部分多様体

(a) ⇒ (b)：$p$ のまわりのスライス座標 $(V,\psi)$、$\psi=(y^1,\dots,y^n)$ をとり、$U:=V$、$\Phi:=(y^{k+1},\dots,y^n)\colon V\to\mathbb{R}^{n-k}$ とおく。座標近傍 $\psi$ に関する $\Phi$ の局所表示は最後の $n-k$ 成分への射影であり、その Jacobi 行列 $\begin{pmatrix}0&I_{n-k}\end{pmatrix}$ の階数は $n-k$ なので、$\Phi$ は沈め込みである。スライス座標の条件により、$q\in V$ が $S$ に属することと $\Phi(q)=0$ は同値であり、$V\cap S=\Phi^{-1}(0)$ である。
(b) ⇒ (a)：$U$ は $N$ の開部分多様体であり、$\Phi$ は沈め込みなので $0$ は $\Phi$ の正則値である。正則値定理 の記事の定理（正則値定理）により、$\Phi^{-1}(0)=U\cap S$（$p$ を含むので空でない）は $U$ の $n-(n-k)=k$ 次元部分多様体である。$p$ のまわりの $U\cap S$ の $k$ スライス座標 $(V,\psi)$ をとると、$V\subset U$ は $N$ の開集合で、$V\cap S=V\cap(U\cap S)$ なので、$(V,\psi)$ は $S$ の $k$ スライス座標でもある。最後の主張の $T_qS=\ker d\Phi_q$ も同じ定理の 2 である（部分多様体の構造は一意なので、$U\cap S$ の構造は $S$ の構造の開集合への制限と一致する）。
(a) ⇒ (d)：$p$ のまわりのスライス座標 $(V,\psi)$ をとり、$U:=V$、$W:=\{u\in\mathbb{R}^k\mid(u,0)\in\psi(V)\}$、$\varphi(u):=\psi^{-1}(u,0)$ とおく。$W$ は連続写像 $u\mapsto(u,0)$ による開集合 $\psi(V)$ の逆像なので開集合である。$\varphi(W)=\psi^{-1}\bigl(\psi(V)\cap(\mathbb{R}^k\times\{0\})\bigr)=V\cap S$ である。$\varphi$ の $\psi$ に関する局所表示は $u\mapsto(u,0)$ で、Jacobi 行列の階数は $k$ なので $\varphi$ ははめ込みであり、$\varphi$ は単射で、$V\cap S$ の上の逆写像 $\pi\circ\psi$ は連続である。よって $\varphi$ は像への同相写像であり、埋め込みである。
(d) ⇒ (a)：はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の記事の定理（埋め込みの像は部分多様体）により、$\varphi(W)$ は $N$ の $k$ 次元部分多様体である。$p$ のまわりの $\varphi(W)$ のスライス座標 $(V',\psi')$ をとり、$V:=V'\cap U$、$\psi:=\psi'|_V$ とおく。$\varphi(W)=U\cap S$ なので $V\cap S=V'\cap(U\cap S)=V'\cap\varphi(W)$ であり、
$$ \psi(V\cap S)=\psi'(V'\cap\varphi(W))\subset\psi(V)\cap(\mathbb{R}^k\times\{0\})\subset\psi'(V')\cap(\mathbb{R}^k\times\{0\})=\psi'(V'\cap\varphi(W)) $$
となる（最初の包含は $V'\cap\varphi(W)\subset V$ による）。両端が等しいので $(V,\psi)$ は $S$ の $k$ スライス座標である。
(a) ⇒ (c) と (c) ⇒ (a)：要点は、(a) ⇒ (c) では埋め込み $\varphi$ を座標で表した $h=\chi_0\circ\varphi$ の $k$ 個の成分に逆関数定理を当ててパラメータを座標の一部に取り替えること、(c) ⇒ (a) ではグラフを $(x,y)\mapsto(x,\,y-g(x))$ で平らにすることである。

各点 $p\in S$ はあるスライス座標の定義域に属するので、$S\subset W$ である。スライス座標 $(V,\psi)$ について $V\setminus S=\psi^{-1}\bigl(\psi(V)\setminus(\mathbb{R}^k\times\{0\})\bigr)$ であり、$\mathbb{R}^k\times\{0\}$ は $\mathbb{R}^n$ の閉集合なので、$V\setminus S$ は開集合である。よって $W\setminus S=\bigcup_V(V\setminus S)$ は開集合であり、$S=W\setminus(W\setminus S)$ は $W$ の閉集合である。したがって $S=W\cap C$（$C:=N\setminus(W\setminus S)$ は閉集合）と書ける。$\overline S\subset C$ なので $S=W\cap\overline S$ であり、$S$ は $\overline S$ の開集合である。$\square$

$S$ が閉集合とする。$K\subset N$ がコンパクトなら、$\iota^{-1}(K)=K\cap S$ はコンパクト集合 $K$ の閉部分集合なのでコンパクトである（$S$ には部分空間位相が入っているので、$S$ の部分集合としてもコンパクトである）。
逆に $\iota$ が固有であるとし、$x\in\overline S$ をとる。$N$ は局所 Euclid なので、$x$ はコンパクトな近傍 $K$ をもつ。$K\cap S=\iota^{-1}(K)$ はコンパクトであり、$N$ は Hausdorff なので閉集合である。$x$ の任意の近傍 $U$ について、$U\cap\operatorname{int}K$ は $x$ の近傍なので $S$ と交わり、したがって $U$ は $K\cap S$ と交わる。よって $x\in\overline{K\cap S}=K\cap S\subset S$ であり、$S$ は閉集合である。$\square$

局所的な延長。$p\in S$ のまわりの $k$ スライス座標 $(V,\psi)$ をとり、$W_V:=\{u\in\mathbb{R}^k\mid(u,0)\in\psi(V)\}$（開集合）とおく。$(V\cap S,\ \pi\circ\psi)$ は $S$ の座標近傍で、その逆写像は $u\mapsto\psi^{-1}(u,0)$ なので、$f_V(u):=f(\psi^{-1}(u,0))$ は $W_V$ 上の $C^\infty$ 級関数である（$f$ の局所表示）。$V_p:=V\cap(\pi\circ\psi)^{-1}(W_V)$ は $p$ を含む開集合であり（$\psi(p)=(\pi\psi(p),0)\in\psi(V)$ より $\pi\psi(p)\in W_V$）、
$$ \tilde f_p(y):=f_V\bigl(\pi(\psi(y))\bigr)\qquad(y\in V_p) $$
は $C^\infty$ 級関数の合成なので $C^\infty$ 級である。$y\in V_p\cap S$ なら $\psi(y)=(\pi\psi(y),0)$ なので $\psi^{-1}(\pi\psi(y),0)=y$ であり、$\tilde f_p(y)=f(y)$ である。
貼り合わせ。1 を示す。$W:=\bigcup_{p\in S}V_p$ とおくと、$W$ は $S$ を含む開集合である。prf-submfd-locally-closed と同じく、$V_p\setminus S=V_p\cap(V\setminus S)$ は開集合なので、$S$ は $W$ の閉集合である。開部分多様体 $W$、その閉集合 $S$、関数 $f$、各点 $p$ の開近傍 $V_p$ とその上の延長 $\tilde f_p$ に 1の分割 の記事の定理（滑らかな関数の延長）を当てると、$C^\infty$ 級関数 $\tilde f\colon W\to\mathbb{R}$ で $\tilde f|_S=f$ となるものが得られる。2 では $S$ は $N$ の閉集合なので、同じ定理を $N$ そのものに当てればよい。$\square$

包含写像を $j\colon T\hookrightarrow S$、$\iota\colon S\hookrightarrow N$ とする。$T$ の位相は、$S$ からの部分空間位相としても $N$ からの部分空間位相としても同じである（部分空間の部分空間は部分空間）。
1：$j$ と $\iota$ は埋め込みである。連鎖律により $d(\iota\circ j)_q=d\iota_q\circ dj_q$ は単射の合成なので単射であり、$\iota\circ j$ は $T$ からその像 $T$ への同相写像である。よって $\iota\circ j$ は埋め込みであり、はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の記事の定理（埋め込みの像は部分多様体）により $T$ は $N$ の部分多様体である。同じ記事の系（部分多様体の微分構造は一意）により、包含写像が埋め込みとなる $T$ の構造は一つなので、2 つの構造は一致する。
2：$T$ に $N$ の部分多様体としての構造を入れる。包含写像 $T\hookrightarrow N$ は $C^\infty$ 級で像は $S$ に含まれるので、はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の記事の命題（終域を部分多様体に制限する）により $j\colon T\to S$ は $C^\infty$ 級である。$d\iota\circ dj$ は $T\hookrightarrow N$ の微分なので単射であり、$dj$ も単射である。$j$ は $T$ から部分空間 $T\subset S$ への恒等写像として同相写像なので、$j$ は埋め込みであり、$T$ は $S$ の部分多様体である。$\square$