Joyalモデル構造

単射は自明 Kan ファイブレーションに対して左持ち上げ性質をもつ（Kan–Quillenモデル構造 の系「単射とアノダイン拡大の特徴づけ」の 1）。$\emptyset\subset D$ に対する持ち上げで、$qs=\mathrm{id}_D$ となる $s\colon D\to C$ を得る。次に、単射 $C\times\{0,1\}\subset C\times J$ と、上辺 $C\times\{0\}\to C$ を $sq$、$C\times\{1\}\to C$ を $\mathrm{id}_C$、下辺を $C\times J\xrightarrow{\mathrm{pr}}C\xrightarrow{q}D$ とする正方形を考える。$q\circ sq=q$ なので可換であり、持ち上げ $H\colon C\times J\to C$ で $H|_{C\times\{0\}}=sq$、$H|_{C\times\{1\}}=\mathrm{id}_C$ となるものがある。

準圏 $X$ と写像 $\varphi\colon C\to X$ について、$\varphi H\colon C\times J\to X$ は写像 $J\to\mathrm{Fun}(C,X)$ にあたり、頂点 $0,1$ を $\varphi sq$ と $\varphi$ へ送る。よって $[\varphi sq]=[\varphi]$、すなわち $(sq)^*=\mathrm{id}$ が $\tau_0(C,X)$ 上で成り立つ。$(qs)^*=\mathrm{id}$ でもあるので、$q^*$ と $s^*$ は互いに逆の全単射である。

$C$ が準圏なら、$H$ は写像 $J\to\mathrm{Fun}(C,C)$ にあたり、その辺 $0\to1$ の像は $sq$ から $\mathrm{id}_C$ への自然同値である。$qs=\mathrm{id}_D$ とあわせて、$s$ は $q$ の準逆である。$\square$

$X$ を準圏とする。内部ホーンと内部アノダイン射 の系「指数と内部ファイブレーション」の 1 を $p=(X\to\Delta^0)$、$j=i$ に当てると、$\mathrm{Fun}(A,\Delta^0)=\mathrm{Fun}(B,\Delta^0)=\Delta^0$ なので、$\langle i,p\rangle$ は制限 $i^*\colon\mathrm{Fun}(B,X)\to\mathrm{Fun}(A,X)$ であり、$i$ が内部アノダインなので自明 Kan ファイブレーションである。両辺は準圏なので、prop-jm-trivial-fibration により $i^*$ は∞圏の同値である。∞圏の同値はホモトピー圏の圏同値を誘導し（圏同値(∞圏) の命題「ホモトピー圏の同値を誘導する」）、圏同値は対象の同型類の全単射を与える。よって $i^*\colon\tau_0(B,X)\to\tau_0(A,X)$ は全単射である。$\square$

まず、準圏 $X$ と写像 $\varphi\colon\mathcal C\to X$、$\mathrm{Fun}(\mathcal C,\mathcal C)$ の同値な 2 頂点 $\alpha,\beta$（$[\alpha]=[\beta]$）について $[\varphi\alpha]=[\varphi\beta]$ である。後合成 $\varphi_*\colon\mathrm{Fun}(\mathcal C,\mathcal C)\to\mathrm{Fun}(\mathcal C,X)$ が単体的写像で、同値の辺を同値の辺へ送るからである。

$\Leftarrow$：準逆 $G$ をとると、自然同値 $GF\simeq\mathrm{id}_{\mathcal C}$ は $\tau_0(\mathcal C,\mathcal C)$ で $[GF]=[\mathrm{id}_{\mathcal C}]$ を意味する。準圏 $X$ について、上の注意から $\tau_0(\mathcal C,X)$ 上で $F^*G^*=(GF)^*=\mathrm{id}$、同様に $\tau_0(\mathcal D,X)$ 上で $G^*F^*=(FG)^*=\mathrm{id}$ である。よって $F^*$ は全単射である。

$\Rightarrow$：$X=\mathcal C$ での全射性から、$G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ で $[GF]=[\mathrm{id}_{\mathcal C}]$ となるものがある。$X=\mathcal D$ では、上の注意（$\varphi=F$）から $F^*[FG]=[F\circ GF]=[F\circ\mathrm{id}_{\mathcal C}]=F^*[\mathrm{id}_{\mathcal D}]$ であり、単射性から $[FG]=[\mathrm{id}_{\mathcal D}]$ である。$[GF]=[\mathrm{id}]$、$[FG]=[\mathrm{id}]$ は自然同値 $GF\simeq\mathrm{id}_{\mathcal C}$、$FG\simeq\mathrm{id}_{\mathcal D}$ があることにほかならない。$\square$

脈体は充満忠実で積を保つ（$N(\mathcal A\times\mathcal E)_n=\mathrm{Hom}([n],\mathcal A)\times\mathrm{Hom}([n],\mathcal E)$）。よって小さな圏 $\mathcal E$ について $\mathrm{Fun}(N\mathcal A,N\mathcal E)_n=\mathrm{Hom}(N\mathcal A\times N[n],N\mathcal E)\cong\mathrm{Hom}(\mathcal A\times[n],\mathcal E)\cong\mathrm{Hom}([n],\mathcal E^{\mathcal A})=N(\mathcal E^{\mathcal A})_n$ であり、これは $[n]$ について自然なので $\mathrm{Fun}(N\mathcal A,N\mathcal E)\cong N(\mathcal E^{\mathcal A})$ である。この同型は頂点 $N(G)$ を関手 $G$ に、辺を自然変換に対応させ、前合成・後合成と両立する。$hN(\mathcal E^{\mathcal A})\cong\mathcal E^{\mathcal A}$ なので、$\mathrm{Fun}(N\mathcal A,N\mathcal E)$ の同値の辺はちょうど自然同型である。

脈体 $N\mathcal A$、$N\mathcal B$ は準圏である（準圏 の定理「脈体の内部ホーンは一意に充填される」）。prop-jm-quasicategories により、$N(F)$ が圏同値であることは、写像 $G'\colon N\mathcal B\to N\mathcal A$ と自然同値 $G'N(F)\simeq\mathrm{id}$、$N(F)G'\simeq\mathrm{id}$ があることと同値である。脈体は充満忠実なので $G'=N(G)$ となる関手 $G$ がただ 1 つあり、上の対応で自然同値は自然同型 $GF\cong\mathrm{id}_{\mathcal A}$、$FG\cong\mathrm{id}_{\mathcal B}$ にあたる。これは $F$ が圏同値であることにほかならない。$\square$

1。Kan 複体 $Z$ は準圏であり、$\mathrm{Fun}(B,Z)$ は Kan 複体である（Kan–Quillenモデル構造 の系「単体的モデル構造」の 2。そこでの $\operatorname{Map}(B,Z)$ と同じもの）。Kan 複体のホモトピー圏は亜群なので（Kan複体 の命題「Kan 複体のホモトピー圏は亜群である」）、$\mathrm{Fun}(B,Z)$ のすべての辺は同値であり、$[\varphi]=[\psi]$ は $\varphi$ から $\psi$ への辺、すなわちホモトピー $B\times\Delta^1\to Z$ があることと同じである。$Z$ が Kan 複体なので、これは $[B,Z]$（Kan–Quillenモデル構造 の定義「単体的ホモトピー類とホモトピー同値」）の同値関係そのものであり、$\tau_0(B,Z)=[B,Z]$ である。圏同値 $u$ について $u^*\colon[B,Z]\to[A,Z]$ はすべての Kan 複体 $Z$ で全単射なので、Kan–Quillenモデル構造 の定理「Kan 複体への写像による判定」の 1 により $u$ は弱同値である。

2。1 により「$\Rightarrow$」は示した。$u\colon K\to L$ を Kan 複体の間の弱同値とすると、同じ定理の 2 によりホモトピー同値で、ホモトピー逆 $v$ と、$K$ が Kan 複体なのでホモトピー $H\colon K\times\Delta^1\to K$（$vu$ から $\mathrm{id}_K$ へ）がある。頂点 $0$ の包含 $\Delta^0\to J$ はホモトピー同値である。実際 $J\to\Delta^0\to J$ と $\mathrm{id}_J$ は、定値関手 $0$ から恒等関手への自然変換 $\mathbb I\times[1]\to\mathbb I$ の脈体 $J\times\Delta^1\to J$ で結ばれる。同じく $\Delta^0\to\Delta^1$ も、$[1]\times[1]\to[1]$、$(x,t)\mapsto\min(x,t)$ の脈体によりホモトピー同値である。ホモトピー同値は Kan 複体への写像のホモトピー類に全単射を与えるので（同 補題「アノダイン拡大と Kan 複体への写像」の 1）、同 定理の 1 により弱同値であり、2 out of 3 から単射 $\Delta^1\subset J$（関手 $[1]\to\mathbb I$ の脈体）は弱同値、すなわちアノダイン拡大である（同 定理「Kan–Quillen モデル構造」の 2）。すると $K\times\Delta^1\subset K\times J$ は $\emptyset\subset K$ との押し出し積としてアノダイン拡大であり（同 系「単体的モデル構造」の 1）、$K$ が Kan 複体なので $H$ は $\tilde H\colon K\times J\to K$ に延びる。準圏 $X$ と $\varphi\colon K\to X$ について、$\varphi\tilde H$ は写像 $J\to\mathrm{Fun}(K,X)$ なので $[\varphi vu]=[\varphi]$、つまり $(vu)^*=\mathrm{id}$ である。同様に $(uv)^*=\mathrm{id}$ なので、$u^*$ は全単射である。

3。単射で圏同値なものは、1 により単射で弱同値、すなわちアノダイン拡大であり、Kan ファイブレーションに対して左持ち上げ性質をもつ。よって Kan ファイブレーションは圏ファイブレーションである。恒等関手は単射を単射へ、Joyal の自明コファイブレーションを Kan–Quillen の自明コファイブレーションへ送るので、左 Quillen 関手である。$\square$

$N(P)$ の $n$ 単体は順序を保つ写像 $[n]\to P$、すなわち列 $p_0\le\cdots\le p_n$ で、頂点の列で決まる。写像 $f\colon K\to N(P)$ は頂点の写像 $v$ を定め、単体 $\sigma\in K_n$ の像は $\sigma$ の頂点の像の列である。逆に辺の条件をみたす $v$ について、$\sigma$ の頂点 $\sigma_i$ と $\sigma_j$（$i< j$）を結ぶ辺は $\sigma$ の面として $K$ の辺なので、頂点の像の列は単調であり、$\sigma\mapsto(v(\sigma_0),\dots,v(\sigma_n))$ は面・退化と両立する写像を与える。2 つの対応は互いに逆である。

$[\varphi]=[\psi]$ なら、$\mathrm{Fun}(K,N(P))$ に辺 $\varphi\to\psi$ と $\psi\to\varphi$ がある。辺 $K\times\Delta^1\to N(P)$ を頂点 $x\in K_0$ ごとに辺 $(x,0)\to(x,1)$ へ制限すると $\varphi(x)\le\psi(x)$ が、逆向きから $\psi(x)\le\varphi(x)$ が得られる。よって $\varphi$ と $\psi$ は頂点で一致し、前半から $\varphi=\psi$ である。$\square$