Kummerの合同式

$B_0=1$、$B_1=-\frac12$ で $p$ は奇素数なので $v_p\ge0$ である。$3$ 以上の奇数 $i$ では $B_i=0$ である。正の偶数 $k$ については、Bernoulli数 の系「Bernoulli数の分母」により既約分数の分母は $(q-1)\mid k$ となる素数 $q$ の積で、平方因子をもたない。よって $v_p(B_k)\ge-1$ で、$(p-1)\nmid k$ なら分母は $p$ で割り切れない。$\square$

$B_k\in\mathbb Z_{(p)}$ は lem-kmc-denominator の 2 である。(3) の $i=k$ の項は $pB_k$ なので、$i\le k-1$ の各項の $p$ 進付値が $v+2$ 以上であることを示せばよい。$m:=k+1-i\ge2$ とおくと、項は $\binom k{m-1}B_i\frac{p^m}m$ である。
$m=2$ の場合．$i=k-1$ は奇数である。$k\ge4$ なら $B_{k-1}=0$ で項は $0$ である。$k=2$ なら $v=0$ で、項は $\binom21B_1\frac{p^2}2=-\frac{p^2}2$、付値は $2=v+2$ である。
$m\ge3$ の場合．(1) を $l=m-1$ に使うと $v_p\binom k{m-1}\ge v-v_p(m-1)$ で、lem-kmc-denominator の 1 により $v_p(B_i)\ge-1$ である。よって項の付値は
$$ \ge v-v_p(m-1)-1+m-v_p(m)=v+2+\bigl(m-3-v_p(m(m-1))\bigr) $$
以上である。$m$ と $m-1$ の両方が $p$ で割り切れることはないので、$e:=v_p(m(m-1))$ は $m$ か $m-1$ の一方の付値である。$e\ge1$ なら $m\ge p^e\ge5^e\ge e+3$、$e=0$ なら $m\ge3$ なので、どちらでも $m-3-e\ge0$ である。$\square$

$v:=v_p(k)$ とおく。$j=1,\dots,p-1$ について $ja=pq_j+r_j$（$q_j=\lfloor ja/p\rfloor$、$0\le r_j\le p-1$）と書く。$p\nmid ja$ なので $1\le r_j\le p-1$ で、$a$ は法 $p$ で可逆なので、$j\mapsto r_j$ は $\{1,\dots,p-1\}$ の置換である。
段 1（二項展開）．
$$ (ja)^k=(r_j+pq_j)^k=r_j^k+kp\,q_jr_j^{k-1}+\sum_{l=2}^{k}\binom klp^l\,q_j^lr_j^{k-l} $$
である。(1) と (2) から $v_p\bigl(\binom klp^l\bigr)\ge v-v_p(l)+l\ge v+2$（$l\ge2$）なので、最後の和は法 $p^{v+2}$ で $0$ である。また $r_j\equiv ja\pmod p$ から $r_j^{k-1}\equiv j^{k-1}a^{k-1}\pmod p$ で、$v_p(kp)=v+1$ なので $kp\,q_jr_j^{k-1}\equiv kp\,q_jj^{k-1}a^{k-1}\pmod{p^{v+2}}$ である。
段 2（和をとる）．$j$ について和をとり、$\sum_jr_j^k=\sum_jj^k=S_k$（置換で並べ替えた）を使うと
$$ a^kS_k\equiv S_k+kp\,a^{k-1}T_k(a)\pmod{p^{v+2}},\qquad\text{すなわち}\qquad(a^k-1)S_k\equiv kp\,a^{k-1}T_k(a)\pmod{p^{v+2}} $$
である。lem-kmc-power-sum により $S_k\equiv pB_k\pmod{p^{v+2}}$ で、$a^k-1$ は整数なので $(a^k-1)pB_k\equiv kp\,a^{k-1}T_k(a)\pmod{p^{v+2}}$ である。
段 3（$kp$ で割る）．$x:=(a^k-1)\frac{B_k}k-a^{k-1}T_k(a)$ とおくと、段 2 は $v_p(kp\,x)\ge v+2$、すなわち $v_p(x)\ge1$ を意味する。$a^{k-1}T_k(a)$ は整数なので $(a^k-1)\frac{B_k}k\in\mathbb Z_{(p)}$ で、主張の合同式が成り立つ。$\square$

$p=2,3$ では $p-1$ は $1$ か $2$ で、すべての正の偶数を割るので、仮定をみたす $n$ はない。以下 $p\ge5$ とする。$m\equiv n\pmod{p-1}$ なので $(p-1)\nmid m$ でもある。
原始根 の定理「素数を法とする原始根の存在」により、法 $p$ の原始根 $a$ をとる。$a$ の法 $p$ での位数は $p-1$ なので、$(p-1)\nmid k$ となる $k$ について $a^k\not\equiv1\pmod p$、すなわち $a^k-1$ は $\mathbb Z_{(p)}$ の単元である。$k=m,n$ に thm-kmc-voronoi を使うと、$\frac{B_k}k=(a^k-1)^{-1}\cdot(a^k-1)\frac{B_k}k\in\mathbb Z_{(p)}$ で
$$ \frac{B_k}k\equiv\frac{a^{k-1}T_k(a)}{a^k-1}\pmod p\qquad(k=m,n) $$
である。右辺が $k=m$ と $k=n$ で法 $p$ で等しいことを示せばよい。$m-n$ は $p-1$ の倍数で、Fermatの小定理 により $p$ と互いに素な整数 $b$ について $b^{p-1}\equiv1\pmod p$ なので、$b^{m}\equiv b^{n}$、$b^{m-1}\equiv b^{n-1}\pmod p$ である。これを $b=a$ と $b=j$（$1\le j\le p-1$）に使うと、$a^m\equiv a^n$、$a^{m-1}\equiv a^{n-1}$、$T_m(a)=\sum_jj^{m-1}\lfloor\frac{ja}p\rfloor\equiv\sum_jj^{n-1}\lfloor\frac{ja}p\rfloor=T_n(a)\pmod p$ である。$\square$

thm-kmc-kummer（$m=n=k$）により $v_p(B_k/k)\ge0$ なので $v_p(B_k)\ge v_p(k)\ge e$ である。$\square$

非正則素数が有限個 $p_1,\dots,p_r$ だけだとして矛盾を導く（$r=0$ でもよい）。正の整数 $N$ に対して $m:=2N(p_1-1)\cdots(p_r-1)$ とおく。$m$ は正の偶数である。
段 1（$\lvert B_m/m\rvert>1$ にできる）．Bernoulli数 の系「符号と大きさ」の 2 により $\lvert B_m\rvert>\frac{2\,m!}{(2\pi)^m}$ で、$\bigl\lvert\frac{B_m}m\bigr\rvert>\frac{2\,(m-1)!}{(2\pi)^m}$ である。右辺は $m\to\infty$ で $\infty$ に発散するので、$N$ を十分大きくとれば $\lvert B_m/m\rvert>1$ となる。
段 2（新しい素数）．$\frac{B_m}m=\frac uw$ を既約分数（$w>0$）とすると、$\lvert u\rvert>w\ge1$ なので $u$ は素因数 $p$ をもつ。$B_m=\frac AD$ を既約分数とすると $\frac{B_m}m=\frac A{Dm}$ なので $u$ は $A$ を割り、$p\mid A$、$p\nmid D$ である。$D$ は $(q-1)\mid m$ となる素数 $q$ の積である（Bernoulli数 の系「Bernoulli数の分母」）。$2,3$ と各 $p_i$ はこの条件をみたすので $D$ を割り、$A$ を割らない。よって $p\neq2,3$、$p\neq p_i$ であり、$p\nmid D$ から $(p-1)\nmid m$ である。
段 3（小さな番号に戻す）．$m'$ を $m'\equiv m\pmod{p-1}$、$0< m'< p-1$ となる整数とする。$m$ と $p-1$ は偶数なので $m'$ も偶数で、$2\le m'\le p-3$ である。thm-kmc-kummer により $\frac{B_{m'}}{m'}\equiv\frac{B_m}m\equiv0\pmod p$ で、$m'< p$ から $p\nmid m'$ なので $v_p(B_{m'})\ge1$、すなわち $p$ は $B_{m'}$ の分子を割る。したがって $p$ は非正則素数で、$p_1,\dots,p_r$ のどれとも異なる。これは仮定に反する。$\square$