Cauchy–Schwarzの不等式（高校数学）

1. $\vec a=(1,2,2)$、$\vec b=(2,-1,3)$ とする。$\vec a\cdot\vec b=2-2+6=6$、$|\vec a|=\sqrt{1+4+4}=3$、$|\vec b|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$ なので、右辺は $3\sqrt{14}=11.22\ldots$ であり、$6\le11.22\ldots$ となっている。2 乗した形では $36\le9\cdot14=126$ である。
2. $\vec a=(1,2)$、$\vec b=(2,4)$ では $\vec b=2\vec a$ で、$\vec a\cdot\vec b=10$、$|\vec a||\vec b|=\sqrt5\cdot\sqrt{20}=10$ と等号になる。なす角が $0$ だからである。
3. $\vec a=(1,2)$、$\vec b=(2,3)$ では $\vec a\cdot\vec b=8$、$|\vec a|^2|\vec b|^2=5\cdot13=65$ で、$64\le65$ とわずかに等号から外れる。

1. 標準内積：$\mathbb{R}^n$ で $\langle a,b\rangle:=a_1b_1+\cdots+a_nb_n$。$\langle a,a\rangle=a_1^2+\cdots+a_n^2$ は $0$ 以上で、$0$ になるのは $a=0$ のときだけなので内積である。$n=2,3$ が高校のベクトルの内積である。
2. 重み付き内積：正の数 $w_1,\dots,w_n$ を決めて $\langle a,b\rangle_w:=w_1a_1b_1+\cdots+w_na_nb_n$。$\langle a,a\rangle_w=\sum w_ia_i^2$ で $w_i>0$ なので内積である。たとえば $w=(1,2)$、$a=(1,1)$、$b=(1,-1)$ なら $\langle a,b\rangle_w=1\cdot1\cdot1+2\cdot1\cdot(-1)=-1$、$\langle a,a\rangle_w=1+2=3$ である。
3. 積分による内積：$C([p,q])$（$p< q$）で $\langle f,g\rangle:=\int_p^qf(x)g(x)\,dx$。1・2 は積分の線形性から、3 は $f(x)^2\ge0$ から従う。4 も成り立つが、その証明には $f$ の連続性が要る（積分で定める内積）。
4. 半内積だが内積でない例：$\mathbb{R}^2$ で $\langle a,b\rangle:=a_1b_1$。1〜3 は成り立つが、$a=(0,1)$ は $0$ でないのに $\langle a,a\rangle=0$ なので、4 が成り立たない。

$\mathbb{R}^2$ の標準内積で $u=(2,1)$、$v=(1,3)$ とする。$A=\langle u,u\rangle=5$、$B=\langle u,v\rangle=2+3=5$、$C=\langle v,v\rangle=10$ である。

1. 不等式：$B^2=25\le AC=50$。
2. $\|tu-v\|^2=5t^2-10t+10=5(t-1)^2+5$ なので、$t_0=\frac BA=1$ で最小値 $5$ をとる（図 2）。$\frac{AC-B^2}A=\frac{50-25}5=5$ と一致する。
3. $t_0u=(2,1)$、$v-t_0u=(-1,2)$ で、$\langle v-t_0u,u\rangle=-2+2=0$ なので直交する。$\|v-t_0u\|^2=1+4=5$ である。
4. 直線上の別の点、たとえば $1.6u=(3.2,1.6)$ までの距離の 2 乗は $2.2^2+1.4^2=6.8$ で、$5$ より大きい。

1. $\mathbb{R}^3$：$u=(1,2,2)$、$v=(2,-1,3)$ では $u+v=(3,1,5)$、$\|u+v\|=\sqrt{35}=5.91\ldots$、$\|u\|+\|v\|=3+\sqrt{14}=6.74\ldots$ で、三角不等式が成り立つ。
2. $\mathbb{R}^2$：ex-csi-projection の $u=(2,1)$、$v=(1,3)$ では $\cos\theta=\frac5{\sqrt5\sqrt{10}}=\frac1{\sqrt2}$ なので $\theta=\frac\pi4$ である。図 1 でも $45^\circ$ になっている。
3. 関数：区間 $[0,1]$ の積分による内積で、$1$ と $x$ のなす角は $\cos\theta=\frac{\int_0^1x\,dx}{\sqrt{\int_0^11\,dx}\sqrt{\int_0^1x^2dx}}=\frac{1/2}{\sqrt{1/3}}=\frac{\sqrt3}2$ から $\theta=\frac\pi6$（$30^\circ$）である。
4. 関数：同じ内積で $x$ と $x^2$ のなす角は $\cos\theta=\frac{1/4}{\sqrt{1/3}\sqrt{1/5}}=\frac{\sqrt{15}}4=0.968\ldots$ で、$\theta=14.47\ldots^\circ$ である。判別式で示す不等式 の積分の例 $\frac1{16}\le\frac1{15}$ は、この $\cos^2\theta=\frac{15}{16}<1$ と同じことである。等号にならないのは、$x$ と $x^2$ が比例しない（1 次独立である）からである（thm-csi-main の 2）。

$x^2+y^2+z^2=1$ を満たす実数 $x,y,z$ について、$2x+3y+6z$ の最大値と最小値を求める。$u=(2,3,6)$、$v=(x,y,z)$ に標準内積の thm-csi-main を使うと
$$ (2x+3y+6z)^2\le(2^2+3^2+6^2)(x^2+y^2+z^2)=49 $$
なので $-7\le2x+3y+6z\le7$ である。等号は $v$ が $u$ の実数倍のとき、すなわち $(x,y,z)=\pm\frac17(2,3,6)$ のときに成り立ち、実際 $\frac17(4+9+36)=7$ である。よって最大値は $7$、最小値は $-7$ である。「1 次式の最大値は係数ベクトルの長さ」という形で、微分を使わずに答えが出る。

$n$ 組のデータ $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$ の平均を $\bar x,\bar y$ とし、偏差のベクトルを $X:=(x_1-\bar x,\dots,x_n-\bar x)$、$Y:=(y_1-\bar y,\dots,y_n-\bar y)$ とする。$X\ne0$、$Y\ne0$ のとき、相関係数は
$$ r:=\frac{\sum_i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_i(x_i-\bar x)^2}\sqrt{\sum_i(y_i-\bar y)^2}}=\frac{\langle X,Y\rangle}{\|X\|\|Y\|} $$
である。cor-csi-triangle-angle の 2 から $-1\le r\le1$ であり、$r$ は偏差ベクトルのなす角の余弦である。thm-csi-main の 2 から、$|r|=1$ となるのは $Y=sX$、すなわちすべての点が 1 本の直線 $y-\bar y=s(x-\bar x)$ の上にあるときに限る。
数値例：$x=(1,2,3,4,5)$、$y=(2,4,5,4,5)$ では $\bar x=3$、$\bar y=4$、$\langle X,Y\rangle=6$、$\|X\|^2=10$、$\|Y\|^2=6$ であり、$r=\frac6{\sqrt{60}}=\frac{\sqrt{15}}5=0.7745\ldots$ である。相関係数の詳しいことは 相関係数（高校数学） にある。

$\mathbb{R}^2$ で $\langle a,b\rangle:=a_1b_1-a_2b_2$ とする。これは双線形で対称である（def-csi-inner-product の 1・2 を満たす）が、$\langle(0,1),(0,1)\rangle=-1<0$ なので半正値性 3 を満たさない。$u=(1,0)$、$v=(1,1)$ とすると
$$ \langle u,v\rangle^2=1,\qquad\langle u,u\rangle\langle v,v\rangle=1\cdot(1-1)=0 $$
なので、Cauchy–Schwarz の不等式は成り立たない。証明の段 1 の 2 次式は $\langle tu-v,tu-v\rangle=(t-1)^2-1=t^2-2t$ となり、$0< t<2$ で負になる。「すべての $t$ で $0$ 以上」という出発点が崩れるので、結論も崩れる。含意「双線形で対称なら Cauchy–Schwarz の不等式が成り立つ」は成り立たず、半正値性が欠かせない。

ex-csi-examples の 4 の半内積 $\langle a,b\rangle=a_1b_1$ で、$u=(0,1)$、$v=(1,0)$ とする。$\langle u,v\rangle=0$、$\langle u,u\rangle=0$ なので、不等式は $0\le0$ として等号で成り立つが、$u$ と $v$ は 1 次独立である。半内積は正定値性 4 を満たさず、prf-thm-csi-main の段 6（$\langle t_0u-v,t_0u-v\rangle=0$ から $t_0u=v$ を出す所）が使えない。同じことは、区間上の連続とは限らない関数に積分の「内積」を考えたときにも起こる。たとえば $[0,1]$ で $x=\frac12$ だけで値 $1$、他で $0$ をとる関数 $h$ は $0$ でないが $\int_0^1h^2\,dx=0$ である。