スキーム
概要
スキーム（scheme）とは、局所環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ で、各点が可換環 $A$ のアフィンスキーム $\operatorname{Spec}A$ に同型な開近傍をもつものをいい、射は局所環付き空間の射である。$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ や $\operatorname{Spec}k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ と射影空間 $\mathbb{P}^n_A$ を同じ枠組みで扱える。$\operatorname{Hom}(X,\operatorname{Spec}A)=\operatorname{Hom}(A,\Gamma(X,\mathcal{O}_X))$ が基本性質で、体からの射 $\operatorname{Spec}K\to X$ は点と剰余体の埋め込みの組に対応する。
前提知識: 可換環, 素イデアル, 局所環, 層, 環付き空間, アフィンスキーム, 位相空間
定義
スキームは、可換環を「関数のなす環」とみなして作られる幾何学的対象である。可換環 $A$ からはアフィンスキーム $\operatorname{Spec}A$（$A$ の素イデアル全体にZariski位相と構造層を入れたもの）が作られ、スキームとはアフィンスキームを開集合として貼り合わせたものである。「貼り合わせ」を正確に言うために環付き空間の言葉を用いるので、その定義を再掲する。
環付き空間（ringed space）とは、位相空間 $X$ と、$X$ 上の可換環の層 $\mathcal{O}_X$（構造層という）の組 $(X,\mathcal{O}_X)$ である。環付き空間の射 $(f,f^\sharp)\colon(X,\mathcal{O}_X)\to(Y,\mathcal{O}_Y)$ とは、連続写像 $f\colon X\to Y$ と、$Y$ 上の環の層の射 $f^\sharp\colon\mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X$ の組である。点 $x\in X$ に対し、$f^\sharp$ は茎の間の環準同型 $f^\sharp_x\colon\mathcal{O}_{Y,f(x)}\to\mathcal{O}_{X,x}$ を誘導する（$f(x)$ の近傍 $V$ 上の切断 $s$ の芽を、$f^{-1}(V)$ 上の切断 $f^\sharp_V(s)$ の $x$ における芽に送る）。
環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ が局所環付き空間（locally ringed space）であるとは、すべての点 $x\in X$ で茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ が局所環であることをいう。その極大イデアルを $\mathfrak{m}_x$、剰余体 $\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x$ を $\kappa(x)$ と書き、$x$ における剰余体という。局所環付き空間の射（局所射）とは、環付き空間の射 $(f,f^\sharp)$ であって、すべての $x\in X$ で $f^\sharp_x$ が局所準同型、すなわち $(f^\sharp_x)^{-1}(\mathfrak{m}_x)=\mathfrak{m}_{f(x)}$ をみたすものをいう。局所環付き空間とその局所射のなす圏を $\mathbf{LRS}$ と書く。
局所環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ と開集合 $U\subset X$ に対し、$(U,\mathcal{O}_X|_U)$（$\mathcal{O}_X$ の $U$ への制限）はふたたび局所環付き空間である（$x\in U$ における茎は $\mathcal{O}_{X,x}$ に等しい）。包含写像 $j_U\colon U\to X$ と制限写像 $\mathcal{O}_X(V)\to\mathcal{O}_X(V\cap U)$ の組は局所射である。
可換環 $A$ に対し、$\operatorname{Spec}A$ は $A$ の素イデアル全体の集合に、$V(I):=\{\mathfrak{p}\mid I\subset\mathfrak{p}\}$（$I$ は $A$ のイデアル）を閉集合とする Zariski 位相と構造層 $\mathcal{O}$ を入れた局所環付き空間である。次の事実の構成と証明は アフィンスキーム の記事（4 の全射性は 環付き空間 の記事）にあり、ここでは繰り返さない（Har77 II.2.1–2.3、EGA1 I §1、AM69 第 1 章）。
- $f\in A$ に対し $D(f):=\operatorname{Spec}A\setminus V(f)$ とおくと、$\{D(f)\}_{f\in A}$ は Zariski 位相の開基である。$\operatorname{Spec}A$ は準コンパクトである。
- $\mathcal{O}(D(f))\cong A_f$（$f$ による局所化）、とくに $\Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal{O})\cong A$ である。点 $\mathfrak{p}$ における茎は $\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}\cong A_{\mathfrak{p}}$ で、剰余体は $\kappa(\mathfrak{p})=A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$（$A/\mathfrak{p}$ の商体）である。
- 開集合 $D(f)$ に $\mathcal{O}$ を制限した局所環付き空間は $\operatorname{Spec}A_f$ に同型である。
- 環準同型 $\varphi\colon A\to B$ は局所射 $\operatorname{Spec}\varphi\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$（点では $\mathfrak{q}\mapsto\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$、大域切断では $\varphi$、点 $\mathfrak{q}$ の茎では $\varphi$ の局所化 $A_{\varphi^{-1}(\mathfrak{q})}\to B_{\mathfrak{q}}$）を定め、$\varphi\mapsto\operatorname{Spec}\varphi$ は全単射
$$ \operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(A,B)\xrightarrow{\ \sim\ }\operatorname{Hom}_{\mathbf{LRS}}(\operatorname{Spec}B,\operatorname{Spec}A) $$
である。逆写像は局所射 $(f,f^\sharp)$ に大域切断の写像 $f^\sharp_{\operatorname{Spec}A}\colon A\to B$ を対応させる。 - 点 $\mathfrak{p}$ の閉包は $V(\mathfrak{p})$ であり、したがって $V(\mathfrak{p})=V(\mathfrak{q})$ ならば $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}$ である。$\operatorname{Spec}A$ の既約閉集合は $V(\mathfrak{p})$（$\mathfrak{p}$ は素イデアル）の形のものに限る。点 $\mathfrak{p}$ が閉点であることと $\mathfrak{p}$ が極大イデアルであることは同値である。
局所環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ の開集合 $U$ がアフィン開集合（affine open）であるとは、$(U,\mathcal{O}_X|_U)$ がある可換環 $A$ のアフィンスキーム $\operatorname{Spec}A$ に局所環付き空間として同型であることをいう。$(X,\mathcal{O}_X)$ がスキーム（scheme）であるとは、$X$ がアフィン開集合からなる開被覆 $X=\bigcup_iU_i$ をもつことをいう。このような被覆をアフィン開被覆という。$X$ 全体がアフィン開集合であるスキーム、すなわち $\operatorname{Spec}A$ に同型なスキームをアフィンスキームという。
スキームの射（morphism）とは局所環付き空間の射（局所射）のことである。スキームとその射のなす圏を $\mathbf{Sch}$ と書く。これは $\mathbf{LRS}$ の充満部分圏である。射 $(f,f^\sharp)$ を単に $f$ と書き、$f^\sharp$ を「$f$ に伴う層の射」という。
「局所射である」という要請は落とせない。環付き空間の射で局所射でないものが存在し（環付き空間 の記事の反例）、そのような射を許すと prop-scheme-hom-to-affine が成り立たなくなる。
$S$ をスキームとする。$S$ 上のスキーム（$S$-scheme）とは、スキーム $X$ と射 $\pi\colon X\to S$（構造射）の組である。$S$ 上のスキーム $(X,\pi)$、$(Y,\pi')$ の間の $S$ 射とは、$\pi'\circ f=\pi$ をみたす射 $f\colon X\to Y$ である。$S$ 上のスキームと $S$ 射のなす圏を $\mathbf{Sch}/S$ と書く。$S=\operatorname{Spec}A$ のとき $\operatorname{Spec}A$ 上のスキームを $A$ 上のスキーム（$A$ スキーム）という。prop-scheme-hom-to-affine により、$A$ スキームの構造は環準同型 $A\to\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ を与えることと同じである。体 $k$ 上のスキームがもっとも多く現れる。
スキーム $X$ と開集合 $U\subset X$ に対し、局所環付き空間 $(U,\mathcal{O}_X|_U)$ を $X$ の開部分スキーム（open subscheme）という（これがスキームであることは prop-scheme-open-subscheme）。射 $f\colon Y\to X$ が開埋め込み（open immersion）であるとは、$f$ が $Y$ からある開部分スキーム $U\subset X$ への同型を誘導することをいう。
射 $i\colon Y\to X$ が閉埋め込み（closed immersion）であるとは、$i$ が $Y$ から $X$ の閉集合 $i(Y)$ への同相写像であり、かつ層の射 $i^\sharp\colon\mathcal{O}_X\to i_*\mathcal{O}_Y$ が全射であることをいう。$X$ の閉部分スキーム（closed subscheme）とは、閉埋め込み $i\colon Y\to X$ の同値類（$i'\colon Y'\to X$ が $i$ と同値とは、同型 $g\colon Y\to Y'$ で $i'\circ g=i$ となるものがあること）である。閉部分スキームは台となる閉集合だけでは決まらず、構造層まで込めた情報である（閉部分スキーム・閉埋め込み）。
閉埋め込みの典型は、イデアル $I\subset A$ に対する全射 $A\to A/I$ が定める $\operatorname{Spec}A/I\to\operatorname{Spec}A$ である（像 $V(I)$ への同相で、層の射は $D(f)$ 上で全射 $A_f\to(A/I)_f$）。逆に $\operatorname{Spec}A$ の閉部分スキームはすべてこの形である（Har77 II 演習 3.11(b)、EGA1 I 4.2.3。本記事では証明しない）。
$X$ をスキーム、$U\subset X$ を開集合とすると、$(U,\mathcal{O}_X|_U)$ はスキームである。さらに、$X$ のアフィン開集合の全体は $X$ の位相の開基をなす。
$(U,\mathcal{O}_X|_U)$ が局所環付き空間であることは def-scheme-locally-ringed-space で述べた。$x\in U$ をとり、$x$ を含むアフィン開集合 $V\subset X$ と同型 $(V,\mathcal{O}_X|_V)\cong\operatorname{Spec}A$ をとる。$U\cap V$ はこの同型で $\operatorname{Spec}A$ の開集合 $W$ に対応し、$x$ に対応する点を $\mathfrak{p}\in W$ とすると、rem-scheme-affine-facts の 1 により $\mathfrak{p}\in D(f)\subset W$ となる $f\in A$ がある。同 3 により $(D(f),\mathcal{O}|_{D(f)})\cong\operatorname{Spec}A_f$ なので、$D(f)$ に対応する $V$ の開集合 $V_f$ は $x\in V_f\subset U\cap V$ をみたし、$(V_f,\mathcal{O}_X|_{V_f})\cong\operatorname{Spec}A_f$ である。$\mathcal{O}_X|_{V_f}=(\mathcal{O}_X|_U)|_{V_f}$ なので $V_f$ は $U$ のアフィン開集合であり、$x$ は任意だったので $U$ はアフィン開被覆をもつ。後半は、$x\in V_f\subset U$ をみたす $X$ のアフィン開集合 $V_f$ が作れたことそのものである。$\square$
スキーム $X$ について次の語を用いる。
- 連結・既約：位相空間 $X$ が連結空間・既約（空でなく、2 つの真閉集合の和で書けない）であること。
- 被約（reduced）：すべての開集合 $U$ について環 $\mathcal{O}_X(U)$ が $0$ 以外の冪零元をもたないこと。すべての茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ が被約であることと同値である（被約スキーム）。
- 整（integral）：空でないすべての開集合 $U$ について $\mathcal{O}_X(U)$ が整域であること。被約かつ既約であることと同値である（Har77 II.3.1、整スキーム）。
- 準コンパクト：位相空間として準コンパクトであること。アフィン開集合は準コンパクトなので、有限個のアフィン開集合で覆えることと同値である。
- 局所 Noether・Noether：Noether環 $A_i$ によるアフィン開被覆 $\{\operatorname{Spec}A_i\}$ をもつこと・さらに有限個で覆えること（Noetherスキーム）。
- $S$ 上有限型：構造射 $X\to S$ が有限型射であること。$S=\operatorname{Spec}k$ なら、$k$ 上の有限生成代数のスペクトル有限個で覆えることと同値である。
- 分離的・固有：構造射が分離射・固有射であること。
古典的な代数多様体は、代数閉体 $k$ 上の整で分離的な有限型スキームに対応する（Har77 II.2.6、II.4.10）。
直感
可微分多様体が「Euclid空間の開集合を貼り合わせたもの」であるように、スキームは「可換環のスペクトルを貼り合わせたもの」である。多様体の局所模型が $\mathbb{R}^n$ の開集合の一種類しかないのに対し、スキームでは任意の可換環 $A$ が局所模型 $\operatorname{Spec}A$ を与える。$A=\mathbb{Z}$ なら整数論の対象、$A=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ なら「無限小の長さをもつ点」、$A=k[x_1,\dots,x_n]/I$ なら古典的な代数的集合が得られ、これらが同じ枠組みの中で射で結ばれる。可換環の性質（Noether 性、被約性、整域性）はスキームの幾何学的性質に、幾何学的な操作（貼り合わせ、ファイバー積、閉部分スキーム）は環の操作（局所化、テンソル積、商）に翻訳される。
その代償として、スキームの位相空間は古典的な直感から離れる。点には閉点のほかに既約閉集合ごとの生成点があり、位相は Hausdorff空間でない。また位相空間だけではスキームは決まらず、構造層が本質的な情報を担う（ex-scheme-same-space）。
例と反例
$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の点は、素数 $p$ に対する $(p)$ と $(0)$ である。$(p)$ は極大イデアルなので閉点、$(0)$ の閉包は $V((0))=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 全体なので $(0)$ は生成点である（rem-scheme-affine-facts の 5）。剰余体は $\kappa((p))=\mathbb{F}_p$、$\kappa((0))=\mathbb{Q}$ である。$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は整スキームで、Krull次元 $1$ の「曲線」とみなせる。cor-scheme-terminal により $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は $\mathbf{Sch}$ の終対象であり、すべてのスキームは $\mathbb{Z}$ 上のスキームである。
体 $k$ に対し $\operatorname{Spec}k$ は 1 点 $(0)$ からなり、大域切断の環は $k$ である。射 $\operatorname{Spec}k\to X$ が $X$ の「$k$ に値をもつ点」であることは prop-scheme-points-field で述べる。
$k$ を体とし、$A:=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ とする。$A$ の素イデアルは $(\varepsilon)$ だけである（$\varepsilon$ は冪零なので任意の素イデアルに含まれ、$A/(\varepsilon)\cong k$ は体）。よって $\operatorname{Spec}A$ は 1 点からなり、位相空間としては $\operatorname{Spec}k$ と同じである。しかし $\Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal{O})=A$ は $0$ でない冪零元 $\varepsilon$ をもつので、$\operatorname{Spec}A$ は被約でなく、$\operatorname{Spec}k$ と同型でない（同型なスキームは大域切断の環が同型である）。
$\operatorname{Spec}A$ は「1 点と、そこから出る 1 本の接ベクトル」を表す。実際、$k$ 上のスキーム $X$ と $k$ 有理点 $x\in X$（$\kappa(x)=k$）に対し、点を $x$ に送る $k$ 射 $\operatorname{Spec}A\to X$ の全体は、Zariski 接空間 $\operatorname{Hom}_k(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2,k)$ と自然に 1 対 1 に対応する（Har77 II 演習 2.8。本記事では証明しない）。
$A$ を可換環、$n\ge0$ とする。$A$ 上の $n$ 次元射影空間 $\mathbb{P}^n_A$ を、$n+1$ 個のアフィン空間 $\mathbb{A}^n_A$ の貼り合わせ（prop-scheme-gluing）として構成する。
$R:=A[x_0,\dots,x_n]$ を多項式環とし、$S:=R[x_0^{-1},\dots,x_n^{-1}]$ を単項式 $(x_0\cdots x_n)^m$ による局所化とする。$R$ は単項式を基底とする自由 $A$ 加群であり、$x_0\cdots x_n$ を掛ける写像は基底を基底の相異なる元に送るので単射である。したがって $R\to S$ は単射で、$S$ は Laurent 単項式 $x^a=x_0^{a_0}\cdots x_n^{a_n}$（$a\in\mathbb{Z}^{n+1}$）を基底とする自由 $A$ 加群である。$S_0\subset S$ を、次数 $a_0+\cdots+a_n=0$ の Laurent 単項式が張る部分環とする。
各 $i$ に対し $A_i:=A[x_k/x_i\mid k\neq i]\subset S_0$ とおく。$n$ 個の元 $x_k/x_i$ の単項式は相異なる Laurent 単項式なので、$A_i$ は $A$ 上 $n$ 変数の多項式環であり、$U_i:=\operatorname{Spec}A_i\cong\mathbb{A}^n_A$ である。$i\neq j$ に対し $U_{ij}:=D(x_j/x_i)\subset U_i$、$U_{ii}:=U_i$ とおく。rem-scheme-affine-facts の 3 により $U_{ij}\cong\operatorname{Spec}(A_i)_{x_j/x_i}$ である。局所化 $(A_i)_{x_j/x_i}$ から $S$ への写像 $f/(x_j/x_i)^m\mapsto f\cdot(x_i/x_j)^m$ は単射である（$f\cdot(x_i/x_j)^m=0$ なら $x_i/x_j$ が $S$ の単元なので $f=0$）。その像 $A_{ij}:=A_i[x_i/x_j]$ は、次数 $0$ の Laurent 単項式 $x^a$ で $k\notin\{i,j\}$ なる $k$ について $a_k\ge0$ であるものが張る $A$ 加群に等しい。実際、$\prod_{k\neq i}(x_k/x_i)^{c_k}\cdot(x_i/x_j)^{b}$（$c_k,b\ge0$）はこの形であり、逆にこの形の $x^a$ に対して $c_k:=a_k$（$k\notin\{i,j\}$）、$b:=\max\{0,-a_j\}$、$c_j:=a_j+b\ge0$ とおけば、次数 $0$ の条件から $x_i$ の指数も合い、$x^a=\prod_{k\neq i}(x_k/x_i)^{c_k}(x_i/x_j)^b$ となる。この記述は $i$ と $j$ について対称なので $A_i[x_i/x_j]=A_j[x_j/x_i]=A_{ij}$ である。よって
$$
U_{ij}\cong\operatorname{Spec}A_{ij}\cong U_{ji}
$$
であり、この合成を $\varphi_{ij}\colon U_{ij}\to U_{ji}$ とおく（$\varphi_{ii}:=\mathrm{id}$）。$\varphi_{ji}=\varphi_{ij}^{-1}$ は明らかである。
貼り合わせ条件を確かめる。$U_{ij}\cap U_{ik}=D\bigl((x_j/x_i)(x_k/x_i)\bigr)\subset U_i$ は $\operatorname{Spec}A_i[x_i/x_j,x_i/x_k]$ に同型で、同じ議論により $A_i[x_i/x_j,x_i/x_k]$ は次数 $0$ の Laurent 単項式で $\{i,j,k\}$ の外の指数が非負のものが張る環 $A_{ijk}$ に等しく、これは $i,j,k$ について対称である。$U_{ji}\cap U_{jk}\subset U_j$ も同じ環 $A_{ijk}$ のスペクトルに同型である。$\varphi_{ij}$ を $U_{ij}\cap U_{ik}$ に制限した射は、$A_{ij}$ の恒等写像を $A_{ijk}=(A_{ij})_{x_k/x_i}$ に局所化したもの、すなわち $A_{ijk}$ の恒等写像が定める射なので、$\varphi_{ij}(U_{ij}\cap U_{ik})=U_{ji}\cap U_{jk}$ であり、$\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}$ と $\varphi_{ik}$ はともに $U_{ij}\cap U_{ik}$ 上で $A_{ijk}$ の恒等写像が定める射なので一致する。したがって prop-scheme-gluing により、$U_0,\dots,U_n$ を貼り合わせたスキーム $\mathbb{P}^n_A$ が得られる。
$\mathbb{P}^n_A$ は $A$ 上のスキームであり、$n\ge1$、$A\neq0$ のときアフィンでない（$\Gamma(\mathbb{P}^n_A,\mathcal{O})=A$ なので、アフィンなら cor-scheme-canonical-affine により構造射 $\mathbb{P}^n_A\to\operatorname{Spec}A$ が同型になるが、$A$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ の上には $U_0$ の点 $(\mathfrak{m},x_1/x_0,\dots,x_n/x_0)$ と $U_1$ の点 $(\mathfrak{m},x_0/x_1,x_2/x_1,\dots,x_n/x_1)$ という相異なる 2 点があり単射でない。$\Gamma(\mathbb{P}^n_A,\mathcal{O})=A$ は 射影空間・Har77 II.5.13 に譲る）。$\mathbb{P}^n_A$ は次数付き環 $A[x_0,\dots,x_n]$ の Proj としても構成される（Har77 II.2.5）。
$k$ を体とし、$X_1=X_2:=\operatorname{Spec}k[t]=\mathbb{A}^1_k$、$U_{12}=U_{21}:=D(t)$、$\varphi_{12}:=\mathrm{id}_{D(t)}$ とする。添字が 2 個なので貼り合わせ条件は自明に成り立ち、prop-scheme-gluing によりスキーム $X$ と開埋め込み $\psi_1,\psi_2\colon\mathbb{A}^1_k\to X$ が得られる。$X$ は $\mathbb{A}^1_k$ の原点 $o=(t)$ を $\psi_1(o)\neq\psi_2(o)$ の 2 つに複製し、それ以外の点を同一視したものである（$o\notin U_{12}$ なので $\psi_1(o)\neq\psi_2(o)$）。
$X$ はアフィンでない。prop-scheme-gluing の証明の構成により
$$
\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\{(f,g)\in k[t]\times k[t]\mid f=g\ \text{in}\ k[t]_t\}
$$
であり、$k[t]$ は整域なので $k[t]\to k[t]_t$ は単射、よって $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\{(f,f)\}\cong k[t]$ である。もし $X$ がアフィンなら、cor-scheme-canonical-affine により標準射 $c\colon X\to\operatorname{Spec}k[t]$ は同型である。ところが $c$ を $\psi_i(X_i)\cong\mathbb{A}^1_k$ に制限した射は、環準同型 $k[t]=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\to\Gamma(X_i,\mathcal{O}_{X_i})=k[t]$、すなわち恒等写像に対応するので恒等射であり、$c(\psi_1(o))=o=c(\psi_2(o))$ となって $c$ は単射でない。これは矛盾である。
$X$ は $k$ 上分離的でもない（分離射）。アフィン開集合 $\psi_1(X_1)$、$\psi_2(X_2)$ の共通部分 $D(t)$ はアフィンだが、$\Gamma(\psi_1(X_1))\otimes_k\Gamma(\psi_2(X_2))=k[t]\otimes_kk[t]\to k[t,t^{-1}]$ は全射でないからである。この例は、貼り合わせで得られるスキームが古典的な多様体のように「よい」とは限らないこと、また Hausdorff 性の代替物である分離性が自動には成り立たないことを示す。
ex-scheme-dual-numbers の $\operatorname{Spec}k$ と $\operatorname{Spec}k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ はどちらも 1 点空間だが同型でない。より一般に、体の拡大 $K/k$ に対し $\operatorname{Spec}K$ と $\operatorname{Spec}k$ は同相だが、$K\not\cong k$（環として）なら同型でない。また $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ と $\operatorname{Spec}k[x]/(x^3)$ も 1 点空間で、大域切断の環の $k$ 上の次元が $2$ と $3$ なので同型でない。したがって「スキームは位相空間である」という含意も「同相なスキームは同型である」という含意も成り立たない。これらは位相空間としての性質（点の個数）を共有し、構造層の性質（被約性、大域切断の環）を共有しない。
$M$ を次元 $d\ge1$ の可微分多様体とし、$\mathcal{C}^\infty_M$ を $C^\infty$ 級関数の層とすると、$(M,\mathcal{C}^\infty_M)$ は局所環付き空間である（茎 $\mathcal{C}^\infty_{M,x}$ は $x$ で消える芽の全体 $\mathfrak{m}_x$ を唯一の極大イデアルとする局所環。環付き空間）。しかしこれはスキームでない。
仮にスキームだとして、点 $x\in M$ を含むアフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ をとる。$M$ は Hausdorff なので $U$ の各点は $U$ の閉点であり、rem-scheme-affine-facts の 5 により $A$ のすべての素イデアルは極大イデアルである。$x$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とすると、茎 $\mathcal{C}^\infty_{M,x}\cong A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは $A$ の $\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルに対応する（AM69 3.11）ので、$A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは極大イデアル $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{m}_x$ のみである。環の冪零元全体はすべての素イデアルの共通部分に等しい（AM69 1.8）ので、$\mathfrak{m}_x$ のすべての元、すなわち $x$ で消えるすべての関数芽は冪零である。ところが $x$ のまわりの局所座標 $t$ で $t(x)=0$ なるものをとると、$t^m$（$m\ge1$）は $x$ の任意の近傍上で恒等的に $0$ でないので芽として $0$ でなく、$t$ は冪零でない。これは矛盾である。
この論法は、複素多様体の正則関数の層についてもそのまま通用する（次元 $\ge1$ なら局所座標があり、Hausdorff である）。つまり多様体や複素解析空間は局所環付き空間ではあるがスキームではなく、両者の比較は GAGA のように別の道具を要する。「局所環付き空間である」という性質はみたし、「アフィン開被覆をもつ」という性質はみたさない。次元 $0$ の多様体（離散空間）は $\operatorname{Spec}\mathbb{R}$ の余積(圏論)としてスキームである。
$k$ を体とし、$\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[t]$ を考える。$k[t]$ は整域なので $(0)$ は素イデアルであり、その閉包は $V((0))=\mathbb{A}^1_k$ 全体である。したがって空でない任意の開集合 $D(f)$（$f\neq0$）は $(0)$ を含む。とくに空でない 2 つの開集合は必ず交わるので、相異なる 2 点を分離する開集合の組は存在せず、$\mathbb{A}^1_k$ は Hausdorff でない。さらに $\{(0)\}$ は閉集合でないので、$\mathbb{A}^1_k$ は T1空間でもない。
同じことは 2 点以上をもつ任意の既約なスキームで成り立つ。既約空間では空でない開集合は稠密であり、互いに交わるからである。したがって、多様体の理論で Hausdorff 性が果たす役割（対角線の閉性）は、スキームでは位相空間の Hausdorff 性ではなく分離性（分離射）が担う。
性質
スキームの射は開被覆の上で決まり、開被覆の上で貼り合わさる。この補題は以下のすべての証明で使う。
$X,Y$ をスキームとする。
- 射 $f\colon X\to Y$ と開集合 $U\subset X$ に対し、制限 $f|_U:=f\circ j_U\colon U\to Y$（$j_U$ は def-scheme-locally-ringed-space の包含）は射であり、$(f|_U)^\sharp_V\colon\mathcal{O}_Y(V)\to\mathcal{O}_X(f^{-1}(V)\cap U)$ は $f^\sharp_V$ に制限写像を合成したものである。
- $\{U_i\}_{i\in I}$ を $X$ の開被覆、$f_i\colon U_i\to Y$ を射の族で、すべての $i,j$ について $f_i|_{U_i\cap U_j}=f_j|_{U_i\cap U_j}$ をみたすものとする。このとき $f|_{U_i}=f_i$（すべての $i$）をみたす射 $f\colon X\to Y$ がただ 1 つ存在する。
1 は局所射の合成が局所射であることによる（茎の写像は $f^\sharp_x$ そのものであり、局所準同型である）。
2 の存在：連続写像 $f$ を $x\in U_i$ に対し $f(x):=f_i(x)$ で定める。仮定から well-defined であり、開集合 $V\subset Y$ に対し $f^{-1}(V)=\bigcup_if_i^{-1}(V)$ は開なので $f$ は連続である。層の射を定めるため、$V\subset Y$ を開集合、$s\in\mathcal{O}_Y(V)$ とし、$W:=f^{-1}(V)$ とおく。$W$ は開集合 $W_i:=W\cap U_i=f_i^{-1}(V)$ で覆われ、切断 $t_i:=(f_i)^\sharp_V(s)\in\mathcal{O}_X(W_i)$ が定まる。$W_i\cap W_j$ 上では、1 と仮定により $t_i|_{W_i\cap W_j}=(f_i|_{U_i\cap U_j})^\sharp_V(s)=(f_j|_{U_i\cap U_j})^\sharp_V(s)=t_j|_{W_i\cap W_j}$ である。$\mathcal{O}_X$ は層なので、$t|_{W_i}=t_i$ をみたす $t\in\mathcal{O}_X(W)$ がただ 1 つ存在する。$f^\sharp_V(s):=t$ とおく。$f^\sharp_V$ が環準同型であること、および $V'\subset V$ に対する制限と両立することは、いずれも「$W$ 上の 2 つの切断が各 $W_i$ 上で一致すれば一致する」という層の一意性により各 $W_i$ 上で確かめればよく、そこでは $(f_i)^\sharp$ の性質に帰着する。こうして環付き空間の射 $(f,f^\sharp)$ が得られ、$x\in U_i$ における茎の写像は $(f_i)^\sharp_x$ に等しいので局所準同型である。構成から $f|_{U_i}=f_i$ である。
一意性：$g\colon X\to Y$ も $g|_{U_i}=f_i$ をみたすとする。連続写像は各点で $f_i$ と一致するので等しい。$s\in\mathcal{O}_Y(V)$ に対し $g^\sharp_V(s)$ と $f^\sharp_V(s)$ は $W=f^{-1}(V)$ 上の切断で、各 $W_i$ への制限がともに $(f_i)^\sharp_V(s)$ なので、層の一意性により等しい。$\square$
$X$ をスキーム、$A$ を可換環とする。射 $f\colon X\to\operatorname{Spec}A$ に大域切断の写像
$$
\rho(f):=f^\sharp_{\operatorname{Spec}A}\colon A=\Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal{O})\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal{O}_X)
$$
を対応させる写像 $\rho\colon\operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}}(X,\operatorname{Spec}A)\to\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(A,\Gamma(X,\mathcal{O}_X))$ は全単射である。この全単射は $X$ について自然である。すなわち射 $g\colon X'\to X$ に対し $\rho(f\circ g)=g^\sharp_X\circ\rho(f)$ が成り立つ。
$X$ がアフィンのときは rem-scheme-affine-facts の 4 そのものである。一般の場合をこれに帰着する。以下、開集合 $U\subset X$ に対し $\operatorname{res}_U\colon\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\to\mathcal{O}_X(U)$ を制限写像とすると、lem-scheme-morphism-local の 1 により
$$
\rho(f|_U)=\operatorname{res}_U\circ\rho(f)
$$
である。同様に、合成 $f\circ g$ の大域切断の写像は $(f\circ g)^\sharp=g^\sharp\circ f^\sharp$ から $g^\sharp_X\circ\rho(f)$ であり、自然性が従う。
単射性：$f,g\colon X\to\operatorname{Spec}A$ が $\rho(f)=\rho(g)$ をみたすとする。アフィン開被覆 $\{U_i\}$ をとると、各 $i$ で $\rho(f|_{U_i})=\operatorname{res}_{U_i}\circ\rho(f)=\rho(g|_{U_i})$ である。$U_i$ はアフィンなので、アフィンの場合の単射性により $f|_{U_i}=g|_{U_i}$ である。lem-scheme-morphism-local の 2 の一意性により $f=g$ である。
全射性：$\varphi\colon A\to\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ を環準同型とする。アフィン開被覆 $\{U_i\}$、$U_i\cong\operatorname{Spec}B_i$（$B_i=\mathcal{O}_X(U_i)$）をとり、$\varphi_i:=\operatorname{res}_{U_i}\circ\varphi\colon A\to B_i$ とおく。アフィンの場合の全射性により $\rho(f_i)=\varphi_i$ をみたす射 $f_i\colon U_i\to\operatorname{Spec}A$ がある。$f_i$ と $f_j$ が $U_i\cap U_j$ 上で一致することを示す。prop-scheme-open-subscheme により $U_i\cap U_j$ はアフィン開集合 $W$ で覆われ、各 $W$ について
$$
\rho(f_i|_W)=\operatorname{res}_W\circ\rho(f_i)=\operatorname{res}_W\circ\operatorname{res}_{U_i}\circ\varphi=\operatorname{res}_W\circ\varphi
$$
であり、同じ計算で $\rho(f_j|_W)=\operatorname{res}_W\circ\varphi$ なので、アフィンの場合の単射性により $f_i|_W=f_j|_W$ である。$W$ は $U_i\cap U_j$ を覆うので、lem-scheme-morphism-local の 2 の一意性により $f_i|_{U_i\cap U_j}=f_j|_{U_i\cap U_j}$ である。よって同じ補題により $f_i$ たちは射 $f\colon X\to\operatorname{Spec}A$ に貼り合わさる。最後に $\rho(f)=\varphi$ を示す。$a\in A$ に対し、$\operatorname{res}_{U_i}(\rho(f)(a))=\rho(f|_{U_i})(a)=\rho(f_i)(a)=\varphi_i(a)=\operatorname{res}_{U_i}(\varphi(a))$ がすべての $i$ で成り立つので、層の一意性により $\rho(f)(a)=\varphi(a)$ である。$\square$
任意のスキーム $X$ に対し、射 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ はただ 1 つ存在する。すなわち $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は $\mathbf{Sch}$ の終対象である。
prop-scheme-hom-to-affine により $\operatorname{Hom}(X,\operatorname{Spec}\mathbb{Z})\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z},\Gamma(X,\mathcal{O}_X))$ であり、$\mathbb{Z}$ から任意の環への環準同型（単位元を単位元に送るもの）はただ 1 つである。$\square$
スキーム $X$ に対し、$B:=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ とおくと、prop-scheme-hom-to-affine で恒等写像 $\mathrm{id}_B$ に対応する射 $c_X\colon X\to\operatorname{Spec}B$（標準射）が定まる。$X$ がアフィンであることと $c_X$ が同型であることは同値である。
$c_X$ が同型なら $X\cong\operatorname{Spec}B$ はアフィンである。逆に $X$ がアフィンとし、同型 $u\colon X\to\operatorname{Spec}A$ をとる。$u$ は環付き空間の同型なので、伴う層の射 $u^\sharp$ は層の同型であり、$\alpha:=\rho(u)\colon A\to B$ は環の同型である。rem-scheme-affine-facts の 4 により $v:=\operatorname{Spec}\alpha\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ は $\rho(v)=\alpha$ をみたす射で、$\operatorname{Spec}\alpha^{-1}$ を逆射にもつ同型である。prop-scheme-hom-to-affine の自然性を $g=c_X$、$f=v$ に適用すると、$(c_X)^\sharp_{\operatorname{Spec}B}=\rho(c_X)=\mathrm{id}_B$ なので
$$
\rho(v\circ c_X)=(c_X)^\sharp_{\operatorname{Spec}B}\circ\rho(v)=\alpha=\rho(u)
$$
である。$\rho$ の単射性により $v\circ c_X=u$、したがって $c_X=v^{-1}\circ u$ は同型の合成として同型である。$\square$
$\{X_i\}_{i\in I}$ をスキームの族とし、各 $i,j\in I$ に対して開集合 $U_{ij}\subset X_i$（$U_{ii}=X_i$）と同型 $\varphi_{ij}\colon U_{ij}\to U_{ji}$（開部分スキームの同型。$\varphi_{ii}=\mathrm{id}$）が与えられ、次の貼り合わせ条件をみたすとする。
- すべての $i,j$ について $\varphi_{ji}=\varphi_{ij}^{-1}$。
- すべての $i,j,k$ について $\varphi_{ij}(U_{ij}\cap U_{ik})=U_{ji}\cap U_{jk}$ であり、$U_{ij}\cap U_{ik}$ 上で $\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}=\varphi_{ik}$。
このとき、スキーム $X$ と開埋め込み $\psi_i\colon X_i\to X$ で、$X=\bigcup_i\psi_i(X_i)$、$\psi_i(U_{ij})=\psi_i(X_i)\cap\psi_j(X_j)$、および $U_{ij}$ 上で $\psi_j\circ\varphi_{ij}=\psi_i$ をみたすものが存在する。さらに $(X,\{\psi_i\})$ はこの性質で同型を除いて一意である。すなわち $(X',\{\psi_i'\})$ も同じ性質をみたせば、$g\circ\psi_i=\psi_i'$（すべての $i$）をみたす同型 $g\colon X\to X'$ がただ 1 つ存在する。
位相空間の構成：$Y:=\coprod_iX_i$ を直和（直和位相）とし、その点を $(i,x)$（$x\in X_i$）と書く。$(i,x)\sim(j,y)$ を「$x\in U_{ij}$ かつ $y=\varphi_{ij}(x)$」で定める。$\varphi_{ii}=\mathrm{id}$ から反射律、条件 1 から対称律が従う。推移律：$(i,x)\sim(j,y)\sim(k,z)$ とすると $x\in U_{ij}$、$y=\varphi_{ij}(x)\in U_{ji}\cap U_{jk}$ なので、条件 2 により $x\in\varphi_{ij}^{-1}(U_{ji}\cap U_{jk})=U_{ij}\cap U_{ik}$ であり、$z=\varphi_{jk}(\varphi_{ij}(x))=\varphi_{ik}(x)$、すなわち $(i,x)\sim(k,z)$ である。よって $\sim$ は同値関係であり、$X:=Y/{\sim}$ に商位相を入れ、$\psi_i\colon X_i\to X$ を $x\mapsto[(i,x)]$ とおく。$\psi_i$ は連続である。$(i,x)\sim(i,y)$ は $y=\varphi_{ii}(x)=x$ を意味するので $\psi_i$ は単射である。$V\subset X_i$ を開集合とすると、各 $j$ について $\psi_j^{-1}(\psi_i(V))=\varphi_{ij}(V\cap U_{ij})$ は（$\varphi_{ij}$ が開集合 $U_{ji}$ への同相なので）$X_j$ の開集合であり、したがって $\psi_i(V)$ の $Y$ への逆像は開、すなわち $\psi_i(V)$ は $X$ の開集合である。よって $\psi_i$ は開集合 $V_i:=\psi_i(X_i)$ への同相写像であり、$X=\bigcup_iV_i$ である。$\psi_j\circ\varphi_{ij}=\psi_i$（$U_{ij}$ 上）は $\sim$ の定義そのものである。$\psi_i(U_{ij})\subset V_i\cap V_j$ はこれから従い、逆に $\psi_i(x)=\psi_j(y)$ なら $(i,x)\sim(j,y)$ なので $x\in U_{ij}$、よって $V_i\cap V_j\subset\psi_i(U_{ij})$ である。
構造層の構成：$V_i$ 上の環の層 $\mathcal{F}_i$ を $\mathcal{F}_i(W):=\mathcal{O}_{X_i}(\psi_i^{-1}(W))$（$W\subset V_i$ 開）で定めると、$\psi_i$ は環付き空間の同型 $(X_i,\mathcal{O}_{X_i})\cong(V_i,\mathcal{F}_i)$ を与える。$W\subset V_i\cap V_j$ に対し $\psi_i^{-1}(W)\subset U_{ij}$ であり、$\psi_i=\psi_j\circ\varphi_{ij}$ から $\psi_i^{-1}(W)=\varphi_{ij}^{-1}(\psi_j^{-1}(W))$ なので、$\varphi_{ij}$ に伴う層の射は同型
$$
\theta_{ij}\colon\mathcal{F}_j|_{V_i\cap V_j}\longrightarrow\mathcal{F}_i|_{V_i\cap V_j},\qquad \mathcal{O}_{X_j}(\psi_j^{-1}(W))\xrightarrow{\ (\varphi_{ij})^\sharp\ }\mathcal{O}_{X_i}(\varphi_{ij}^{-1}(\psi_j^{-1}(W)))=\mathcal{O}_{X_i}(\psi_i^{-1}(W))
$$
を定める。$\theta_{ii}=\mathrm{id}$ であり、条件 2 の $\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}=\varphi_{ik}$ から $(\varphi_{ik})^\sharp=(\varphi_{ij})^\sharp\circ(\varphi_{jk})^\sharp$、すなわち $V_i\cap V_j\cap V_k$ 上で $\theta_{ik}=\theta_{ij}\circ\theta_{jk}$ が成り立つ。開集合 $W\subset X$ に対し
$$
\mathcal{O}_X(W):=\Bigl\{(s_i)_{i\in I}\in\prod_i\mathcal{F}_i(W\cap V_i)\ \Bigm|\ \text{すべての }i,j\text{ について }\theta_{ij}\bigl(s_j|_{W\cap V_i\cap V_j}\bigr)=s_i|_{W\cap V_i\cap V_j}\Bigr\}
$$
とおく。成分ごとの演算で $\mathcal{O}_X(W)$ は環であり、成分ごとの制限は $\theta_{ij}$ と可換なので $\mathcal{O}_X$ は環の前層である。層であること：$W=\bigcup_\lambda W_\lambda$ を開被覆とする。一意性は、各成分 $s_i$ が層 $\mathcal{F}_i$ の切断であることから従う。貼り合わせ：$(s_i^\lambda)_i\in\mathcal{O}_X(W_\lambda)$ が重なりで一致する族とすると、各 $i$ について $s_i^\lambda$ は $\mathcal{F}_i$ の切断 $s_i\in\mathcal{F}_i(W\cap V_i)$ に貼り合わさり、$\theta_{ij}(s_j|)$ と $s_i|$ は $W\cap V_i\cap V_j$ の開被覆 $\{W_\lambda\cap V_i\cap V_j\}$ の各元上で一致するので、$\mathcal{F}_i$ の一意性により $W\cap V_i\cap V_j$ 上で一致する。よって $(s_i)_i\in\mathcal{O}_X(W)$ である。
$\mathcal{O}_X|_{V_i}\cong\mathcal{F}_i$ であること：$W\subset V_i$ に対し、第 $i$ 成分への射影 $\pi_i\colon\mathcal{O}_X(W)\to\mathcal{F}_i(W)$ を考える。$s_i\in\mathcal{F}_i(W)$ が与えられたとき、$s_j:=\theta_{ji}(s_i|_{W\cap V_j})$（$j\in I$。$\theta_{ji}=\theta_{ij}^{-1}$）とおくと、$(s_j)_j$ は条件をみたす。実際 $\theta_{jk}(s_k|)=\theta_{jk}\theta_{ki}(s_i|)=\theta_{ji}(s_i|)=s_j|$ である（$W\cap V_j\cap V_k$ 上、添字 $(j,k,i)$ についての上の関係式）。よって $\pi_i$ は全射であり、条件式 $s_j|=\theta_{ji}(s_i|)$ から $(s_j)_j$ は $s_i$ で決まるので $\pi_i$ は単射である。したがって $\pi_i$ は層の同型 $\mathcal{O}_X|_{V_i}\cong\mathcal{F}_i$ であり、$\psi_i$ は環付き空間の同型 $(X_i,\mathcal{O}_{X_i})\cong(V_i,\mathcal{O}_X|_{V_i})$ を与える。
$X$ がスキームであること：各点 $x\in X$ はある $V_i$ に属し、$\mathcal{O}_{X,x}\cong\mathcal{O}_{X_i,\psi_i^{-1}(x)}$ は局所環である。$\psi_i^{-1}(x)$ を含む $X_i$ のアフィン開集合 $U$ をとれば、$\psi_i(U)$ は $x$ を含む $X$ のアフィン開集合である。よって $X$ はスキームであり、$\psi_i$ は開部分スキーム $V_i$ への同型、すなわち開埋め込みである。$U_{ij}$ 上での $\psi_j\circ\varphi_{ij}=\psi_i$ がスキームの射としても成り立つことは、両辺に伴う層の射が $\theta_{ij}$ の定義により一致することによる。
一意性：$(X',\{\psi_i'\})$ も条件をみたすとする。$g_i:=\psi_i'\circ\psi_i^{-1}\colon V_i\to X'$ とおく。$V_i\cap V_j=\psi_i(U_{ij})$ 上で、$\psi_j^{-1}\circ\psi_i=\varphi_{ij}\circ\psi_i^{-1}$（$\psi_i=\psi_j\circ\varphi_{ij}$ から）なので
$$
g_j|_{V_i\cap V_j}=\psi_j'\circ\varphi_{ij}\circ\psi_i^{-1}=\psi_i'\circ\psi_i^{-1}=g_i|_{V_i\cap V_j}
$$
である。lem-scheme-morphism-local により $g_i$ たちは射 $g\colon X\to X'$ に貼り合わさり、$g\circ\psi_i=\psi_i'$ をみたす。同様に $g'\colon X'\to X$ で $g'\circ\psi_i'=\psi_i$ なるものがあり、$g'\circ g$ は各 $V_i$ 上で恒等射なので、同じ補題の一意性により $g'\circ g=\mathrm{id}_X$、同様に $g\circ g'=\mathrm{id}_{X'}$ である。$g$ の一意性も、$g\circ\psi_i=\psi_i'$ が $g|_{V_i}$ を決めることから従う。$\square$
貼り合わせは環付き空間の一般論の一部でもある（環付き空間、Har77 II 演習 2.12、Liu02 §2.3）。ex-scheme-projective-space と ex-scheme-line-two-origins はこの命題の使い方を示す。
環準同型 $A\to B$、$A\to C$ に対し、$\operatorname{Spec}(B\otimes_AC)$ と、$B\to B\otimes_AC$、$C\to B\otimes_AC$ が定める射 $p\colon\operatorname{Spec}(B\otimes_AC)\to\operatorname{Spec}B$、$q\colon\operatorname{Spec}(B\otimes_AC)\to\operatorname{Spec}C$ の組は、$\mathbf{Sch}$ における $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A\leftarrow\operatorname{Spec}C$ のファイバー積である。
$T$ を任意のスキームとし、$\Gamma:=\Gamma(T,\mathcal{O}_T)$ とおく。prop-scheme-hom-to-affine により、$T$ について自然な全単射
$$
\operatorname{Hom}(T,\operatorname{Spec}(B\otimes_AC))\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(B\otimes_AC,\Gamma)
$$
がある。テンソル積の普遍性（$B\otimes_AC$ は $A$ 代数の圏の余積(圏論)である。AM69 第 2 章）により、右辺は環準同型の組 $(\beta,\gamma)$、$\beta\colon B\to\Gamma$、$\gamma\colon C\to\Gamma$ で $A$ 上で一致するもの、すなわち
$$
\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(B,\Gamma)\times_{\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(A,\Gamma)}\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(C,\Gamma)
$$
と 1 対 1 に対応し、対応は $\varphi\mapsto(\varphi|_B,\varphi|_C)$ である。ふたたび prop-scheme-hom-to-affine により、これは
$$
\operatorname{Hom}(T,\operatorname{Spec}B)\times_{\operatorname{Hom}(T,\operatorname{Spec}A)}\operatorname{Hom}(T,\operatorname{Spec}C)
$$
と自然に 1 対 1 に対応し、合成した全単射は $f\mapsto(p\circ f,q\circ f)$ である（$\rho(p\circ f)=f^\sharp\circ\rho(p)$ と $\rho(p)$ が $B\to B\otimes_AC$ であることから）。これは $\operatorname{Spec}(B\otimes_AC)$ が組 $(p,q)$ とともにファイバー積の普遍性をみたすことにほかならない。$\square$
任意のスキームの射 $X\to S$、$Y\to S$ に対し、ファイバー積 $X\times_SY$ が $\mathbf{Sch}$ に存在する。$U\subset X$、$V\subset Y$、$W\subset S$ が $U\to W$、$V\to W$ をみたす開集合なら、$U\times_WV$ は $X\times_SY$ の開部分スキーム $p_1^{-1}(U)\cap p_2^{-1}(V)$ である。
証明は Har77 II.3.3、EGA1 I 3.2、Stacks の Schemes の章「Existence of fibre products of schemes」の節に譲る。筋は次のとおりである。$X,Y,S$ がすべてアフィンなら prop-scheme-fiber-product-affine である。$S$ がアフィンで $X$ が一般のときは、$X$ をアフィン開集合 $X_i$ で覆い、$X_i\times_SY$ を作り、$X_i\cap X_j$ 上のファイバー積が $X_i\times_SY$ と $X_j\times_SY$ の開部分スキームとして共通に現れることを用いて prop-scheme-gluing で貼り合わせる。ここで「開部分スキームのファイバー積は開部分スキーム」という定理の後半の主張を使い、これは普遍性から直接に確かめられる。$Y$ が一般の場合も同じ。$S$ が一般のときは $S$ をアフィン開集合 $S_k$ で覆い、$X_k:=\pi^{-1}(S_k)$、$Y_k$ について $X_k\times_{S_k}Y_k$ を作って貼り合わせる。
ファイバー積の位相空間は位相空間のファイバー積ではない。たとえば $\operatorname{Spec}\mathbb{C}\times_{\operatorname{Spec}\mathbb{R}}\operatorname{Spec}\mathbb{C}=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C})$ であり、$\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\cong\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong\mathbb{C}[x]/(x^2+1)\cong\mathbb{C}[x]/((x-i)(x+i))\cong\mathbb{C}\times\mathbb{C}$（中国剰余定理）なので、これは 2 点からなる。1 点空間どうしの集合のファイバー積は 1 点である。ファイバー積は底変換（$X\times_SS'$）とファイバー（$y\in Y$ に対する $X_y:=X\times_Y\operatorname{Spec}\kappa(y)$）を定義するのに用いる。
$X$ をスキームとする。点 $x\in X$ が閉集合 $Z\subset X$ の生成点（generic point）であるとは、$\{x\}$ の閉包が $Z$ に等しいことをいう（生成点）。点 $x$ が閉点（closed point）であるとは $\{x\}$ が閉集合であることをいう（閉点）。$X$ が体 $k$ 上のスキームのとき、点 $x$ が $k$ 有理点（$k$-rational point）であるとは、$k\to\kappa(x)$ が同型であることをいう（有理点）。一般に体 $K$ に対し、射 $\operatorname{Spec}K\to X$ を $X$ の $K$ 値点（$K$-valued point）といい、その全体を $X(K)$ と書く。$X$ が $k$ 上のスキームで $K$ が $k$ の拡大体のときは、$k$ 射だけを考えて $X(K)$ と書く。
スキーム $X$ の空でない既約閉集合 $Z$ は生成点をただ 1 つもつ。したがって $X$ の点と $X$ の空でない既約閉集合は $x\mapsto\overline{\{x\}}$ により 1 対 1 に対応する。
存在：$Z\cap U\neq\emptyset$ となるアフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ をとる。既約空間の空でない開集合は稠密かつ既約なので、$Z\cap U$ は $U$ の空でない既約閉集合であり、rem-scheme-affine-facts の 5 により $U$ の中で $V(\mathfrak{p})=\overline{\{\mathfrak{p}\}}\cap U$ の形である（$\mathfrak{p}$ は $A$ の素イデアル）。$x:=\mathfrak{p}$ とおくと、$x\in Z$ かつ $Z$ は閉なので $\overline{\{x\}}\subset Z$ であり、逆に $\overline{\{x\}}\supset\overline{Z\cap U}=Z$（$Z\cap U$ は $Z$ で稠密）である。よって $x$ は $Z$ の生成点である。
一意性：$x,x'$ を $Z$ の生成点とし、$x$ を含むアフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ をとる。$Z\cap U$ は $Z$ の空でない開集合であり、$\overline{\{x'\}}=Z$ なので $x'$ は $Z$ のすべての空でない開集合に属し、とくに $x'\in U$ である。$U$ の中で $x,x'$ の閉包はともに $Z\cap U$ なので、rem-scheme-affine-facts の 5 により $x=x'$ である。$\square$
$X$ をスキーム、$K$ を体とする。射 $g\colon\operatorname{Spec}K\to X$ に対し、$x:=g(\ast)$（$\ast$ は $\operatorname{Spec}K$ の唯一の点）と、茎の写像 $g^\sharp_\ast\colon\mathcal{O}_{X,x}\to K$ が誘導する体の準同型 $\iota\colon\kappa(x)\to K$ を対応させる写像は、$\operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}}(\operatorname{Spec}K,X)$ から、組 $(x,\iota)$（$x\in X$、$\iota\colon\kappa(x)\to K$ は体の準同型）の全体への全単射である。とくに、体 $k$ 上のスキーム $X$ の $k$ 有理点は $k$ 射 $\operatorname{Spec}k\to X$ と 1 対 1 に対応する。
まず対応が定義できることを確かめる。$g^\sharp_\ast\colon\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}K,\ast}=K$ は局所準同型であり、$K$ の極大イデアルは $0$ なので $(g^\sharp_\ast)^{-1}(0)=\mathfrak{m}_x$、すなわち $\ker g^\sharp_\ast=\mathfrak{m}_x$ である。よって $g^\sharp_\ast$ は単射 $\iota\colon\kappa(x)=\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x\to K$ を誘導する。
逆写像の構成：組 $(x,\iota)$ が与えられたとする。$x$ を含むアフィン開集合 $U\cong\operatorname{Spec}A$ をとり、$x$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とする。環準同型 $\varphi\colon A\to A_{\mathfrak{p}}\to\kappa(\mathfrak{p})=\kappa(x)\xrightarrow{\iota}K$ に対応する射 $\operatorname{Spec}\varphi\colon\operatorname{Spec}K\to\operatorname{Spec}A\cong U$ と開埋め込み $U\to X$ の合成を $g$ とおく。$\operatorname{Spec}\varphi$ は点 $\ast=(0)$ を $\varphi^{-1}(0)$ に送るが、$\iota$ と $A_{\mathfrak{p}}\to\kappa(\mathfrak{p})$ の核が $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ であることから $\varphi^{-1}(0)=\mathfrak{p}$ である。よって $g(\ast)=x$ であり、茎の写像 $g^\sharp_\ast\colon A_{\mathfrak{p}}\to K$ は $\varphi$ の局所化 $A_{\mathfrak{p}}\to K$、すなわち $A_{\mathfrak{p}}\to\kappa(\mathfrak{p})\xrightarrow{\iota}K$ である（rem-scheme-affine-facts の 4 の $\operatorname{Spec}\varphi$ の茎の記述）。したがって $g$ に対応する組は $(x,\iota)$ である。
$g$ の一意性：$g'\colon\operatorname{Spec}K\to X$ が組 $(x,\iota)$ を与えるとする。$g'(\ast)=x\in U$ なので $g'$ は $U$ を通り、$g'|\colon\operatorname{Spec}K\to U\cong\operatorname{Spec}A$ は rem-scheme-affine-facts の 4 によりある環準同型 $\varphi'\colon A\to K$ に対応し、$\varphi'$ は大域切断の写像 $A\to K$ である。大域切断の写像は茎の写像と両立するので、$\varphi'$ は $A\to A_{\mathfrak{p}}\xrightarrow{g'^\sharp_\ast}K$ に等しく、$g'^\sharp_\ast$ は $A_{\mathfrak{p}}\to\kappa(x)\xrightarrow{\iota}K$ である。よって $\varphi'=\varphi$ となり $g'=g$ である。
最後の主張：$X$ が $k$ 上のスキームのとき、$k$ 射 $\operatorname{Spec}k\to X$ は、上の対応で組 $(x,\iota)$ であって $\iota\colon\kappa(x)\to k$ と構造射から来る $k\to\kappa(x)$ の合成が $\mathrm{id}_k$ であるものに対応する。体の準同型は単射なので、このとき $\iota$ は同型 $\kappa(x)\cong k$ であり、$x$ は $k$ 有理点である。逆に $x$ が $k$ 有理点なら $\iota$ は $k\to\kappa(x)$ の逆写像と一意に決まる。$\square$
$X:=\mathbb{A}^1_{\mathbb{R}}=\operatorname{Spec}\mathbb{R}[t]$ の点は、$(0)$（生成点、$\kappa=\mathbb{R}(t)$）と、モニックな既約多項式 $p(t)$ に対する閉点 $(p(t))$ である。$p(t)=t-a$（$a\in\mathbb{R}$）なら $\kappa=\mathbb{R}$ で $\mathbb{R}$ 有理点、$p(t)=t^2+bt+c$（$b^2<4c$）なら $\kappa=\mathbb{R}[t]/(p)\cong\mathbb{C}$ である。prop-scheme-hom-to-affine により $X(\mathbb{C})=\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}\text{-alg}}(\mathbb{R}[t],\mathbb{C})=\mathbb{C}$ であり、$z\in\mathbb{C}$ に対応する射 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}\to X$ の像は $z$ の最小多項式が生成する素イデアルである。$z\in\mathbb{R}$ なら像は $\mathbb{R}$ 有理点 $(t-z)$、$z\notin\mathbb{R}$ なら像は $(t^2-2(\operatorname{Re}z)t+|z|^2)$ で、$z$ と $\bar z$ が同じ点に写る。これは prop-scheme-points-field の「点 $x$ と埋め込み $\kappa(x)\to\mathbb{C}$ の組」で、$\kappa(x)\cong\mathbb{C}$ の $\mathbb{R}$ 上の埋め込みが $2$ 個あることに対応する。生成点には $\mathbb{C}$ 値点が対応しない。$\mathbb{R}(t)$ は $\mathbb{R}$ 上超越的な元をもつが $\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ 上代数的なので、$\mathbb{R}$ 上の体の準同型 $\mathbb{R}(t)\to\mathbb{C}$ が存在しないからである。
スキーム $X$ に対し、反変関手
$$
h_X:=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}}(-,X)\colon\mathbf{Sch}^{\mathrm{op}}\longrightarrow\mathbf{Set}
$$
を $X$ の点関手（functor of points）といい、スキーム $T$ に対し $X(T):=h_X(T)$ の元を $X$ の $T$ 値点という。可換環 $A$ に対しては $X(A):=X(\operatorname{Spec}A)$ と書く。prop-scheme-hom-to-affine により、$X=\operatorname{Spec}B$ なら $X(A)=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(B,A)$ である。
米田の補題により、$X\mapsto h_X$ は $\mathbf{Sch}$ から関手圏 $\operatorname{Fun}(\mathbf{Sch}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set})$ への充満忠実関手である。すなわち射 $X\to Y$ は自然変換 $h_X\to h_Y$ と同じものであり、$X$ は $h_X$ から同型を除いて決まる。ファイバー積の定義は $(X\times_SY)(T)=X(T)\times_{S(T)}Y(T)$ と言い換えられる。さらに $h_X$ をアフィンスキームの圏（可換環の圏の反対圏）に制限しても充満忠実性は保たれる（EH00 VI.1、Stacks の Schemes の章「A representability criterion」の節。本記事では証明しない。lem-scheme-morphism-local と、$h_X$ が Zariski 位相について層であることを使う）。したがって、スキーム $X$ は可換環 $A$ ごとの集合 $X(A)$ とその関手性で完全に決まる。この見方が関手的観点であり、群スキーム・Picardスキーム・モジュライ問題では、まず関手を定義してから表現可能関手であるかを問う。
例として、$\mathbb{A}^1:=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[t]$ は $\mathbb{A}^1(T)=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb{Z}[t],\Gamma(T,\mathcal{O}_T))=\Gamma(T,\mathcal{O}_T)$、$\mathbb{G}_m:=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$ は $\mathbb{G}_m(T)=\Gamma(T,\mathcal{O}_T)^\times$ である（prop-scheme-hom-to-affine）。後者は群に値をもつ関手であり、$\mathbb{G}_m$ は群スキームである。
関連項目
参考文献
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