7円定理

原点 $O$ を中心とする半径 $3$ の円 $\Gamma$ の中に、半径 $1$ の円を 6 つ、中心が $O$ から距離 $2$ で $60^\circ$ おきに並ぶように置く。
(1) $\Gamma$ に接する。各円の中心と $O$ の距離は $2=3-1$ なので、各円は $\Gamma$ に内側から接する（2円の位置関係と共通接線）。接点は、$O$ から中心へ向かう半直線と $\Gamma$ の交点で、$60^\circ$ おきに並ぶ 6 点 $A_1,\dots,A_6$ である。
(2) 隣どうしが接する。隣り合う 2 つの中心と $O$ は、2 辺が $2$ で間の角が $60^\circ$ の二等辺三角形、つまり正三角形をつくるので、中心間の距離は $2=1+1$ である。よって隣どうしの円は外側から接する。
(3) 向かい合う接点を結ぶ。$A_1$ と $A_4$ は $180^\circ$ 離れているので、線分 $A_1A_4$ は $\Gamma$ の直径で、$O$ を通る。$A_2A_5$、$A_3A_6$ も同じく直径である。よって 3 本は $O$ で交わる。
なお、真ん中に半径 $1$ の円をもう 1 つ置くと、6 つの円すべてに接する。ただし、定理の名の「7 つの円」は、$\Gamma$ と輪の 6 つの円のことで、真ん中の円は数えない。

半径 $R=10$ の円 $\Gamma$ の中に、半径
$$ r_1=3.0,\quad r_2=3.8,\quad r_3=2.6,\quad r_4=3.5,\quad r_5=3.2,\quad r_6\approx3.9445 $$
の 6 つの円 $\omega_1,\dots,\omega_6$ を、どれも $\Gamma$ に内側から接し、$\omega_1$ と $\omega_2$、$\omega_2$ と $\omega_3$、…、$\omega_6$ と $\omega_1$ が外側から接するように並べる（図 1）。$r_1$ から $r_5$ は自由に選び、$r_6$ は $\omega_6$ が $\omega_5$ と $\omega_1$ の両方に接するように決めた（決め方は rem-sev-freedom）。
$\Gamma$ との接点 $A_1,\dots,A_6$ の、$O$ から見た向き（$x$ 軸の正の向きから反時計回りに測った角）は、小数第 1 位までで $-80.0^\circ$、$-18.3^\circ$、$37.0^\circ$、$88.5^\circ$、$149.0^\circ$、$216.2^\circ$ である。3 本の線分 $A_1A_4$、$A_2A_5$、$A_3A_6$ を引いて 2 本ずつの交点を計算すると、3 つの交点はどれも約 $(0.944,\ 0.782)$ で、差は計算の誤差（$10^{-29}$ 程度）の範囲で $0$ である。3 本は 1 点で交わる。

1. ex-sev-equal（$R=3$、$r_i=r_j=1$）。$A_iA_j=\dfrac{2\cdot3\cdot\sqrt{1\cdot1}}{\sqrt{2\cdot2}}=\dfrac62=3$ である。$60^\circ$ 離れた 2 点 $A_i$、$A_j$ と $O$ は正三角形をつくるので、実際に $A_iA_j=R=3$ である。
2. ex-sev-irregular の $\omega_1$、$\omega_2$（$R=10$、$r_1=3.0$、$r_2=3.8$）。
   $$ A_1A_2=\frac{20\sqrt{3.0\cdot3.8}}{\sqrt{7.0\cdot6.2}}=20\sqrt{\frac{11.4}{43.4}}\approx10.2503 $$
   で、接点の座標から計算した距離 $10.2503$ と一致する。

半径 $R$ の円 $\Gamma$ の上に、隣り合う点の間の弧の中心角が順に $50^\circ$、$70^\circ$、$60^\circ$、$60^\circ$、$70^\circ$、$50^\circ$ となるように $A_1,\dots,A_6$ をとる（和は $360^\circ$）。中心角 $\theta$ の弧の両端を結ぶ弦の長さは $2R\sin\dfrac\theta2$ である（$O$ から弦に垂線を下ろすと、斜辺 $R$ で角 $\dfrac\theta2$ の直角三角形が 2 つできる）。よって
$$ A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6=(2R)^3\sin25^\circ\sin30^\circ\sin35^\circ,\qquad A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_6A_1=(2R)^3\sin35^\circ\sin30^\circ\sin25^\circ $$
で、2 つの積は等しい。lem-sev-hexagon により 3 本の対角線は 1 点で交わる。
図形でも確かめられる。$A_1$ から $A_4$ までの弧は $50^\circ+70^\circ+60^\circ=180^\circ$ なので $A_1A_4$ は直径で、六角形は直線 $A_1A_4$ について左右対称である。この折り返しで $A_2$ と $A_6$、$A_3$ と $A_5$ が入れかわるので、直線 $A_2A_5$ と直線 $A_6A_3$ は互いの鏡像で、交点は折り返しの軸 $A_1A_4$ の上にある。$R=1$、$A_1=(1,0)$ として計算すると、交点は約 $(0.106,\ 0)$ である。

ex-sev-irregular の輪で、6 本の辺の長さを接点の座標から小数第 5 位まで求めると
$$ A_1A_2\approx10.25032,\quad A_2A_3\approx9.28104,\quad A_3A_4\approx8.69918,\quad A_4A_5\approx10.06764,\quad A_5A_6\approx11.07310,\quad A_6A_1\approx10.56720 $$
で、lem-sev-chord の式から求めた値と一致する。1 つおきの積は
$$ A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6\approx987.38,\qquad A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_6A_1\approx987.38 $$
で、prf-sev-main の段 2 の式 $(2R)^3\sqrt{\dfrac{r_1\cdots r_6}{s_1\cdots s_6}}=8000\sqrt{\dfrac{1309.44}{85959.86}}\approx987.38$ とも一致する。

ex-sev-irregular の $\omega_1,\dots,\omega_5$ はそのままにし、$\omega_6$ の代わりに、半径 $0.8r_6\approx3.156$ で $\Gamma$ と $\omega_5$ に接する円 $\omega_6'$ を置く。$\omega_6'$ と $\omega_1$ の中心間の距離は半径の和より約 $2.32$ 大きく、2 つの円の間にすき間がある（図 3）。条件 (ii) のうち「$\omega_6$ と $\omega_1$ が接する」だけが成り立たない。
新しい接点を $A_6'$ として 3 本の線分 $A_1A_4$、$A_2A_5$、$A_3A_6'$ の 2 本ずつの交点を求めると、約 $(0.944,\ 0.782)$、$(-0.044,\ 1.237)$、$(0.870,\ 1.780)$ で、3 本は小さな三角形をつくり、1 点で交わらない。1 つおきの積の比は
$$ \frac{A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6'}{A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_6'A_1}\approx0.726 $$
で、$1$ でない。lem-sev-chord は接している 2 つの円にしか使えないので、弦 $A_6'A_1$ が半径で書けず、prf-sev-main の段 2 の打ち消し合いが起こらない。

半径 $R$ の円の上に、隣り合う点の間の弧の中心角が $40^\circ$、$80^\circ$、$40^\circ$、$80^\circ$、$40^\circ$、$80^\circ$ となるように $A_1,\dots,A_6$ をとる（図 4）。弦の長さは $A_1A_2=A_3A_4=A_5A_6=2R\sin20^\circ$、$A_2A_3=A_4A_5=A_6A_1=2R\sin40^\circ$ なので
$$ \frac{A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6}{A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_6A_1}=\left(\frac{\sin20^\circ}{\sin40^\circ}\right)^3\approx0.151 $$
で、$1$ でない。lem-sev-hexagon により 3 本の対角線は 1 点で交わらない。
図形でも確かめられる。この六角形は $O$ のまわりの $120^\circ$ の回転で自分自身に移り、3 本の対角線も互いに移り合う。対角線 $A_1A_4$ の弧は $40^\circ+80^\circ+40^\circ=160^\circ$ で $180^\circ$ でないので、直径ではなく $O$ を通らない。3 本が 1 点 $P$ で交わるとすると、回転で $P$ も 3 本の交点に移るので $P$ は回転で動かない点、つまり $O$ になるが、対角線は $O$ を通らないので矛盾する。実際、3 本は $O$ を中心とする正三角形をつくり、$R=1$ のとき 1 辺は約 $0.602$ である。