Cartier因子
概要
Cartier因子（Cartier divisor）とは、スキーム $X$ の上で局所的に 1 つの可逆な有理関数（局所方程式）で与えられる因子、すなわち商層 $\mathcal{K}_X^\times/\mathcal{O}_X^\times$ の大域切断のことである。局所方程式の逆数で生成される部分層 $\mathcal{O}_X(D)$ は可逆層であり、線型同値類の群 $\operatorname{CaCl}(X)$ から Picard 群への単射準同型を与え、$X$ が整スキームなら同型になる。正規スキームでは Weil 因子の群に単射に埋め込まれ、正則スキームでは両者が一致するが、2 次錐 $xy=z^2$ の直線のように Cartier でない Weil 因子もある。有効 Cartier 因子は、イデアル層が局所的に 1 つの非零因子で生成される閉部分スキームにほかならない。
前提知識: スキーム, 層, 可逆層, Picard群, 因子, 局所環, 整域
定義
Cartier 因子は、スキーム $X$ の上で「局所的に 1 つの方程式で与えられる因子」を層の言葉で定めたものである。有理関数の層 $\mathcal{K}_X$ を先に定め、その可逆元の層を構造層の可逆元の層で割った商層の大域切断として定義する。
$X$ をスキームとする。開集合 $U\subset X$ に対し、$\mathcal{O}_X(U)$ の元 $s$ であって、すべての点 $x\in U$ における芽 $s_x\in\mathcal{O}_{X,x}$ が非零因子であるもの全体を $S(U)$ とおく。$S(U)$ は乗法的閉集合であり、前層 $U\mapsto S(U)^{-1}\mathcal{O}_X(U)$（局所化）の層化を $\mathcal{K}_X$ と書き、$X$ の全商環の層または有理関数の層（sheaf of meromorphic functions）という。$\mathcal{K}_X$ の可逆元のなす層（$\mathcal{K}_X$ の各切断の芽がすべて単元であるものの層）を $\mathcal{K}_X^\times$、構造層 $\mathcal{O}_X$ の可逆元の層を $\mathcal{O}_X^\times$ と書く。$\mathcal{O}_X\to\mathcal{K}_X$ は単射であり、$\mathcal{O}_X^\times\subset\mathcal{K}_X^\times$ は乗法群の層の部分層である。
$X$ が整スキーム（既約かつ被約スキーム）で関数体 $K=\mathcal{O}_{X,\eta}$（$\eta$ は生成点）をもつときは、$\mathcal{K}_X$ は $K$ を値にもつ定数層、$\mathcal{K}_X^\times$ は $K^\times$ を値にもつ定数層である。実際、整スキームの空でない開集合はすべて既約なので連結（連結空間）であり、空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ 上では $A$ は整域で $0$ 以外の元がすべて非零因子だから $S(U)^{-1}A=\operatorname{Frac}A=K$ となる。
スキーム $X$ のCartier 因子（Cartier divisor）とは、商層 $\mathcal{K}_X^\times/\mathcal{O}_X^\times$ の大域切断、すなわち
$$
\operatorname{CaDiv}(X):=\Gamma(X,\mathcal{K}_X^\times/\mathcal{O}_X^\times)
$$
の元のことをいう。商層の切断の記述により、Cartier 因子 $D$ は $X$ の開被覆 $\{U_i\}_{i\in I}$ と切断 $f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal{K}_X^\times)$ の族であって
$$
f_i/f_j\in\Gamma(U_i\cap U_j,\mathcal{O}_X^\times)\qquad(i,j\in I)
$$
をみたすものとして与えられ、$\{(U_i,f_i)\}$ と $\{(V_j,g_j)\}$ は、各 $U_i\cap V_j$ 上で $f_i/g_j$ が $\mathcal{O}_X^\times$ の切断であるとき同じ Cartier 因子を定める。$f_i$ を $D$ の $U_i$ 上の局所方程式（local equation）という。$\mathcal{K}_X^\times/\mathcal{O}_X^\times$ は乗法的に書かれるアーベル群の層であるが、Cartier 因子の群は慣習により加法的に書く。すなわち $\{(U_i,f_i)\}$ と $\{(U_i,g_i)\}$ の和 $D+E$ は $\{(U_i,f_ig_i)\}$ であり、$-D$ は $\{(U_i,f_i^{-1})\}$ である。
大域切断 $f\in\Gamma(X,\mathcal{K}_X^\times)$ の像として得られる Cartier 因子（開被覆として $\{X\}$、局所方程式として $f$ をとったもの）を $f$ の主因子（principal divisor）といい、$\operatorname{div}(f)$ と書く。$\operatorname{div}\colon\Gamma(X,\mathcal{K}_X^\times)\to\operatorname{CaDiv}(X)$ は群準同型であり、その像を主因子の群という。2 つの Cartier 因子 $D,E$ は、$D-E$ が主因子であるとき線型同値（linearly equivalent）であるといい、$D\sim E$ と書く。線型同値類のなす群
$$
\operatorname{CaCl}(X):=\operatorname{CaDiv}(X)/\{\operatorname{div}(f)\mid f\in\Gamma(X,\mathcal{K}_X^\times)\}
$$
を $X$ の Cartier 因子類群という。Cartier 因子は局所的には主因子であるから、局所主因子（locally principal divisor）ともいう。
Cartier 因子 $D$ が有効（effective）であるとは、$D$ を表す局所方程式 $f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal{K}_X^\times)$ をすべて $\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$ の元（各点の芽が非零因子である正則関数）にとれることをいい、$D\ge0$ と書く。このとき、$U_i$ 上で $f_i$ の生成するイデアル層 $\mathcal{I}_D\subset\mathcal{O}_X$ は $f_i$ の取り方によらず貼り合わさり（$f_i/f_j$ が単元だから）、これを $\mathcal{O}_X(-D)$ とも書く。$\mathcal{I}_D$ の定める閉部分スキームを $D$ と同一視し、その台、すなわち $f_i$ の芽が $\mathcal{O}_{X,x}$ の単元でない点 $x$ の全体（閉集合）を $D$ の台 $\operatorname{Supp}D$ という。逆に、$X$ の閉部分スキーム $Y$ であって、そのイデアル層が局所的に 1 つの非零因子で生成されるものは、その局所生成元を局所方程式とする有効 Cartier 因子とみなす。$D-E\ge0$ のとき $D\ge E$ と書く。
「イデアル層が局所的に 1 元生成」だけでは足りず、生成元が非零因子であることが本質である（ex-cartier-divisor-reducible の $y$ 軸 $V(x)$）。
Cartier 因子 $D=\{(U_i,f_i)\}$ に対し、$\mathcal{K}_X$ の部分 $\mathcal{O}_X$ 加群層 $\mathcal{O}_X(D)$ を、$U_i$ 上で $f_i^{-1}$ が生成する部分層
$$
\mathcal{O}_X(D)|_{U_i}:=f_i^{-1}\mathcal{O}_{U_i}\subset\mathcal{K}_X|_{U_i}
$$
を貼り合わせたものとして定める。$f_i/f_j$ が単元だから $U_i\cap U_j$ 上で $f_i^{-1}\mathcal{O}=f_j^{-1}\mathcal{O}$ であり、$D$ を表す族の取り替えでも同じ部分層が得られる。$\mathcal{O}_X(D)$ は可逆層である（prop-cartier-divisor-invertible）。$X$ が整スキームなら、$\mathcal{O}_X(D)$ の開集合 $U$ 上の切断は、$U\cap U_i$ 上で $f_ig\in\mathcal{O}_X(U\cap U_i)$ となる $g\in K$ 全体である。
$D$ が有効なら $\mathcal{O}_X(-D)=\mathcal{I}_D\subset\mathcal{O}_X$ であり、def-cartier-divisor-effective の記号と一致する。また $1\in\Gamma(X,\mathcal{K}_X)$ は $\mathcal{O}_X(D)$ の大域切断であり、その零点スキームが $D$ である（prop-cartier-divisor-effective-section）。
$\varphi\colon X'\to X$ をスキームの射、$D=\{(U_i,f_i)\}$ を $X$ の Cartier 因子とする。各 $i$ について $f_i$ の $\varphi^{-1}(U_i)$ 上への像 $\varphi^\#(f_i)$ が $\Gamma(\varphi^{-1}(U_i),\mathcal{K}_{X'}^\times)$ の元として意味をもつとき（すなわち $f_i$ を局所的に $a/b$（$a,b$ は非零因子）と書いたとき $\varphi^\#(a),\varphi^\#(b)$ がふたたび各点で非零因子であるとき）、$\{(\varphi^{-1}(U_i),\varphi^\#(f_i))\}$ は $X'$ の Cartier 因子を定める。これを $D$ の引き戻し（引き戻し）といい $\varphi^*D$ と書く。このとき $\varphi^*\mathcal{O}_X(D)\cong\mathcal{O}_{X'}(\varphi^*D)$ である。
引き戻しが定義されるのは、たとえば $\varphi$ が平坦射のとき（平坦な環準同型は非零因子を非零因子に移す）、または $X'$ が整スキームで $D$ が有効かつ $\varphi(X')\not\subset\operatorname{Supp}D$ のときである。一般には $\varphi^\#(f_i)$ が零因子になりうるので $\varphi^*D$ は定義されないが、可逆層の引き戻し $\varphi^*\mathcal{O}_X(D)$ と $\varphi^*\colon\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname{Pic}(X')$ はつねに存在する。たとえば $\mathbb{P}^2$ の直線 $H$ を包含 $H\hookrightarrow\mathbb{P}^2$ で引き戻すことは Cartier 因子としてはできないが、$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(H)|_H=\mathcal{O}_H(1)$ は意味をもつ。この不便を解消するために Fulton Ful98 2.2 は擬因子（pseudo-divisor）を導入している。
直感
Riemann面の因子は「各点にその点での零点・極の位数を割り当てたもの」であり、有理型関数 $f$ の因子 $\operatorname{div}(f)$ が典型例である。$1$ 次元では点と「局所方程式 $z-a$」が一対一に対応するので、因子を「点の形式和」で書いても「局所方程式の族」で書いても同じである。高次元のスキームではこの 2 つの書き方が分かれる。余次元 $1$ の既約閉集合の形式和として書くのが Weil因子（因子 の記事も参照）であり、局所方程式の族として書くのが Cartier 因子である。Cartier 因子は「どの点の近くでも 1 つの方程式 $f_i=0$（極を許す）で定義され、隣り合う方程式は単元倍しか違わない」という条件で定義されるから、方程式 $f_i$ の逆数を貼り合わせて可逆層 $\mathcal{O}_X(D)$ が作れる。すなわち Cartier 因子は、Picard群（可逆層の同型類の群）を因子の言葉で扱うための概念である。
滑らかな多様体のように局所環が一意分解整域であるスキームでは、余次元 $1$ の既約閉集合は局所的に 1 つの方程式で定義されるので、Weil 因子と Cartier 因子は同じものになる（thm-cartier-divisor-weil）。特異点があると 2 つはずれる。2 次錐 $xy=z^2$ の上の直線 $x=z=0$ は Weil 因子であるが、錐の頂点の近くで 1 つの方程式では切り出せないので Cartier 因子ではない（ex-cartier-divisor-cone）。逆に正規でないスキームでは、Weil 因子として主因子になる Cartier 因子が Cartier 因子として主因子とは限らない（ex-cartier-divisor-cusp）。
例と反例
$k$ を体、$X=\mathbb{P}^n_k=\operatorname{Proj}k[x_0,\dots,x_n]$（射影空間）とし、超平面 $H=V_+(x_0)$ を考える。標準的な開被覆 $U_i=D_+(x_i)=\operatorname{Spec}k[x_0/x_i,\dots,x_n/x_i]$ の上で $H\cap U_i$ は 1 つの方程式 $x_0/x_i=0$ で定義され、$x_0/x_i$ は $k(x_1/x_0,\dots,x_n/x_0)$ の中で $0$ でないから非零因子である。$U_i\cap U_j$ 上で $(x_0/x_i)/(x_0/x_j)=x_j/x_i$ は単元なので、$\{(U_i,x_0/x_i)\}$ は有効 Cartier 因子である。付随する可逆層は $U_i$ 上で $x_i/x_0$ が生成し、$x_0$ を掛ける写像 $g\mapsto gx_0$ によって $\mathcal{O}_X(H)\cong\mathcal{O}_X(1)$ となる。同様に次数 $d$ の斉次多項式 $F$ の定める超曲面 $V_+(F)$ は局所方程式 $F/x_i^d$ をもつ有効 Cartier 因子で、$\mathcal{O}_X(V_+(F))\cong\mathcal{O}_X(d)$ である。$\mathbb{P}^n_k$ は正則なので Weil 因子と Cartier 因子は一致し、$\operatorname{CaCl}(\mathbb{P}^n_k)=\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n_k)=\mathbb{Z}$ が $H$ で生成される（Har77 II.6.4、II.6.16–6.17）。とくに $\mathbb{A}^n_k\subset\mathbb{P}^n_k$ の補集合である無限遠超平面 $H_\infty$ は有効 Cartier 因子で $\mathcal{O}(H_\infty)\cong\mathcal{O}(1)$ である。
$X$ を体 $k$ 上有限型（有限型射）で正則な整曲線（$1$ 次元で、閉点の局所環がすべて離散付値環）とし、$P$ を閉点、$\pi\in\mathcal{O}_{X,P}$ を素元（一意化元）とする。$\pi$ を $P$ のアフィン開近傍 $U$ 上の正則関数に延ばし、$U$ を縮めて $\pi$ の零点が $P$ だけになるようにすると、$\{(U,\pi),(X\setminus\{P\},1)\}$ は有効 Cartier 因子であり、これを $P$ と書く。局所環がすべて離散付値環だから、Weil 因子（閉点の形式和 $\sum n_PP$）と Cartier 因子は thm-cartier-divisor-weil により一致し、$\operatorname{CaCl}(X)=\operatorname{Cl}(X)=\operatorname{Pic}(X)$ である。$X=\mathbb{P}^1_k$ では次数 $\sum n_P[\kappa(P):k]$ が同型 $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^1_k)\cong\mathbb{Z}$ を与える。コンパクト Riemann 面の因子（因子）と正則直線束の対応（可逆層 の記事）はこの例の複素解析版である。
$A=k[x,y]/(xy)$、$X=\operatorname{Spec}A$（座標軸の和集合）とする。$A$ は $k[x]\times k[y]$ に $x\mapsto(x,0)$、$y\mapsto(0,y)$ で埋め込まれ、$A$ の非零因子は両方の成分が $0$ でない元である。したがって $X$ は整ではないが、$\Gamma(X,\mathcal{K}_X)=k(x)\times k(y)$ である。
- $x-y\mapsto(x,-y)$ は非零因子であり、$V(x-y)=\{(x,y)=(0,0)\}$ だから、$\operatorname{div}(x-y)$ は原点を台とする有効 Cartier 因子である。その閉部分スキームは $A/(x-y)\cong k[x]/(x^2)$、すなわち原点における長さ(加群) $2$ の非被約な点である。
- 原点を被約な閉部分スキーム（極大イデアル $\mathfrak{m}=(x,y)$）として見たものは有効 Cartier 因子ではない。$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $x,y$ を基底とする $2$ 次元ベクトル空間だから、Nakayamaの補題により $\mathfrak{m}A_\mathfrak{m}$ は 1 元で生成されない。
- $a\in k^\times$ に対し $x-a\mapsto(x-a,-a)$ は非零因子で $V(x-a)=\{(a,0)\}$ だから、$x$ 軸上の原点以外の点は有効 Cartier 因子である。一方 $y$ 軸 $V(x)$ は、イデアル $(x)$ が 1 元生成であるにもかかわらず、$x\mapsto(x,0)$ が零因子なので有効 Cartier 因子ではない（非零因子 $g$ が $(x)$ を局所的に生成すれば $x$ は $g$ の単元倍になり、非零因子になってしまう）。$y$ 軸に沿って「$x$ の位数」を数えるべき有理関数の層 $\mathcal{K}_X$ に $x^{-1}$ が存在しないからである。
この例は、非整スキームでは「余次元 $1$ の既約閉集合」と「Cartier 因子」が素朴には対応しないことを示す。
$X$ を Noether スキーム（Noetherスキーム）、$Y\subset X$ をイデアル層 $\mathcal{I}$ の定める閉部分スキーム、$\pi\colon\widetilde{X}=\operatorname{Bl}_YX\to X$ をブローアップとすると、逆像 $\pi^{-1}(Y)$ はイデアル層 $\mathcal{I}\mathcal{O}_{\widetilde{X}}$ が可逆な閉部分スキーム、すなわち有効 Cartier 因子である（例外因子。Har77 II.7.13）。ブローアップは「与えられた閉部分スキームを Cartier 因子にする普遍的な射」であり、ex-cartier-divisor-cone の直線も、頂点でブローアップすれば Cartier 因子の像になる。
$k$ を体、$A=k[x,y,z]/(xy-z^2)$、$X=\operatorname{Spec}A$（2 次錐）、$L=V(x,z)\subset X$ とする。$A/(x,z)\cong k[y]$ だから $\mathfrak{p}=(x,z)$ は $A$ の素イデアルであり、$X$ は $2$ 次元の正規な整スキームで、$L$ は余次元 $1$ の既約閉集合、すなわち Weil 因子である。しかし $L$ は Cartier 因子ではない。すなわち、Weil 因子 $L$ は thm-cartier-divisor-weil の単射 $\operatorname{CaDiv}(X)\to\operatorname{Div}(X)$ の像に入らない。
満たす性質：$L$ は正規スキーム上の素因子であり、$2L=\operatorname{div}(x)$ は主因子である。実際 $\operatorname{div}(x)$ の台は $V(x)=V(x,z^2)=L$ で、$\mathcal{O}_{X,L}=A_\mathfrak{p}$ において $y$ は単元だから $x=z^2y^{-1}$、すなわち $\operatorname{ord}_L(x)=2\operatorname{ord}_L(z)=2$ である（$z$ は $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}=(x,z)A_\mathfrak{p}=(z)A_\mathfrak{p}$ の生成元である）。
満たさない性質：$L$ は Cartier でない。$X$ は正規なので、$L$ が Cartier 因子 $D$ の像なら $D$ は有効で $\mathcal{O}_X(-D)$ は $L$ のイデアル層 $\widetilde{\mathfrak{p}}$ に等しい（cor-cartier-divisor-weil-effective）。したがって $\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}$（$\mathfrak{m}=(x,y,z)$ は頂点）が 1 元で生成されなければならない。ところが $A$ は次数付き環で、$\mathfrak{p}$ の $1$ 次部分は $kx\oplus kz$、$\mathfrak{m}\mathfrak{p}$ は $2$ 次以上の元のみからなるから、$x,z$ は $\mathfrak{p}/\mathfrak{m}\mathfrak{p}$ において一次独立で $\dim_k\mathfrak{p}/\mathfrak{m}\mathfrak{p}\ge2$ である。Nakayama の補題により $\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}$ の生成元の最小個数は $2$ であり、$L$ は頂点の近くで 1 つの方程式で定義されない。
破る含意：「正規スキームの Weil 因子は Cartier 因子である」は偽である。Har77 II.6.5.2（Picard群 の記事の反例も同じ例を扱う）により $\operatorname{Cl}(X)\cong\mathbb{Z}/2$ が $L$ で生成されるから、$\operatorname{CaCl}(X)\hookrightarrow\operatorname{Cl}(X)$ の像は $0$、したがって $\operatorname{Pic}(X)=\operatorname{CaCl}(X)=0$ である。Weil 因子類群と Picard 群の差 $\mathbb{Z}/2$ が、頂点の特異性を測っている（局所Picard群）。
$A=k[t^2,t^3]\subset k[t]$、$X=\operatorname{Spec}A$（アフィン尖点曲線 $y^2=x^3$、$x=t^2$、$y=t^3$）とする。$X$ は整で関数体は $K=k(t)$、原点 $P$（$\mathfrak{m}=(t^2,t^3)$）だけが特異点で、$\mathcal{O}_{X,P}=A_\mathfrak{m}$ は正規でない（$t\in K$ は $A_\mathfrak{m}$ 上整であるが $A_\mathfrak{m}$ に属さない）。$Q$ を $t=-1$ に対応する閉点とし、Cartier 因子 $D$ を
$$
D=\{(X\setminus\{Q\},\,1),\ (X\setminus\{P\},\,1+t)\}
$$
で定める。$X\setminus\{P\}$ 上では $A[t^{-2}]=k[t,t^{-1}]$ なので $1+t$ はそこで有理関数の層の可逆な切断であり、重なり $X\setminus\{P,Q\}$ 上で $1+t$ は単元だから、これは Cartier 因子である。
満たす性質：$D$ は正規化 $\nu\colon\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[t]\to X$ に引き戻すと主因子 $\operatorname{div}(1+t)$ になる。したがって $D$ の定める Weil 因子は $Q$ であり、これは Weil 因子として主因子 $\operatorname{div}(1+t)$ に等しい（非正規な整スキームの上での Weil 因子の位数は局所環の長さ（長さ(加群)）で定義し、それが正規化への引き戻しで計算できることは Ful98 1.2、1.4 に譲る）。
満たさない性質：$D$ は Cartier 因子として主因子ではない。もし $D=\operatorname{div}(g)$（$g\in K^\times$）なら、$g$ は $X\setminus\{Q\}$ 上で単元、$g/(1+t)$ は $X\setminus\{P\}$ 上で単元でなければならない。$\mathbb{A}^1_k$ に引き戻すと、$g$ は $\mathbb{A}^1_k\setminus\{-1\}$ 上で単元だから $g=c(1+t)^n$（$c\in k^\times$、$n\in\mathbb{Z}$）であり、$g/(1+t)=c(1+t)^{n-1}$ が $\mathbb{A}^1_k\setminus\{0\}$ 上で単元だから $n=1$、すなわち $g=c(1+t)$ である。しかし $c(1+t)$ は $\mathcal{O}_{X,P}$ に属さず、$P$ で単元ではない。矛盾。
破る含意：「$\operatorname{CaCl}(X)\to\operatorname{Cl}(X)$ は単射である」は正規性を外すと偽である。実際 $\operatorname{Cl}(X)=\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^1_k)=0$ である一方、$\operatorname{CaCl}(X)=\operatorname{Pic}(X)\cong(k,+)$ は $0$ でない（Har77 II 演習 6.9 の方法で計算できる）。
thm-cartier-divisor-picard の全射性は $X$ が整であることを使う。$X$ が整でないとき、$\operatorname{CaCl}(X)\to\operatorname{Pic}(X)$ は全射とは限らない。Kleiman Kle79 は、どの Cartier 因子に付随する可逆層とも同型でない可逆層をもつスキームの例を与えた。他方、$X$ が局所 Noether で、その随伴点（随伴素イデアルに対応する点）の全体が 1 つのアフィン開集合に含まれるなら、任意の可逆層は $\mathcal{K}_X$ の可逆な切断を係数にもつ大域切断（正則有理型切断）をもち、全射性が成り立つ（Stacks の章 Divisors）。Noether な整スキームや、随伴点が有限個で射影的なスキームはこの条件をみたす。
性質
Cartier因子から可逆層へ
スキーム $X$ の Cartier 因子 $D,E$ に対して次が成り立つ。
- $\mathcal{O}_X(D)$ は可逆層である。
- 積 $\mathcal{K}_X\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{K}_X\to\mathcal{K}_X$ の制限は同型 $\mathcal{O}_X(D)\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_X(E)\xrightarrow{\ \sim\ }\mathcal{O}_X(D+E)$ を与える。とくに $\mathcal{O}_X(-D)\cong\mathcal{O}_X(D)^\vee$、$\mathcal{O}_X(0)=\mathcal{O}_X$ である。
- $D\mapsto\mathcal{O}_X(D)$ は群準同型 $\operatorname{CaDiv}(X)\to\operatorname{Pic}(X)$ を定める。
証明は 可逆層 の記事の命題「Cartier因子の加法とテンソル積」に譲る。要点は、$D=\{(U_i,f_i)\}$、$E=\{(U_i,g_i)\}$ と共通の開被覆で表すとき、$U_i$ 上で $a\mapsto f_i^{-1}a$ が同型 $\mathcal{O}_{U_i}\cong f_i^{-1}\mathcal{O}_{U_i}$ を与えるので（$f_i^{-1}a=0$ なら $f_i$ を掛けて $a=0$）$\mathcal{O}_X(D)$ が階数 $1$ の局所自由層であること、および積写像が生成元 $f_i^{-1}\otimes g_i^{-1}$ を $\mathcal{O}_X(D+E)|_{U_i}$ の生成元 $(f_ig_i)^{-1}$ に送ることである。3 は 2 の言い換えである。
1：prop-cartier-divisor-invertible により $\mathcal{O}_X(D)\otimes\mathcal{O}_X(E)^\vee\cong\mathcal{O}_X(D-E)$ だから、$D$ が主因子であることと $\mathcal{O}_X(D)\cong\mathcal{O}_X$ が同値であることを示せばよい。$D=\operatorname{div}(f)$（$f\in\Gamma(X,\mathcal{K}_X^\times)$）なら $\mathcal{O}_X(D)=f^{-1}\mathcal{O}_X$ であり、$f$ を掛ける写像が $\mathcal{O}_X(D)\cong\mathcal{O}_X$ を与える。逆に同型 $\phi\colon\mathcal{O}_X\xrightarrow{\sim}\mathcal{O}_X(D)\subset\mathcal{K}_X$ があるとし、$g:=\phi(1)\in\Gamma(X,\mathcal{K}_X)$ とおく。$D=\{(U_i,f_i)\}$ とすると、$U_i$ 上で $g$ と $f_i^{-1}$ はともに自由 $\mathcal{O}_{U_i}$ 加群 $\mathcal{O}_X(D)|_{U_i}$ の生成元だから、$g=f_i^{-1}a_i$、$f_i^{-1}=gb_i$ をみたす $a_i,b_i\in\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$ がある。すると $f_i^{-1}(1-a_ib_i)=0$ であり、$f_i^{-1}$ は $\mathcal{K}_X$ の可逆な切断だから $a_ib_i=1$、すなわち $a_i\in\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X^\times)$ である。よって $g|_{U_i}=f_i^{-1}a_i$ は $\mathcal{K}_X^\times$ の切断であり、可逆性は局所的な性質だから $g\in\Gamma(X,\mathcal{K}_X^\times)$ である。さらに $g^{-1}|_{U_i}=f_ia_i^{-1}$ は $\mathcal{K}_X^\times/\mathcal{O}_X^\times$ の中で $f_i$ と同じ類を定めるから $D=\operatorname{div}(g^{-1})$ は主因子である。
2：$X$ を整スキーム、$K$ をその関数体、$\mathcal{L}$ を可逆層とし、$\mathcal{L}\cong\mathcal{O}_X(D)$ となる Cartier 因子 $D$ を作る。$\mathcal{L}|_{U_i}\cong\mathcal{O}_{U_i}$ となる開被覆 $\{U_i\}$ をとり、各 $U_i$ 上の生成元 $e_i\in\Gamma(U_i,\mathcal{L})$ をとる。$X$ は既約なので $U_i\cap U_j\ne\emptyset$ であり、その上で $e_i=c_{ij}e_j$ となる $c_{ij}\in\Gamma(U_i\cap U_j,\mathcal{O}_X^\times)\subset K^\times$ が定まる。$\mathcal{L}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{K}_X$ を考えると、これは $U_i$ 上で $e_i\otimes1$ が生成する自由 $\mathcal{K}_X|_{U_i}$ 加群であり、$\mathcal{K}_X$ は $K$ を値にもつ定数層で、整スキームの空でない開集合はすべて連結であるから、$\Gamma(U,\mathcal{L}\otimes\mathcal{K}_X)=K\cdot(e_i\otimes1)$（$\emptyset\ne U\subset U_i$）である。1 つの添字 $0$ を固定し、$U_i$ 上の切断 $s_i:=c_{i0}^{-1}(e_i\otimes1)$ を考える。ここで $c_{i0}\in K^\times$ は $U_i$ 全体の上の $\mathcal{K}_X^\times$ の切断とみなす。$U_i\cap U_j$ 上では、$c_{ij}c_{j0}=c_{i0}$ が $U_i\cap U_j\cap U_0$（空でない）上で成り立ち、両辺は $K$ の元だから $U_i\cap U_j$ 上でも成り立つ。よって $U_i\cap U_j$ 上で
$$
s_i=c_{i0}^{-1}(e_i\otimes1)=c_{i0}^{-1}c_{ij}(e_j\otimes1)=c_{i0}^{-1}c_{ij}c_{j0}\,s_j=s_j
$$
であり、$s_i$ は貼り合って大域切断 $s\in\Gamma(X,\mathcal{L}\otimes\mathcal{K}_X)$ を定め、$s$ は各 $U_i$ 上で $\mathcal{L}\otimes\mathcal{K}_X$ を生成する。したがって $\mathcal{K}_X\to\mathcal{L}\otimes\mathcal{K}_X$、$a\mapsto as$ は同型である。$\mathcal{O}_X\to\mathcal{K}_X$ は単射で $\mathcal{L}$ は局所自由だから $\mathcal{L}\to\mathcal{L}\otimes\mathcal{K}_X\cong\mathcal{K}_X$ は単射であり、$\mathcal{L}$ は $\mathcal{K}_X$ の部分 $\mathcal{O}_X$ 加群層 $\mathcal{L}'$ と同型である。$\mathcal{L}'|_{U_i}$ は $e_i$ の像 $g_i\in K$ で生成され、$g_i\ne0$（単射性）だから $g_i\in K^\times$ であり、$U_i\cap U_j$ 上で $g_i\mathcal{O}=g_j\mathcal{O}$ だから $g_i/g_j$ は単元である。よって $D:=\{(U_i,g_i^{-1})\}$ は Cartier 因子であり、$\mathcal{O}_X(D)=\mathcal{L}'\cong\mathcal{L}$ である。
乗法群の層の短完全列 $0\to\mathcal{O}_X^\times\to\mathcal{K}_X^\times\to\mathcal{K}_X^\times/\mathcal{O}_X^\times\to0$ の層コホモロジーの長完全列
$$
\Gamma(X,\mathcal{K}_X^\times)\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal{K}_X^\times/\mathcal{O}_X^\times)\xrightarrow{\ \delta\ }H^1(X,\mathcal{O}_X^\times)\longrightarrow H^1(X,\mathcal{K}_X^\times)
$$
において、$\operatorname{Pic}(X)\cong H^1(X,\mathcal{O}_X^\times)$（Picard群 の記事）のもとで連結準同型 $\delta$ は $D\mapsto\mathcal{O}_X(D)$ に一致する。完全性が thm-cartier-divisor-picard の 1 を与え、$X$ が整なら $\mathcal{K}_X^\times$ は既約空間上の定数層だから脆弱層で $H^1(X,\mathcal{K}_X^\times)=0$ となり、2 が従う。prf-cartier-divisor-picard と Hartshorne Har77 II.6.15 の証明は、この議論を切断の言葉で書き下したものにあたる。
$X$ を整スキーム、$\mathcal{L}$ を可逆層とする。$\Gamma(X,\mathcal{L}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{K}_X)$ の $0$ でない元 $s$ を $\mathcal{L}$ の有理切断（rational section）という。$\mathcal{L}$ の局所生成元 $e_i$ を用いて $s=f_ie_i\otimes1$（$f_i\in K^\times$）と書くとき、$\{(U_i,f_i)\}$ は Cartier 因子であり、これを $s$ の因子 $\operatorname{div}(s)$ という。prf-cartier-divisor-picard の 2 の構成により $\mathcal{O}_X(\operatorname{div}(s))\cong\mathcal{L}$ であり、$s$ を別の有理切断 $s'=gs$（$g\in K^\times$）に取り替えると $\operatorname{div}(s')=\operatorname{div}(s)+\operatorname{div}(g)$ となる。したがって $\mathcal{L}\mapsto[\operatorname{div}(s)]$ は thm-cartier-divisor-picard の同型の逆写像 $\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname{CaCl}(X)$ を与える。$X$ が滑らかな多様体なら、$\operatorname{div}(s)$ を Weil 因子とみなしたものの有理同値類（有理同値）が $\mathcal{L}$ の第 1 Chern 類（第1Chern類）$c_1(\mathcal{L})\in A^1(X)$ である（Chow環、Ful98 2.5）。
有効Cartier因子と切断
$X$ をスキームとする。
- Cartier 因子 $D$ が有効であることと $\mathcal{O}_X(-D)\subset\mathcal{O}_X$ であることは同値である。このとき $\mathcal{O}_X(-D)=\mathcal{I}_D$ は閉部分スキーム $D$ のイデアル層であり、$\mathcal{O}_X$ 加群層の完全列 $0\to\mathcal{O}_X(-D)\to\mathcal{O}_X\to\mathcal{O}_D\to0$ がある。
- $D$ が有効なら $1\in\Gamma(X,\mathcal{K}_X)$ は $\mathcal{O}_X(D)$ の大域切断 $s_D$ を定め、$s_D$ の零点スキーム（局所自明化で $s_D$ を正則関数とみなしたときの零点の閉部分スキーム）は $D$ である。
- 逆に、可逆層 $\mathcal{L}$ と大域切断 $s\in\Gamma(X,\mathcal{L})$ であって、各点 $x$ で $s_x$ が $\mathcal{L}_x\cong\mathcal{O}_{X,x}$ の非零因子に対応するものが与えられると、$s$ の零点スキーム $Z(s)$ は有効 Cartier 因子であり、$\mathcal{O}_X(Z(s))\cong\mathcal{L}$ で、この同型のもとで $s_{Z(s)}$ は $s$ に対応する。
1：$D=\{(U_i,f_i)\}$ とすると $\mathcal{O}_X(-D)|_{U_i}=f_i\mathcal{O}_{U_i}$ である。$D$ が有効、すなわち $f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$ ととれるなら $f_i\mathcal{O}_{U_i}\subset\mathcal{O}_{U_i}$ である。逆に $\mathcal{O}_X(-D)\subset\mathcal{O}_X$ なら $f_i=f_i\cdot1\in\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$ であり、$f_i$ は $\mathcal{K}_X^\times$ の切断だから各点の芽は非零因子である。このとき $f_i\mathcal{O}_{U_i}$ は $D$ のイデアル層の定義そのものであり、完全列は閉部分スキームのイデアル層の完全列である。2：$f_i\cdot1=f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$ だから $1\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X(D))$ である。局所自明化 $\mathcal{O}_{U_i}\cong\mathcal{O}_X(D)|_{U_i}$、$a\mapsto f_i^{-1}a$ のもとで $1=f_i^{-1}f_i$ は正則関数 $f_i$ に対応するから、零点スキームは $U_i$ 上で $V(f_i)$、すなわち $D$ である。3：$\mathcal{L}|_{U_i}\cong\mathcal{O}_{U_i}$ となる開被覆をとり、$s|_{U_i}$ に対応する正則関数を $f_i$ とすると、仮定により $f_i$ の各点の芽は非零因子であり、$U_i\cap U_j$ 上で $f_i$ と $f_j$ は自明化の取り替え（単元）だけ異なる。よって $\{(U_i,f_i)\}$ は有効 Cartier 因子 $Z(s)$ を定め、そのイデアル層は $s$ の零点スキームのイデアル層 $f_i\mathcal{O}_{U_i}$ に一致する。$\mathcal{O}_X(Z(s))|_{U_i}=f_i^{-1}\mathcal{O}_{U_i}$ の生成元 $f_i^{-1}$ を $\mathcal{L}|_{U_i}$ の生成元 $e_i$ に送る写像は、$U_i\cap U_j$ 上で $f_i^{-1}=(f_j/f_i)f_j^{-1}\mapsto(f_j/f_i)e_j=e_i$ となって整合し、大域的な同型 $\mathcal{O}_X(Z(s))\cong\mathcal{L}$ を与える。この同型で $s_{Z(s)}=1=f_i\cdot f_i^{-1}\mapsto f_ie_i=s|_{U_i}$ である。
したがって、スキーム $X$ 上の有効 Cartier 因子を与えることは、可逆層 $\mathcal{L}$ とその「局所的に非零因子である」大域切断 $s$ の組 $(\mathcal{L},s)$ を同型を除いて与えることと同じである。$X$ が整スキームなら $\mathcal{L}$ の $0$ でない大域切断はすべてこの条件をみたすので、$|D|:=\{E\ge0\mid E\sim D\}$（完備線型系、線型系）は $(\Gamma(X,\mathcal{O}_X(D))\setminus\{0\})/\Gamma(X,\mathcal{O}_X^\times)$ と同一視される（Har77 II.7.7）。
Weil因子との関係
以下、$X$ は Noether で分離的（分離スキーム）な整スキームとし、余次元 $1$ ですべて正則、すなわち余次元 $1$ の点の局所環がすべて離散付値環であると仮定する（Har77 II.6 の条件 $(*)$。正規スキームはこの条件をみたす）。$X$ の素因子（prime divisor）とは余次元 $1$ の既約閉部分集合 $Y$ のことで、その生成点の局所環 $\mathcal{O}_{X,Y}$ は離散付値環であり、その付値を $\operatorname{ord}_Y\colon K^\times\to\mathbb{Z}$ と書く。Weil 因子とは素因子の有限形式和 $\sum n_YY$ のことで、その群を $\operatorname{Div}(X)$、主因子 $\operatorname{div}(f)=\sum_Y\operatorname{ord}_Y(f)Y$（$f\in K^\times$。$\operatorname{ord}_Y(f)\ne0$ となる $Y$ は有限個である）による商を因子類群 $\operatorname{Cl}(X)$ と書く（Har77 II.6.1–6.4）。
$X$ を上の仮定をみたすスキームとする。
- Cartier 因子 $D=\{(U_i,f_i)\}$ に対し、$Y\cap U_i\ne\emptyset$ となる $i$ を用いて $n_Y:=\operatorname{ord}_Y(f_i)$ とおくと、これは $i$ によらず、$\varphi(D):=\sum_Yn_YY$ は Weil 因子である。$\varphi\colon\operatorname{CaDiv}(X)\to\operatorname{Div}(X)$ は群準同型で、主因子を主因子に移し、準同型 $\operatorname{CaCl}(X)\to\operatorname{Cl}(X)$ を誘導する。
- $X$ が正規（正規スキーム）なら $\varphi$ は単射であり、$\operatorname{CaCl}(X)\to\operatorname{Cl}(X)$ も単射である。
- $X$ が局所分解的（すべての局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ が一意分解整域）なら $\varphi$ は同型であり、$\operatorname{CaCl}(X)\cong\operatorname{Cl}(X)$ である。とくに正則スキーム（正則局所環は一意分解整域。Auslander–Buchsbaumの定理、Har77 II.6.11A）ではそうである。
1：$Y$ が $U_i$ と $U_j$ の両方と交わるなら $Y\cap U_i\cap U_j\ne\emptyset$ で、$f_i/f_j$ はそこで単元だから $\operatorname{ord}_Y(f_i)=\operatorname{ord}_Y(f_j)$ である。$X$ は Noether なので有限個の $U_i$ で覆え、各 $f_i$ について $\operatorname{ord}_Y(f_i)\ne0$ となる素因子 $Y$ は有限個だから $\varphi(D)$ は有限和である。$\operatorname{ord}_Y$ が準同型だから $\varphi$ は準同型で、$\varphi(\operatorname{div}(f))=\operatorname{div}(f)$ は定義から明らかである。
2：$X$ が正規で $\varphi(D)=0$ とする。$U_i$ 内のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ をとると、$A$ は Noether な正規整域で、$f_i\in K^\times$ は $A$ のすべての高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}$（$V$ と交わる素因子に対応する）について $\operatorname{ord}_\mathfrak{p}(f_i)=0$ をみたす。Noether 正規整域では $A=\bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1}A_\mathfrak{p}$（代数的 Hartogs の定理。Har77 II.6.3A、Mat86 定理 11.5）だから、$f_i$ と $f_i^{-1}$ はともに $A$ に属し、$f_i$ は $V$ 上の単元である。$V$ は任意だから $f_i\in\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X^\times)$ であり、$D=0$ である。$\operatorname{CaCl}(X)\to\operatorname{Cl}(X)$ の単射性は、$\varphi(D)=\operatorname{div}(f)$ なら $\varphi(D-\operatorname{div}(f))=0$ から $D=\operatorname{div}(f)$ となることによる。
3：$X$ が局所分解的なら正規なので、$\varphi$ の全射性を示せばよい。Weil 因子 $\Delta=\sum n_YY$ と点 $x\in X$ をとる。$x$ を含む素因子 $Y$ は $\mathcal{O}_{X,x}$ の高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}_Y$ に対応し、$\mathcal{O}_{X,x}$ が一意分解整域だから $\mathfrak{p}_Y=(g_Y)$ は素元 $g_Y$ で生成される（一意分解整域の高さ $1$ の素イデアルは単項である。Mat86 定理 20.1）。$Y\ne Y'$ なら $g_Y$ は $\mathfrak{p}_{Y'}$ に属さない（属せば $\mathfrak{p}_Y\subset\mathfrak{p}_{Y'}$、高さが等しいので等しい）から、$g_Y$ は $\mathcal{O}_{X,Y'}$ の単元で $\operatorname{ord}_{Y'}(g_Y)=0$、また $\operatorname{ord}_Y(g_Y)=1$ である。$f_x:=\prod_{Y\ni x}g_Y^{n_Y}\in K^\times$ とおくと、$x$ を含むすべての素因子 $Y$ について $\operatorname{ord}_Y(f_x)=n_Y$ である。$\Delta-\operatorname{div}(f_x)$ の台に現れる素因子は有限個でいずれも $x$ を含まないから、それらを $X$ から除いた開集合 $U_x\ni x$ の上で $\Delta|_{U_x}=\operatorname{div}(f_x)|_{U_x}$ である。$U_x\cap U_{x'}$ 上では $\operatorname{div}(f_x/f_{x'})=0$ であり、2 の議論により $f_x/f_{x'}$ はそこで単元である。よって $\{(U_x,f_x)\}_{x\in X}$ は Cartier 因子 $D$ を定め、$\varphi(D)=\Delta$ である。
$X$ を上の仮定をみたす正規スキーム、$D$ を Cartier 因子とする。$\varphi(D)\ge0$ なら $D$ は有効であり、$\varphi(D)=\sum n_YY$ のとき $\mathcal{O}_X(-D)$ は「すべての $Y$ で $\operatorname{ord}_Y(g)\ge n_Y$ となる正則関数 $g$」のなす $\mathcal{O}_X$ のイデアル層である。とくに素因子 $Y$ が Cartier 因子 $D$ の像なら $\mathcal{O}_X(-D)$ は $Y$（被約な閉部分スキーム）のイデアル層に等しく、$Y$ は局所的に 1 つの方程式で定義される。
$D=\{(U_i,f_i)\}$ とする。$\operatorname{ord}_Y(f_i)=n_Y\ge0$ がすべての $Y$ で成り立つから、prf-cartier-divisor-weil の 2 と同じく $f_i\in\bigcap_\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}=A$ となり、$D$ は有効である。正則関数 $g$ について $g\in f_i\mathcal{O}_{U_i}$ であることは $g/f_i$ が正則であること、すなわち（正規性により）すべての $Y$ で $\operatorname{ord}_Y(g)\ge\operatorname{ord}_Y(f_i)=n_Y$ であることと同値である。$\varphi(D)=Y$ のとき、この条件は $g$ が $Y$ の生成点で消えること、すなわち $g$ が $Y$ の（被約な）イデアル層に属することと同値である。
thm-cartier-divisor-weil とその証明は Har77 II.6.11 とそれに続く注意による。まとめると、正則スキーム（滑らかな多様体、正則曲線、$\mathbb{P}^n$ など）では Weil 因子・Cartier 因子・可逆層の同型類は同じ情報であり、$\operatorname{Cl}(X)=\operatorname{CaCl}(X)=\operatorname{Pic}(X)$ である。正規で正則でないときは $\operatorname{Pic}(X)=\operatorname{CaCl}(X)\subset\operatorname{Cl}(X)$ で、差は特異点で測られる（ex-cartier-divisor-cone、局所Picard群）。正規でないときは $\operatorname{CaCl}(X)\to\operatorname{Cl}(X)$ は単射とは限らず（ex-cartier-divisor-cusp）、Weil 因子の位数の定義自体に長さを用いる必要がある（Ful98 1.2）。整でないときはさらに $\operatorname{CaCl}(X)\to\operatorname{Pic}(X)$ が全射でないことがある（rem-cartier-divisor-non-integral）。
関連項目
参考文献
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