Krull–Schmidtの定理

$\mathbb{Z}$ 加群とはアーベル群のことであり、有限アーベル群は長さ有限の $\mathbb{Z}$ 加群である（部分群の鎖の長さは位数の素因数の個数で抑えられる）。素数 $p$ と $k\ge1$ について $\operatorname{End}(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ は局所環なので（直既約加群 の例「有限アーベル群の場合」）、$\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ は直既約である（lem-ks-local-sum の 2）。
有限アーベル群は $\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ の形の巡回群の直和に分解する（有限生成アーベル群の構造定理 の定理「有限生成アーベル群の基本定理」）。thm-ks-main の 2 により、現れる $p^k$ の組（重複を込めて）は分解の取り方によらない。たとえば位数 $8$ のアーベル群 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\oplus3}$ は互いに同型でない。また、直既約な有限アーベル群は、その分解の成分が 1 つしかないので、ある $\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ と同型である。

体 $k$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ と線形変換 $T\colon V\to V$ について、$f(x)\cdot v:=f(T)(v)$ により $V$ は多項式環 $k[x]$ 上の加群になる。$k[x]$ 部分加群とは $T$ で保たれる部分空間のことで、その鎖の長さは $\dim V$ 以下なので、$V$ は長さ有限である。$V$ の直既約な部分加群への分解は、$T$ をこれ以上分けられないブロックの直和に分けることであり、thm-ks-main によりブロックの組は相似を除いて一意である。
$\lambda\in k$ と $n\ge1$ について $W_{\lambda,n}:=k[x]/((x-\lambda)^n)$ を考える。$k[x]$ は単項イデアル整域なので、部分加群は $(x-\lambda)^n$ を含むイデアル $(f)$、すなわち $f$ が $(x-\lambda)^n$ を割るもので与えられ、$(x-\lambda)^i k[x]/((x-\lambda)^n)$（$0\le i\le n$）の $n+1$ 個が一列に並ぶ。$0$ でない 2 つの部分加群は必ず一方が他方を含むので交わりが $0$ にならず、$W_{\lambda,n}$ は直既約である。基底 $(x-\lambda)^{n-1},\dots,(x-\lambda),1$ に関する $x$ の作用の行列は、対角成分が $\lambda$ の $n$ 次の Jordan 細胞である。$k$ が代数閉体なら、Jordan 標準形の存在（Jordan標準形 の定理「Jordan標準形の存在」）により $V$ はこの形の加群の直和になる。$W_{\lambda,n}$ の零化イデアルは $((x-\lambda)^n)$ なので、$(\lambda,n)$ が違えば同型でなく、thm-ks-main から Jordan 細胞の組の一意性（同じ記事の定理「Jordan標準形の一意性」）が改めて従う。

有限群 $G$ の体 $k$ 上の有限次元の表現は、群環 $k[G]$ 上の長さ有限の加群である（群の表現）。thm-ks-main により、表現は直既約な表現の直和にただ一通りに分かれる。$k$ の標数が $\lvert G\rvert$ を割ると、直既約な表現は既約とは限らない。たとえば $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{e,g\}$ が $\mathbb{F}_2^2$ に座標の入れ替えで作用するとき、$1$ 次元部分空間 $\{0,w\}$ が不変であることは $gw=w$ と同値で、そのような $w\neq0$ は $(1,1)$ だけなので、不変な $1$ 次元部分空間は $\langle(1,1)\rangle$ しかなく、$\mathbb{F}_2^2$ は不変部分空間の直和に分かれない。

1 行目． $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ は整域で、Noether 環である（$\mathbb{Z}$ 上有限生成な $\mathbb{Z}$ 加群なので、イデアルは有限生成な部分群）。$\varphi_2(a+b\sqrt{-5}):=a+b\bmod2$ と $\varphi_3(a+b\sqrt{-5}):=a-b\bmod3$ は環準同型 $R\to\mathbb{F}_2$、$R\to\mathbb{F}_3$ であり（$\sqrt{-5}$ の像 $1$、$-1$ の平方が、それぞれ $-5$ の像に等しい）、$P\subset\ker\varphi_2$、$Q\subset\ker\varphi_3$ である。
(i) $P\oplus Q\cong R\oplus(P\cap Q)$：$3-2=1$ なので $P+Q=R$ であり、$\sigma\colon P\oplus Q\to R$、$(x,y)\mapsto x+y$ は全射である。核は $\{(z,-z)\mid z\in P\cap Q\}\cong P\cap Q$ で、$R$ は自由なので $\sigma$ は分裂する（分裂補題）。
(ii) $P\cap Q=\omega R$、$\omega:=1+\sqrt{-5}$：$\omega\in P\cap Q$ である。$x=a+b\sqrt{-5}\in P\cap Q$ なら $\varphi_2(x)=0$、$\varphi_3(x)=0$ から $a\equiv b\pmod2$、$a\equiv b\pmod3$、すなわち $a\equiv b\pmod6$ であり、
$$ \frac{x}{\omega}=\frac{(a+b\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})}{6}=\frac{(a-b)+6b}{6}+\frac{b-a}{6}\sqrt{-5}\in R $$
である。$R$ は整域なので $r\mapsto\omega r$ は同型 $R\cong\omega R$ を与え、$P\oplus Q\cong R\oplus R$ である。
(iii) $P$ は単項イデアルでない：$N(a+b\sqrt{-5}):=a^2+5b^2$ は乗法的である。$P=\alpha R$ なら $\alpha$ は $N(2)=4$ と $N(\omega)=6$ をともに割り、$N(\alpha)\in\{1,2\}$ である。$a^2+5b^2=2$ は解をもたず、$N(\alpha)=1$ なら $\alpha=\pm1$ で $P=R$ となるが、$\varphi_2(1)=1$ なので $1\notin P$ である。よって $P$ は単項でなく、$R$ 加群として $R$ と同型でない（同型 $R\to P$ は $1$ を生成元に送る）。
(iv) 整域 $R$ の $0$ でないイデアル $I$ は直既約である：$I=I_1\oplus I_2$ で $0\neq x\in I_1$、$0\neq y\in I_2$ なら $xy\in I_1\cap I_2=0$ となり矛盾する。よって $P$、$Q$、$R$ は直既約で、分解 $P\oplus Q$ と $R\oplus R$ の成分は同型を除いても一致しない。$R$ は Artin 環でない（$2^nR$ が止まらない降鎖）ので、$R$ 加群 $R$ は長さ有限でない。$\operatorname{End}_R(R)\cong R$ は単元でない $3$ と $-2$ の和が $1$ なので局所環でなく、thm-ks-local の局所性の仮定も満たされていない。
2 行目． $R$ の部分加群はイデアルである。$R=M_1\oplus\cdots\oplus M_k$ と直既約な部分加群に分かれたとし、$1=e_1+\cdots+e_k$（$e_i\in M_i$）と書く。$x\in M_i$ について $x=xe_1+\cdots+xe_k$、$xe_j\in M_j$ なので $x=xe_i$ であり、$M_i=Re_i$、$e_i^2=e_i$ である。$R$ の冪等元は部分集合 $S\subset\mathbb{N}$ の指示関数 $1_S$ である。$e_i=1_{S_i}$ の $S_i$ が 2 点以上なら $S_i=S'\sqcup S''$（空でない）と分けて $Re_i=R1_{S'}\oplus R1_{S''}$ となり直既約に反するので、$S_i$ は 1 点である。すると $1=\sum e_i$ は有限集合 $S_1\cup\cdots\cup S_k$ の指示関数になり、$\mathbb{N}$ が無限であることに反する。
3 行目． $v(u(a))=v(a,0)=a$ だが、$u$ の像は $\mathbb{Z}\oplus0$ である。$N=(\mathbb{Z}\oplus0)\oplus(0\oplus\mathbb{Z})$ は直既約でない。