Gårdingの不等式
概要
Gårdingの不等式（Gårding's inequality）とは、主表象の実部が $|\xi|^{2m}$ の正の定数倍以上である強楕円型の微分作用素（階数 $2m$）に付随する Dirichlet 形式 $B$ について、$\operatorname{Re}B(u,u)\ge c\|u\|_{H^m}^2-C\|u\|_{L^2}^2$ が成り立つという評価である。各点での代数的な条件から、$m$ 階までの導関数全体を $L^2$ ノルムの誤差を除いて制御する積分の評価が得られる。証明は、定数係数の場合を Fourier 解析で示し、係数を小さな範囲で凍結して 1 の分割で貼り合わせる。Lax–Milgram の定理と組み合わせて弱解が存在し、Rellich の定理と組み合わせて作用素が指数 $0$ の Fredholm 作用素になる。
前提知識: Rellichの定理, Sobolev空間の基本事項, Lax–Milgramの定理, 楕円型作用素
Gårdingの不等式（Gårding's inequality）は、強楕円型の微分作用素 $P$（階数 $2m$）に付随する形式 $B(u,v)$（部分積分で $\langle Pu,v\rangle$ を書き直したもの）について
$$
\operatorname{Re}B(u,u)\ge c\|u\|_{m}^2-C\|u\|_{0}^2
$$
が成り立つ、という評価である。左辺は作用素 $P$ だけで決まる量、右辺の第 1 項は $m$ 階までの導関数をすべて含む Sobolev ノルムである。すなわち、主表象の実部が正であるという各点での代数的な条件から、「$P$ は $m$ 階の導関数を、$L^2$ ノルムの分の誤差を除いてすべて制御する」という積分の評価が出る。
この不等式は楕円型方程式の理論の基本的な道具である。$\lambda$ を十分大きくとると形式 $B(u,v)+\lambda\langle u,v\rangle$ が強圧的になり、Lax–Milgram の定理で $Pu+\lambda u=f$ の弱解が一意に存在する。さらに Rellichの定理 と組み合わせると、$P$ は指数 $0$ の Fredholm作用素 になる。Hodgeの定理 の証明で Laplace 作用素について使われるのは、この一連の議論である。
この記事では、トーラス $\mathbb T^n$ 上で、変数係数の場合まで Gårding の不等式を完全に証明し、その帰結を導く。有界領域やコンパクト多様体の場合は所在を示して引用する。
設定：Dirichlet 形式と強楕円性
記号
トーラス $\mathbb T^n=\mathbb R^n/2\pi\mathbb Z^n$、正規化した内積 $\langle u,v\rangle$、Fourier 係数 $\hat u(k)$、$\langle k\rangle=(1+|k|^2)^{1/2}$、Sobolev 空間 $H^s(\mathbb T^n)$ とノルム $\|u\|_s^2=\sum_k\langle k\rangle^{2s}|\hat u(k)|^2$ は Rellichの定理 の記事の「トーラス上の Sobolev 空間」の節のとおりとする。同記事の命題「整数階の場合：弱微分による特徴づけ」により、整数 $m\ge0$ と $|\gamma|\le m$ について $\widehat{\partial^\gamma u}(k)=(ik)^\gamma\hat u(k)$ であり、
$$
\|\partial^\gamma u\|_0\le\|u\|_{|\gamma|}\le\|u\|_m,\qquad \sum_{|\gamma|\le m}\|\partial^\gamma u\|_0^2\le\|u\|_m^2\le C_m\sum_{|\gamma|\le m}\|\partial^\gamma u\|_0^2
$$
が成り立つ（最初の不等式は $|k^\gamma|^2\le|k|^{2|\gamma|}\le\langle k\rangle^{2|\gamma|}$ から）。また同記事の「コンパクト性から出る補間不等式」の節の係数ごとの比較により、$m\ge1$ と $\delta>0$ について
$$
\|u\|_{m-1}^2\le\delta\|u\|_m^2+\delta^{-(m-1)}\|u\|_0^2
$$
である。三角多項式（有限個の $e_k(x)=e^{ik\cdot x}$ の一次結合）は $H^m(\mathbb T^n)$ で稠密である。
Dirichlet 形式と主表象
$m\ge1$ を整数とし、多重指数 $|\alpha|,|\beta|\le m$ ごとに複素数値の係数 $a_{\alpha\beta}\in C^\infty(\mathbb T^n)$ が与えられているとする。$u,v\in H^m(\mathbb T^n)$ について
$$
B(u,v):=\sum_{|\alpha|,|\beta|\le m}\langle a_{\alpha\beta}\,\partial^\beta u,\partial^\alpha v\rangle
$$
を Dirichlet 形式という。$B$ は $u$ について線形、$v$ について共役線形である。その主表象を
$$
p(x,\xi):=\sum_{|\alpha|=|\beta|=m}a_{\alpha\beta}(x)\,\xi^{\alpha+\beta}\qquad(x\in\mathbb T^n,\ \xi\in\mathbb R^n)
$$
と定める。定数 $c_0>0$ があって
$$
\operatorname{Re}p(x,\xi)\ge c_0|\xi|^{2m}\qquad(x\in\mathbb T^n,\ \xi\in\mathbb R^n)
$$
が成り立つとき、$B$（および対応する作用素 $P$）は強楕円型であるという。$\xi\ne0$ で $p(x,\xi)\ne0$ となることを楕円型という。
$u,v$ が滑らかなら、周期性により境界項なしに部分積分できて
$$
B(u,v)=\langle Pu,v\rangle,\qquad Pu:=\sum_{|\alpha|,|\beta|\le m}(-1)^{|\alpha|}\partial^\alpha\bigl(a_{\alpha\beta}\,\partial^\beta u\bigr)
$$
である。$P$ は階数 $2m$ の微分作用素で、発散形で書かれている。定数係数で $u=e_k$ とすると $\partial^\beta e_k=(ik)^\beta e_k$ であり、$|\alpha|=|\beta|=m$ の項では $i^{m}\overline{i^{m}}=1$ なので、$B(e_k,e_k)$ の最高階の部分はちょうど $p(k)$ になる。主表象は「最高階の微分 $\partial$ を $i\xi$ に置き換えたもの」である。
$m=1$、$a_{\alpha\beta}=1$（$\alpha=\beta=\mathbf e_j$、$j=1,\dots,n$）、他の係数を $0$ とすると
$$
B(u,v)=\sum_{j=1}^n\langle\partial_ju,\partial_jv\rangle,\qquad Pu=-\Delta u,\qquad p(x,\xi)=|\xi|^2
$$
で、$c_0=1$ の強楕円型である。より一般に、滑らかな行列値関数 $A(x)=(A_{ij}(x))$ について $a_{\mathbf e_i\mathbf e_j}:=A_{ij}$ とすれば $Pu=-\sum_{i,j}\partial_i(A_{ij}\partial_ju)$、$p(x,\xi)=\sum_{i,j}A_{ij}(x)\xi_i\xi_j$ であり、$\operatorname{Re}\sum_{i,j}A_{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge c_0|\xi|^2$ が強楕円性の条件である。1 階・0 階の項 $\sum_jb_j\partial_ju+cu$ を加えても主表象は変わらない。
$n=2$、$m=2$ とし、実数 $c$ について
$$
B_c(u,u):=\|\partial_1^2u\|_0^2+2(1-c)\|\partial_1\partial_2u\|_0^2+\|\partial_2^2u\|_0^2+2c\operatorname{Re}\langle\partial_1^2u,\partial_2^2u\rangle
$$
とする（係数 $a_{\alpha\beta}$ は $\alpha,\beta\in\{(2,0),(1,1),(0,2)\}$ の定数で、$a_{(2,0)(0,2)}=a_{(0,2)(2,0)}=c$）。主表象は $\xi_1^4+2(1-c)\xi_1^2\xi_2^2+\xi_2^4+2c\,\xi_1^2\xi_2^2=(\xi_1^2+\xi_2^2)^2$ で、$c$ によらず強楕円型である。実際、Parseval の等式により
$$
B_c(u,u)=\sum_k\bigl(k_1^4+2(1-c)k_1^2k_2^2+k_2^4+2ck_1^2k_2^2\bigr)|\hat u(k)|^2=\sum_k|k|^4|\hat u(k)|^2\ge0
$$
である。ところが被積分関数を $(f_{11},f_{12},f_{22})=(\partial_1^2u,\partial_1\partial_2u,\partial_2^2u)$ の 2 次形式 $|f_{11}|^2+2(1-c)|f_{12}|^2+|f_{22}|^2+2c\operatorname{Re}f_{11}\overline{f_{22}}$ とみると、$|c|>1$ では $(f_{11},f_{12},f_{22})=(1,0,-c/|c|)$ で値 $2-2|c|<0$ をとり、点ごとには正でない。Gårding の不等式は被積分関数の正値性ではなく、部分積分で互いに打ち消す項まで込めた積分についての評価である。この例は Gar53 p. 61 にある。
Gårding の不等式（トーラス上）
$B$ を def-gar-form の強楕円型の Dirichlet 形式とする。このとき定数 $c>0$、$C\ge0$（係数 $a_{\alpha\beta}$、$m$、$n$ で決まる）があって、すべての $u\in H^m(\mathbb T^n)$ について
$$
\operatorname{Re}B(u,u)\ge c\|u\|_m^2-C\|u\|_0^2
$$
が成り立つ。
証明は 3 段からなる。(i) 定数係数で最高階だけの場合は Parseval の等式で直接示せる。(ii) 低階の項は $\|u\|_m\|u\|_{m-1}$ で押さえられ、補間不等式で $\|u\|_0^2$ の項に吸収できる。(iii) 変数係数は、台の小さい 1 の分割で局所化し、各小片の上で係数をその中心の値に凍結して (i) に帰着させる。凍結の誤差は係数の連続性で小さく、局所化の誤差（交換子）は低階なので (ii) と同じく吸収できる。以下の補題を準備する。
$a_{\alpha\beta}$（$|\alpha|=|\beta|=m$）が定数で、$\operatorname{Re}p(\xi)\ge c_0|\xi|^{2m}$ とする。$B_0(u,v):=\sum_{|\alpha|=|\beta|=m}a_{\alpha\beta}\langle\partial^\beta u,\partial^\alpha v\rangle$ について
$$
\operatorname{Re}B_0(u,u)\ge2^{1-m}c_0\|u\|_m^2-c_0\|u\|_0^2\qquad(u\in H^m(\mathbb T^n)).
$$
Parseval の等式と $\widehat{\partial^\beta u}(k)=(ik)^\beta\hat u(k)$ から、def-gar-form の後の計算と同じく
$$
B_0(u,u)=\sum_k\sum_{|\alpha|=|\beta|=m}a_{\alpha\beta}(ik)^\beta\overline{(ik)^\alpha}|\hat u(k)|^2=\sum_kp(k)|\hat u(k)|^2
$$
なので $\operatorname{Re}B_0(u,u)\ge c_0\sum_k|k|^{2m}|\hat u(k)|^2$ である。関数 $t\mapsto t^m$ の凸性から $\bigl(\frac{1+|k|^2}2\bigr)^m\le\frac{1+|k|^{2m}}2$、すなわち $|k|^{2m}\ge2^{1-m}\langle k\rangle^{2m}-1$ なので、$\operatorname{Re}B_0(u,u)\ge c_0\sum_k(2^{1-m}\langle k\rangle^{2m}-1)|\hat u(k)|^2$ となる。$\square$
$a\in C^\infty(\mathbb T^n)$、$|\alpha|,|\beta|\le m$、$|\alpha|+|\beta|\le2m-1$ なら
$$
|\langle a\,\partial^\beta u,\partial^\alpha v\rangle|\le\sup|a|\,\bigl(\|u\|_m\|v\|_{m-1}+\|u\|_{m-1}\|v\|_m\bigr).
$$
また任意の $\varepsilon>0$ について、すべての $u\in H^m(\mathbb T^n)$ で
$$
\|u\|_m\|u\|_{m-1}\le\varepsilon\|u\|_m^2+\varepsilon^{1-2m}\|u\|_0^2 .
$$
$|\alpha|+|\beta|\le2m-1$ なので $|\alpha|\le m-1$ か $|\beta|\le m-1$ である。Cauchy–Schwarz の不等式と $\|\partial^\gamma w\|_0\le\|w\|_{|\gamma|}$ から前半が出る。後半：$ab\le\frac\varepsilon2a^2+\frac1{2\varepsilon}b^2$ を $a=\|u\|_m$、$b=\|u\|_{m-1}$ に使い、補間不等式を $\delta=\varepsilon^2$ で当てると $\frac1{2\varepsilon}b^2\le\frac\varepsilon2\|u\|_m^2+\frac{1}{2}\varepsilon^{1-2m}\|u\|_0^2$ となる。$\square$
- 任意の $\rho\in(0,1)$ について、実数値の $\psi_1,\dots,\psi_N\in C^\infty(\mathbb T^n)$ と点 $x_1,\dots,x_N\in\mathbb T^n$ があって、$\sum_j\psi_j^2=1$ かつ $\psi_j$ の台は $x_j$ を中心とする半径 $\rho$ の球に含まれる。
- $\psi\in C^\infty(\mathbb T^n)$ と $|\beta|\le m$ について、$u\in H^m(\mathbb T^n)$ なら $\psi u\in H^m(\mathbb T^n)$ で、$\psi$ と $m$ で決まる定数 $K_\psi$ について
$$ \|\psi u\|_m\le K_\psi\|u\|_m,\qquad \|\partial^\beta(\psi u)-\psi\,\partial^\beta u\|_0\le K_\psi\|u\|_{m-1}. $$
要点：1 は台の小さい山形の関数で $\mathbb T^n$ を覆い、2 乗和の平方根で割る。2 は Leibniz の公式で、$\partial^\beta(\psi u)-\psi\partial^\beta u$ には $u$ の $m-1$ 階以下の導関数しか現れないことによる。
詳しい証明を開く
1：各点 $y$ について、$y$ の周りの半径 $\rho/2$ の球で正、半径 $\rho$ の球の外で $0$ となる $0$ 以上の滑らかな関数 $\chi_y$ をとる。半径 $\rho/2$ の球はコンパクトな $\mathbb T^n$ を覆うので、有限個 $y=x_1,\dots,x_N$ で覆える。$\chi_j:=\chi_{x_j}$ とすると $\sum_i\chi_i^2>0$ がいたるところ成り立ち、$\psi_j:=\chi_j/(\sum_i\chi_i^2)^{1/2}$ が求めるものである。
2：まず $u$ が三角多項式（滑らか）の場合を示す。Leibniz の公式 $\partial^\beta(\psi u)=\sum_{\gamma\le\beta}\binom\beta\gamma(\partial^\gamma\psi)(\partial^{\beta-\gamma}u)$ で $\gamma=0$ の項が $\psi\partial^\beta u$ であり、残りの項は $|\beta-\gamma|\le m-1$ なので、$\|\partial^{\beta-\gamma}u\|_0\le\|u\|_{m-1}$ と $\sup|\partial^\gamma\psi|$ で押さえられる。これで第 2 の不等式が出る。第 1 の不等式は、$\|\psi u\|_m^2\le C_m\sum_{|\beta|\le m}\|\partial^\beta(\psi u)\|_0^2$ に同じ Leibniz の公式を使えば出る。一般の $u\in H^m$ は、三角多項式 $u_j\to u$（$H^m$ で）をとると $(\psi u_j)$ が $H^m$ の Cauchy 列になり、$L^2$ で $\psi u$ に収束するので、その $H^m$ での極限は $\psi u$ で、2 つの不等式も極限で保たれる。$\square$
両辺は $H^m$ で連続なので、$u$ が三角多項式の場合に示せば密度により一般の場合が従う。$L$ を $|\alpha|=|\beta|=m$ となる組 $(\alpha,\beta)$ の個数、$A:=\max_{\alpha,\beta}\sup|a_{\alpha\beta}|$ とする。
段 1：低階の項．$B=B_{\mathrm{pr}}+B_{\mathrm{low}}$（$B_{\mathrm{pr}}$ は $|\alpha|=|\beta|=m$ の項）と分ける。lem-gar-lower により $|B_{\mathrm{low}}(u,u)|\le M_1\|u\|_m\|u\|_{m-1}$（$M_1$ は係数と項の数で決まる）である。
段 2：凍結．$\eta:=2^{-m}c_0/L$ とおく。係数は $\mathbb T^n$ 上で一様連続なので、ある $\rho\in(0,1)$ があって、距離が $\rho$ 未満の 2 点 $x,y$ で $|a_{\alpha\beta}(x)-a_{\alpha\beta}(y)|<\eta$（$|\alpha|=|\beta|=m$）となる。この $\rho$ で lem-gar-partition の 1 の $\psi_j$、$x_j$ をとり、$w_j:=\psi_ju$ とおく。$B_j$ を係数を定数 $a_{\alpha\beta}(x_j)$ に置き換えた最高階の形式とすると、$w_j$ の台の上で係数の差は $\eta$ 未満なので
$$
|B_{\mathrm{pr}}(w_j,w_j)-B_j(w_j,w_j)|\le\sum_{|\alpha|=|\beta|=m}\eta\,\|\partial^\beta w_j\|_0\|\partial^\alpha w_j\|_0\le L\eta\|w_j\|_m^2=2^{-m}c_0\|w_j\|_m^2 .
$$
$B_j$ の主表象は $p(x_j,\xi)$ なので lem-gar-constant が当てはまり、
$$
\operatorname{Re}B_{\mathrm{pr}}(w_j,w_j)\ge2^{1-m}c_0\|w_j\|_m^2-c_0\|w_j\|_0^2-2^{-m}c_0\|w_j\|_m^2=2^{-m}c_0\|w_j\|_m^2-c_0\|w_j\|_0^2 .
$$
段 3：局所化の誤差．$\sum_j\psi_j^2=1$ で $\psi_j$ は実数値なので
$$
B_{\mathrm{pr}}(u,u)=\sum_j\sum_{|\alpha|=|\beta|=m}\langle a_{\alpha\beta}\,\psi_j\partial^\beta u,\psi_j\partial^\alpha u\rangle .
$$
ここで $\psi_j\partial^\beta u=\partial^\beta w_j-R_{j\beta}$ と書くと、lem-gar-partition の 2 により $\|R_{j\beta}\|_0\le K\|u\|_{m-1}$、$\|\partial^\beta w_j\|_0\le\|w_j\|_m\le K\|u\|_m$（$K:=\max_jK_{\psi_j}$）である。$\langle aX,Y\rangle-\langle a(X-R),(Y-R')\rangle$ を展開して Cauchy–Schwarz の不等式で評価すると、
$$
\Bigl|B_{\mathrm{pr}}(u,u)-\sum_jB_{\mathrm{pr}}(w_j,w_j)\Bigr|\le M_2\|u\|_m\|u\|_{m-1}
$$
（$M_2$ は $A,L,N,K$ で決まる。$\|u\|_{m-1}\le\|u\|_m$ を使う）となる。同様に、$|\gamma|\le m$ について $\|\partial^\gamma w_j\|_0\ge\|\psi_j\partial^\gamma u\|_0-K\|u\|_{m-1}$ と $\|\psi_j\partial^\gamma u\|_0\le\|u\|_m$（$0\le\psi_j^2\le1$ による）から $\|\partial^\gamma w_j\|_0^2\ge\|\psi_j\partial^\gamma u\|_0^2-2K\|u\|_m\|u\|_{m-1}$ であり（$x\ge a-b$、$a,b\ge0$ なら $x^2\ge a^2-2ab$）、$\sum_j\|\psi_j\partial^\gamma u\|_0^2=\|\partial^\gamma u\|_0^2$ だから
$$
\sum_j\|w_j\|_m^2\ge\sum_j\sum_{|\gamma|\le m}\|\partial^\gamma w_j\|_0^2\ge\sum_{|\gamma|\le m}\|\partial^\gamma u\|_0^2-M_3\|u\|_m\|u\|_{m-1}\ge C_m^{-1}\|u\|_m^2-M_3\|u\|_m\|u\|_{m-1}
$$
である。また $\sum_j\|w_j\|_0^2=\|u\|_0^2$ である。
段 4：まとめ．段 1〜3 を合わせると
$$
\operatorname{Re}B(u,u)\ge2^{-m}c_0C_m^{-1}\|u\|_m^2-c_0\|u\|_0^2-M\|u\|_m\|u\|_{m-1}\qquad(M:=M_1+M_2+2^{-m}c_0M_3).
$$
$c:=2^{-m-1}c_0C_m^{-1}$ とおき、lem-gar-lower の後半を $\varepsilon:=c/M$ で使えば $M\|u\|_m\|u\|_{m-1}\le c\|u\|_m^2+M\varepsilon^{1-2m}\|u\|_0^2$ なので、
$$
\operatorname{Re}B(u,u)\ge c\|u\|_m^2-\bigl(c_0+M\varepsilon^{1-2m}\bigr)\|u\|_0^2 .\ \square
$$
段 2 で「係数を凍結する」のが Gårding の議論の核心である（Gar53 pp. 61–63 の定理 2.1 の証明）。定数係数の場合は Fourier 係数ごとに主表象の値が掛かるだけなので、強楕円性がそのまま評価になる。変数係数でも、十分小さな範囲では係数はほぼ定数であり、その誤差は $\eta$ を小さくとることで最高階の評価の一部に吸収される。
ex-gar-second-order の $B(u,v)=\sum_j\langle\partial_ju,\partial_jv\rangle$ では、Rellichの定理 の記事の式 (2) により
$$
B(u,u)=\|u\|_1^2-\|u\|_0^2
$$
で、Gårding の不等式は $c=C=1$ の等号で成り立つ。$C=0$ にはできない：定数関数 $u=1$ では $B(u,u)=0$ だが $\|u\|_1=1$ である。$-\Delta$ の核は定数関数の $1$ 次元で、$-\Delta+\lambda$（$\lambda>0$）は $\operatorname{Re}B(u,u)+\lambda\|u\|_0^2\ge\min(1,\lambda)\|u\|_1^2$ を満たす。
帰結：弱解の存在と Fredholm 性
作用素 $H^m\to H^{-m}$
形式 $B$ は $|B(u,v)|\le A'\|u\|_m\|v\|_m$（$A'$ は係数の上限と項の数で決まる）を満たす有界な形式である。これを作用素として書くために、$f\in H^{-m}(\mathbb T^n)$（係数列）と $v\in H^m(\mathbb T^n)$ の対を
$$
(f,v):=\sum_kf_k\overline{\hat v(k)}
$$
と定める。Cauchy–Schwarz の不等式で $|(f,v)|\le\|f\|_{-m}\|v\|_m$ である。逆に、$H^m$ 上の有界な共役線形汎関数 $\ell$ は、ただ 1 つの $f\in H^{-m}$ によって $\ell(v)=(f,v)$ と書け、$\|f\|_{-m}=\|\ell\|$ である（$\overline{\ell}$ に Hilbert 空間 $H^m$ の Rieszの表現定理 を当てて $\ell(v)=\langle g,v\rangle_m$ とし、$f_k:=\langle k\rangle^{2m}\hat g(k)$ とおく）。
そこで $u\in H^m$ に対し、$Pu\in H^{-m}$ を
$$
(Pu,v)=B(u,v)\qquad(v\in H^m(\mathbb T^n))
$$
で定める。$u$ が滑らかなら $Pu$ は def-gar-form の後の微分作用素による値（の係数列）と一致する。$P\colon H^m\to H^{-m}$ は有界線形である。
thm-gar-main の仮定のもとで、定数 $C'$ があって
$$
\|u\|_m\le C'\bigl(\|Pu\|_{-m}+\|u\|_0\bigr)\qquad(u\in H^m(\mathbb T^n)).
$$
Gårding の不等式と $\operatorname{Re}B(u,u)=\operatorname{Re}(Pu,u)\le\|Pu\|_{-m}\|u\|_m\le\frac c2\|u\|_m^2+\frac1{2c}\|Pu\|_{-m}^2$ から $\frac c2\|u\|_m^2\le\frac1{2c}\|Pu\|_{-m}^2+C\|u\|_0^2$ となる。平方根をとり $\sqrt{a+b}\le\sqrt a+\sqrt b$ を使えばよい。$\square$
この評価の右辺には $\|u\|_0$ が残る。$\|u\|_0$ は $\|u\|_m$ より弱いノルムであり、Rellichの定理 によって「弱いノルムでの制御」はコンパクトな誤差として扱える。これが次の Fredholm 性の源である。
$C$ を thm-gar-main の定数とし、$\lambda\ge C$ とする。任意の $f\in H^{-m}(\mathbb T^n)$ に対して
$$
B(u,v)+\lambda\langle u,v\rangle=(f,v)\qquad(v\in H^m(\mathbb T^n))
$$
を満たす $u\in H^m(\mathbb T^n)$ がただ 1 つ存在し、$\|u\|_m\le c^{-1}\|f\|_{-m}$ である。すなわち $P+\lambda\colon H^m\to H^{-m}$ は有界な逆をもつ全単射である（$\lambda$ は係数列をそのまま $H^{-m}$ の元とみる包含の $\lambda$ 倍を表す）。
$B_\lambda(u,v):=B(u,v)+\lambda\langle u,v\rangle$ は有界で、$\operatorname{Re}B_\lambda(u,u)\ge c\|u\|_m^2-C\|u\|_0^2+\lambda\|u\|_0^2\ge c\|u\|_m^2$ なので強圧的である。Lax–Milgramの定理 の記事は試験元を第 1 変数に置く規約なので、$a(v,u):=\overline{B_\lambda(u,v)}$、$\varphi(v):=\overline{(f,v)}$ とおけば、$a$ は同記事の意味で有界かつ強圧的（$\operatorname{Re}a(u,u)=\operatorname{Re}B_\lambda(u,u)$）で、$\varphi$ は有界な線形汎関数である。同記事の定理「Lax–Milgramの定理」により $a(v,u)=\varphi(v)$、すなわち $B_\lambda(u,v)=(f,v)$ を満たす $u$ がただ 1 つ存在し、$\|u\|_m\le\|\varphi\|/c=\|f\|_{-m}/c$ である。$\square$
thm-gar-main の仮定のもとで、$P\colon H^m(\mathbb T^n)\to H^{-m}(\mathbb T^n)$ は指数 $0$ の Fredholm 作用素である。特に $\ker P$ は有限次元で、方程式 $Pu=f$ が $H^m$ の中で解けるための $f$ の条件は有限個の一次条件であり、その個数は $\dim\ker P$ に等しい。
$J\colon H^m\to H^{-m}$ を包含（係数列をそのまま $H^{-m}$ の元とみる写像）とすると、$(Ju,v)=\langle u,v\rangle$ なので $P=(P+\lambda)-\lambda J$ である。cor-gar-lax-milgram により $P+\lambda$ は全単射で、指数 $0$ の Fredholm 作用素である。Rellichの定理 の記事の定理「Rellichの定理（トーラス上）」を $s=m>t=-m$ で使うと $J$ はコンパクトである。$H^m$ と $H^{-m}$ は Hilbert 空間なので、Fredholm作用素 の記事の定理「コンパクトな摂動による指数の不変性」により $P$ は指数 $0$ の Fredholm 作用素である。後半は指数 $0$、すなわち $\dim\ker P=\dim\operatorname{coker}P$ の言い換えである。$\square$
$\ker P$ の元は $H^m$ に属するだけでなく実は滑らかである。これは楕円型作用素の正則性（$Pu\in H^s$ なら $u\in H^{s+2m}$）から、Rellichの定理 の記事の系「滑らかな関数の特徴づけ」を通して従う（楕円正則性。この記事では証明しない。コンパクト多様体上の楕円型作用素についての形は Dem12 第 VI 章 (2.3)（p. 289）にあり、$Pu=0$ に当てれば $\ker P$ の元がすべての $W^k$ に属する）。
仮定を外すと成り立たなくなること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 主表象の実部が正（楕円型のまま） | $p(\xi)=i\lvert\xi\rvert^2$ の形式 $B=i\sum_j\langle\partial_ju,\partial_jv\rangle$ | Gårding の不等式 |
| 楕円性 | $n=2$ で $p(\xi)=\xi_1^2-\xi_2^2$ | Gårding の不等式 |
| 主表象の符号 | $p(\xi)=-\lvert\xi\rvert^2$（$P=\Delta$） | Gårding の不等式 |
| 右辺の $-C\|u\|_0^2$ の項 | $-\Delta$ と定数関数 | $C=0$ での不等式 |
$n\ge1$、$m=1$ として、次の 3 つの形式を考える。
- $B(u,v)=i\sum_j\langle\partial_ju,\partial_jv\rangle$：主表象 $i|\xi|^2$ は $\xi\ne0$ で $0$ でない（楕円型）が、実部は $0$。
- $n=2$、$B(u,v)=\langle\partial_1u,\partial_1v\rangle-\langle\partial_2u,\partial_2v\rangle$：主表象 $\xi_1^2-\xi_2^2$ は $\xi=(1,1)$ で $0$（楕円型でない）。
- $B(u,v)=-\sum_j\langle\partial_ju,\partial_jv\rangle$：主表象 $-|\xi|^2$ は楕円型だが実部が負。
どの場合も、Gårding の不等式 $\operatorname{Re}B(u,u)\ge c\|u\|_1^2-C\|u\|_0^2$ はどんな $c>0$、$C$ でも成り立たない。$u=e_k$ とすると $\|e_k\|_1^2=\langle k\rangle^2$、$\|e_k\|_0=1$ で、$\operatorname{Re}B(e_k,e_k)$ は 1 では $0$、2 では $k=(j,j)$ として $j^2-j^2=0$、3 では $-|k|^2$ である。いずれも右辺 $c(1+|k|^2)-C$ は $|k|\to\infty$ で $+\infty$ に発散するので、不等式は大きな $|k|$ で破れる。1 と 3 は楕円型なので、cor-gar-estimate の型の評価そのものは別の方法で成り立ちうるが（1 では $|B(u,u)|$ を使えばよい）、実部の正値性に基づく Lax–Milgram の議論はそのままでは使えない。満たす性質は「楕円型」（1・3）、満たさない性質は「強楕円型」であり、破れる含意は「楕円型 ⇒ Gårding の不等式」である。
有界領域とコンパクト多様体での形
Gårding の原論文 Gar53 は、有界な開集合 $S\subset\mathbb R^n$ 上で、$S$ の中にコンパクトな台をもつ滑らかな関数 $f$ に対し、実数値で対称な係数 $p_{\alpha\beta}$ をもつ Dirichlet 形式 $p(f,f)=\int\sum p_{\alpha\beta}f_\alpha\overline{f_\beta}\,dx$ について、主表象が一様に正定値なら $p(f,f)+t(f,f)\ge c'(|f|_m^2+t|f|_0^2)$（$t$ が十分大きいとき、$|f|_j$ は $j$ 階の導関数の $L^2$ ノルム）となることを示した（定理 2.1（p. 61）、定理 2.2（p. 64）、証明は pp. 61–64）。証明は、定数係数の場合を Fourier 変換と Parseval の公式で示し（p. 62 の (2.5)）、半径の小さい球で係数を凍結し（(2.6)）、2 乗和が $1$ の分割 $1=\sum_i|h_i|^2$ で貼り合わせる（p. 63）という、本記事の prf-gar-main と同じ構成である。主表象の実部が正の場合への拡張も同論文の注 2（p. 56）で言及されている。零境界値の空間 $H^m_0(S)$ では、上の不等式から Dirichlet 問題の弱解の存在が cor-gar-lax-milgram と同じ形で従う。
コンパクト Riemann 多様体 $M$ 上のベクトル束の間の楕円型微分作用素 $P$（階数 $d$、強楕円型とは限らない）について、「$u\in L^2$、$Pu\in W^k$ なら $u\in W^{k+d}$ で $\|u\|_{k+d}\le C_k(\|Pu\|_k+\|u\|_0)$」という正則性つきの評価を「Gårding の不等式」と呼ぶ文献もある（Dem12 第 VI 章 (2.3)（p. 289）。同書は証明を楕円型偏微分方程式の文献に委ねている）。本記事の cor-gar-estimate は、強楕円型の場合に、同じ形の評価を同書が扱わない負の階数 $k=-m$（$u\in H^m$、$Pu\in H^{-m}$）で述べたものに当たる。正則性の部分（$u$ が $W^{k+d}$ に属すること）は 楕円正則性 の主題であり、この記事では証明しない。Hodge 理論では、この評価と Rellichの定理 から、Laplace 作用素の核（調和形式）が有限次元であること、像が閉じていることが導かれる（同書 (2.4) の証明、pp. 289–290）。
関連項目
- 前提: Rellichの定理, Sobolev空間の基本事項, Lax–Milgramの定理, 楕円型作用素
- 比較: Sobolevの不等式, Dirichlet問題
- 直後に読む: Fredholm作用素, 楕円正則性
- 発展: Hodgeの定理, 指数理論
参考文献
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