}-1=-1$ なので $x^p-x-t$ は分離多項式であり、その約元 $m_{v,F}$ も分離多項式である。$v\notin F$ は、$x^p-x-t$ が $F$ に根をもたないことによる。
$F$ に根をもたないことの確認を開く
$w\in F$ に対し、$w=g/h$（$g,h\in\mathbb{F}_p[t]$、$h\neq0$）と書いて $\deg w:=\deg g-\deg h$ とおく（$w\neq0$ のとき。書き方によらない）。$\deg(w_1w_2)=\deg w_1+\deg w_2$ であり、$\deg w_1\neq\deg w_2$ なら $\deg(w_1+w_2)=\max(\deg w_1,\deg w_2)$ である。$w^p-w=t$ となる $w\in F$ があったとする。$w\in\mathbb{F}_p$ なら $w^p-w=0\neq t$ である。$\deg w>0$ なら $\deg(w^p-w)=p\deg w\ge2$、$\deg w<0$ なら $\deg(w^p-w)=\deg w<0$ で、どちらも $\deg t=1$ と合わない。$\deg w=0$ で $w\notin\mathbb{F}_p$ なら、$g,h$ の最高次の係数の比を $c\in\mathbb{F}_p^\times$ として $w_1:=w-c$ は $\deg w_1<0$ を満たし、$c^p=c$ から $w^p-w=w_1^p-w_1$ となって、前の場合と同じく次数が合わない。

したがって $F\subsetneq F^{\mathrm{sep}}\subsetneq\Omega$ である。さらに $F^{\mathrm{sep}}$ の中で $t$ は $p$ 乗根をもたない（$\Omega$ の中の $t$ の $p$ 乗根は $u$ だけで、$u\notin F^{\mathrm{sep}}$）ので、$F^{\mathrm{sep}}$ は完全体でない。

拡大の中の分離閉包

$F=\mathbb{Q}$、$E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\mathbb{R}$ とすると、標数 $0$ なので $E_{\mathrm{sep}}=E$ である。一方 $E$ は $x^3-2$ の実数でない根を含まないので $\mathbb{Q}$ 上正規でなく、Galois 拡大でない（分離拡大の記事の例「反例：分離的だが正規でない拡大」）。拡大の中の分離閉包 $E_{\mathrm{sep}}$ は、$F$ の分離閉包 $F^{\mathrm{sep}}$ と違って Galois 拡大とは限らない。
$F=\mathbb{F}_p(t)$、$E=F(u)$（$u^p=t$）とすると、$E_{\mathrm{sep}}=F$ である。実際 $E$ の元は $\alpha=\sum_{i=0}^{p-1}a_iu^i$（$a_i\in F$）と書け、標数 $p$ では $p$ 乗が和を保つので $\alpha^p=\sum_ia_i^pt^i\in F$ である。$\alpha$ が $F$ 上分離的なら、分離拡大の記事の命題「分離元の判定」により $F(\alpha)=F(\alpha^p)=F$、すなわち $\alpha\in F$ である。

性質

分離的な元は部分体をなす

分離的な元のなす部分体

$E/F$ を体の拡大とする。$E$ における $F$ の分離閉包 $E_{\mathrm{sep}}$ は $F$ を含む $E$ の部分体であり、$E_{\mathrm{sep}}/F$ は分離拡大である。

$\alpha,\beta\in E_{\mathrm{sep}}$ をとる。$\alpha\pm\beta$、$\alpha\beta$、$\alpha/\beta$（$\beta\neq0$）が $F$ 上分離的であることを示せばよい。
$m_{\alpha,F}$ と $m_{\beta,F}$ の積から重複を除いた多項式を $f$ とする（両者が等しければ $f=m_{\alpha,F}$、異なれば $f=m_{\alpha,F}m_{\beta,F}$）。$f$ は分離多項式である。実際、各因子は分離多項式であり、異なるモニックな既約多項式は共通の根をもたない（共通の根 $\gamma$ があれば、どちらも $\gamma$ の最小多項式になって一致する）。
$f$ の $E$ 上の分解体 $M$ をとり、$M$ の中で $f$ の根すべてを $F$ に添加した体を $N$ とする。$N$ は $f$ の $F$ 上の分解体であり、$f$ は分離多項式なので、Galois拡大の記事の定理「有限次Galois拡大の特徴づけ」の条件 4 により $N/F$ は Galois 拡大、とくに分離拡大である。$\alpha,\beta\in E\subset M$ は $f$ の根なので $N$ に属し、したがって $\alpha\pm\beta,\alpha\beta,\alpha/\beta\in N$ も $F$ 上分離的である。これらは $E$ の元でもあるので $E_{\mathrm{sep}}$ に属する。$F\subset E_{\mathrm{sep}}$ はすでに見た。$E_{\mathrm{sep}}/F$ が分離拡大であることは定義そのものである。$\square$

この定理は分離拡大の記事の定理「分離拡大の推移性」の後半と同じ主張である。上の証明は、分離多項式の分解体が Galois 拡大になることだけを使っている（Mil22 Remark 3.15。Stacks Fields, Lemma 14.6、Tag 030K）。

分離閉包の存在

次の補題は、「分離的な元を係数とする分離多項式の根は分離的である」ことを述べる。分離閉包が分離閉体になることの鍵である。

分離的な係数をもつ分離多項式の根

$L/F$ を体の拡大、$g\in L[x]$ を定数でない分離多項式とし、$g$ の係数はすべて $F$ 上分離的であるとする。このとき $g$ の $L$ における根はすべて $F$ 上分離的である。

要点：係数を含む有限次 Galois 拡大 $N/F$ をとり、根の $N$ 上の最小多項式の $\operatorname{Gal}(N/F)$ による共役（重複を除く）を掛け合わせると、$F$ 係数の分離多項式で根を零点にもつものが得られる。

詳しい証明を開く

$\gamma\in L$ を $g$ の根とする。$g$ の係数 $c_0,\dots,c_d$ の $F$ 上の最小多項式から重複を除いて掛けた多項式を $h$ とすると、thm-separable-closure-subfield の証明と同じ理由で $h$ は分離多項式である。$h$ の $L$ 上の分解体 $L'$ をとり、$L'$ の中で $h$ の根すべてを $F$ に添加した体を $N$ とする。$N/F$ は分離多項式 $h$ の分解体なので有限次 Galois 拡大であり（Galois拡大の記事の定理「有限次Galois拡大の特徴づけ」）、$c_0,\dots,c_d\in N$、$\gamma\in L\subset L'$ である。$\Gamma:=\operatorname{Gal}(N/F)$ とおく。

$\gamma$ は $g\in N[x]$ の根なので $N$ 上代数的であり、$\mu:=m_{\gamma,N}$ は $g$ を割り切るから分離多項式である。$\sigma\in\Gamma$ を係数に施した多項式を $\sigma\mu$ と書く。$\sigma$ は $N[x]$ の環自己同型を引き起こすので、$\sigma\mu$ は $N[x]$ のモニックな既約多項式であり、$a\mu+b\mu'=1$ となる $a,b\in N[x]$ に $\sigma$ を施すと $(\sigma a)(\sigma\mu)+(\sigma b)(\sigma\mu)'=1$ となるので、$\sigma\mu$ も分離多項式である。$\{\sigma\mu\mid\sigma\in\Gamma\}$ の相異なる元を $\mu_1,\dots,\mu_r$ とし、$H:=\mu_1\cdots\mu_r$ とおく。$\tau\in\Gamma$ は $\sigma\mu\mapsto(\tau\sigma)\mu$ によって $\mu_1,\dots,\mu_r$ を並べ替えるので $\tau H=H$、すなわち $H$ の係数は $\Gamma$ の固定体 $N^\Gamma$ に属する。Galois 拡大では $N^\Gamma=F$ なので（同じ定理の条件 3）、$H\in F[x]$ である。異なるモニックな既約多項式は共通の根をもたず、各 $\mu_i$ は分離多項式なので、$H$ は分離多項式である。$H(\gamma)=0$（$\mu$ が $\mu_i$ の 1 つ）なので $\gamma$ は $F$ 上代数的で、$m_{\gamma,F}$ は $H$ を割り切るから分離多項式である。よって $\gamma$ は $F$ 上分離的である。$\square$

分離閉包の存在

$\Omega$ を $F$ を含む代数閉体とする（たとえば $F$ の代数閉包）。$\Omega$ における $F$ の分離閉包 $\Omega_{\mathrm{sep}}$ は分離閉体であり、したがって $F$ の分離閉包である。とくに、どの体も分離閉包をもつ。

thm-separable-closure-subfield により $\Omega_{\mathrm{sep}}$ は体で、$\Omega_{\mathrm{sep}}/F$ は分離的な代数拡大である。$g\in\Omega_{\mathrm{sep}}[x]$ を定数でない分離多項式とする。$\Omega$ は代数閉体なので $g$ は $\Omega$ で 1 次式の積に分解する。$g$ の係数は $\Omega_{\mathrm{sep}}$ の元なので $F$ 上分離的であり、lem-separable-closure-roots により $g$ の $\Omega$ における根はすべて $F$ 上分離的、すなわち $\Omega_{\mathrm{sep}}$ に属する。よって $g$ は $\Omega_{\mathrm{sep}}$ で 1 次式の積に分解し、$\Omega_{\mathrm{sep}}$ は分離閉体である。どの体 $F$ も代数閉包をもつので（代数閉体の記事の定理「代数閉包の存在と一意性」）、分離閉包をもつ。$\square$

代数閉包との差：純非分離な部分

代数閉包は分離閉包の上で純非分離

$\Omega$ を $F$ を含む代数閉体とし、$F$ の標数を素数 $p$ とする。$F$ 上代数的な $\alpha\in\Omega$ について、$\alpha^{p^e}\in\Omega_{\mathrm{sep}}$ となる整数 $e\ge0$ がある。$F$ の標数が $0$ なら、$\Omega$ の元で $F$ 上代数的なものはすべて $\Omega_{\mathrm{sep}}$ に属する。

標数 $0$ の場合は、既約多項式がすべて分離的であることから従う（完全体の記事の命題「既約多項式が分離的であるための条件」の 2）。
標数 $p$ の場合、$m=m_{\alpha,F}$ の次数についての帰納法で示す。$m'\neq0$ なら、同じ命題の 1 により $m$ は分離多項式なので $e=0$ でよい。$m'=0$ なら、同じ命題の 3 により $m=g(x^p)$ となるモニックな $g\in F[x]$ がある。$g$ は既約である（$g=ab$ と分解すれば $m=a(x^p)b(x^p)$ と分解する）。$g(\alpha^p)=m(\alpha)=0$ なので $g=m_{\alpha^p,F}$ であり、$\deg g=\deg m/p<\deg m$ である。帰納法の仮定により $(\alpha^p)^{p^{e'}}\in\Omega_{\mathrm{sep}}$ となる $e'\ge0$ があり、$e=e'+1$ とすればよい。$\square$

とくに $\Omega$ が $F$ の代数閉包なら、$\Omega$ のどの元も $p$ 冪乗すると $\Omega_{\mathrm{sep}}$ に入る。このような拡大 $\Omega/\Omega_{\mathrm{sep}}$ を純非分離拡大という（分離拡大の記事の注意「純非分離拡大と分離次数・Galois 理論」）。分離閉包と代数閉包が一致するのは、ちょうど完全体のときである。

完全体の特徴づけ

$\Omega$ を $F$ の代数閉包とする。$\Omega_{\mathrm{sep}}=\Omega$ であることと、$F$ が完全体であることは同値である。

$F$ が完全体なら、$F$ の代数拡大 $\Omega/F$ は分離拡大なので（完全体の記事の定理「完全体の特徴づけ」の 1 ⇒ 3）、$\Omega_{\mathrm{sep}}=\Omega$ である。逆に $\Omega_{\mathrm{sep}}=\Omega$ とし、$f\in F[x]$ を既約多項式とする。$f$ は $\Omega$ に根 $\alpha$ をもち、$f$ は $m_{\alpha,F}$ の定数倍である。$\alpha\in\Omega_{\mathrm{sep}}$ なので $m_{\alpha,F}$、したがって $f$ は分離多項式である。$F[x]$ の既約多項式がすべて分離的なので、同じ定理の 2 ⇒ 1 により $F$ は完全体である。$\square$

同型を除く一意性

分離閉包の一意性

$F$ を体とする。

$\Sigma$ を $F$ の分離閉包、$\overline{\Sigma}$ を $\Sigma$ の代数閉包とする。このとき $\overline{\Sigma}$ は $F$ の代数閉包であり、$\Sigma=\overline{\Sigma}_{\mathrm{sep}}$（$\overline{\Sigma}$ における $F$ の分離閉包）である。
$F$ の 2 つの分離閉包 $\Sigma_1,\Sigma_2$ の間には、$F$ の元を動かさない体の同型 $\Sigma_1\to\Sigma_2$ が存在する。
$E/F$ が分離的な代数拡大なら、$F$ の元を動かさない体の準同型 $E\to F^{\mathrm{sep}}$ が存在する。

1：$\overline{\Sigma}/\Sigma$ と $\Sigma/F$ はともに代数拡大なので、$\overline{\Sigma}/F$ は代数拡大であり（体の拡大の記事の系「代数的な元のなす部分体と推移性」）、$\overline{\Sigma}$ は $F$ の代数閉包である。$\Sigma/F$ は分離的なので $\Sigma\subset\overline{\Sigma}_{\mathrm{sep}}$ である。逆に $\alpha\in\overline{\Sigma}_{\mathrm{sep}}$ をとると、$m=m_{\alpha,F}\in\Sigma[x]$ は定数でない分離多項式なので、$\Sigma$ が分離閉体であることから $m=\prod_i(x-\beta_i)$（$\beta_i\in\Sigma$）と分解する。$\overline{\Sigma}$ の中で $\prod_i(\alpha-\beta_i)=m(\alpha)=0$ なので $\alpha$ はある $\beta_i$ に等しく、$\alpha\in\Sigma$ である。
2：$\Sigma_i$ の代数閉包 $\Omega_i$ をとる（$i=1,2$）。1 により $\Omega_i$ は $F$ の代数閉包で、$\Sigma_i=(\Omega_i)_{\mathrm{sep}}$ である。代数閉体の記事の定理「代数閉包の存在と一意性」により、$F$ の元を動かさない同型 $\varphi\colon\Omega_1\to\Omega_2$ がある。$\alpha\in\Omega_1$ が $F$ 上代数的なら、$\varphi$ は $F$ 係数の多項式の値を保つので $m_{\varphi(\alpha),F}=m_{\alpha,F}$ である。よって $\varphi$ は $F$ 上分離的な元を $F$ 上分離的な元に移し、$\varphi^{-1}$ も同様なので、$\varphi$ は同型 $\Sigma_1=(\Omega_1)_{\mathrm{sep}}\to(\Omega_2)_{\mathrm{sep}}=\Sigma_2$ に制限される。
3：$E$ の代数閉包 $\Omega_E$ は、1 と同じ理由で $F$ の代数閉包である。$E/F$ は分離的なので $E\subset(\Omega_E)_{\mathrm{sep}}$ であり、thm-separable-closure-existence により $(\Omega_E)_{\mathrm{sep}}$ は $F$ の分離閉包である。2 による $F$ 上の同型 $(\Omega_E)_{\mathrm{sep}}\to F^{\mathrm{sep}}$ を $E$ に制限すればよい。$\square$

2 は Mil22 Theorem 6.10 にある。同型は存在するが、一般にはただ 1 つではない（後の反例の表）。

Galois 拡大としての分離閉包

分離閉包は最大の Galois 拡大

$\Omega$ を $F$ の代数閉包とし、$F^{\mathrm{sep}}=\Omega_{\mathrm{sep}}$ とする。

$F^{\mathrm{sep}}/F$ は Galois 拡大（正規拡大かつ分離拡大）である。
$\Omega$ に含まれる $F$ の分離拡大、とくに $F$ の Galois 拡大は、すべて $F^{\mathrm{sep}}$ に含まれる。

1：分離的であることは定義による。$\alpha\in F^{\mathrm{sep}}$ について、$m_{\alpha,F}$ は $F^{\mathrm{sep}}[x]$ の定数でない分離多項式なので、$F^{\mathrm{sep}}$ が分離閉体であることから $F^{\mathrm{sep}}$ で 1 次式の積に分解する。よって $F^{\mathrm{sep}}/F$ は正規拡大である。
2：$F\subset E\subset\Omega$ で $E/F$ が分離拡大なら、$E$ の元はすべて $F$ 上分離的なので $E\subset\Omega_{\mathrm{sep}}$ である。$\square$

$F^{\mathrm{sep}}/F$ は一般に無限次の Galois 拡大であり、その Galois 群 $\operatorname{Gal}(F^{\mathrm{sep}}/F)$ に Krull 位相を入れたものを $F$ の絶対 Galois 群という（Mil22 Chapter 7、Galois群の記事の定義「Krull位相」）。次の命題により、この群は代数閉包の $F$ 上の自己同型群と同じものである。

代数閉包の自己同型と分離閉包の自己同型

$\Omega$ を $F$ の代数閉包とし、$F^{\mathrm{sep}}=\Omega_{\mathrm{sep}}$ とする。$F$ の元を動かさない $\Omega$ の自己同型 $\sigma$ は $\sigma(F^{\mathrm{sep}})=F^{\mathrm{sep}}$ を満たし、制限写像
$$ \operatorname{Aut}(\Omega/F)\longrightarrow\operatorname{Aut}(F^{\mathrm{sep}}/F),\qquad \sigma\longmapsto\sigma|_{F^{\mathrm{sep}}} $$
は群の同型である。とくに、$F^{\mathrm{sep}}$ の $F$ 上の自己同型 $\tau$ は、次の図式を可換にする $\Omega$ の自己同型 $\varphi$ にただ 1 つの方法で延長される。
$$ \xymatrix{ \Omega \ar@{.>}[r]^{\varphi} & \Omega \\ F^{\mathrm{sep}} \ar@{^{(}->}[u] \ar[r]_{\tau} & F^{\mathrm{sep}} \ar@{^{(}->}[u] } $$
図式が可換とは、すべての $x\in F^{\mathrm{sep}}$ について $\varphi(x)=\tau(x)$ となることである。

$\sigma(F^{\mathrm{sep}})=F^{\mathrm{sep}}$：$\alpha\in F^{\mathrm{sep}}$ なら、$\sigma$ は $F$ の元を動かさないので $m_{\sigma(\alpha),F}=m_{\alpha,F}$ は分離多項式であり、$\sigma(\alpha)\in F^{\mathrm{sep}}$ である。$\sigma^{-1}$ にも同じことが言えるので $\sigma(F^{\mathrm{sep}})=F^{\mathrm{sep}}$ である。したがって制限写像は矛盾なく定まり、群準同型である。単射であることは $\Omega/F^{\mathrm{sep}}$ が純非分離であることから、全射であることは代数閉包の一意性から従う。

単射と全射の証明を開く

単射：$\sigma|_{F^{\mathrm{sep}}}=\mathrm{id}$ とする。標数 $0$ なら prop-separable-closure-purely-inseparable により $\Omega=F^{\mathrm{sep}}$ なので $\sigma=\mathrm{id}$ である。標数 $p$ なら、$\alpha\in\Omega$ に対し同じ命題により $\alpha^q\in F^{\mathrm{sep}}$ となる $q=p^e$ があり、$\sigma(\alpha)^q=\sigma(\alpha^q)=\alpha^q$ である。標数 $p$ では $q$ 乗が差を保つので $(\sigma(\alpha)-\alpha)^q=0$、よって $\sigma(\alpha)=\alpha$ である。

全射：$\tau\in\operatorname{Aut}(F^{\mathrm{sep}}/F)$ をとり、包含を $\iota\colon F^{\mathrm{sep}}\to\Omega$ とする。$\Omega$ は代数閉体で $F^{\mathrm{sep}}$ 上代数的なので、$\iota$ によって $F^{\mathrm{sep}}$ の代数閉包であり、$\iota\circ\tau$ によっても（$\iota\circ\tau$ の像は $F^{\mathrm{sep}}$ そのものなので）$F^{\mathrm{sep}}$ の代数閉包である。代数閉体の記事の定理「代数閉包の存在と一意性」を体 $F^{\mathrm{sep}}$ とこの 2 つの代数閉包に用いると、$\varphi\circ\iota=\iota\circ\tau$ を満たす同型 $\varphi\colon\Omega\to\Omega$ が得られる。$\varphi$ は $F$ の元を動かさず、$\varphi|_{F^{\mathrm{sep}}}=\tau$ である。延長の一意性は単射であることから従う。$\square$

代数閉包との比較

	代数閉包 $\overline{F}$	分離閉包 $F^{\mathrm{sep}}$
1 次式の積に分解する多項式	定数でないすべての多項式	定数でない分離多項式
$F$ 上の拡大	代数拡大	Galois 拡大
存在と一意性	$F$ 上の同型を除いて一意	$F$ 上の同型を除いて一意
$F$ 上の自己同型群	$\operatorname{Aut}(\overline{F}/F)$	$\operatorname{Gal}(F^{\mathrm{sep}}/F)$（制限で同型）
$F$ が完全体のとき	$F^{\mathrm{sep}}$ と一致	$\overline{F}$ と一致
$F=\mathbb{F}_p(t)$ で $t^{1/p}$	含む	含まない
標数 $p$ で完全体か	完全体	完全体とは限らない

代数閉体は完全体である（完全体の記事の例「代数閉体は完全体」）が、分離閉体は完全体とは限らない（ex-separable-closure-fpt）。表の最後の行はこの違いである。

反例

定義や上の性質から条件を 1 つ外したり、言い方を強めたりすると成り立たなくなることを表にまとめる（確認は表の下）。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$F$ が完全体	$F=\mathbb{F}_p(t)$	$F^{\mathrm{sep}}=\overline{F}$
代数閉体（分離閉体であるだけ）	$\mathbb{F}_p(t)^{\mathrm{sep}}$	代数閉体である・完全体である
$E$ が $F$ 上正規	$F=\mathbb{Q}$、$E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$	$E_{\mathrm{sep}}/F$ は Galois 拡大
$\Sigma/F$ が代数的	$\Sigma=\mathbb{C}$、$F=\mathbb{Q}$	$F$ を含む分離閉体は $F^{\mathrm{sep}}$ と $F$ 上同型
$\operatorname{Aut}(F^{\mathrm{sep}}/F)$ が自明	$F=\mathbb{Q}$	分離閉包の間の $F$ 上の同型はただ 1 つ

反例の確認

上の表の 5 つの行を上から順に確かめる。

各反例の確認を開く

1. ex-separable-closure-fpt により、$F=\mathbb{F}_p(t)$ の代数閉包 $\Omega$ の元 $u$（$u^p=t$）は $F^{\mathrm{sep}}=\Omega_{\mathrm{sep}}$ に属さないので $F^{\mathrm{sep}}\neq\Omega$ である。prop-separable-closure-perfect のとおり、$F$ は完全体でない。

2. $\mathbb{F}_p(t)^{\mathrm{sep}}$ は thm-separable-closure-existence により分離閉体である。しかし ex-separable-closure-fpt により $x^p-t$ はこの体に根をもたないので、代数閉体でなく、$t$ が $p$ 乗根をもたないので完全体でもない。「分離閉体」は「代数閉体」より真に弱い条件である。

3. ex-separable-closure-in-extension-examples の 1 のとおり、$E_{\mathrm{sep}}=E$ は $\mathbb{Q}$ 上正規でなく Galois 拡大でない。prop-separable-closure-galois の 1 が $F^{\mathrm{sep}}$ について成り立つのは、$F^{\mathrm{sep}}$ が分離閉体であるからで、一般の拡大の中の分離閉包 $E_{\mathrm{sep}}$ には当てはまらない。

4. $\mathbb{C}$ は代数閉体なので分離閉体であり、$\mathbb{Q}$ を含む。しかし $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$ は代数拡大でない（次に見るように $\mathbb{Q}$ 上代数的な複素数は可算個しかない）ので、$\mathbb{C}$ は $\mathbb{Q}$ の分離閉包でない。実際 $\mathbb{Q}^{\mathrm{sep}}=\overline{\mathbb{Q}}$ は可算集合であり（代数閉体の記事の例「代数的数全体のなす体」）、非可算な $\mathbb{C}$ とは集合として全単射にならないので、体として同型でない。定義の「代数拡大」を外すと、分離閉包の一意性が成り立たない。

5. $\overline{\mathbb{Q}}\subset\mathbb{C}$ の元の複素共役はまた $\mathbb{Q}$ 上代数的なので、複素共役は $\overline{\mathbb{Q}}$ の $\mathbb{Q}$ 上の自己同型 $c$ を与え、$c(i)=-i$ なので $c\neq\mathrm{id}$ である。よって $\overline{\mathbb{Q}}$ から $\overline{\mathbb{Q}}$ への $\mathbb{Q}$ 上の同型は $\mathrm{id}$ と $c$ の少なくとも 2 つある。thm-separable-closure-uniqueness の 2 の同型は存在するだけで、選び方は $\operatorname{Aut}(F^{\mathrm{sep}}/F)$ の元の分だけある。

注意

流儀と記号

分離閉体の定義は、lem-separable-closure-equivalent の 3 条件のどれを採っても同じである。Mil22 Definition 6.9 は条件 1 を定義とし、「分離閉包」を $F$ 上分離的で代数的な分離閉体として定める。Stacks は同じものを separable algebraic closure と呼び（Étale Cohomology, Definition 56.1、Tag 03QX）、拡大の中の分離閉包 $E_{\mathrm{sep}}$ を Fields, Lemma 14.6（Tag 030K）で構成する。記号は $F^{\mathrm{sep}}$、$F^{\mathrm{s}}$、$F_{\mathrm{s}}$ などが使われる。拡大の中の分離閉包 $E_{\mathrm{sep}}$ と体の分離閉包 $F^{\mathrm{sep}}$ は、$E$ が代数閉体のときに一致する（thm-separable-closure-existence）。

分離閉包が現れる場面

分離閉包は、体の上の問題を「分離的な部分」でまとめて扱うときに現れる。中心単純環の記事の定理「分離閉包上の分裂」は、中心単純環が分離閉包へ係数を広げると行列環になることを述べ、これが Brauer群を Galois コホモロジーで記述する出発点になる。代数幾何では、体 $k$ のスペクトル $\operatorname{Spec}k$ のエタール基本群は $\operatorname{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)$ と同型であり（エタール基本群の記事の命題「体のエタール基本群」）、エタールコホモロジーの茎は分離閉体に値をとる幾何的点で計算される。狭義Hensel局所環は剰余体が分離閉体である Hensel 局所環であり、分離閉体の環版にあたる。