Hausdorff距離

右辺を $h$ とおく。$A\subset N_\varepsilon(B)$ かつ $B\subset N_\varepsilon(A)$ なら、各 $a\in A$ で $d(a,B)< \varepsilon$、各 $b\in B$ で $d(b,A)< \varepsilon$ なので $d_H(A,B)\le\varepsilon$ である。よって $d_H(A,B)\le h$ である。逆に $d_H(A,B)< \infty$ とし、$\varepsilon>d_H(A,B)$ をとると、各 $a\in A$ で $d(a,B)\le d_H(A,B)< \varepsilon$ なので $A\subset N_\varepsilon(B)$ であり、同様に $B\subset N_\varepsilon(A)$ である。よって $h\le\varepsilon$ であり、$\varepsilon\downarrow d_H(A,B)$ として $h\le d_H(A,B)$ を得る。$\square$

要点：三角不等式は各点で三角不等式を使って上限をとる。2 は $d(x,A)=d(x,\overline A)$ による。3 は有界性から値が有限になること、4 は 1 点集合の極限が 1 点集合になることである。

右辺を $h$ とおく。$x\in A$ なら $d(x,C\cup D)\le d(x,C)\le d_H(A,C)\le h$、$x\in B$ なら $d(x,C\cup D)\le d(x,D)\le h$ である。逆向きも同様である。$\square$

$x,y\in A$、$0\le t\le1$、$z:=tx+(1-t)y$ とし、$h_k:=d_H(A_k,A)$ とおく。$\eta>0$ に対し、$|x-x_k|< h_k+\eta$、$|y-y_k|< h_k+\eta$ となる $x_k,y_k\in A_k$ がある。$z_k:=tx_k+(1-t)y_k$ は $A_k$ の凸性から $A_k$ に属し、
$$ |z-z_k|\le t|x-x_k|+(1-t)|y-y_k|< h_k+\eta $$
である。$d(z_k,A)\le h_k$ なので $d(z,A)\le|z-z_k|+d(z_k,A)< 2h_k+\eta$ となる。$k\to\infty$、$\eta\to0$ として $d(z,A)=0$ であり、$A$ は閉なので $z\in A$ である。$\square$

Cauchy 列が収束する部分列をもてば、列自身もその極限に収束する。そこで、Cauchy 列から部分列をとって、はじめから $d_H(A_k,A_{k+1})< 2^{-k}$（$k\ge1$）としてよい。三角不等式から、$n< k$ のとき
$$ d_H(A_n,A_k)\le\sum_{i=n}^{k-1}2^{-i}< 2^{1-n} $$
である。
$$ A:=\bigcap_{n\ge1}\overline{\bigcup_{k\ge n}A_k} $$
とおく。$A$ は閉集合の共通部分なので閉集合である。
段 1：各 $n$ と $y\in A_n$ について、$d(y,x)\le2^{1-n}$ となる $x\in A$ がある。$x_n:=y$ とし、$x_i\in A_i$ が決まったら、$d(x_i,A_{i+1})\le d_H(A_i,A_{i+1})< 2^{-i}$ なので、$d(x_i,x_{i+1})< 2^{-i}$ となる $x_{i+1}\in A_{i+1}$ を選ぶ。$m>i\ge n$ について $d(x_i,x_m)< \sum_{j\ge i}2^{-j}=2^{1-i}$ なので $(x_i)_{i\ge n}$ は Cauchy 列であり、$X$ の完備性から極限 $x$ をもつ。$d(y,x)=\lim_md(x_n,x_m)\le2^{1-n}$ である。任意の $m$ について、$i\ge\max\{m,n\}$ の $x_i\in A_i$ が $x$ に収束するので、$x\in\overline{\bigcup_{k\ge m}A_k}$ である。よって $x\in A$ である。とくに $A\ne\emptyset$ であり、$\sup_{y\in A_n}d(y,A)\le2^{1-n}$ である。
段 2：各 $n$ と $x\in A$ について $d(x,A_n)\le2^{1-n}$ である。$\varepsilon>0$ をとる。$x\in\overline{\bigcup_{k\ge n}A_k}$ なので、ある $k\ge n$ と $z\in A_k$ で $d(x,z)< \varepsilon$ となるものがある。$d(z,A_n)\le d_H(A_k,A_n)\le2^{1-n}$（$k=n$ なら $0$）なので、$d(x,A_n)\le d(x,z)+d(z,A_n)< \varepsilon+2^{1-n}$ である。$\varepsilon$ は任意である。
段 3：段 2 を $n=1$ で使うと、$A$ の各点は有界集合 $A_1$ から距離 $1$ 以内にあるので、$A$ は有界である。よって $A\in\mathrm{CB}(X)$ であり、段 1・段 2 から $d_H(A_n,A)\le2^{1-n}\to0$ である。$\square$

1：$\varepsilon>0$ をとる。$X$ は全有界なので、有限集合 $S\subset X$ で $X=\bigcup_{s\in S}\{x\mid d(x,s)< \varepsilon\}$ となるものがある。$A\in\mathrm{CB}(X)$ に対し $T:=\{s\in S\mid d(s,A)< \varepsilon\}$ とおく。$a\in A$ について $d(a,s)< \varepsilon$ となる $s\in S$ があり、その $s$ は $T$ に属するので、$T\ne\emptyset$ かつ $d(a,T)< \varepsilon$ である。$s\in T$ については定義から $d(s,A)< \varepsilon$ である。よって $d_H(A,T)\le\varepsilon$ である。$T$ は $S$ の空でない部分集合で、有限集合は有界閉集合なので $T\in\mathrm{CB}(X)$ である。$S$ の空でない部分集合は有限個しかないので、$\mathrm{CB}(X)$ は有限個の $d_H$-球（半径 $2\varepsilon$）で覆われる。$\varepsilon$ は任意なので $\mathrm{CB}(X)$ は全有界である。
2：コンパクト空間の閉集合はコンパクトであり、距離空間のコンパクト集合は有界な閉集合なので、$\mathrm{K}(X)=\mathrm{CB}(X)$ である。コンパクトな距離空間は完備かつ全有界であり（全有界 の定理「コンパクト性との関係」）、thm-hd-complete と 1 により $(\mathrm{CB}(X),d_H)$ も完備かつ全有界、したがってコンパクトである。$\square$

すべての $A_k$ を含む閉球 $B$ をとる。$B$ はコンパクトなので、thm-hd-compact の 2 により $(\mathrm{K}(B),d_H)$ はコンパクト距離空間であり、列 $(A_k)$ は収束する部分列をもつ。$B$ の中での Hausdorff 距離は $\mathbb{R}^n$ の中での Hausdorff 距離と同じである（どちらも $\mathbb{R}^n$ の距離で測る）。凸性は prop-hd-convex による。$\square$

要点：1 は、コンパクト集合の極限が全有界であることを有限の近似で示し、完備性からコンパクトを得る。2 は、稠密集合の有限部分集合がコンパクト集合を近似することによる。