滑らかな関数環の指標

同義語：滑らかな関数環の実指標character of a smooth function ring

概要

前提知識: 可微分多様体, 環準同型, 極大イデアル, 滑らかな消尽関数

定義

以下、$M$ は空でない有限次元の実 $C^\infty$ 級多様体で、Hausdorff かつ第2可算、境界なしとする。$C^\infty(M,\mathbb R)$ は $M$ 上の滑らかな実数値関数全体であり、$A_M$ と略記する。加法と積は各点で定め、定数関数 $1$ を単位元とする。この環には非有界な関数も含め、関数の台についても制限しない。

滑らかな関数環の実指標

滑らかな関数環の実指標（real character of a smooth function ring）とは、単位元を保つ環準同型
$$ \chi\colon A_M\longrightarrow\mathbb R $$
のことである。すなわち $\chi(f+g)=\chi(f)+\chi(g)$、$\chi(fg)=\chi(f)\chi(g)$、$\chi(1)=1$ を満たす写像をいう。これらの実指標の集合を $\operatorname{Char}_{\mathbb R}(A_M)$ と書く。

ここで「実」とは値域が $\mathbb R$ であることを指す。複素関数環の指標や群の表現の指標とは区別する。指標の連続性も実線形性も、定義では仮定しない。この設定ではどちらも後から従う。
各点 $p\in M$ は
$$ \operatorname{ev}_p(f)=f(p) $$
という実指標を与える。これを $p$ での 評価指標 という。定数関数だけでも任意の実数を値に取るので、$\operatorname{ev}_p$ は全射であり、その核
$$ \mathfrak m_p=\{f\in A_M:f(p)=0\} $$
は極大イデアルである。本記事の中心は、このような評価指標が実指標のすべてを尽くすという定理である。主張とその消尽関数を使う方法は MS74 Problem 1-C（pp. 11–12）に対応する。本記事では単位保存を明記した形で扱う。

直感と評価の例

滑らかな関数を一つ選ぶだけでは、その関数から点は決まらない。例えば円周上の高さは、普通は異なる二点で同じ値を取る。しかし、すべての滑らかな関数の値を同時に知れば、点を区別できる。さらに、値を取り出す操作が和・積・単位を保つなら、その操作自体が一つの点での評価になる。
これは単に「関数が多いから点を区別できる」というだけの主張ではない。点から作った評価以外に、環の演算を保つ実数値の操作がないことまで述べている。特に非コンパクトな多様体では、「無限遠で値を取る」という操作が新しい実指標にならないことが証明の要点となる。

実直線上の指標

$M=\mathbb R$ とし、座標関数を $t(x)=x$ とする。任意の指標 $\chi$ に対して $a=\chi(t)$ とおくと、後で示す定数の固定性を使って $\chi(f)=f(a)$ が直接確かめられる。実際、
$$ f(t)-f(a)=(t-a)g(t),\qquad g(t)=\int_0^1f'\bigl(a+s(t-a)\bigr)\,ds $$
である。$g$ は滑らかであり、両辺に $\chi$ を施すと $\chi(t-a)=0$ なので結論を得る。$g$ の滑らかさは、各コンパクトな $t$ の区間で積分のすべての階数の微分を積分内へ移せることから従う。この例では、一つの座標関数の指標値だけで評価点が決まる。

円周の点を復元する

$M=S^1=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2=1\}$ とする。座標制限関数を $u,v$ とすると、$u^2+v^2=1$ なので指標に対して $\chi(u)^2+\chi(v)^2=1$ となる。従って候補の点 $p=(\chi(u),\chi(v))$ は確かに円周上にある。ただし、この関係式だけでは任意の滑らかな関数 $f$ に対して $\chi(f)=f(p)$ であることまでは示していない。それを保証するのが以下の一般定理である。

離散可算多様体

$M=\mathbb N$ を離散位相の零次元多様体とすると、$A_M=\mathbb R^{\mathbb N}$ はすべての実数列の環である。点 $n$ での評価は第 $n$ 成分を取り出す指標である。$h(n)=n$ は非負で各有界な劣位集合が有限なので消尽関数となる。非コンパクトなこの例にも一般定理が適用され、単位的環準同型 $\mathbb R^{\mathbb N}\to\mathbb R$ は必ず一つの成分への評価となる。$h$ のような非有界関数も環に含める点が重要である。

指標が自動的に保つもの

定数と実線形性

実指標 $\chi\colon A_M\to\mathbb R$ は、すべての実定数 $c$ を固定する。従って $\chi$ は実線形である。また、点ごとに $f\ge0$ なら $\chi(f)\ge0$ である。

定数関数への制限を $j\colon\mathbb R\to\mathbb R$ とする。これは単位的環準同型なので、有理数を固定する。また $r>0$ なら $r=s^2$ となる非零実数 $s$ があり、$j(r)=j(s)^2>0$ である。最後の厳密な不等号は、$j(s)j(s^{-1})=1$ によって $j(s)\ne0$ となるためである。従って $j$ は順序を保つ。
任意の $c\in\mathbb R$ に対し $j(c)>c$ なら、その間に有理数 $q$ を選ぶと $c< q$ から $j(c)< j(q)=q$ となり矛盾する。$j(c)< c$ も同様に矛盾する。よって $j(c)=c$ である。積の保存から $\chi(cf)=c\chi(f)$ となり、加法の保存と合わせて実線形性を得る。
$f\ge0$ とする。任意の $\varepsilon>0$ に対して $f+\varepsilon$ は厳密に正なので $s_\varepsilon=\sqrt{f+\varepsilon}$ は滑らかな関数である。従って
$$ \chi(f)+\varepsilon=\chi(f+\varepsilon)=\chi(s_\varepsilon)^2\ge0. $$
すべての $\varepsilon>0$ で成り立つから $\chi(f)\ge0$ である。$\square$

非負な滑らかな関数の平方根を、そのまま滑らかと仮定した証明ではない。正の $\varepsilon$ を足してから平方根を取ることで、零点での滑らかさの問題を避けている。また、この命題で使った順序の議論は値域が実数体であることに依存する。

単位を保たない環準同型

単位保存を外すと、零写像 $f\mapsto0$ は加法と積を保つが、どの点での評価でもない。実際、評価は $1$ を $1$ に送る。
一方、$A_M\to\mathbb R$ の環準同型 $\psi$ が零写像でないなら、$\psi(1)^2=\psi(1)$ と実数体の冪等元が $0,1$ だけであることから $\psi(1)=1$ となる。もし $\psi(1)=0$ なら全 $f$ について $\psi(f)=\psi(1f)=0$ だからである。従って単位保存を仮定しない場合も、非零という仮定を代わりに置けば同じ対象になる。

消尽関数から共通零点を見つける

多様体の第2可算性と Hausdorff 性は、局所の情報を一つのコンパクト集合へまとめる段で使う。具体的には滑らかな消尽関数の定理「滑らかな消尽関数の存在」により、滑らかな関数 $h\colon M\to[1,\infty)$ で、任意の実数 $c$ に対して $\{h\le c\}$ がコンパクトとなるものが存在する。この存在定理の証明は同記事に譲り、以下ではその性質を使う。

実指標は一意な点での評価である

すべての $\chi\in\operatorname{Char}_{\mathbb R}(A_M)$ に対し、ただ一つの $p\in M$ が存在して、すべての $f\in A_M$ について $\chi(f)=f(p)$ が成り立つ。

$I=\ker\chi$、$\lambda=\chi(h)$ とおく。前の命題から $\lambda\ge1$ であり、$h-\lambda\in I$ である。集合
$$ K=\{x\in M:h(x)=\lambda\} $$
は、コンパクト集合 $\{h\le\lambda\}$ の閉部分集合なのでコンパクトである。$K=\emptyset$ なら $h-\lambda$ はどこでも零にならず、その逆 $1/(h-\lambda)$ は滑らかである。すると $I$ が単元を含んで $1\in I$ となり、$\chi(1)=1$ に反する。従って $K\ne\emptyset$ である。
$I$ のすべての関数が同時に零になる点が $K$ にないと仮定する。各 $x\in K$ について $g_x\in I$ で $g_x(x)\ne0$ となるものを選ぶ。$g_x\ne0$ となる開集合は $K$ を覆うので、コンパクト性により有限個 $g_1,\ldots,g_r\in I$ を選び、$K$ 上で $\sum_i g_i^2>0$ とできる。
ここで
$$ F=(h-\lambda)^2+\sum_{i=1}^r g_i^2 $$
とおく。$K$ 上では後半が正であり、$K$ の外では前半が正なので、$F$ は $M$ 全体で厳密に正である。また $I$ はイデアルなので $F\in I$ である。$1/F$ は滑らかな関数であり、$F(1/F)=1$ から再び $1\in I$ となって矛盾する。
従って、ある $p\in K$ で全 $g\in I$ が零になる。任意の $f\in A_M$ について、定数の固定性から $f-\chi(f)\in I$ なので、$f(p)-\chi(f)=0$ である。これで存在を得た。
一意性を示す。$p\ne q$ なら Hausdorff 性により $p$ を含み $q$ を含まない開集合 $U$ を取れる。滑らかな消尽関数の定理「隆起関数の存在」により、$p$ の近くで $1$、台が $U$ に含まれる滑らかな関数 $\beta$ を選べる。すると $\beta(p)=1$、$\beta(q)=0$ なので、二つの評価は異なる。$\square$

証明中の $F$ に正の一様下界があるとは限らない。しかし $A_M$ にはすべての滑らかな実関数を入れているため、非有界になり得る $1/F$ も使える。単元であるための条件は「どこでも零でないこと」であり、「零から一様に離れていること」ではない。この違いは有界関数だけの環と比較するときに重要になる。
また、非コンパクトな $M$ で全体から有限個の $g_i$ を選んだのではない。まず指標値 $\chi(h)$ の一つのレベル集合 $K$ に問題を閉じ込め、そのコンパクト性を使った。消尽関数が、無限個の点を一度に扱うための有限化を担っている。

実指標と極大イデアルを区別する

実指標の核は常に $\mathfrak m_p$ であり、剰余体は $\mathbb R$ になる。しかし、非コンパクトな多様体で極大イデアルをすべて実指標の核だと考えてはいけない。指標の値域を $\mathbb R$ と固定したことが、ここで効いている。

コンパクトな場合の極大イデアル

$M$ がコンパクトなら、$A_M$ のすべての極大イデアルは、一意な点 $p\in M$ に対する $\mathfrak m_p$ である。

極大イデアル $J$ に共通零点がないなら、前証明と同じ有限被覆の議論を今度は $M$ 全体に使い、有限個の $f_1,\ldots,f_r\in J$ について $G=\sum_i f_i^2>0$ を全 $M$ で得る。$G^{-1}\in A_M$ なので $1\in J$ となり、真イデアルであることに反する。
従ってある $p$ に対して $J\subset\mathfrak m_p$ である。$\mathfrak m_p$ も真イデアルだから、$J$ の極大性より $J=\mathfrak m_p$ となる。一意性は、異なる点を隆起関数で分離することから従う。$\square$

連続関数の場合の対応は連続関数環の定理「コンパクト性の特徴づけ」にある。ここでは有限個の関数とその逆も滑らかな関数環の中に残るため、同じ有限化を使える。

非コンパクトな場合の極大イデアルの反例

$M=\mathbb R$ とし、コンパクトな台を持つ滑らかな関数全体を $J$ とする。二つのコンパクトな台の和はコンパクトであり、任意の滑らかな関数を掛けても台は大きくならないので、$J$ は $C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)$ のイデアルである。定数関数 $1$ はコンパクトな台を持たないので $J$ は真イデアルである。
Zorn の補題による極大イデアルの存在を使い、$J$ を含む極大イデアル $\mathfrak n$ を取る。任意の $p\in\mathbb R$ に対し、$p$ で $1$ となるコンパクト台の隆起関数 $\beta_p$ が $J$ にある。従って $\beta_p\in\mathfrak n$ だが $\beta_p\notin\mathfrak m_p$ なので、$\mathfrak n$ はどの点の $\mathfrak m_p$ とも等しくない。
一方、指標復元定理から、$\mathfrak n$ は単位的実指標の核にはならない。特に剰余体 $A_M/\mathfrak n$ を、定数の像を保つ実代数として $\mathbb R$ と同一視することはできない。極大イデアルがあることと、実数値の指標があることは異なる。

点集合だけでなく位相も復元する

指標復元定理によって、評価写像
$$ e_M\colon M\longrightarrow\operatorname{Char}_{\mathbb R}(A_M),\qquad p\longmapsto\operatorname{ev}_p $$
は集合としての全単射になる。右辺にも、関数の値を観測する自然な位相を入れられる。

指標集合の弱位相

各 $f\in A_M$ に対する写像 $\widehat f(\chi)=\chi(f)$ がすべて連続となる最も弱い位相を、$\operatorname{Char}_{\mathbb R}(A_M)$ に入れる。これは、指標を座標値の族 $(\chi(f))_{f\in A_M}$ と見て、積空間 $\mathbb R^{A_M}$ から入れる部分空間位相である。

評価写像は同相写像

この弱位相の下で、$e_M$ は同相写像である。

各 $f$ について $\widehat f\circ e_M=f$ は連続なので、弱位相の定義から $e_M$ は連続である。逆方向を示すため、開集合 $U\subset M$ と点 $p\in U$ を取る。隆起関数 $\beta$ を $\beta(p)=1$、$\operatorname{supp}\beta\subset U$ となるように選ぶ。このとき
$$ p\in\{x:\beta(x)>1/2\}\subset U. $$
中央の集合は $e_M$ を通すと弱位相で開な集合 $\{\chi:\chi(\beta)>1/2\}$ になる。各 $p\in U$ でこのような集合を取れるので、$e_M(U)$ は開である。全単射かつ連続で開な写像だから同相写像である。$\square$

この位相は、極大イデアル全体の Zariski 位相を無条件に使ったものではない。特に非コンパクトな場合は、上の反例により極大イデアル全体には点評価でないものがある。実指標という集合と、すべての滑らかな関数による弱位相を指定することで、元の多様体の位相を回収した。全滑らかな関数を座標とする標準的な埋め込みの見方は、MS74 Lemma 1.5（p. 10）に対応する。
指標が連続であるという結論もここから理解できる。通常の、コンパクト集合上ですべての有限階導関数を測る $C^\infty$ 位相に対して、$f\mapsto f(p)$ は既に零階の評価 $|f(p)|$ によって連続である。すべての実指標がこの形なので、定義で連続性を要求しなくても連続になる。これは、任意の線形汎関数が自動的に連続という主張ではない。

環準同型から滑らかな写像を復元する

二つの多様体 $M,N$ の間の滑らかな写像 $\varphi\colon M\to N$ は、関数の引き戻し
$$ \varphi^*\colon A_N\longrightarrow A_M,\qquad \varphi^*(f)=f\circ\varphi $$
を与える。これは単位的環準同型であり、写像と反対向きに進む。次の命題はその逆を述べる。

滑らかな写像と単位的環準同型

$M,N$ を冒頭の仮定を満たす多様体とする。任意の単位的環準同型 $T\colon A_N\to A_M$ は、ただ一つの滑らかな写像 $\varphi\colon M\to N$ による引き戻し $T=\varphi^*$ である。特に単位的環同型 $A_N\cong A_M$ は、一意な微分同相写像 $M\to N$ による引き戻しである。

各 $p\in M$ に対し $\operatorname{ev}_p\circ T$ は $A_N$ の実指標である。指標復元定理により一意な $\varphi(p)\in N$ があり、すべての $f\in A_N$ について
$$ T(f)(p)=f(\varphi(p)) $$
となる。この式で写像 $\varphi$ を定める。$T(f)$ は滑らかなので、特にすべての $f\circ\varphi$ が連続である。前命題の証明の隆起関数による開集合の検出を $N$ に使うと、$\varphi$ は連続である。
滑らかさを確認する。$p\in M$、$q=\varphi(p)$ とし、$q$ の座標近傍 $U\subset N$ と座標関数 $u_1,\ldots,u_n$ を取る。隆起関数 $\beta$ を、$q$ の開近傍 $V\subset U$ で $1$、台が $U$ に含まれるように取る。$U$ 上の $\beta u_i$ を $U$ の外で零として延長した関数 $g_i$ は、$N$ 全体で滑らかである。実際、台が $U$ 内に閉じ込められているため、$U$ の外の各点の近くでは恒等的に零となる。
連続性から $\varphi^{-1}(V)$ は $p$ を含む開集合であり、その上で
$$ u_i\circ\varphi=g_i\circ\varphi=T(g_i) $$
となる。右辺は滑らかなので、$\varphi$ の局所座標表示は滑らかである。これですべての $p$ における滑らかさを得る。二つの写像が同じ $T$ を与えれば、各点で全関数の評価が一致するため、指標復元の一意性から写像は等しい。
$T$ が環同型なら、逆準同型 $T^{-1}\colon A_M\to A_N$ からも滑らかな写像 $\psi\colon N\to M$ を得る。合成の引き戻しは順序が逆になり、
$$ (\psi\circ\varphi)^*=\varphi^*\circ\psi^*=T\circ T^{-1}=\operatorname{id}_{A_M}. $$
一意性から $\psi\circ\varphi=\operatorname{id}_M$ となる。逆順も同様なので、$\varphi$ は微分同相写像である。$\square$

この結果は $M$ がコンパクトであることを要求しない。ただし、関数環がすべての滑らかな実関数を含み、単位を保つ準同型であり、各多様体が冒頭の条件を満たすという前提がある。原典の「多様体は関数環から決まる」という結論を、この条件を省いた任意の集合や任意の関数族へ拡張したものではない。
一つの関数族から集合の埋め込みを得るだけでは、元の滑らかな構造を取り戻したことにはならない。上の証明では全関数の指標から点を決め、隆起関数から連続性を決め、局所座標を大域関数へ延長することで滑らかさまで確認した。この三段階が、単なる点の分離と微分同相の復元との差である。

条件の違いを確かめる反例

線形でも乗法的でなければ評価ではない

$M=\mathbb R$ とし、$\ell(f)=f(0)+f'(0)$ とする。これは実線形で $\ell(1)=1$ だが指標ではない。座標関数 $t$ について $\ell(t)=1$、$\ell(t^2)=0$ なので、$\ell(t^2)\ne\ell(t)^2$ となる。単位を保つ線形汎関数をすべて点の評価とみなしてはいけない。

値域を双対数へ変えると微分も見える

$B=\mathbb R[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ とし、
$$ \Phi(f)=f(0)+f'(0)\varepsilon $$
とおく。積の微分法則と $\varepsilon^2=0$ により $\Phi(fg)=\Phi(f)\Phi(g)$ であり、$\Phi$ は単位的実代数準同型である。しかし値域は実数体でなく、座標関数 $t$ を非零の冪零元 $\varepsilon$ に送る。実数での評価に続けて定数を $B$ に入れる写像なら $t$ の像は実定数なので、この形にはならない。値域を変えた準同型は、点の値だけでなく微分の情報を持ち得る。導分と接ベクトルの対応は接ベクトルが扱う。

外す条件	反例	成り立たなくなること
単位保存（非零とも仮定しない）	零準同型 $A_M\to\mathbb R$	準同型が点評価であること
乗法性	$f\mapsto f(0)+f'(0)$	単位を保つ実線形汎関数が点評価であること
値域が実数体	双対数値の $f\mapsto f(0)+f'(0)\varepsilon$	準同型が点の値だけを記録すること
コンパクト性（全極大イデアルを調べる場合）	$C^\infty(\mathbb R)$ のコンパクト台関数イデアルを含む極大イデアル	すべての極大イデアルが $\mathfrak m_p$ であること
関数族が全滑らかな関数を含むこと	点を二つ以上持つ多様体で定数関数だけを取る	関数の値から点を区別すること

最後の行では、どの点の評価も定数関数環 $\mathbb R$ 上では恒等写像になるので、点の一意な復元が既に失敗する。これに対し、第2可算性や Hausdorff 性を外した場合の全指標の分類は、本記事では扱わない。上の反例を、それらの仮定の独立な反例であるかのように読み替えてはいけない。

他の関数環との関係

連続関数環は、連続実関数を使って空間を調べる。コンパクト Hausdorff 空間では、その環から位相空間を復元できる。本記事では、滑らかな関数を用いることで位相だけでなく滑らかな写像と微分同相まで復元する。非コンパクトな場合に実指標と全極大イデアルを区別する必要があるという点は、両方の議論で重要である。
1の分割や隆起関数は、局所的な座標を大域的な滑らかな関数へ接続する道具である。関数環からの復元では、これらは補助的な装飾ではなく、局所座標の情報が大域環の中に失われず残る理由を与える。一方、点における導分は積の値を微分する操作で、乗法性を満たす指標とは異なる。両者を区別すると、関数環の準同型が点を、Leibniz 則を満たす線形作用素が接ベクトルを記録するという関係が見える。