作図可能数

1：$r:=|a-b|$ とし、$a$ を中心とする半径 $r$ の円と $b$ を中心とする半径 $r$ の円を描く。これらは相異なる 2 点 $p,q$ で交わり（2 円の中心間の距離 $r$ は半径の和 $2r$ より小さい）、$p,q$ は $a,b$ から等距離なので、直線 $pq$ は線分 $ab$ の垂直二等分線である。直線 $ab$ と直線 $pq$ の交点が中点である。
2：$\ell$ 上の作図できる点 $a$ を 1 つとる（$\ell$ を定める 2 点の一方）。$p\neq a$ のとき、$p$ を中心とする半径 $|p-a|$ の円は $\ell$ と $a$ で交わる。もう 1 つの交点 $a'\neq a$ があれば、$p$ は $a,a'$ から等距離なので、1 の垂直二等分線が求める直線である。交点が $a$ だけなら円は $\ell$ に $a$ で接しており、直線 $pa$ が求める直線である。$p=a$ のときは、$\ell$ を定めるもう一方の点 $b$ をとり、$a$ を中心とする半径 $|b-a|$ の円と $\ell$ の交点 $b$、$2a-b$ の垂直二等分線が求める直線である。
3：実軸は $0,1$ を通る直線である。1 により $-1$ と $1$ の垂直二等分線として虚軸が引け、虚軸と単位円の交点として $i$ が得られる。$z$ が作図可能なら、2 により $z$ を通り実軸に垂直な直線を引き、実軸との交点として $x$ が得られる。同様に虚軸との交点として $iy$ が得られ、$0$ を中心とする半径 $|iy-0|$ の円と実軸の交点として $\pm y$ が得られる。逆に $x,y$ が作図可能なら、$0$ を中心とする半径 $|y|$ の円と虚軸の交点として $iy$ が得られ、$x$ を通り実軸に垂直な直線と、$iy$ を通り虚軸に垂直な直線の交点として $z$ が得られる。$\square$

lem-constructible-number-constructions の 3 により、実数についての主張に帰着させる。$\mathcal K_{\mathbb{R}}:=\mathcal K\cap\mathbb{R}$ とおく。
(a) $\mathcal K_{\mathbb{R}}$ は加法と符号の反転で閉じる。$a,b\in\mathcal K_{\mathbb{R}}$ なら、$a$ を中心とする半径 $|b-0|$ の円と実軸の交点が $a+b$、$a-b$ である。
(b) $\mathcal K_{\mathbb{R}}$ は積と、$0$ でない元による商で閉じる。$a=0$ または $b=0$ なら $ab=0$ であり、$a=0$ なら $a/b=0$ である。符号は (a) で調整できるので、以下では $a,b>0$ としてよい。虚軸上の点 $ia$ は $0$ を中心とする半径 $a$ の円と虚軸の交点である。$1$ と $ia$ を結ぶ直線に平行で $b$ を通る直線（$b$ を通り、$1$ と $ia$ を結ぶ直線への垂線に、さらに $b$ で垂直な直線。lem-constructible-number-constructions の 2 を 2 回用いる）は、虚軸と $iab$ で交わる。$0,1,ia$ と $0,b,iab$ を頂点とする直角三角形が相似だからである。同様に、$b$ と $ia$ を結ぶ直線に平行で $1$ を通る直線は虚軸と $ia/b$ で交わる。$0$ を中心とする円で虚軸上の点を実軸に移せば、$ab$、$a/b$ が得られる。
(c) $a\in\mathcal K_{\mathbb{R}}$、$a>0$ なら $\sqrt a\in\mathcal K_{\mathbb{R}}$ である。実軸上の $-1$ と $a$ の中点 $c=(a-1)/2$ を中心とし、$c$ から $a$ までの距離を半径とする円（$-1$ と $a$ を直径の両端とする円）を描く。$0$ を通り実軸に垂直な直線（虚軸）との交点を $it$（$t>0$）とすると、$0$ は直径を長さ $1$ と $a$ の 2 つの部分に分けるので、方べきの関係（直径上の点で立てた垂線の長さの 2 乗は、分けられた 2 つの長さの積）により $t^2=1\cdot a$、$t=\sqrt a$ である。実際、座標で $|it-c|^2=t^2+c^2$ が半径の 2 乗 $((a+1)/2)^2$ に等しいことから $t^2=((a+1)/2)^2-((a-1)/2)^2=a$ である。円で実軸に移せば $\sqrt a$ が得られる。
(a)(b) と $0,1\in\mathcal K_{\mathbb{R}}$ により $\mathcal K_{\mathbb{R}}$ は $\mathbb{R}$ の部分体である。$z=x+iy$、$z'=x'+iy'$ について
$$ z\pm z'=(x\pm x')+i(y\pm y'),\qquad zz'=(xx'-yy')+i(xy'+x'y),\qquad z^{-1}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\,\frac{y}{x^2+y^2} $$
の実部と虚部は $x,y,x',y'$ から $\mathcal K_{\mathbb{R}}$ の演算で得られるので、lem-constructible-number-constructions の 3 により $\mathcal K$ は $\mathbb{C}$ の部分体である。$\bar z=x-iy$ も同様である。
平方根：$z=x+iy\in\mathcal K$ とし、$\rho:=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ とおくと、(c) により $\rho\in\mathcal K_{\mathbb{R}}$ である。$y\ge0$ なら $\varepsilon:=1$、$y<0$ なら $\varepsilon:=-1$ とし、
$$ u:=\sqrt{\frac{\rho+x}{2}},\qquad v:=\varepsilon\sqrt{\frac{\rho-x}{2}} $$
とおく。$\rho\pm x\ge0$ なので (c)（$0$ の平方根は $0$）により $u,v\in\mathcal K_{\mathbb{R}}$ である。$u^2-v^2=x$、$2uv=\varepsilon\sqrt{\rho^2-x^2}=\varepsilon|y|=y$ なので、$w:=u+iv$ は $w^2=z$ を満たし、$w\in\mathcal K$ である。$w^2=z$ の解は $\pm w$ だけであり、$-w\in\mathcal K$ である。$\square$

点 $x+iy$ を座標 $(x,y)$ で表す。$S$ の 2 点 $(a_1,b_1)\neq(a_2,b_2)$ を通る直線は
$$ (b_2-b_1)(X-a_1)-(a_2-a_1)(Y-b_1)=0 $$
であり、$X,Y$ の係数は $F$ に属し、少なくとも一方は $0$ でない。$S$ の点 $(a,b)$ を中心とし、$S$ の 2 点 $(c_1,d_1),(c_2,d_2)$ の距離を半径とする円は
$$ X^2+Y^2-2aX-2bY+\bigl(a^2+b^2-(c_1-c_2)^2-(d_1-d_2)^2\bigr)=0 $$
であり、係数はすべて $F$ に属する。
2 直線の交点：交わる 2 本の相異なる直線の交点はただ 1 つで、係数が $F$ に属する連立 1 次方程式の解なので、Cramer の公式により座標は $F$ に属する（$d=0$ でよい）。
直線と円の交点：直線 $pX+qY=s$ で $q\neq0$ とする（$q=0$ なら $p\neq0$ で、$X$ と $Y$ の役割を入れ替える）。$Y=(s-pX)/q$ を円の方程式に代入すると、$X$ についての係数が $F$ に属する 2 次方程式 $AX^2+BX+C=0$ が得られ、$A=1+p^2/q^2>0$ である。交点の $X$ 座標はその実数解なので、判別式 $d:=B^2-4AC\in F$ は $0$ 以上で、$X=(-B\pm\sqrt d)/(2A)\in F(\sqrt d)$ である。$Y=(s-pX)/q$ も $F(\sqrt d)$ に属する。
2 円の交点：2 つの円の方程式を引くと、$X^2+Y^2$ が消えて
$$ -2(a-a')X-2(b-b')Y+(e-e')=0 $$
（$(a,b),(a',b')$ は中心、$e,e'$ は定数項）となる。中心が一致すれば、相異なる 2 円は半径が異なり交わらないので、交点は存在しない。中心が異なれば、これは係数が $F$ に属する直線の方程式であり、2 円の交点はこの直線と一方の円の交点に一致するので、前の場合に帰着する。$\square$

1 ⇒ 2：$z_1,\dots,z_n=z$ を def-constructible-number の列とし、$F_0:=\mathbb{Q}$、$F_k:=F_{k-1}(\operatorname{Re}z_k,\operatorname{Im}z_k)$ とおく。$F_k$ は $\mathbb{R}$ の部分体で、$0,1,z_1,\dots,z_k$ の実部と虚部を含む。$z_k$ が $0$ か $1$ なら $F_k=F_{k-1}$ である。そうでなければ、lem-constructible-number-intersection を $F=F_{k-1}$、$S=\{0,1,z_1,\dots,z_{k-1}\}$ に適用して、$\operatorname{Re}z_k,\operatorname{Im}z_k\in F_{k-1}(\sqrt{d_k})$ となる $0\le d_k\in F_{k-1}$ がある。すると $F_{k-1}\subset F_k\subset F_{k-1}(\sqrt{d_k})$ で、$[F_{k-1}(\sqrt{d_k}):F_{k-1}]\le2$ なので、拡大次数 の記事の定理「次数の乗法性」により $[F_k:F_{k-1}]$ は $1$ か $2$ である。次数 $1$ の段（$F_k=F_{k-1}$）を除けば、$\mathbb{R}$ の部分体の列で各段の次数が $2$ で、最後の体 $F_n$ が $\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z$ を含むものが得られる。$z$ が実数なら $z\in F_n$ であり、最後の主張も示された。一般の $z$ については、$F_n\subset\mathbb{R}$ なので $i\notin F_n$ で $[F_n(i):F_n]=2$ であり、$z=\operatorname{Re}z+i\operatorname{Im}z\in F_n(i)$ である。$F_n(i)$ を列の最後に加えればよい。
2 ⇒ 1：$K_i\subset\mathcal K$ を $i$ についての帰納法で示す。$\mathcal K$ は $\mathbb{C}$ の部分体なので（prop-constructible-number-field）$K_0=\mathbb{Q}\subset\mathcal K$ である。$K_{i-1}\subset\mathcal K$ とする。$[K_i:K_{i-1}]=2$ で $K_{i-1}$ の標数は $0$ なので、拡大次数 の記事の命題「次数 1 と 2 の拡大」の 3 により、$\beta^2=d\in K_{i-1}$ となる $\beta$ があって $K_i=K_{i-1}(\beta)=\{a+b\beta\mid a,b\in K_{i-1}\}$ である。$d\in\mathcal K$ なので prop-constructible-number-field により $\beta\in\mathcal K$ であり、$\mathcal K$ は体なので $K_i\subset\mathcal K$ である。よって $z\in K_r\subset\mathcal K$ である。$\square$

thm-constructible-number-tower の列をとると、次数の乗法性により $[K_r:\mathbb{Q}]=2^r$ である。$\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(z)\subset K_r$ に再び乗法性を用いると $[\mathbb{Q}(z):\mathbb{Q}]$ は $2^r$ を割り切るので $2$ の冪であり、有限なので $z$ は代数的である（拡大次数 の記事の定理「元の次数と単純拡大の次数」）。$\mathbb{Q}$ 上代数的な複素数は可算個しかない（$0$ でない有理数係数の多項式は可算個で、それぞれの根は有限個）ので、$\mathcal K$ は可算集合である。$\square$

$[L:\mathbb{Q}]=2^m$ とする。標数 $0$ の体上の分解体なので $L/\mathbb{Q}$ は Galois拡大であり、$G:=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の位数は $2^m$ である。位数 $2^m$（$m\ge1$）の群は指数 $2$ の部分群をもつ（p群 の基本性質。DF04 §6.1）ので、これをくり返して部分群の列
$$ G=G_0\supset G_1\supset\dots\supset G_m=\{e\},\qquad[G_{i-1}:G_i]=2 $$
がとれる。$G_i$ の固定体を $L^{G_i}$ とすると、Galois理論 の記事の定理「Galois理論の基本定理」の 1・2 により $\mathbb{Q}=L^{G_0}\subset L^{G_1}\subset\dots\subset L^{G_m}=L$ で、$[L^{G_i}:L^{G_{i-1}}]=[G_{i-1}:G_i]=2$ である。$z\in L$ なので、thm-constructible-number-tower により $z$ は作図可能である（$m=0$ なら $z\in\mathbb{Q}$ である）。
逆に $z$ が作図可能とし、thm-constructible-number-tower の列 $K_0\subset\dots\subset K_r$ をとる。拡大次数 の記事の命題「次数 1 と 2 の拡大」の 3 により $K_i=K_{i-1}(\beta_i)$、$\beta_i^2\in K_{i-1}$ と書けるので、$K_r=\mathbb{Q}(\beta_1,\dots,\beta_r)$ である。$\Omega\subset\mathbb{C}$ を $\mathbb{Q}$ 上代数的な複素数全体の集合とすると、$\Omega$ は $\mathbb{C}$ の部分体であり（体の拡大 の記事の系「代数的な元のなす部分体と推移性」）、$K_r\subset\Omega$ である。$\Omega/\mathbb{Q}$ は正規拡大である。実際 $\alpha\in\Omega$ の最小多項式 $m_\alpha$ は $\mathbb{C}$ で 1 次式の積に分解し、その根はどれも $m_\alpha$ の根なので $\mathbb{Q}$ 上代数的で $\Omega$ に属する。$K_r$ の $\mathbb{Q}$ 上の埋め込み $\sigma\colon K_r\to\Omega$ は有限個 $\sigma_1,\dots,\sigma_t$ であり、正規閉包 の記事の定理「共役な体の合成体」により、$K_r/\mathbb{Q}$ の $\Omega$ における正規閉包 $N$ は $\sigma_j(K_r)=\mathbb{Q}(\sigma_j(\beta_1),\dots,\sigma_j(\beta_r))$ 全体の合成体、すなわち
$$ N=\mathbb{Q}\bigl(\sigma_j(\beta_i)\ \bigm|\ 1\le i\le r,\ 1\le j\le t\bigr) $$
である。生成元を $i$ の小さい順に（同じ $i$ の中では $j$ の順に）1 つずつ添加する。$\sigma_j(\beta_i)$ を添加する直前の体は $\sigma_j(\beta_1),\dots,\sigma_j(\beta_{i-1})$ を含むので $\sigma_j(K_{i-1})$ を含み、したがって $\sigma_j(\beta_i)^2=\sigma_j(\beta_i^2)$ を含む。よって各段で添加する元は直前の体の元の平方根であり、各段の次数は $1$ か $2$ で、$[N:\mathbb{Q}]$ は $2$ の冪である。
$N/\mathbb{Q}$ は正規で $z\in K_r\subset N$ なので、$m_z$ は $N$ で 1 次式の積に分解し、その根はすべて $N$ に属する。よって $L\subset N$ であり、$[L:\mathbb{Q}]$ は $[N:\mathbb{Q}]$ を割り切るので $2$ の冪である。$\square$

1 ⇔ 2：$x^n-1$ の根は $\zeta_n^k$ であり、$\zeta_n$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式は $n$ 次の円分多項式 $\Phi_n$ で、その根は $n$ と互いに素な $k$ についての $\zeta_n^k$、次数は $\varphi(n)$ である（$\Phi_n$ の既約性。DF04 §13.6）。これらの根はすべて $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ に属するので、$\Phi_n$ の分解体は $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ であり、その次数は $\varphi(n)$ である。thm-constructible-number-galois により、$\zeta_n$ が作図可能であることと $\varphi(n)$ が $2$ の冪であることは同値である。
2 ⇔ 3：まず、$m\ge1$ について $2^m+1$ が素数なら $m$ は $2$ の冪であることを示す。$m=2^uq$、$q\ge3$ 奇数とすると、$X:=2^{2^u}$ について
$$ 2^m+1=X^q+1=(X+1)(X^{q-1}-X^{q-2}+\dots-X+1) $$
であり、$1< X+1< X^q+1$ なので $2^m+1$ は素数でない。
$n=2^k\prod_{j=1}^sp_j^{e_j}$（$p_j$ は相異なる奇素数、$e_j\ge1$）と素因数分解すると、Euler 関数の乗法性と素数冪での値（Euler関数 の記事を参照）により
$$ \varphi(n)=\varphi(2^k)\prod_{j=1}^sp_j^{e_j-1}(p_j-1),\qquad \varphi(2^k)=\begin{cases}1&(k=0)\\2^{k-1}&(k\ge1)\end{cases} $$
である。$\varphi(n)$ が $2$ の冪なら、奇数 $p_j^{e_j-1}$ は $1$ なので $e_j=1$ であり、$p_j-1$ は $2$ の冪なので $p_j=2^{m_j}+1$（$m_j\ge1$）と書け、上で示したことから $m_j$ は $2$ の冪である。よって $p_j$ は Fermat 素数で、3 が成り立つ。逆に 3 の形なら $\varphi(n)=\varphi(2^k)\prod_j(p_j-1)$ は $2$ の冪の積であり、2 が成り立つ。$\square$