コゼロ集合

$[0,1]$ に値をとる連続関数は $\mathbb{R}$ に値をとる連続関数である。逆に $g\colon X\to\mathbb{R}$ が連続なら、$f:=\min(1,|g|)$ は連続で $[0,1]$ に値をとり、$f(x)\neq0\iff g(x)\neq0$ である。$\square$

$A=\operatorname{coz}(f)$、$f\colon X\to[0,1]$ 連続とする。$(0,1]$ は $[0,1]$ の開集合なので $A=f^{-1}((0,1])$ は開集合である。また $F_n:=f^{-1}([1/n,1])$（$n\ge1$）は閉集合 $[1/n,1]$ の逆像なので閉集合であり、$f(x)>0\iff$ ある $n$ について $f(x)\ge1/n$ なので $A=\bigcup_{n\ge1}F_n$ である。零集合については補集合をとればよい。$\square$

$A=\operatorname{coz}(f)$、$B=\operatorname{coz}(g)$ とする。$\min(f,g)$、$\max(f,g)$ は $[0,1]$ に値をとる連続関数で、$\min(f,g)(x)\neq0\iff f(x)\neq0$ かつ $g(x)\neq0$、$\max(f,g)(x)\neq0\iff f(x)\neq0$ または $g(x)\neq0$ なので、$A\cap B=\operatorname{coz}(\min(f,g))$、$A\cup B=\operatorname{coz}(\max(f,g))$ である。
可算和：$A_n=\operatorname{coz}(f_n)$ とし、$f(x):=\sum_{n\ge1}2^{-n}f_n(x)$ とおく。各項は $0\le2^{-n}f_n(x)\le2^{-n}$ なので級数は各点で収束し、$0\le f(x)\le\sum_n2^{-n}=1$ である。$f$ は連続である。実際、部分和 $s_N=\sum_{n\le N}2^{-n}f_n$ は連続で、任意の $x$ について $|f(x)-s_N(x)|\le\sum_{n>N}2^{-n}=2^{-N}$ である。$x_0\in X$ と $\varepsilon>0$ に対し、$2^{-N}<\varepsilon/3$ となる $N$ をとり、$s_N$ の連続性により $x_0$ の近傍 $V$ で $x\in V\Rightarrow|s_N(x)-s_N(x_0)|<\varepsilon/3$ となるものをとると、$x\in V$ について $|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-s_N(x)|+|s_N(x)-s_N(x_0)|+|s_N(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon$ である。最後に、各項が非負なので $f(x)\neq0\iff$ ある $n$ について $f_n(x)\neq0$ であり、$\bigcup_nA_n=\operatorname{coz}(f)$ である。零集合については補集合をとればよい。$\square$

$U$ を開集合とし、$C=X\setminus U$ とおく。$C=\emptyset$ なら $U=X$ はコゼロ集合である。$C\neq\emptyset$ のとき、$\operatorname{dist}(x,C):=\inf\{d(x,c)\mid c\in C\}$ とおく。三角不等式 $d(x,c)\le d(x,y)+d(y,c)$ から $\operatorname{dist}(x,C)\le d(x,y)+\operatorname{dist}(y,C)$ であり、$x$ と $y$ を入れ替えて $|\operatorname{dist}(x,C)-\operatorname{dist}(y,C)|\le d(x,y)$ を得るので、$x\mapsto\operatorname{dist}(x,C)$ は連続である。$C$ は閉集合なので、$\operatorname{dist}(x,C)=0\iff x\in C$ である（$x\notin C$ なら $x$ を中心とするある開球が $C$ と交わらないので $\operatorname{dist}(x,C)>0$。$x\in C$ なら $d(x,x)=0$）。よって $f(x):=\min\{1,\operatorname{dist}(x,C)\}$ は $[0,1]$ に値をとる連続関数で $\operatorname{coz}(f)=X\setminus C=U$ である。閉集合については補集合をとればよい。$\square$

$A=\operatorname{coz}(f)$、$B=\operatorname{coz}(g)$ とする。$A\cup B=X$ より各点で $f(x)>0$ または $g(x)>0$ であり、$f+g>0$ である。$h:=f/(f+g)$ とおくと $h$ は連続で $0\le h\le1$ である。$h(x)>0\iff f(x)>0\iff x\in A$ であり、$h(x)<1\iff g(x)>0\iff x\in B$ である。$\square$

コゼロ集合は開集合なので（prop-cozero-set-open-fsigma）、「開基をなす」とは、任意の開集合 $U$ と $x\in U$ に対し $x\in A\subset U$ となるコゼロ集合 $A$ が存在することである。
$X$ が完全正則なら、$F=X\setminus U$ に対し $f(x)=1$、$f|_F=0$ なる $f$ をとると、$A=\operatorname{coz}(f)$ は $x$ を含み $U$ に含まれる。逆に、コゼロ集合が開基をなすとし、閉集合 $F$ と $x\notin F$ をとる。$U=X\setminus F$ は $x$ を含む開集合なので、$x\in\operatorname{coz}(g)\subset U$ となる連続関数 $g\colon X\to[0,1]$ がある。$g(x)>0$ であり、$F$ 上で $g=0$ である。$f:=\min(1,\ g/g(x))$ は連続で $[0,1]$ に値をとり、$f(x)=1$、$f|_F=0$ である。$\square$