時間関数

$\tau$ を temporal 関数とする。$\tau$ は滑らかなので連続である。$\gamma\colon[a,b]\to M$ を未来向き因果曲線とし、$\gamma$ が滑らかな区間で $s$ をとる。$u:=-\nabla\tau(\gamma(s))$ は未来向きの時間的ベクトルであり、$v:=\gamma'(s)$ は $0$ でない未来向き因果ベクトル、すなわち $u$ を含む時間錐の閉包に属するベクトルである。時空 の記事の命題「時間錐の性質」の 3 により $g(u,v)< 0$ であり、
$$ (\tau\circ\gamma)'(s)=d\tau(\gamma'(s))=g(\nabla\tau,\gamma'(s))=-g(u,v)>0 $$
となる。区分点では左右の片側微分について同じことが成り立つ。$\tau\circ\gamma$ は連続で、各小区間で正の導関数をもつので、$[a,b]$ 上で狭義に増加する。$p< q$ なら $p$ から $q$ への未来向き因果曲線があるので $\tau(p)< \tau(q)$ である。$\square$

$t$ を時間関数とし、$\gamma\colon[a,b]\to M$ を $\gamma(a)=\gamma(b)=p$ となる未来向き因果曲線とすると、定義の言い換えにより $t(p)=t(\gamma(a))< t(\gamma(b))=t(p)$ となって矛盾する。よって閉じた因果曲線はなく、閉じた時間的曲線もない。強因果性は 因果階層 の記事の定理「因果階層の包含」の 2 である。コンパクトな時空は閉じた時間的曲線をもつ（Totally Vicious時空 の記事の命題「コンパクト時空はCTCを持つ」）ので、時間関数をもたない。$\square$

$A:=\partial I^-(p)$ とおく。まず $A$ の 2 点 $a,b$ で $a\ll b$ となるものはないことを示す。$a\ll b$ とすると、$I^+(a)$ は $b$ の開近傍であり $b\in\overline{I^-(p)}$ なので、$s\in I^+(a)\cap I^-(p)$ がある。$a\ll s\ll p$ から $a\in I^-(p)$ となるが、$I^-(p)$ は開集合なので $a\notin\partial I^-(p)$ であり、矛盾する。
各点 $x\in M$ のまわりで、$x$ において $\partial_0$ が未来向き時間的になる座標 $(x^0,\dots,x^{n-1})$ をとる。時間的であることは開条件で、時間的向き付けは連続なので、十分小さな箱 $B=(-\alpha,\alpha)\times(-\beta,\beta)^{n-1}$（座標で表したもの）の上で $\partial_0$ は未来向き時間的である。すると $y\in(-\beta,\beta)^{n-1}$ を固定した線分 $s\mapsto(s,y)$ は未来向き時間的曲線なので、$s_1< s_2$ なら $(s_1,y)\ll(s_2,y)$ である。前段より、$A\cap B$ は各線分 $\{(s,y)\}$ と高々 1 点で交わる。$A$ は閉集合なので Borel 集合であり、Fubiniの定理（非負関数については Tonelliの定理）により
$$ \mathrm{Leb}(A\cap B)=\int_{(-\beta,\beta)^{n-1}}\mathrm{Leb}_1\bigl(\{s\mid(s,y)\in A\}\bigr)\,dy=0 $$
である（高々 1 点の集合の 1 次元 Lebesgue 測度は $0$）。$M$ は可算な開基をもつので、このような箱の可算個で覆われ、$\mu(A)=0$ である。$\partial I^+(p)$ は時間の向きを逆にして同様である。$\square$

1。 $r\in I^-(p)$ なら $r\ll p\le q$ なので、時空 の記事の定理「時間的未来の基本性質」の 2（押し上げ）により $r\ll q$ である。よって $I^-(p)\subset I^-(q)$ であり、$t^-(p)\le t^-(q)$ である。
2。 $p_n\to p$ とし、$r\in I^-(p)$ をとる。$I^+(r)$ は $p$ を含む開集合なので、十分大きいすべての $n$ で $p_n\in I^+(r)$、すなわち $r\in I^-(p_n)$ である。したがって各点 $r\in M$ で $\mathbf 1_{I^-(p)}(r)\le\liminf_n\mathbf 1_{I^-(p_n)}(r)$ が成り立ち、Fatouの補題 により
$$ t^-(p)=\int_M\mathbf 1_{I^-(p)}\,d\mu\le\liminf_n\int_M\mathbf 1_{I^-(p_n)}\,d\mu=\liminf_n t^-(p_n) $$
である。
3。 $p< q$ とする。1 の証明により $I^-(p)\subset I^-(q)$ である。もし $I^-(q)\subset\overline{I^-(p)}$ なら $I^-(q)\subset I^-(p)$ となることを示す。$r\in I^-(q)$ をとり、$r$ から $q$ への未来向き時間的曲線の途中の点 $r'$ をとると $r\ll r'\ll q$ である。$r'\in I^-(q)\subset\overline{I^-(p)}$ であり、$I^+(r)$ は $r'$ の開近傍なので、$s\in I^+(r)\cap I^-(p)$ がある。$r\ll s\ll p$ から $r\in I^-(p)$ である。こうして $I^-(p)=I^-(q)$ となり、過去識別性から $p=q$ となって $p< q$ に反する。したがって
$$ U:=I^-(q)\setminus\overline{I^-(p)} $$
は空でない開集合であり、$\mu(U)>0$ である。$I^-(p)$ と $U$ は $I^-(q)$ の交わらない部分集合なので、$t^-(q)\ge t^-(p)+\mu(U)>t^-(p)$ である。
4。 2 があるので、$p_n\to p$ のとき $\limsup_nt^-(p_n)\le t^-(p)$ を示せばよい。$F:=M\setminus\overline{I^-(p)}$ とおき、$x\in F$ をとる。無限個の $n$ について $x\in I^-(p_n)$、すなわち $p_n\in I^+(x)$ だったとすると、$p\in\overline{I^+(x)}$ であり、過去 reflecting 性（$q=p$ とする）から $x\in\overline{I^-(p)}$ となって $x\in F$ に反する。よって十分大きいすべての $n$ で $x\notin I^-(p_n)$ であり、各点で $\mathbf 1_F\le\liminf_n\mathbf 1_{M\setminus I^-(p_n)}$ が成り立つ。Fatou の補題と $\mu(M)<\infty$ から
$$ \mu(F)\le\liminf_n\bigl(\mu(M)-t^-(p_n)\bigr)=\mu(M)-\limsup_nt^-(p_n) $$
である。lem-tf-boundary-null により $\mu(\overline{I^-(p)})=\mu(I^-(p))=t^-(p)$ なので、左辺は $\mu(M)-t^-(p)$ に等しく、$\limsup_nt^-(p_n)\le t^-(p)$ を得る。$\square$

識別的であることは過去識別的かつ未来識別的であることであり、reflecting であることは過去 reflecting かつ未来 reflecting であることである。thm-tf-volume の 3・4 により $t^-$ は連続な一般化された時間関数、すなわち時間関数であり、時間を逆にした版により $t^+$ も時間関数である。強因果性は prop-tf-causality による。$\square$

$w=a\partial_u+b\partial_v$ について $g(w,w)=-2ab$ であり、$\partial_u+\partial_v$ を未来向きとすると、$0$ でない未来向き因果ベクトルは $a,b\ge0$ を満たすもの、未来向き時間的ベクトルは $a,b>0$ を満たすものである。$f=u+v$ の勾配は $\nabla f=-(\partial_u+\partial_v)$（$g(-(\partial_u+\partial_v),w)=a+b=df(w)$）で過去向き時間的なので、$f$ は temporal 関数であり、prop-tf-temporal により時間関数である。
$p_n:=(1,1/n)$ とおくと $p_n\to p$ であり、$p$ から $p_n$ への線分は $\partial_v$ 方向の未来向き光的曲線なので $p\le p_n$、したがって $I^-(p)\subset I^-(p_n)$ である。正方形 $R:=\{-2< u< 0,\ -2< v< 0\}$ は $M$ に含まれる。$r=(u_0,v_0)\in R$ から $(0,1/(2n))$ への線分と、そこから $p_n$ への線分は、どちらも $u,v$ がともに狭義に増える時間的な線分で、除いた線分とは交わらない（1 本目は終点以外で $u< 0$、終点は $v>0$）。よって $r\ll p_n$ であり、$R\subset I^-(p_n)$ である。一方、$r\in R$ から $p$ への未来向き因果曲線があったとすると、その上で $u$ と $v$ はどちらも減らない連続関数であり、$u$ は $u_0< 0$ から $1$ まで動くので、どこかで $u=0$ となる。そこでの $v$ は $v_0>-2$ 以上で $v(p)=0$ 以下なので、その点は除いた線分に属し、曲線が $M$ に含まれることに反する。よって $R\cap I^-(p)=\emptyset$ であり、
$$ t^-(p_n)\ge\mu\bigl(I^-(p)\cup R\bigr)=t^-(p)+\mu(R) $$
となる。$\mu(R)>0$ なので $t^-$ は $p$ で上半連続でなく、thm-tf-volume の 4 により $M$ は過去 reflecting でない。$\square$

延長不可能な未来向き因果曲線 $\gamma$ は定義により $t^{-1}(c)$ と交わる。$\gamma$ に沿って $t$ は狭義に増加するので、$t\circ\gamma$ が値 $c$ をとるパラメータはただ 1 つであり、$\gamma$ と $t^{-1}(c)$ の交わりはちょうど 1 点である。よって $t^{-1}(c)$ は Cauchy 超曲面である。$M$ 上の滑らかな未来向き時間的ベクトル場 $X$ をとる（各点の座標近傍で未来向き時間的な定数係数のベクトル場を 1の分割 で貼り合わせればよい。未来錐は凸なので、和も未来向き時間的である）。$X$ の極大な積分曲線は、パラメータの端で 1 点に収束するとすれば、端が有限ならその点から積分曲線を延ばせて極大性に反し、端が無限ならその点が $X$ の零点になって矛盾するので、延長不可能な未来向き因果曲線であり、すべての $c$ でレベル集合と交わるので、$t$ は全射である。$\square$