平坦極限

$R$ は整域である。$g$ が $\operatorname{Spec}C$ の各点で平坦なら、平坦射 の記事の命題「平坦性の局所性」により $C$ は平坦 $R$ 加群であり、同記事の命題「整域上の平坦加群と捩れ」により捩れをもたない。
逆に $C$ が捩れをもたないとする。$\mathfrak q\subset C$ を素イデアル、$\mathfrak p\subset R$ をその引き戻しとする。$C_{\mathfrak q}$ も捩れをもたない $R_{\mathfrak p}$ 加群である。実際、$a\in R\setminus\{0\}$、$c\in C$、$s\notin\mathfrak q$ について $a\cdot(c/s)=0$ なら、ある $u\notin\mathfrak q$ で $uac=0$、よって $a(uc)=0$ から $uc=0$、すなわち $c/s=0$ である（$R_{\mathfrak p}$ の $0$ でない元は $a/b$ の形で、$1/b$ は可逆である）。$R_{\mathfrak p}$ は体か離散付値環で、どちらも単項イデアル整域なので、同記事の命題「整域上の平坦加群と捩れ」の後半により $C_{\mathfrak q}$ は平坦 $R_{\mathfrak p}$ 加群である。これは $g$ が $\mathfrak q$ で平坦であることにほかならない。$\square$

$\Sigma=R\setminus\{0\}$ とおくと $C_K=\Sigma^{-1}C$ であり、$R$ 加群 $N$ について $N\to N\otimes_RK=\Sigma^{-1}N$ の核は捩れ元全体である。
1：$(C/H)\otimes_RK=C_K/HC_K$ なので、$C/H$ が捩れをもたないことは $C/H\to C_K/HC_K$ が単射であること、すなわち $\pi^{-1}(HC_K)=H$ であることと同値である。
2：定義から $C/H\to C_K/J$ は単射で、$C_K/J$ は $K$ 上のベクトル空間だから捩れをもたず、その部分加群 $C/H$ も捩れをもたない。$\pi(H)\subset J$ なので $HC_K\subset J$ である。逆に $x\in J$ を $x=\pi(c)/a$（$c\in C$、$a\in\Sigma$）と書くと、$\pi(c)=ax\in J$ より $c\in H$ で、$x\in HC_K$ である。
3：$\pi^{-1}(J)_g\subset\pi_g^{-1}(J_g)$ は明らかである。$c/g^e\in C_g$ が $\pi_g^{-1}(J_g)$ に属すれば、ある $f\ge0$ で $g^f\pi(c)\in J$ となり、$g^fc\in\pi^{-1}(J)$ だから $c/g^e=g^fc/g^{e+f}\in\pi^{-1}(J)_g$ である。$\square$

$\operatorname{Spec}R\subset T$ をアフィン開集合、$0\le i\le n$ とし、$\mathbb P^n_R$ の標準アフィン開集合 $D_+(x_i)=\operatorname{Spec}C$、$C=R[x_0/x_i,\dots,x_n/x_i]$ を考える。生成ファイバー上の対応する開集合は $\operatorname{Spec}C_K$ である。
単射：$X$ が $T$ 上平坦で、$X\cap\operatorname{Spec}C=\operatorname{Spec}C/H$ とする。lem-flat-limit-torsion-free により $C/H$ は捩れをもたず、lem-flat-limit-contraction の 1 により $H=\pi^{-1}(HC_K)$ である。$HC_K$ は $X_\eta$ のこの開集合でのイデアルなので、$H$ は $X_\eta$ で決まる。閉部分スキームはアフィン開被覆の上のイデアルで決まるから、$X$ は $X_\eta$ で決まる。
全射：$Z\subset\mathbb P^n_K$ を閉部分スキームとし、$Z\cap\operatorname{Spec}C_K$ のイデアルを $J$ として $H_{R,i}=\pi^{-1}(J)\subset C$ とおく。これらは重なりで一致する。実際、$D_+(x_i)\cap D_+(x_j)$ は $\operatorname{Spec}C$ の $x_j/x_i$ による局所化であり、$\operatorname{Spec}R$ と別のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}R'$ の共通部分は、両方で主開集合になる開集合 $\operatorname{Spec}R_a=\operatorname{Spec}R'_{a'}$ で覆われる。どちらの局所化でも $Z$ のイデアルは局所化したもので与えられ、lem-flat-limit-contraction の 3 により縮約は局所化と交換する。よって $H_{R,i}$ は準連接なイデアル層 $\mathcal I\subset\mathcal O_{\mathbb P^n_T}$ に貼り合い、閉部分スキーム $X=V(\mathcal I)$ が定まる。lem-flat-limit-contraction の 2 により各 $C/H_{R,i}$ は捩れをもたないので、lem-flat-limit-torsion-free により $X$ は $T$ 上平坦であり、$H_{R,i}C_K=J$ だから $X_\eta=Z$ である。$\square$

$U$ は空でない開集合なので (＊) をみたし、生成点 $\eta$ を $T$ と共有する。$Z=(X_U)_\eta\subset\mathbb P^n_K$ とおき、thm-flat-limit-generic により $Z$ を生成ファイバーとする $T$ 上平坦な閉部分スキーム $X\subset\mathbb P^n_T$ をとる。$X\times_TU$ は $U$ 上平坦で生成ファイバーが $Z$ であり、$X_U$ も同じ性質をもつので、thm-flat-limit-generic の単射性を $U$ に当てて $X\times_TU=X_U$ を得る。これで存在がいえた。$X'$ を別の平坦な延長とすると $X'_\eta=(X_U)_\eta=Z=X_\eta$ なので、thm-flat-limit-generic の単射性を $T$ に当てて $X'=X$ である。$\square$

$x\in X$、$y=f(x)$、$B=\mathcal O_{X,x}$ とする。$y\ne\eta$ なら $y$ は閉点で、$\mathcal O_{T,y}$ は離散付値環である。その一意化元を $\tau$、$B$ での像を $\tau'=f^\sharp(\tau)$ とすると、局所準同型なので $\tau'\in\mathfrak m_x$ である。
平坦 ⇒ 判定：$x$ を随伴点とし、$y\ne\eta$ と仮定する。$\mathfrak m_x=\operatorname{Ann}(s)$（$s\ne0$）とすると $\tau's=0$ である。一方、$\tau$ 倍は $\mathcal O_{T,y}$ で単射なので、平坦性からその $B$ へのテンソル、すなわち $\tau'$ 倍も $B$ で単射であり、矛盾する。
判定 ⇒ 平坦：$y=\eta$ なら $\mathcal O_{T,y}$ は体なので平坦である。$y\ne\eta$ とする。$\mathcal O_{T,y}$ の $0$ でない元は単元と $\tau$ の冪の積なので、$B$ が捩れをもたないことは $\tau'$ が $B$ の零因子でないことと同値であり、そのとき $B$ は平坦である（平坦射 の記事の命題「整域上の平坦加群と捩れ」）。$\tau'$ が零因子だとする。$B$ は Noether なので、随伴素イデアル の定理「零因子を検出する和集合」により、$\tau'$ はある $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}_B(B)$ に属する。$\mathfrak p$ は $x$ の一般化 $x'$ に対応し、$\mathcal O_{X,x'}=B_{\mathfrak p}$ であり、同記事の定理「随伴素の局所化」により $\mathfrak pB_{\mathfrak p}\in\operatorname{Ass}(B_{\mathfrak p})$、すなわち $x'$ は $X$ の随伴点である。$f(x')$ は $\mathfrak p$ の $\mathcal O_{T,y}$ への引き戻しに対応し、これは $\tau$ を含むので極大イデアルである。よって $f(x')=y\ne\eta$ となり、仮定に反する。
被約な場合：局所 Noether スキームの既約成分の生成点は随伴点であり（埋め込み点 の記事の命題「随伴点の基本性質」）、被約なら埋め込み点はない（同記事の命題「埋め込み点をもたない十分条件」）ので、随伴点は既約成分の生成点に限る。既約成分 $W$ の生成点を $\xi$ とすると $f(W)\subset\overline{\{f(\xi)\}}$ なので、$f(\xi)=\eta$ であることと $f(W)$ が稠密であることは同値である。$\square$