圏の分類空間
概要
圏の分類空間（classifying space of a category）とは、小さな圏 $\mathcal C$ の脈体の幾何学的実現 $B\mathcal C=\lvert N(\mathcal C)\rvert$ であり、恒等射を含まない合成可能な射の列を胞体とする CW 複体である。関手 $F$ は連続写像 $BF$ を与え、自然変換 $F\Rightarrow G$ は $BF$ と $BG$ のホモトピーを与えるので、随伴をもつ関手はホモトピー同値を、終対象か始対象をもつ圏は可縮な空間を与える。弧状連結成分は圏の連結成分と対応し、$B(\mathcal C^{\mathrm{op}})$ は $B\mathcal C$ と同相である。群の分類空間は $K(G,1)$ であり、平行な 2 本の射の圏の分類空間は円周である。
小さな圏 $\mathcal C$ の脈体 $N(\mathcal C)$ は、対象を頂点、射を辺、合成可能な射の列を高次の単体とする単体的集合である。その幾何学的実現 $B\mathcal C=\lvert N(\mathcal C)\rvert$ を圏 $\mathcal C$ の 分類空間 という。関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ は連続写像 $BF\colon B\mathcal C\to B\mathcal D$ を与え、こうして圏の言葉で述べた事実が空間のホモトピー論の事実に移る。
この記事の中心は、自然変換 $F\Rightarrow G$ が $BF$ と $BG$ のあいだのホモトピーを与えるという定理（thm-bc-natural-transformation）である。射の向きが逆の自然変換でもホモトピーは逆向きにたどれるので、$B$ は射の向きを忘れる。この定理から、随伴をもつ関手は分類空間のホモトピー同値を与え、終対象か始対象をもつ圏の分類空間は可縮であることが従う。一方、$B\mathcal C$ は $\mathcal C$ の合成の関係まで含めた「形」を記録するので、平行な $2$ 本の射だけの圏は円周になる。逆向きの判定法、つまり関手が分類空間のホモトピー同値を与えるための十分条件は Quillenの定理A が与える。
定義
記号は 脈体 と 幾何学的実現 に従う。$[n]=\{0< 1< \cdots< n\}$ を順序集合の圏とみなし、脈体の $n$ 単体 $N(\mathcal C)_n=\operatorname{Fun}([n],\mathcal C)$ を合成可能な射の列 $c_0\to c_1\to\cdots\to c_n$ と同一視する。単体的集合 $X$ の幾何学的実現を $\lvert X\rvert$、点 $(x,t)\in X_n\times\lvert\Delta^n\rvert$ の類を $[x,t]$ と書く。
脈体と幾何学的実現はどちらも関手なので、$B(G\circ F)=BG\circ BF$、$B(\mathrm{id})=\mathrm{id}$ であり、$B$ は小さな圏と関手の圏から位相空間の圏への関手である。
幾何学的実現 の定理「幾何学的実現の CW 構造」により、$B\mathcal C$ は CW複体 であり、その $n$ 胞体は $N(\mathcal C)$ の非退化な $n$ 単体、つまり恒等射を含まない合成可能な $n$ 本の射の列と $1$ 対 $1$ に対応する。$BF$ は単体 $\iota_x$ を単体 $\iota_{N(F)x}$ へ写すので、$n$ 骨格を $n$ 骨格へ写す。
圏の分類空間は Qui73 §1（p. 89）で、非退化単体を胞体とする CW 複体として述べられている。Hat02 §2.3（p. 165）は、恒等射を含むすべての射の列を単体とする Δ 複体として同じ名前の空間を作っている。この記事では脈体の実現を使う。
例
$N([n])\cong\Delta^n$（脈体 の例「標準単体は $[n]$ の脈体」）なので、$B[n]$ は位相的 $n$ 単体 $\lvert\Delta^n\rvert$ と同相である。とくに $B[0]$ は $1$ 点、$B[1]$ は閉区間である。順序集合 $P$ では $N(P)$ の非退化単体は狭義の鎖 $p_0< \cdots< p_n$ であり、$BP$ は $P$ の順序複体の多面体である。単体複体 $X$ の単体全体を「面であること」で順序付けた順序集合 $P(X)$ では、$P(X)$ の狭義の鎖は $X$ の重心細分の単体と対応し、$BP(X)$ は $X$ と同相である（Qui73 §1, p. 89。Δ複体 の節「重心細分と単体複体」も見よ）。この記事では証明しない。
対象 $x,y$ と、恒等射のほかに射 $f,g\colon x\to y$ だけをもつ圏 $\mathcal K$ では、恒等射を含まない合成可能な列は長さ $1$ 以下なので、$B\mathcal K$ は $0$ 胞体 $2$ 個と、それらを結ぶ $1$ 胞体 $2$ 個からなる CW 複体、つまり円周 $S^1$ と同相である（脈体 の例「平行な $2$ 本の射の圏」）。$\mathcal K$ の中にはループがないが、$f$ と $g$ が同じ $2$ 点を結ぶ $2$ 通りの道であることが $1$ 次元の穴として残る。
群 $G$ を対象 $1$ つの圏とみなすと、$N(G)$ は $n$ 単体が $G^n$ である単体的集合 $BG$ であり（脈体 の例「群の脈体 $BG$」）、その実現は $\pi_1\cong G$、$\pi_n=0$（$n\geq2$）を満たす Eilenberg–MacLane空間 $K(G,1)$ である（分類空間 の節「単体的な構成と代数幾何の $BG$」と系「離散群の分類空間」。この記事では証明しない）。圏の分類空間という名前はこの例から来ている。
連結成分
共終関手 の定義「連結な圏」のとおり、対象 $x,y$ がどちらかの向きの射の有限列で結べるとき $x\approx y$ と書き、その同値類の集合を $\pi_0(\mathcal C)$ と書く。
$\mathcal C$ を小さな圏とする。対象 $c$ を頂点 $[c,1]\in B\mathcal C$ へ送る写像は、全単射 $\pi_0(\mathcal C)\to\pi_0(B\mathcal C)$ を誘導する。とくに、$B\mathcal C$ が弧状連結であることと、$\mathcal C$ が空でなく連結であることは同値である。
$A\in\pi_0(\mathcal C)$ ごとに、$A$ の対象からなる充満部分圏を $\mathcal C_A$ とする。$n$ 単体 $c_0\to\cdots\to c_n$ の対象は射で結ばれているので、すべて同じ成分に入る。したがって $N(\mathcal C)$ は部分単体的集合 $N(\mathcal C_A)$ の非交和であり、幾何学的実現は余極限を保つ（幾何学的実現 の系「余極限の保存」）ので、$B\mathcal C$ は空間 $B\mathcal C_A$ の位相的な非交和である。各 $B\mathcal C_A$ は開かつ閉なので、$B\mathcal C$ の弧状連結成分はいずれかの $B\mathcal C_A$ に含まれる。
残りは、各 $B\mathcal C_A$ が弧状連結であることである。$B\mathcal C_A$ の点は、ある単体 $x=(c_0\to\cdots\to c_n)$ の特性写像の像 $\iota_x(\lvert\Delta^n\rvert)$ に入る。$\lvert\Delta^n\rvert$ は弧状連結で、その頂点 $e_0$ は頂点 $[c_0,1]$ へ写るので、どの点も道で頂点と結べる。射 $f\colon c\to c'$ は $1$ 単体であり、$\iota_f$ は $[c,1]$ と $[c',1]$ を結ぶ道である。$\mathcal C_A$ の対象はどれも射の有限列で結べるので、$B\mathcal C_A$ の頂点は互いに道で結べる。以上から $A\mapsto B\mathcal C_A$ が $\pi_0(\mathcal C)$ と $\pi_0(B\mathcal C)$ の全単射を与える。$\square$
主定理：自然変換はホモトピーを与える
小さな圏の間の関手 $F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D$ と自然変換 $\theta\colon F\Rightarrow G$ があれば、$BF$ と $BG$ はホモトピックである。より詳しく、連続写像 $H\colon B\mathcal C\times[0,1]\to B\mathcal D$ で $H(-,0)=BF$、$H(-,1)=BG$ となるものがあり、各頂点 $c$ について道 $t\mapsto H([c,1],t)$ は辺 $\theta_c$ の特性写像である。
段 1（単体的ホモトピー）．脈体 の命題「自然変換と $\Delta^1\times N(\mathcal C)$」により、$\theta$ は単体的写像 $h\colon\Delta^1\times N(\mathcal C)\to N(\mathcal D)$ で、$\{0\}\times N(\mathcal C)$ への制限が $N(F)$、$\{1\}\times N(\mathcal C)$ への制限が $N(G)$ であるものに対応する。具体的には、$\Delta^1\times N(\mathcal C)\cong N([1]\times\mathcal C)$ のもとで $h$ は関手 $\Theta\colon[1]\times\mathcal C\to\mathcal D$、$\Theta(0,-)=F$、$\Theta(1,-)=G$、$\Theta(0\to1,\mathrm{id}_c)=\theta_c$ の脈体である。成分の順を入れ替えた $h'\colon N(\mathcal C)\times\Delta^1\to N(\mathcal D)$ は、可縮空間(単体的集合) の定義「単体的ホモトピー」の意味で $N(F)$ から $N(G)$ への単体的ホモトピーである。
段 2（実現）．同じ記事の定理「実現はホモトピーを保つ」の証明のとおり、射影の実現を並べた写像 $\vartheta\colon\lvert N(\mathcal C)\times\Delta^1\rvert\to B\mathcal C\times\lvert\Delta^1\rvert$ は同相写像であり（$\Delta^1$ の非退化単体が有限個なので。Ker26 Corollary 3.6.2.2（Tag 013E））、$\lvert\Delta^1\rvert$ を $[0,1]$ と同一視して $H=\lvert h'\rvert\circ\vartheta^{-1}$ とおくと、$H(-,0)=\lvert N(F)\rvert=BF$、$H(-,1)=BG$ である。
段 3（頂点を通る道）．頂点 $c$ と $\Delta^1$ の非退化な辺 $\mathrm{id}_{[1]}$ の組は $N(\mathcal C)\times\Delta^1$ の $1$ 単体 $(s_0c,\mathrm{id}_{[1]})$ であり、$\vartheta$ はその特性写像を $t\mapsto([c,1],t)$ に写す。$h'$ はこの $1$ 単体を $\Theta$ の射 $(0\to1,\mathrm{id}_c)$、つまり $\theta_c$ へ送るので、$H([c,1],-)$ は辺 $\theta_c$ の特性写像である。$\square$
この定理は Qui73 §1 Proposition 2（p. 92）にあたる。自然変換の向きは結論に現れない。$B$ は「$F$ から $G$ への射がある」ことと「$G$ から $F$ への射がある」ことを区別せず、どちらもホモトピーとして記録する。この見方は次の命題にも現れる。
小さな圏 $\mathcal C$ とその反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ について、$B(\mathcal C^{\mathrm{op}})$ と $B\mathcal C$ は同相である。
要点：$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の射の列 $c_0\leftarrow\cdots\leftarrow c_n$ を逆に読むと $\mathcal C$ の列になり、それに合わせて位相的単体の座標を逆順に並べ替える。
詳しい証明を開く
$r_n\colon[n]\to[n]$、$i\mapsto n-i$ とし、順序写像 $\alpha\colon[m]\to[n]$ に対し $\alpha^\vee=r_n\alpha r_m$ とおく。$\alpha^\vee$ も順序写像である。関手 $u\colon[n]\to\mathcal C^{\mathrm{op}}$ は関手 $[n]^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$ と同じであり、$r_n$ を $[n]\to[n]^{\mathrm{op}}$ の同型とみて $\varphi_n(u)=u\circ r_n\in N(\mathcal C)_n$ とおくと、$\varphi_n$ は全単射で $\varphi_m(\alpha^*u)=u\alpha r_m=(u r_n)(r_n\alpha r_m)=(\alpha^\vee)^*\varphi_n(u)$ を満たす。位相的単体の座標を逆に並べる写像 $\rho_n=\lvert r_n\rvert$ は $\rho_n\lvert\alpha\rvert=\lvert\alpha^\vee\rvert\rho_m$ を満たす。そこで $\Psi(u,t)=[\varphi_n(u),\rho_nt]$ とおくと、$\Psi(\alpha^*u,t)=[(\alpha^\vee)^*\varphi_n(u),\rho_mt]=[\varphi_n(u),\lvert\alpha^\vee\rvert\rho_mt]=[\varphi_n(u),\rho_n\lvert\alpha\rvert t]=\Psi(u,\lvert\alpha\rvert t)$ なので、$\Psi$ は連続写像 $B(\mathcal C^{\mathrm{op}})\to B\mathcal C$ を誘導する。$\mathcal C$ と $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ を入れ替えた同じ構成が逆写像を与えるので、同相写像である。$\square$
同相写像は一般には関手からは得られない（Qui73 §1, p. 91）。
系：随伴と終対象
小さな圏の間の関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が左随伴または右随伴をもてば、$BF$ はホモトピー同値写像である。とくに、圏同値はホモトピー同値を与える。
$G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ を $F$ の右随伴とし、単位を $\eta\colon\mathrm{id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF$、余単位を $\varepsilon\colon FG\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal D}$ とする（随伴関手 の命題「随伴から単位・余単位を取り出す」）。thm-bc-natural-transformation と $B$ の関手性から
$$
BG\circ BF=B(GF)\simeq B(\mathrm{id}_{\mathcal C})=\mathrm{id}_{B\mathcal C},\qquad BF\circ BG=B(FG)\simeq\mathrm{id}_{B\mathcal D}
$$
なので、$BG$ は $BF$ のホモトピー逆写像である。左随伴の場合も同じである。圏同値は随伴の一部である。$\square$
$t$ を終対象とし、$k_t\colon\mathcal C\to\mathcal C$ をすべての対象を $t$ へ、すべての射を $\mathrm{id}_t$ へ送る関手とする。各 $c$ について唯一の射 $\theta_c\colon c\to t$ をとると、射 $f\colon c\to c'$ について $\theta_{c'}\circ f$ と $\mathrm{id}_t\circ\theta_c$ はどちらも $c\to t$ の射なので一致し、$\theta\colon\mathrm{id}_{\mathcal C}\Rightarrow k_t$ は自然変換である。$k_t$ は一点圏 $[0]$ を経由する合成 $\mathcal C\to[0]\to\mathcal C$ なので、$Bk_t$ は $1$ 点 $B[0]$ を経由する定値写像である。thm-bc-natural-transformation により $\mathrm{id}_{B\mathcal C}=B(\mathrm{id})$ は定値写像とホモトピックであり、$B\mathcal C$（$t$ があるので空でない）は可縮である。始対象 $i$ なら、同じように自然変換 $k_i\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal C}$ を使う。$\square$
この系は Qui73 §1 Proposition 2 の Corollary 1・2（p. 92）にあたる。たとえば、空でない有向集合のうち最大元をもつもの、圏 $\mathcal D$ の対象 $d$ の上のスライス圏 $\mathcal D/d$（終対象 $\mathrm{id}_d$）、下のスライス圏 $d/\mathcal D$（始対象 $\mathrm{id}_d$）の分類空間は可縮である。スライス圏の可縮性は Quillenの定理A の証明で使われる。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 終対象または始対象をもつ（cor-bc-terminal） | ex-bc-parallel の圏 $\mathcal K$（空でなく連結） | $B\mathcal K$ が可縮であること |
| 関手が随伴をもつ（cor-bc-adjoint） | 一点圏 $[0]$ から $\mathcal K$ への、対象 $x$ を選ぶ関手 $F$ | $BF$ がホモトピー同値写像であること |
| 面の順序集合をとる空間が単体複体である（ex-bc-poset） | 頂点 $1$ 個・辺 $1$ 本の Δ 複体としての円周 $X$ | $BP(X)$ が $X$ と同相であること |
1 行目：$B\mathcal K$ は円周と同相で、円周は可縮でない（基本群が $\mathbb Z$）。$\mathcal K$ に終対象がないのは、$y$ へは $x$ から $2$ 本の射があり、$x$ へは $y$ から射がないからである。始対象がないのも同様である。
2 行目：右随伴 $G$ があれば $\operatorname{Hom}_{\mathcal K}(x,k)$ はどの $k$ でも $1$ 点のはずだが、$k=y$ では $2$ 点である。左随伴があれば $\operatorname{Hom}_{\mathcal K}(k,x)$ はどの $k$ でも $1$ 点のはずだが、$k=y$ では空である。$BF$ は $1$ 点から円周への写像なのでホモトピー同値でない。
3 行目の確かめを開く
円周 $X$ を、頂点 $v$ と、両端を $v$ に貼った辺 $e$ からなる Δ 複体とみる（Δ複体 の例「円周の重心細分」と同じ構造）。単体を「面であること」で順序付けると $P(X)=\{v< e\}$ であり、$e$ は最大元なので終対象である。cor-bc-terminal により $BP(X)$ は可縮で、実際 $N(P(X))=\Delta^1$ だから $BP(X)$ は閉区間である。一方 $X$ は円周なので、$BP(X)$ は $X$ とホモトピー同値でさえない。順序集合 $P(X)$ は「$v$ が $e$ の面である」ことを $1$ 回しか数えず、$e$ の両端がどちらも $v$ であることを失う。$v$ から $e$ への射を「$e$ の $0$ 番目の頂点として」と「$1$ 番目の頂点として」の $2$ 本にした圏は ex-bc-parallel の $\mathcal K$ そのもので、その分類空間は円周に戻る。単体の現れ方を射で記録するこの構成が 単体的集合の単体の圏 である。
逆向きの主張も成り立たない。対象 $1$ を選ぶ関手 $[0]\to[1]$ は、$1$ が終対象なので $[1]\to[0]$ を左随伴にもち、cor-bc-adjoint により $B[0]\to B[1]$ はホモトピー同値だが、$[0]$ と $[1]$ は同値な圏ではない。$\mathcal C$ と $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ も、同値でなくても同相な分類空間をもつ（prop-bc-op）。
発展
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が分類空間のホモトピー同値を与えるための判定法が Quillenの定理A である。各対象 $d$ について、$d$ から $F$ の像への射のなす圏（コンマ圏 $(d\downarrow F)$）の分類空間が可縮なら、$BF$ はホモトピー同値写像である。随伴をもつ関手ではこのコンマ圏が始対象をもつので、cor-bc-adjoint はその特別な場合になる。
どの単体的集合 $K$ についても、単体的集合の単体の圏 $\Delta/K$ の分類空間は $\lvert K\rvert$ と弱ホモトピー同値である。したがって、単体的集合の実現として現れるホモトピー型はすべて圏の分類空間として現れる。順序集合だけでも、単体複体の多面体はすべて現れる（ex-bc-poset）。
関連項目
- 前提: 脈体, 幾何学的実現, 自然変換, 随伴関手
- 直後に読む: Quillenの定理A, 単体的集合の単体の圏
- 比較: 分類空間, Δ複体, 共終関手
- 使う道具: 可縮空間(単体的集合), CW複体, 可縮空間
参考文献
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