3次方程式と多項式の判別式

方針：$f'(x)$ を積の微分法で 3 つの項の和に書き、解を代入すると 1 つの項だけが残ることを使う。
段 1（導関数）。$f(x)=(x-\alpha)\cdot\bigl((x-\beta)(x-\gamma)\bigr)$ と見て積の微分法を使うと
$$ f'(x)=(x-\beta)(x-\gamma)+(x-\alpha)\bigl((x-\beta)(x-\gamma)\bigr)' $$
である。もう一度積の微分法を使うと $\bigl((x-\beta)(x-\gamma)\bigr)'=(x-\gamma)+(x-\beta)$ なので
$$ f'(x)=(x-\beta)(x-\gamma)+(x-\alpha)(x-\gamma)+(x-\alpha)(x-\beta) $$
となる。
段 2（解を代入）。$x=\alpha$ を代入すると、2 つ目と 3 つ目の項は因子 $x-\alpha$ を含むので $0$ になり、$f'(\alpha)=(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)$ が残る。$x=\beta$、$x=\gamma$ を代入しても同様に、それぞれ 1 つの項だけが残る。
段 3（積）。3 つを掛けて、同じ 2 つの解を含む因子を組にする。
$$ f'(\alpha)f'(\beta)f'(\gamma)=\bigl[(\alpha-\beta)(\beta-\alpha)\bigr]\bigl[(\alpha-\gamma)(\gamma-\alpha)\bigr]\bigl[(\beta-\gamma)(\gamma-\beta)\bigr] $$
各組は $(\alpha-\beta)(\beta-\alpha)=-(\alpha-\beta)^2$ のように「$-1$ 倍の 2 乗」になるので、
$$ f'(\alpha)f'(\beta)f'(\gamma)=(-1)^3(\alpha-\beta)^2(\alpha-\gamma)^2(\beta-\gamma)^2=-\Delta(f) $$
である（$a=1$ なので $a^4=1$）。両辺に $-1$ を掛ければよい。$\square$

方針：$f'(x)=3x^2+p$ を $3(x-s)(x+s)$ と因数分解し、lem-cdsc-derivative の積を $f(s)$ と $f(-s)$ で書く。最後に $f(s)f(-s)$ を計算する。
段 1（$f'$ の因数分解）。$s^2=-\dfrac p3$ より $p=-3s^2$ なので
$$ f'(x)=3x^2+p=3x^2-3s^2=3(x-s)(x+s) $$
である。
段 2（積を $f(\pm s)$ で書く）。$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ とする。段 1 から
$$ f'(\alpha)f'(\beta)f'(\gamma)=27\,\bigl[(\alpha-s)(\beta-s)(\gamma-s)\bigr]\bigl[(\alpha+s)(\beta+s)(\gamma+s)\bigr] $$
である。一方、$f(s)=(s-\alpha)(s-\beta)(s-\gamma)$ で、3 つの因子の符号をすべて変えると $(-1)^3=-1$ 倍になるので
$$ (\alpha-s)(\beta-s)(\gamma-s)=-f(s) $$
である。同じく $f(-s)=(-s-\alpha)(-s-\beta)(-s-\gamma)=-(\alpha+s)(\beta+s)(\gamma+s)$ なので、$(\alpha+s)(\beta+s)(\gamma+s)=-f(-s)$ である。したがって
$$ f'(\alpha)f'(\beta)f'(\gamma)=27\cdot\bigl(-f(s)\bigr)\cdot\bigl(-f(-s)\bigr)=27f(s)f(-s) $$
であり、lem-cdsc-derivative により $\Delta(f)=-27f(s)f(-s)$ である。
段 3（$f(\pm s)$ を計算）。$s^3+ps=s(s^2+p)$ で、$s^2+p=-\dfrac p3+p=\dfrac{2p}3$ なので
$$ f(s)=s^3+ps+q=q+\frac{2p}3s,\qquad f(-s)=-s^3-ps+q=q-\frac{2p}3s $$
である。和と差の積なので
$$ f(s)f(-s)=q^2-\frac{4p^2}9s^2=q^2-\frac{4p^2}9\cdot\left(-\frac p3\right)=q^2+\frac{4p^3}{27} $$
である。
段 4（まとめ）。段 2 と段 3 から
$$ \Delta(f)=-27\left(q^2+\frac{4p^3}{27}\right)=-27q^2-4p^3 $$
である。$\square$

方針：増減表から極大・極小の位置を決め、thm-cdsc-cubic を当てはめる。
段 1。$f'(x)=3(x-s)(x+s)$（prf-cdsc-cubic の段 1）で $s>0$ なので、$f'(x)$ は $x<-s$ で正、$-s< x< s$ で負、$x>s$ で正である。よって $f$ は $x=-s$ で極大、$x=s$ で極小になる。
段 2。$s$ は $s^2=-\dfrac p3$ を満たすので、thm-cdsc-cubic により $\Delta(f)=-27f(s)f(-s)$ である。$\square$

方針：共役をとる操作が和と積を保つことを使う。
段 1。複素数 $z,w$ について $\overline{z+w}=\bar z+\bar w$、$\overline{zw}=\bar z\,\bar w$ であり、実数 $c$ については $\bar c=c$ である。積の式をくり返し使うと $\overline{\beta^k}=\bar\beta^{\,k}$ である。
段 2。$f(x)=\sum_k c_kx^k$（$c_k$ は実数）とすると、段 1 により
$$ \overline{f(\beta)}=\sum_k\overline{c_k}\,\overline{\beta^k}=\sum_kc_k\bar\beta^{\,k}=f(\bar\beta) $$
である。$f(\beta)=0$ なら $f(\bar\beta)=\bar0=0$ である。$\square$

方針：解の並び方を (A) 異なる 3 つの実数、(B) 異なる解で実数 1 つと共役な虚数 2 つ、(C) 重解あり、の 3 通りに分け、それぞれで $\Delta$ の符号を求める。3 通りが互いに重ならず、すべての場合を尽くすことを示せば、逆向きも従う。
段 1（3 通りで尽くされる）。解を $\alpha,\beta,\gamma$ とする。重解があれば (C) である。重解がないとする。虚数解 $\beta$ があれば、lem-cdsc-conjugate により $\bar\beta$ も解で、$\beta$ は実数でないので $\bar\beta\ne\beta$ である。したがって虚数解は「$\beta$ と $\bar\beta$」の組で現れ、虚数解の個数は偶数である。解は 3 つなので、虚数解は $0$ 個か $2$ 個であり、$0$ 個なら (A)、$2$ 個なら (B) である。3 通りは明確に異なる条件なので、どの 2 つも同時には起こらない。
段 2（(A) なら $\Delta>0$）。$\alpha,\beta,\gamma$ が異なる実数なら、差 $\alpha-\beta$ などは $0$ でない実数で、その 2 乗は正である。$a^4>0$ と合わせて $\Delta=a^4(\alpha-\beta)^2(\alpha-\gamma)^2(\beta-\gamma)^2>0$ である。
段 3（(B) なら $\Delta<0$）。実数解を $r$、虚数解を $\beta=u+vi$、$\bar\beta=u-vi$（$u,v$ は実数、$v\ne0$）とする。
$$ \Delta=a^4\,(r-\beta)^2(r-\bar\beta)^2\,(\beta-\bar\beta)^2 $$
の各部分の符号を調べる。まず
$$ (r-\beta)(r-\bar\beta)=\bigl((r-u)-vi\bigr)\bigl((r-u)+vi\bigr)=(r-u)^2-(vi)^2=(r-u)^2+v^2 $$
は正の実数なので、$(r-\beta)^2(r-\bar\beta)^2=\bigl((r-u)^2+v^2\bigr)^2>0$ である。次に $\beta-\bar\beta=2vi$ なので $(\beta-\bar\beta)^2=4v^2i^2=-4v^2<0$ である。$a^4>0$ と合わせて $\Delta<0$ である。
段 4（(C) なら $\Delta=0$）。重解があれば、def-cdsc-disc の積に $0$ の因子が入るので $\Delta=0$ である。
段 5（(C) のとき解はすべて実数）。重解を $\beta$ とし、$\beta$ が実数でないと仮定する。lem-cdsc-conjugate により $\bar\beta\ne\beta$ も解なので、解は $\beta,\beta,\bar\beta$ である。解と係数の関係により解の和 $\beta+\beta+\bar\beta=-\dfrac ba$ は実数だが、$\beta=u+vi$（$v\ne0$）とすると
$$ 2\beta+\bar\beta=2(u+vi)+(u-vi)=3u+vi $$
で、虚部 $v$ が $0$ でないので実数でない。これは矛盾なので、重解 $\beta$ は実数である。残りの解 $\gamma$ も、虚数なら $\bar\gamma\ne\gamma$ も解となって解が 4 つになるので、実数である。
段 6（逆向き）。$\Delta$ は正・$0$・負のちょうど 1 つを満たし、段 1 により解の並び方も (A)・(B)・(C) のちょうど 1 つである。段 2〜4 により (A)→正、(B)→負、(C)→$0$ なので、たとえば $\Delta>0$ なら (B) でも (C) でもありえず (A) である。$\Delta=0$、$\Delta<0$ についても同じである。$\square$

方針：def-cdsc-disc の積が $0$ になる条件を調べる。
$a_n\ne0$ なので $a_n^{2n-2}\ne0$ である。複素数の積が $0$ になるのは、因子のどれかが $0$ のときに限る。よって $\Delta(f)=0$ は「ある $i< j$ について $(\alpha_i-\alpha_j)^2=0$」、つまり「ある $i< j$ について $\alpha_i=\alpha_j$」と同値であり、これは重根をもつことである。$\square$

方針：1 と 2 は定義の言い換えである。2 と 3 は 剰余の定理と因数定理 の因数定理で結ぶ。
段 1（1 ⇔ 2）。点 $(x_0,f(x_0))$ が直線上にあることは $f(x_0)=mx_0+k$、つまり $g(x_0)=0$ である。$g'(x)=f'(x)-m$ なので、傾きが等しいこと $f'(x_0)=m$ は $g'(x_0)=0$ である。
段 2（2 ⇔ 3）。2 も 3 も $g(x_0)=0$ を含む（3 なら $g(x)=(x-x_0)^2r(x)$ に $x=x_0$ を代入して $0$）。そこで $g(x_0)=0$ のもとで考える。因数定理により $g(x)=(x-x_0)h(x)$ となる多項式 $h$ がある。積の微分法で $g'(x)=h(x)+(x-x_0)h'(x)$ なので、$g'(x_0)=h(x_0)$ である。よって
$$ g'(x_0)=0\iff h(x_0)=0\iff h(x)\text{ が }x-x_0\text{ で割り切れる}\iff g(x)\text{ が }(x-x_0)^2\text{ で割り切れる} $$
である。2 つ目の $\iff$ は因数定理による。3 つ目は、$h=(x-x_0)r$ なら $g=(x-x_0)^2r$ であり、逆に $g=(x-x_0)^2r$ なら $(x-x_0)h=(x-x_0)^2r$ の両辺を多項式として $x-x_0$ で割って $h=(x-x_0)r$ となることによる。$\square$

方針：1 は $g(\alpha_i)$ を $g$ の分解で書けば分かる。2 は積が $0$ になる条件である。
段 1。$g(x)=b\prod_j(x-\beta_j)$ に $x=\alpha_i$ を代入すると $g(\alpha_i)=b\prod_{j=1}^m(\alpha_i-\beta_j)$ である。$i=1,\dots,n$ について掛けると、$b$ が $n$ 個出てくるので
$$ g(\alpha_1)\cdots g(\alpha_n)=b^n\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m(\alpha_i-\beta_j) $$
である。両辺に $a^m$ を掛けると 1 になる。
段 2。$a^mb^n\ne0$ なので、$\operatorname{Res}(f,g)=0$ は「ある $i,j$ について $\alpha_i-\beta_j=0$」と同値である。これは $f$ の解 $\alpha_i$ と $g$ の解 $\beta_j$ が一致すること、つまり共通の解をもつことである。$\square$

方針：lem-cdsc-derivative を $n$ 次に広げ、prop-cdsc-resultant の 1 に代入する。
段 1（$f'(\alpha_i)$）。積の微分法を因子 1 つずつくり返し使うと、prf-cdsc-derivative の段 1 と同じく
$$ f'(x)=a\sum_{i=1}^n\ \prod_{j\ne i}(x-\alpha_j) $$
となる（$i$ 番目の因子だけを微分して $1$ にした積の和）。$x=\alpha_i$ を代入すると、$i$ 番目以外の項は因子 $x-\alpha_i$ を含むので $0$ になり、
$$ f'(\alpha_i)=a\prod_{j\ne i}(\alpha_i-\alpha_j) $$
が残る。
段 2（終結式に代入）。$f'$ は最高次の係数 $na\ne0$ の $n-1$ 次式なので、prop-cdsc-resultant の 1 を $g=f'$、$m=n-1$ として使うと
$$ \operatorname{Res}(f,f')=a^{n-1}f'(\alpha_1)\cdots f'(\alpha_n)=a^{n-1}\cdot a^n\prod_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(\alpha_i-\alpha_j) $$
である。
段 3（組にする）。右辺の積には、$i< j$ の各組について $(\alpha_i-\alpha_j)$ と $(\alpha_j-\alpha_i)$ が 1 回ずつ現れ、その積は $-(\alpha_i-\alpha_j)^2$ である。組は $\dfrac{n(n-1)}2$ 個あるので
$$ \prod_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(\alpha_i-\alpha_j)=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2 $$
である。
段 4（まとめ）。段 2・段 3 と $a^{2n-1}=a\cdot a^{2n-2}$ から
$$ \operatorname{Res}(f,f')=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}\,a\cdot a^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}\,a\,\Delta(f) $$
である。$\square$