同時スペクトル

前提知識: Banach代数, 岡–Weilの近似定理, Banach環とC*-環のスペクトル理論

1 つの元 $a$ のスペクトルは、$\lambda1_A-a$ が逆元をもたない複素数 $\lambda$ の集合である。可換な Banach 代数で何個かの元 $a_1,\dots,a_n$ をまとめて考えると、$a_1-\lambda_11_A,\dots,a_n-\lambda_n1_A$ の生成するイデアルが $1_A$ を含まないかどうかで、点 $\lambda\in\mathbb C^n$ を選ぶことができる。これが同時スペクトル（joint spectrum）である。文字（積を保つ線形汎関数）で見ると、同時スペクトルは文字が組 $(a_1,\dots,a_n)$ にとる値の組の全体であり、各 $a_j$ のスペクトルの直積より一般に小さい。
$a_1,\dots,a_n$ が代数を生成するとき、すなわち $a_j$ の多項式の全体が稠密なとき、同時スペクトルは文字空間と同相で、しかも多項式凸になる。抽象的に定義された文字空間が、$\mathbb C^n$ の具体的なコンパクト集合として実現されるわけである。生成しない元の組では、同時スペクトルは多項式凸とは限らない。この定理から、$n$ 個（$n\ge1$）の元で生成される代数の文字空間では $n$ 次以上の複素係数の Čech コホモロジーが消えること、$n$ 次元球面の上の連続関数の環を生成するにはちょうど $n+1$ 個の元が要ることが従う。同時スペクトルは、多変数の正則関数を Banach 代数の元に代入する 多変数の正則汎関数計算 の土台でもある。

設定と定義

この記事の Banach 代数は、Banach代数 の定義「単位的 Banach 代数」のもの（単位元 $1_A$ をもち、$\|ab\|\le\|a\|\|b\|$、$\|1_A\|=1$）で、さらに可換で零でないものとする。$\chi(1_A)=1$ を満たし積を保つ複素線形写像 $\chi\colon A\to\mathbb C$ を文字といい、その全体を $M(A)$ と書いて、Banach代数 の定義「文字空間」の位相（すべての評価 $\chi\mapsto\chi(a)$ を連続にする最も弱い位相）を入れる。$M(A)$ はコンパクト Hausdorff 空間であり（同記事の定理「文字空間はコンパクト Hausdorff」）、各文字は $|\chi(a)|\le\|a\|$ を満たす（同記事の命題「文字の値はスペクトルに入る」）。$a\in A$ の Gelfand 変換を $\hat a(\chi):=\chi(a)$ と書く。

これは Banach代数 の定義「有限個の元の同時スペクトル」と同じものである。$I_\lambda$ は閉包をとらない代数的なイデアルとして定めた。ただし閉包をとっても集合は変わらない。実際、$\|1_A-c\|< 1$ なら $c=1_A-(1_A-c)$ は Neumann 級数で可逆なので、$1_A$ を含まないイデアルの元はどれも $1_A$ から距離 $1$ 以上離れており、そのイデアルの閉包も $1_A$ を含まない。$n=1$ では、$(a_1-\lambda1_A)A\ne A$ は（可換性から）$a_1-\lambda1_A$ が可逆でないことと同じなので、通常のスペクトル $\sigma_A(a_1)$ に戻る。
同時スペクトルは、どの代数の中で $1_A$ を書き表すかに依る。$B\subset A$ を $1_A$ を含む閉部分代数とし、$a\in B^n$ とすると、$B$ の元で $1_A=\sum(a_j-\lambda_j1_A)b_j$ と書ければ $A$ の元でも書けるので、$\sigma_A(a)\subset\sigma_B(a)$ である。等号は一般には成り立たない（下の ex-js-disc-wiener の後の注意）。

文字による記述

Banach代数 の定理「同時スペクトルは文字の値の組」により、
$$ \sigma_A(a_1,\dots,a_n)=\{(\chi(a_1),\dots,\chi(a_n)):\chi\in M(A)\} $$
であり、これは $\mathbb C^n$ の空でないコンパクト集合で、多重円板 $\{\lambda:|\lambda_j|\le\|a_j\|\ (j=1,\dots,n)\}$ に含まれる。証明の要は、$\lambda\in\sigma_A(a)$ なら真のイデアル $I_\lambda$ を含む極大イデアルが文字の核になることである。写像
$$ \hat a\colon M(A)\to\mathbb C^n,\qquad\chi\mapsto(\chi(a_1),\dots,\chi(a_n)) $$
を使えば $\sigma_A(a)=\hat a(M(A))$ と書ける。この記述から次がすぐに出る。

2 で $m=n=1$ とすれば、1 変数の多項式のスペクトル写像定理 $\sigma_A(P(a_1))=P(\sigma_A(a_1))$ が（可換な場合に）得られる。

この証明は文字の分類を使わず、イデアルの定義から直接計算している。複素共役 $\overline{f_j-\lambda_j}$ が $C(K)$ に入ることが要点で、共役で閉じていない部分代数では同じ計算はできない。

生成系と多項式凸性

$P(a)$ の全体は $1_A$ と $a_1,\dots,a_n$ を含む部分代数で、和と積の連続性からその閉包は閉部分代数である。$1_A$ と $a_j$ を含む閉部分代数はこの閉包を含むので、「生成する」とは「$1_A$ と $a_1,\dots,a_n$ を含む最小の閉部分代数が $A$ 自身である」ことと同じである。
コンパクト集合 $K\subset\mathbb C^n$ の多項式凸包と多項式凸性は、岡–Weilの近似定理 の定義「多項式凸包と多項式凸」の意味で使う：
$$ \widehat K:=\{z\in\mathbb C^n:|P(z)|\le\sup_K|P|\ \text{（すべての多項式 }P\text{）}\}, $$
$\widehat K=K$ のとき $K$ は多項式凸である。記号 $\widehat{\ }$ は、集合に付けば多項式凸包、代数の元に付けば Gelfand 変換を表す。

この定理は、生成系をひとつ選べば文字空間 $M(A)$ を $\mathbb C^n$ の多項式凸なコンパクト集合と同一視でき、その同一視のもとで Gelfand 変換がすべて多項式の一様極限になる、と言っている。下の ex-js-polynomial-algebra は逆向きの主張、すなわち空でない多項式凸なコンパクト集合はどれも生成系の同時スペクトルとして現れることを示す。
3 は Gelfand 変換 $b\mapsto\hat b$ が単射であることまでは主張しない。たとえば $A=\mathbb C1_A\oplus\mathbb C\varepsilon$（$\varepsilon^2=0$、$\|\alpha1_A+\beta\varepsilon\|:=|\alpha|+|\beta|$）は $\varepsilon$ ひとつで生成され、$K=\sigma_A(\varepsilon)=\{0\}$ であるが、文字は $\chi(\alpha1_A+\beta\varepsilon)=\alpha$ だけなので $\hat\varepsilon=0$ である（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の例「反例：一般のGelfand変換は単射とは限らない」）。

例

1 と 3 から、部分代数で測ると同時スペクトルが大きくなる例も得られる。$A(\overline{\mathbb D})$ を $\mathbb T$ への制限で $C(\mathbb T)$ の閉部分代数とみると（同記事の命題「円板代数は Banach 環」）、$\sigma_{C(\mathbb T)}(z)=\mathbb T$ だが $\sigma_{A(\overline{\mathbb D})}(z)=\overline{\mathbb D}$ である。

$\widehat K$ の内部では $G$ は正則である（同じ命題）。$C_A(K)$ の元は $K$ 上の連続関数であるのに、文字空間は $K$ より大きい $\widehat K$ に広がる。ex-js-continuous の $C(K)$ では文字空間が $K$ のままであるのと対照的で、違いは複素共役で閉じているかどうかにある。$K=\mathbb T$ なら $C_A(\mathbb T)$ は $A(\overline{\mathbb D})$ と等長同型になる。

応用：文字空間のコホモロジー

次の定理は多変数複素解析の結果で、この記事では証明しない。$\check H^r(K,\mathbb C)$ は定数層 $\mathbb C$ に係数をもつ Čech コホモロジー（Čechコホモロジー）である。

$n=0$ では結論は成り立たない。$0$ 個の元で生成されるとは $\mathbb C1_A$ が稠密であることで、$\mathbb C1_A$ は有限次元なので閉であり、$A=\mathbb C1_A$、$M(A)$ は 1 点、$\check H^0(M(A),\mathbb C)=\mathbb C\ne0$ である。

仮定を外したときの反例

2 行目：$\sigma(x^2)=[0,1]$ は多項式凸だが（補集合が連結な平面のコンパクト集合）、$x$ と $-x$ での値という異なる文字が同じ値 $x^2$ をとる。多項式凸性は保たれても、同相の主張が崩れる。4 行目：$C_A(\mathbb T)$ は $C(\mathbb T)$ の閉部分代数で複素共役で閉じておらず、$z$ の同時スペクトルは $z(\mathbb T)=\mathbb T$ でなく $\widehat{\mathbb T}=\overline{\mathbb D}$ である（ex-js-polynomial-algebra）。ex-js-continuous の証明で $\overline{f_j-\lambda_j}$ を掛けた段が使えなくなる。

補足

thm-js-generators は Hor90 Theorem 3.1.15（p. 66）、cor-js-cech と球面の例は同 Corollary 3.1.16 と直後の例（p. 67）に対応する。同時スペクトルの近傍で正則な関数を元の組に代入する定理は 多変数の正則汎関数計算 にある。そこでは、同時スペクトルが近傍に収まるように有限個の元を付け足した生成系を選び、thm-js-generators の証明の評価を使う。

関連項目

• 前提: Banach代数, 岡–Weilの近似定理, Banach環とC*-環のスペクトル理論
• 例: 円板代数とWiener代数, Stone–Weierstrassの定理
• 比較: スペクトル写像定理, Runge領域, Gelfand–Mazurの定理
• 発展: 多変数の正則汎関数計算, Čechコホモロジー