量子群

前提知識: Hopf代数, 普遍包絡環, Lie環

群環や普遍包絡環は余可換な Hopf代数 であり、有限群上の関数環は可換な Hopf 代数である。量子群（quantum group）は、可換でも余可換でもない Hopf 代数を、群の「変形」として扱うときの呼び名である。Drinfeld は可換とは限らない Hopf 代数のスペクトルを量子群と呼び、量子逆散乱法に由来する例として、半単純 Lie 環の普遍包絡環の余積をパラメータ $q$（あるいは Planck 定数 $h$、$q=e^{h/2}$）で変形した量子包絡環を導入した。
この記事では、最も簡単な量子包絡環 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ を生成元と関係式で定義し、Hopf 代数になることを証明する。次に $2$ 次元表現 $V$ を調べ、$V\otimes V$ の上の作用と可換な線形写像 $\check R$ が組紐関係式を満たすこと、したがって $R=P\check R$ が量子 Yang–Baxter 方程式を満たし、組紐群が $V^{\otimes n}$ に作用することを示す。最後に、この現象を一般化した準三角 Hopf 代数を定義し、その普遍 $R$ 行列がいつも量子 Yang–Baxter 方程式を満たすことを証明する。

量子群とは

Hopf 代数の言葉（余積 $\Delta$、余単位 $\varepsilon$、対蹠射 $S$、Sweedler 記法）は Hopf代数 に従う。入れ替え $\tau(a\otimes b)=b\otimes a$ に対し $\Delta^{\mathrm{op}}:=\tau\circ\Delta$ とおき、$\Delta^{\mathrm{op}}=\Delta$ のとき余可換という。
可換な Hopf 代数は「群の上の関数環」にあたり、余積が群の積を、対蹠射が逆元をとることを記述する（Hopf代数 の例「有限群上の関数環」）。この対応を可換でない代数まで広げ、可換とは限らない Hopf 代数そのものを「量子空間の上の関数環」とみなすのが Drinfeld の定義である（Dri87 §1、p. 800）。実際に研究の中心となるのは次の 2 種類である。

• 量子包絡環：普遍包絡環 $U(\mathfrak{g})$ の変形。$\mathbb{C}[\![h]\!]$ 上の $U_h(\mathfrak{g})$ で、$h=0$ とすると $U(\mathfrak{g})$ に戻るもの（Dri87 Example 6.2、p. 807、§7、p. 809）。$U_h(\mathfrak{sl}_2)$ は Kulish–Reshetikhin と Sklyanin が、一般の $\mathfrak{g}$ に対しては神保道夫（Michio Jimbo）と Drinfeld が導入した（同 p. 807）。
• 量子化された関数環：上の双対で、たとえば量子 $SL(n)$ の行列要素の環（Dri87 §7、p. 810）。
  以下では、$h$ の冪級数の代わりに体の元 $q$ をパラメータとする形で、$\mathfrak{sl}_2$ の量子包絡環を扱う。

量子包絡環 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$

$k$ を体、$q\in k^\times$ を $q^2\neq1$ を満たす元とする。整数 $n$ について
$$ [n]_q:=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}=q^{n-1}+q^{n-3}+\cdots+q^{1-n}\quad(n\ge1),\qquad[0]_q=0 $$
とおく（$q$ 整数）。$q\to1$ の極限では $[n]_q\to n$ である。

$\mathfrak{sl}_2$ の関係式 $[h,e]=2e$、$[h,f]=-2f$、$[e,f]=h$（Lie環 の命題「$\mathfrak{sl}_2$ の構造」）と比べると、$K$ が「$q^h$」、$\frac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}$ が「$\frac{q^h-q^{-h}}{q-q^{-1}}$」にあたり、$q\to1$ の形式的な極限で $h$ に近づく。関係式 $KEK^{-1}=q^2E$ は $KE=q^2EK$、$EK^{-1}=q^2K^{-1}E$ と同値で、$F$ についても同様である。

高い次元の表現と 1 の冪根

$q$ が $1$ の冪根でなければ、$E^n$（$n\ge1$）は中心に入らない。ex-qg-vm で $m=n$ とし、主張の式を $w_{n-1}$ に当てると、$\frac{q^{n-1}K-q^{1-n}K^{-1}}{q-q^{-1}}w_{n-1}=[1]_qw_{n-1}=w_{n-1}$ で、$E^{n-1}w_{n-1}=\prod_{i=1}^{n-1}[i]_q[n-i+1]_q\,w_0$ である。$q$ が $1$ の冪根でなければ $[k]_q\neq0$（$k\ge1$）なので、$E^nF-FE^n$ は $0$ でない。このように、$q$ が $1$ の冪根かどうかで $U_q$ の構造は大きく変わる。

$R$ 行列と組紐関係式

ex-qg-vector の $V$ について、$V\otimes V$ には $\Delta$ を通じて $U_q$ が作用する。

$\check R:=q\cdot\mathrm{id}-e$ とおく。$(q\,\mathrm{id}-e)(q^{-1}\mathrm{id}-e)=\mathrm{id}-(q+q^{-1})e+e^2=\mathrm{id}$ なので $\check R$ は可逆で、$U_q$ の作用と可換である。$\check R$ は $\ker\varphi$（$3$ 次元）の上で $q$ 倍、$u$ の上で $-q^{-1}$ 倍であり、$(\check R-q)(\check R+q^{-1})=0$（Hecke 関係式）を満たす。行列で書くと
$$ \check R(v_1\otimes v_1)=qv_1\otimes v_1,\quad\check R(v_1\otimes v_2)=v_2\otimes v_1,\quad\check R(v_2\otimes v_1)=v_1\otimes v_2+(q-q^{-1})v_2\otimes v_1,\quad\check R(v_2\otimes v_2)=qv_2\otimes v_2 $$
である。$q=1$ では $\check R$ は入れ替え写像 $P(x\otimes y)=y\otimes x$ になる。

$R:=P\circ\check R$ とおくと、$R=q(E_{11}\otimes E_{11}+E_{22}\otimes E_{22})+E_{11}\otimes E_{22}+E_{22}\otimes E_{11}+(q-q^{-1})E_{12}\otimes E_{21}$（$E_{ij}$ は $V$ の行列単位）である。$V^{\otimes3}$ で $R_{12},R_{13},R_{23}$ を $R$ を該当する 2 成分に作用させたものとすると、$P_{12}R_{23}P_{12}=R_{13}$ などの書き換えにより、組紐関係式は
$$ R_{12}R_{13}R_{23}=R_{23}R_{13}R_{12} $$
（量子 Yang–Baxter 方程式）と同値である。実際 $\check R_1\check R_2\check R_1=P_{12}R_{12}P_{23}R_{23}P_{12}R_{12}=P_{12}P_{23}P_{12}\,R_{23}R_{13}R_{12}$、$\check R_2\check R_1\check R_2=P_{23}P_{12}P_{23}\,R_{12}R_{13}R_{23}$ で、$P_{12}P_{23}P_{12}=P_{23}P_{12}P_{23}$ である。$q=e^{h/2}$ とおけば、この $R$ は Dri87 §13（p. 817）が $\mathfrak{sl}(n)$ のベクトル表現について与える $R$ 行列の $n=2$ の場合と定数倍を除いて一致する。

準三角 Hopf 代数

$V\otimes V$ の上の $\check R$ がもつ性質を、Hopf 代数の元の言葉で公理にしたものが次の定義である（Dri87 §10、p. 811 の (20)・(21)）。$R=\sum_ia_i\otimes b_i\in A\otimes A$ に対し $R_{12}:=\sum a_i\otimes b_i\otimes1$、$R_{13}:=\sum a_i\otimes1\otimes b_i$、$R_{23}:=\sum1\otimes a_i\otimes b_i$、$R_{21}:=\sum b_i\otimes a_i$ とおく。

prop-qg-braiding は、準三角 Hopf 代数の表現の圏では $V\otimes W$ と $W\otimes V$ がいつも同型であることを示す。余可換な Hopf 代数（群環・普遍包絡環）では $R=1\otimes1$ がとれて $c_{V,W}$ は単なる入れ替えになるが、量子群では入れ替えが $R$ によって「ねじれ」、$c_{W,V}\circ c_{V,W}$ が恒等写像とは限らない。$V\otimes V$ の $\check R$（thm-qg-braid）も作用と可換な同型で、$\check R^2\neq\mathrm{id}$ である（固有値 $-q^{-1}$ の 2 乗は $q^{-2}\neq1$）。Drinfeld は $U_h(\mathfrak{g})$（$\mathfrak{g}$ は有限次元）が準三角 Hopf 代数の構造をもつことを量子の double の構成で示し、$\mathfrak{sl}_2$ の場合の普遍 $R$ 行列を級数の形で与えている（Dri87 §13、pp. 816–817）。この記事ではその証明を扱わない。

反例：条件を外すと崩れること

補足

• 「$q\to1$ で $U(\mathfrak{sl}_2)$ に戻る」ことを厳密に述べるには、Drinfeld の形 $U_h(\mathfrak{g})$ を使う。そこでは生成元 $H_i,X_i^{\pm}$ と $h$ の冪級数で関係式と余積 $\Delta(X_i^{\pm})=X_i^{\pm}\otimes e^{hH_i/4}+e^{-hH_i/4}\otimes X_i^{\pm}$ を書き、$h=0$ とおくと 普遍包絡環 とその余積 $x\otimes1+1\otimes x$ に戻る（Dri87 Example 6.2、p. 807、§7、p. 809）。
• thm-qg-braid の証明で使った $e_1e_2e_1=e_1$、$e_2e_1e_2=e_2$、$e_i^2=(q+q^{-1})e_i$ は、Temperley–Lieb 代数と呼ばれる代数の定義関係式と同じ形をしている。

関連項目

• 前提: Hopf代数, 普遍包絡環, Lie環
• 道具: テンソル積, 組紐群
• 比較: 群環, モノイダル圏
• 発展: 結び目, Virasoro代数