位相幾何学者の正弦曲線

まず $I\subset\overline{G}$ を示す。$(0,y)\in I$ とし、$\sin a=y$ となる $a\in[-\pi/2,\pi/2]$ をとる。$k\ge1$ に対し $t_k:=1/(a+2\pi k)$ とおくと、$a+2\pi k\ge2\pi-\pi/2>1$ なので $0< t_k<1$ であり、$\sin(1/t_k)=\sin(a+2\pi k)=y$ である。よって $(t_k,y)\in G$ であり、$k\to\infty$ で $(t_k,y)\to(0,y)$ となるから $(0,y)\in\overline{G}$ である。
次に $\overline{G}\subset G\cup I$ を示す。$[0,1]\times[-1,1]$ は $G$ を含む閉集合なので $\overline{G}\subset[0,1]\times[-1,1]$ である。$(x,y)\in\overline{G}$ とする。$x=0$ ならば $y\in[-1,1]$ なので $(x,y)\in I$ である。$x>0$ とする。写像 $\varphi\colon(0,1]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$\varphi(x,y):=y-\sin(1/x)$ は連続写像であり、$G=\varphi^{-1}(0)$ は $(0,1]\times\mathbb{R}$ の閉集合である。$(x,y)$ は $(0,1]\times\mathbb{R}$ の点で $G$ の閉包に属するので、$(0,1]\times\mathbb{R}$ における $G$ の閉包、すなわち $G$ 自身に属する。以上で $\overline{G}=G\cup I$ である。$G\subset\overline{G}$ は明らかである。$\square$

区間 $(0,1]$ は連結である（記事 連結空間 の「実数直線の連結部分集合」の定理）。$G$ は連続写像 $h\colon(0,1]\to\mathbb{R}^2$、$h(x)=(x,\sin(1/x))$ による $(0,1]$ の像なので連結である（同記事の「連続像は連結」）。prop-topologists-sine-curve-closure により $S=\overline{G}$ であり、連結な集合の閉包は連結である（同記事の「連結な集合の閉包も連結」）から、$S$ は連結である。$\square$

$A:=\gamma^{-1}(I)$ とおく。$I=S\cap(\{0\}\times\mathbb{R})$ は $S$ の閉集合なので、$A$ は $[0,1]$ の閉集合であり、$0\in A$ である。$A\ne[0,1]$ と仮定して矛盾を導く。$s\in[0,1]\setminus A$ をとり、$t_0:=\sup\{t\in A\mid t< s\}$ とおく。$A$ は閉なので $t_0\in A$ であり、$s\notin A$ より $t_0< s$ である。また $t_0< t\le s$ なる $t$ が $A$ に属せば、$t\ne s$ なので $t< s$ となり $t_0$ の定義に反する。よって $\gamma(t)\in G$ が $t_0< t\le s$ で成り立つ。
$\gamma(t)=(x(t),y(t))$ と成分表示すると、$x,y\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ は連続である。$x(t_0)=0$ であり、$t_0< t\le s$ では $x(t)>0$ である。$y_0:=y(t_0)\in[-1,1]$ とおき、$y_0\le0$ なら $\sigma:=1$、$y_0>0$ なら $\sigma:=-1$ とおくと $|\sigma-y_0|\ge1$ である。$y$ の $t_0$ における連続性により、$\delta>0$ を $t_0+\delta\le s$ かつ $t_0\le t\le t_0+\delta$ ならば $|y(t)-y_0|<1$ となるようにとれる。$a:=x(t_0+\delta)>0$ とおく。
$x$ は連続なので、区間 $[t_0,t_0+\delta]$ の像 $x([t_0,t_0+\delta])$ は $\mathbb{R}$ の連結部分集合、すなわち区間であり（記事 連結空間 の「実数直線の連結部分集合」と「連続像は連結」。これは中間値の定理の内容である）、$0$ と $a$ を含むので $[0,a]$ を含む。整数 $k\ge1$ を十分大きくとって $u:=1/(\sigma\pi/2+2\pi k)$ が $0< u< a$ を満たすようにすると、$\sin(1/u)=\sin(\sigma\pi/2)=\sigma$ である。$x(\tau)=u$ となる $\tau\in[t_0,t_0+\delta]$ をとる。$\gamma(\tau)\in S$ の第 1 座標は $u>0$ なので $\gamma(\tau)\in G$ であり、$G$ の点で第 1 座標が $u$ のものは $(u,\sin(1/u))=(u,\sigma)$ だけだから、$y(\tau)=\sigma$ である。ところが $\tau\in[t_0,t_0+\delta]$ なので $|y(\tau)-y_0|<1$ であり、$|\sigma-y_0|\ge1$ に矛盾する。
よって $A=[0,1]$、すなわち $\gamma([0,1])\subset I$ である。$I$ の点 $p$ と $G$ の点 $q$ を結ぶ道 $\gamma$（$\gamma(0)=p$、$\gamma(1)=q$）があれば $q=\gamma(1)\in I$ となり $G\cap I=\emptyset$ に反するので、そのような道は存在しない。$I$ と $G$ はともに非空なので $S$ は弧状連結でない。$\square$

ex-topologists-sine-curve-parts により $G$ と $I$ はそれぞれ弧状連結であり、thm-topologists-sine-curve-not-path-connected により $G$ の点と $I$ の点は道で結べない。よって $S$ の点 $p,q$ が道で結べることと、$p,q$ がともに $G$ に属するかともに $I$ に属することとは同値であり、弧状連結成分は $G$ と $I$ である。$\square$

$p=(0,y_0)\in I$ とし、$U:=S\cap B(p,1)$（$B(p,1)$ は $\mathbb{R}^2$ における $p$ を中心とする半径 $1$ の開球）とおく。$U$ は $S$ における $p$ の開近傍である。$V$ を $p$ の連結な近傍で $V\subset U$ となるものとし、矛盾を導く。$y_0\le0$ なら $\sigma:=1$、$y_0>0$ なら $\sigma:=-1$ とおくと $|\sigma-y_0|\ge1$ なので、第 2 座標が $\sigma$ の点はどれも $B(p,1)$ に属さず、したがって $V$ に属さない。
$V$ は $p$ の近傍なので、ある $\varepsilon>0$ について $S\cap B(p,\varepsilon)\subset V$ である。prop-topologists-sine-curve-closure の証明のとおり $p$ は $G$ の点列の極限なので、$G$ の点 $q=(a,\sin(1/a))$（$a>0$）で $q\in V$ となるものがある。第 1 座標への射影 $\pi\colon S\to\mathbb{R}$ は連続なので、$\pi(V)$ は $\mathbb{R}$ の連結部分集合、すなわち区間であり（記事 連結空間）、$0=\pi(p)$ と $a=\pi(q)$ を含むから $[0,a]\subset\pi(V)$ である。整数 $k\ge1$ を十分大きくとり $u:=1/(\sigma\pi/2+2\pi k)$ が $0< u< a$ を満たすようにすると $\sin(1/u)=\sigma$ である。$u\in\pi(V)$ なので $V$ は第 1 座標が $u$ の点を含むが、$S$ の点で第 1 座標が $u>0$ のものは $(u,\sigma)$ だけであり、これは $V$ に属さない。これが矛盾である。
$G$ の点 $q=(a,\sin(1/a))$（$a>0$）については、$G':=S\cap\{(x,y)\mid x>a/2\}=h((a/2,1])$ が $S$ の開集合であり、ex-topologists-sine-curve-parts の同相写像 $h$ により区間 $(a/2,1]$ と同相である。$q$ の $S$ における任意の近傍 $U$ に対し $U\cap G'$ は $G'$ における $q$ の近傍であり、区間は局所連結なので（各点が部分区間の近傍をもつ）、$G'$ の連結な開集合 $V$ で $q\in V\subset U\cap G'$ となるものがある。$G'$ が $S$ で開なので $V$ は $S$ でも開であり、$S$ は $q$ で局所連結である。$\square$

局所弧状連結空間は局所連結である（記事 局所連結空間 の「局所弧状連結ならば局所連結」）ので、prop-topologists-sine-curve-not-locally-connected から従う。別証として、$S$ は非空で連結だが弧状連結でないので、記事 弧状連結空間 の「連結性からの回復」の定理の対偶により局所弧状連結でない。$\square$

prop-topologists-sine-curve-closure により $S=\overline{G}$ は $\mathbb{R}^2$ の閉集合であり、$S\subset[0,1]\times[-1,1]$ なので有界である。$\mathbb{R}^n$ の部分集合がコンパクトであることは、閉かつ有界であることと同値である（コンパクト空間 の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」、Mun00 §27 Theorem 27.3）から、$S$ はコンパクトである。$S$ は距離空間 $\mathbb{R}^2$ の部分空間なので、Euclid 距離の制限により距離化可能空間であり、特に Hausdorff である。$\square$