多重指数
概要
多重指数（multi-index）とは、非負整数の組 $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ のことであり、長さ $|\alpha|$ と階乗 $\alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!$ を使って、単項式 $x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$ や偏微分 $\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}$ を $x^\alpha$、$\partial^\alpha$ と書く記法である。これにより多項定理、積の高階偏導関数の Leibniz 則、多変数の Taylor の公式が 1 変数と同じ形で書ける。偏微分方程式、多変数の冪級数、微分形式の成分表示などで標準的に使われる。
多重指数（multi-index）とは、非負整数を $n$ 個並べた組 $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ のことであり、多変数の単項式 $x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$ や偏微分 $\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}$ を $x^\alpha$、$\partial^\alpha$ と 1 文字で書くための記法である。この記法を使うと、多項定理・積の高階微分の Leibniz 則・Taylor の公式といった多変数の公式が、1 変数の公式とほとんど同じ形で書ける。偏微分方程式、多変数の冪級数（多変数複素解析や非 Archimedes 的な解析）、微分形式の成分表示など、変数が多い場面のほとんどで使われる。
この記事では、記法を定義したあと、多重指数の個数を数え、多項定理を多重指数で書き表し、Leibniz 則と Taylor の公式を証明し、仮定を外すと公式が崩れる例を挙げる。
定義
$n\ge1$ を整数とし、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ とする。$\mathbb{N}^n$ の元 $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ を（$n$ 変数の）多重指数という。多重指数 $\alpha,\beta\in\mathbb{N}^n$ に対して次のように定める。
- 長さ（または次数）$|\alpha|:=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$、階乗 $\alpha!:=\alpha_1!\cdots\alpha_n!$。
- 和 $\alpha+\beta:=(\alpha_1+\beta_1,\dots,\alpha_n+\beta_n)$。すべての $j$ で $\beta_j\le\alpha_j$ のとき $\beta\le\alpha$ と書き、このとき差 $\alpha-\beta:=(\alpha_1-\beta_1,\dots,\alpha_n-\beta_n)$ と二項係数
$$ \binom{\alpha}{\beta}:=\frac{\alpha!}{\beta!\,(\alpha-\beta)!}=\prod_{j=1}^n\binom{\alpha_j}{\beta_j} $$
を定める。$\beta\le\alpha$ でないときは $\binom{\alpha}{\beta}:=0$ とする。 - $e_j\in\mathbb{N}^n$ を第 $j$ 成分だけが $1$ で他が $0$ の多重指数とする。
- 可換環 $R$ の元の組 $x=(x_1,\dots,x_n)\in R^n$ に対し、単項式 $x^\alpha:=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$（$x_j^0=1$）。
- 開集合 $U\subset\mathbb{R}^n$ 上の関数 $f$ に対し、$\partial_j:=\partial/\partial x_j$ として
$$ \partial^\alpha f:=\partial_1^{\alpha_1}\partial_2^{\alpha_2}\cdots\partial_n^{\alpha_n}f=\frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}} $$
（$\partial^0f=f$）。
$\le$ は $\mathbb{N}^n$ の半順序であり、全順序ではない。たとえば $n=2$ で $(1,0)$ と $(0,1)$ はどちらも他方以下でない。$\partial^\alpha f$ は、$f$ が $C^{|\alpha|}$ 級なら偏微分の順序によらずに定まる（偏微分 の系「$C^2$ 級関数の偏微分の可換性」の後半）。このとき $\partial^\alpha\partial^\beta f=\partial^{\alpha+\beta}f$（$f$ が $C^{|\alpha|+|\beta|}$ 級のとき）が成り立つ。順序によらないことが保証されないときは、$\partial^\alpha f$ は定義の順序で計算した値であり、別の順序で計算した値と一致するとは限らない（ex-mi-mixed）。
微分の記号は文献により $D^\alpha$、$\partial_x^\alpha$ とも書き、$D^\alpha$ に定数倍を含める流儀（Fourier 変換と相性のよい $D_j=-i\,\partial_j$ など）もある。多重指数を「多重次数」と呼ぶ文献もある。
$n=3$、$\alpha=(2,0,1)$、$\beta=(1,0,1)$ とする。$|\alpha|=3$、$\alpha!=2!\,0!\,1!=2$、$\beta\le\alpha$、$\alpha-\beta=(1,0,0)$、$\binom{\alpha}{\beta}=\binom21\binom00\binom11=2$ である。$x^\alpha=x_1^2x_3$、$\partial^\alpha f=\partial_1^2\partial_3f$ である。$\gamma=(0,1,0)$ は $\gamma\le\alpha$ を満たさないので $\binom{\alpha}{\gamma}=0$ である。
微分形式で使う多重添字
微分形式の成分表示では、別の種類の組を使う。
$1\le p\le n$ とする。整数の組 $I=(i_1,\dots,i_p)$ で $1\le i_1< i_2<\cdots< i_p\le n$ を満たすものを、長さ $p$ の増加する多重添字という。これに対し $dx^I:=dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}$ と書く。
増加する多重添字 $I$ は、$\{i_1,\dots,i_p\}$ の指示関数 $\alpha_j=1$（$j\in I$）、$\alpha_j=0$（$j\notin I$）を通して、成分が $0$ か $1$ で $|\alpha|=p$ の多重指数と 1 対 1 に対応する。微分形式では $dx^i\wedge dx^i=0$ なので同じ添字を 2 回使う必要がなく、並べ替えは符号で吸収されるので、増加するものだけを考えれば足りる。その個数は $\binom np$ である。一方、単項式と偏微分では同じ変数を何回でも使うので、$\mathbb{N}^n$ の全体が必要になる。以下、単に多重指数といえば $\mathbb{N}^n$ の元を指す。
多重指数の個数
$n\ge1$、$k\ge0$ とする。
- $|\alpha|=k$ となる $\alpha\in\mathbb{N}^n$ の個数は $\dbinom{n+k-1}{k}$ である。
- $|\alpha|\le k$ となる $\alpha\in\mathbb{N}^n$ の個数は $\dbinom{n+k}{k}$ である。
要点：$|\alpha|=k$ の $\alpha$ は、$k$ 個の印と $n-1$ 個の仕切りの並べ方と 1 対 1 に対応する。2 は余りの成分 $k-|\alpha|$ を付け足して 1 に帰着する。
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1. $|\alpha|=k$ の $\alpha$ に、$k$ 個の記号 $\ast$ と $n-1$ 個の仕切り $|$ を並べた列「$\ast$ を $\alpha_1$ 個、$|$、$\ast$ を $\alpha_2$ 個、$|$、…、$|$、$\ast$ を $\alpha_n$ 個」を対応させる。この列は長さ $n+k-1$ で $\ast$ をちょうど $k$ 個含む。逆に、長さ $n+k-1$ で $\ast$ を $k$ 個、$|$ を $n-1$ 個含む列が与えられると、$j-1$ 番目と $j$ 番目の仕切りの間（両端は列の端まで）の $\ast$ の個数を $\alpha_j$ とおけば $|\alpha|=k$ の $\alpha$ が得られ、2 つの対応は互いに逆である。したがって求める個数は、$n+k-1$ か所から $\ast$ の位置 $k$ か所を選ぶ方法の数 $\binom{n+k-1}{k}$ に等しい。
2. $|\alpha|\le k$ の $\alpha\in\mathbb{N}^n$ に $\alpha':=(\alpha_1,\dots,\alpha_n,k-|\alpha|)\in\mathbb{N}^{n+1}$ を対応させると、$|\alpha'|=k$ であり、最後の成分を落とす写像が逆を与える。よって 1 を $n+1$ 変数に使って $\binom{(n+1)+k-1}{k}=\binom{n+k}{k}$ である。
$n$ 変数の実係数多項式で次数が $k$ 以下のもの全体は、単項式 $x^\alpha$（$|\alpha|\le k$）を基底にもつ（基底であることは cor-mi-coeff で確かめる）。したがってその次元は $\binom{n+k}{k}$ である。$n=2$、$k=2$ なら $1,x_1,x_2,x_1^2,x_1x_2,x_2^2$ の $6=\binom42$ 個である。
多項定理と二項定理
多重指数の階乗を使うと、和の冪の展開が 1 行で書ける。
$R$ を可換環、$x=(x_1,\dots,x_n)\in R^n$、$k\ge0$ とする。このとき
$$
(x_1+\cdots+x_n)^k=\sum_{|\alpha|=k}\frac{k!}{\alpha!}\,x^\alpha
$$
が成り立つ。ここで係数 $\dfrac{k!}{\alpha!}$ は整数であり、整数 $m$ は $R$ の元 $m\cdot1$ とみなす。
これは 二項定理 の定理「多項定理」（環の元がどの 2 つも可換な場合。係数が整数であることも含む）を多重指数で書いたものである。
係数 $k!/\alpha!$ を多項係数（多項係数）という。$n=2$ で $\alpha=(j,k-j)$ とすると $k!/\alpha!=\binom kj$ となり、二項定理に戻る。組合せ論的には、$k!/\alpha!$ は $1,\dots,n$ を $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 回ずつ使って長さ $k$ の列を作る方法の数である（$(x_1+\cdots+x_n)^k$ を展開すると、長さ $k$ の列 $(j_1,\dots,j_k)$ ごとに項 $x_{j_1}\cdots x_{j_k}$ が 1 つずつ現れ、整数係数の多項式環で係数を比べればよい）。高校数学の 同じものを含む順列と多項定理 はこの数え方による証明である。
$R$ を可換環、$x,y\in R^n$、$\alpha\in\mathbb{N}^n$ とする。$x+y:=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)$ とおくと
$$
(x+y)^\alpha=\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}x^\beta y^{\alpha-\beta}
$$
が成り立つ。
要点：座標ごとの二項定理を $n$ 個掛け合わせて展開する。
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各 $j$ で二項定理により $(x_j+y_j)^{\alpha_j}=\sum_{\beta_j=0}^{\alpha_j}\binom{\alpha_j}{\beta_j}x_j^{\beta_j}y_j^{\alpha_j-\beta_j}$ である。これを $j=1,\dots,n$ について掛け合わせ、可換環で積を展開すると、$(\beta_1,\dots,\beta_n)$ は $0\le\beta_j\le\alpha_j$ の組、すなわち $\beta\le\alpha$ の多重指数をちょうど 1 回ずつ動き、各項は $\prod_j\binom{\alpha_j}{\beta_j}\cdot x^\beta y^{\alpha-\beta}=\binom{\alpha}{\beta}x^\beta y^{\alpha-\beta}$ になる。
両辺の $x^\beta y^{\alpha-\beta}$ の係数を比べる代わりに $x=y=(1,\dots,1)$ を代入すると、$2^{|\alpha|}=\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}$ が得られる。
単項式の微分と多項式の係数
以下、$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合とし、関数は実数値または複素数値とする。
$\alpha,\beta\in\mathbb{N}^n$ とする。$\mathbb{R}^n$ 上で
$$
\partial^\beta x^\alpha=\begin{cases}\dfrac{\alpha!}{(\alpha-\beta)!}\,x^{\alpha-\beta}&(\beta\le\alpha)\\[1ex] 0&(\beta\le\alpha\text{ でない})\end{cases}
$$
が成り立つ。特に $\partial^\beta x^\alpha$ の原点での値は、$\beta=\alpha$ なら $\alpha!$、$\beta\ne\alpha$ なら $0$ である。
要点：$\partial_j$ は $x^\alpha$ の第 $j$ 因子 $x_j^{\alpha_j}$ だけに作用するので、1 変数の計算の積になる。
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$x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$ の第 $j$ 因子は $x_j$ だけの関数なので、$\partial_j$ は第 $j$ 因子だけに作用する。1 変数では $\frac{d^{b}}{dt^{b}}t^{a}=\frac{a!}{(a-b)!}t^{a-b}$（$b\le a$）、$=0$（$b>a$）であるから、$j$ ごとにこれを使って掛け合わせればよい。原点では $x^{\alpha-\beta}$ の値は $\alpha-\beta=0$ のとき $1$、それ以外のとき $0$ である。
有限個を除いて $0$ の係数 $c_\alpha$ による多項式 $P(x)=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha$ について、$c_\alpha=\dfrac{\partial^\alpha P(0)}{\alpha!}$ である。特に $P$ が $\mathbb{R}^n$ 上の関数として $0$ なら、すべての $c_\alpha$ は $0$ であり、単項式 $x^\alpha$ は関数として 1 次独立である。
lem-mi-monomial により $\partial^\alpha P(0)=\sum_\beta c_\beta\,\partial^\alpha x^\beta(0)=c_\alpha\,\alpha!$ である。$P=0$ ならすべての偏導関数が $0$ なので $c_\alpha=0$ である。
Leibniz 則
積の高階偏導関数は、prop-mi-binomial の二項定理と同じ係数で展開される。
$k\ge0$、$f,g\colon U\to\mathbb{C}$ を $C^k$ 級とする。$|\alpha|\le k$ の多重指数 $\alpha$ に対し
$$
\partial^\alpha(fg)=\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}\,\partial^\beta f\;\partial^{\alpha-\beta}g
$$
が $U$ 上で成り立つ。
$fg$ は $C^k$ 級なので左辺は順序によらず定まる。$|\alpha|=0$ では両辺とも $fg$ である。$|\alpha|< k$ の $\alpha$ で等式が成り立つとし、$\alpha+e_j$ で示す。$\beta\le\alpha$ なら $|\beta|,|\alpha-\beta|\le|\alpha|\le k-1$ なので $\partial^\beta f$、$\partial^{\alpha-\beta}g$ は $C^1$ 級であり、1 変数の積の微分法と $\partial_j\partial^\gamma=\partial^{\gamma+e_j}$ により
$$
\partial^{\alpha+e_j}(fg)=\partial_j\partial^\alpha(fg)=\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}\Bigl(\partial^{\beta+e_j}f\;\partial^{\alpha-\beta}g+\partial^\beta f\;\partial^{\alpha+e_j-\beta}g\Bigr)
$$
となる。第 1 項で $\gamma:=\beta+e_j$ と置き換えると、その和は $\gamma\ge e_j$、$\gamma-e_j\le\alpha$ を満たす $\gamma$ にわたる $\sum_{\gamma}\binom{\alpha}{\gamma-e_j}\partial^\gamma f\,\partial^{\alpha+e_j-\gamma}g$ になる。$\gamma_j=0$ のとき $\binom{\alpha}{\gamma-e_j}:=0$ とおけば、二項係数を $0$ に延長した約束により、2 つの和をどちらも $\gamma\le\alpha+e_j$ 全体にわたる和とみなせて
$$
\partial^{\alpha+e_j}(fg)=\sum_{\gamma\le\alpha+e_j}\left(\binom{\alpha}{\gamma-e_j}+\binom{\alpha}{\gamma}\right)\partial^\gamma f\;\partial^{\alpha+e_j-\gamma}g
$$
である。括弧の中の 2 項は第 $j$ 成分以外の因子 $\prod_{i\ne j}\binom{\alpha_i}{\gamma_i}$ が共通で、第 $j$ 成分は 1 変数の Pascal の公式 $\binom{\alpha_j}{\gamma_j-1}+\binom{\alpha_j}{\gamma_j}=\binom{\alpha_j+1}{\gamma_j}$ を満たすから、括弧の中は $\binom{\alpha+e_j}{\gamma}$ に等しい。これで $\alpha+e_j$ の場合が示された。$|\alpha|\le k$ の多重指数はすべて $0$ から $e_j$ を 1 つずつ足して得られるので、帰納法が完結する。
$n=2$、$\alpha=(1,1)$ とすると、$\beta\le\alpha$ は $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$ で二項係数はすべて $1$ だから
$$
\partial_1\partial_2(fg)=f\,\partial_1\partial_2g+\partial_1f\,\partial_2g+\partial_2f\,\partial_1g+(\partial_1\partial_2f)\,g
$$
である。$f=x_1$、$g=x_1x_2$ なら左辺は $\partial_1\partial_2(x_1^2x_2)=2x_1$、右辺は $x_1\cdot1+1\cdot x_1+0+0=2x_1$ で一致する。
Taylor の公式
多変数の Taylor の公式は、線分に沿って 1 変数の Taylorの定理 を使い、高階導関数を多項定理の数え方で整理して得られる。
$m\ge0$、$f\colon U\to\mathbb{R}$ を $C^m$ 級とし、$a\in U$、$h\in\mathbb{R}^n$ について線分 $\{a+th\mid 0\le t\le1\}$ が $U$ に含まれるとする。このとき $\varepsilon>0$ があって $g(t):=f(a+th)$ は $(-\varepsilon,1+\varepsilon)$ 上の $C^m$ 級関数であり、$0\le l\le m$ について
$$
g^{(l)}(t)=\sum_{|\alpha|=l}\frac{l!}{\alpha!}\,\partial^\alpha f(a+th)\,h^\alpha
$$
が成り立つ。
要点：連鎖律で 1 階ずつ微分すると $l$ 個の添字の列にわたる和になり、同じ $\alpha$ を生む列の個数が多項係数 $l!/\alpha!$ である。
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線分はコンパクトで $U$ は開集合なので、線分と $U$ の補集合の距離は正であり、$\varepsilon>0$ を $t\in(-\varepsilon,1+\varepsilon)$ で $a+th\in U$ となるようにとれる。$C^1$ 級の関数 $F$ は全微分可能であり（偏微分 の定理「偏導関数が連続なら全微分可能」）、$\frac{d}{dt}F(a+th)=\sum_{j=1}^nh_j\,\partial_jF(a+th)$ である（同じ記事の命題「全微分可能な関数の方向微分」）。これを $F=f,\partial_{j_1}f,\dots$ に $l$ 回使うと$$g^{(l)}(t)=\sum_{j_1=1}^n\cdots\sum_{j_l=1}^n h_{j_1}\cdots h_{j_l}\,\partial_{j_l}\cdots\partial_{j_1}f(a+th)$$であり、右辺は連続なので $g$ は $C^m$ 級である。列 $(j_1,\dots,j_l)$ の中に $i$ が現れる回数を $\alpha_i$ とおくと $|\alpha|=l$ で、$h_{j_1}\cdots h_{j_l}=h^\alpha$、偏微分の可換性により $\partial_{j_l}\cdots\partial_{j_1}f=\partial^\alpha f$ である。与えられた $\alpha$ を生む列の個数は、thm-mi-multinomial の後の段落（組合せ論的な数え方）のとおり $(x_1+\cdots+x_n)^l$ の $x^\alpha$ の係数 $l!/\alpha!$ に等しい。
$k\ge0$、$f\colon U\to\mathbb{R}$ を $C^{k+1}$ 級とし、$a\in U$、$h\in\mathbb{R}^n$ について線分 $\{a+th\mid0\le t\le1\}$ が $U$ に含まれるとする。このとき
$$
f(a+h)=\sum_{|\alpha|\le k}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha!}\,h^\alpha+R_k,\qquad R_k=\sum_{|\alpha|=k+1}\frac{k+1}{\alpha!}\,h^\alpha\int_0^1(1-t)^k\,\partial^\alpha f(a+th)\,dt
$$
が成り立つ。さらに、ある $\theta\in(0,1)$ について $R_k=\displaystyle\sum_{|\alpha|=k+1}\frac{\partial^\alpha f(a+\theta h)}{\alpha!}\,h^\alpha$ と書ける。
lem-mi-line の $g(t)=f(a+th)$ は $(-\varepsilon,1+\varepsilon)$ 上の $C^{k+1}$ 級関数である。Taylorの定理 の定理「積分形の剰余項」を $x_0=0$、$x=1$、次数 $k$ で使うと
$$
g(1)=\sum_{l=0}^k\frac{g^{(l)}(0)}{l!}+\frac1{k!}\int_0^1(1-t)^k g^{(k+1)}(t)\,dt
$$
である。lem-mi-line により $\frac{g^{(l)}(0)}{l!}=\sum_{|\alpha|=l}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha!}h^\alpha$ であり、$l=0,\dots,k$ について足すと主要部になる。剰余項では $\frac1{k!}\cdot\frac{(k+1)!}{\alpha!}=\frac{k+1}{\alpha!}$ となり、有限和と積分を入れ替えて $R_k$ の式を得る。後半は、同じ記事の定理「Lagrange剰余つきのTaylorの定理」により $g(1)=\sum_{l\le k}\frac{g^{(l)}(0)}{l!}+\frac{g^{(k+1)}(\theta)}{(k+1)!}$ となる $\theta\in(0,1)$ があることから、lem-mi-line を $l=k+1$、$t=\theta$ で使って従う。
$k\ge1$、$f\colon U\to\mathbb{R}$ を $C^k$ 級、$a\in U$ とする。このとき
$$
f(a+h)=\sum_{|\alpha|\le k}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha!}\,h^\alpha+o(\lvert h\rvert^k)\qquad(h\to0)
$$
が成り立つ。ここで $\lvert h\rvert$ は Euclid ノルムである。
要点：$k-1$ 次の Lagrange の形を使い、$|\alpha|=k$ の係数の差 $\partial^\alpha f(a+\theta h)-\partial^\alpha f(a)$ が連続性で $0$ に近づくことを使う。
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$r>0$ を閉球 $\overline{B}(a,r)$ が $U$ に含まれるようにとり、$\lvert h\rvert< r$ とする。このとき線分 $[a,a+h]$ は $U$ に含まれる。thm-mi-taylor を $k-1$ 次で Lagrange の形で使うと、ある $\theta\in(0,1)$ について$$f(a+h)-\sum_{|\alpha|\le k}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha!}h^\alpha=\sum_{|\alpha|=k}\frac{\partial^\alpha f(a+\theta h)-\partial^\alpha f(a)}{\alpha!}\,h^\alpha$$である。$\lvert h_j\rvert\le\lvert h\rvert$ なので $\lvert h^\alpha\rvert\le\lvert h\rvert^{k}$ であり、右辺の絶対値は $\lvert h\rvert^k\sum_{|\alpha|=k}\sup_{\lvert y-a\rvert\le\lvert h\rvert}\lvert\partial^\alpha f(y)-\partial^\alpha f(a)\rvert$ 以下である。$\partial^\alpha f$ は $a$ で連続なので、この和は $h\to0$ で $0$ に近づく。
$k=2$、$n=2$ では、$|\alpha|=2$ の項は $\frac{\partial_1^2f}{2}h_1^2+\partial_1\partial_2f\,h_1h_2+\frac{\partial_2^2f}{2}h_2^2=\frac12h^{\top}H_f(a)h$ であり（$H_f$ は Hesse 行列）、Hesse行列 の系「2 次の Taylor 近似」と同じ式になる。$\alpha!$ で割ることが、Hesse 行列の対角成分には $\frac12$ を、対角でない 2 つの等しい成分には合わせて $1$ を与えることにあたる。
- $f(x)=e^{x_1+\cdots+x_n}$ ではすべての $\alpha$ で $\partial^\alpha f=f$ である。$a=0$ での $|\alpha|=l$ の項の和は $\sum_{|\alpha|=l}\frac{h^\alpha}{\alpha!}=\frac{(h_1+\cdots+h_n)^l}{l!}$（thm-mi-multinomial）であり、多変数の Taylor の公式は 1 変数の $e^s$ の Taylor 展開に $s=h_1+\cdots+h_n$ を代入したものに一致する。
- 次数 $k$ 以下の多項式 $P$ では $|\alpha|=k+1$ の偏導関数がすべて $0$ なので $R_k=0$ であり、任意の $a$ で $P(a+h)=\sum_{|\alpha|\le k}\frac{\partial^\alpha P(a)}{\alpha!}h^\alpha$ が正確に成り立つ。$a=0$ とすれば cor-mi-coeff と同じ係数の公式になる。
仮定を外すと成り立たなくなること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 偏導関数の連続性（$C^{2}$ 級） | $k(x,y)=\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$、$k(0,0)=0$ | $\partial^{(1,1)}k(0,0)$ が微分の順序によらずに定まること |
| 線分 $[a,a+h]\subset U$ | $U=\{x_1\ne0\}$ 上の $f=1$（$x_1>0$）、$f=0$（$x_1<0$） | thm-mi-taylor（Taylor の公式） |
| $C^1$ 級（偏導関数の存在だけにする） | $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$、$f(0,0)=0$ | cor-mi-peano（Peano の形、$k=1$） |
| 積の可換性 | $2$ 次正方行列 $A=E_{12}$、$B=E_{21}$ | thm-mi-multinomial（多項定理、$k=2$） |
$k$ は $\mathbb{R}^2$ 上 $C^1$ 級で 2 階の偏導関数がすべて存在するが、$\partial_1\partial_2k(0,0)$ と $\partial_2\partial_1k(0,0)$ は一方が $1$、他方が $-1$ である（計算は 偏微分 の例「反例：2 階の偏導関数の順序を交換できない関数」）。したがって $\partial^{(1,1)}k(0,0)$ の値は偏微分の順序の取り方で変わり、順序を省いた記法は使えない。$k$ は $C^2$ 級でないので thm-mi-leibniz の仮定も満たさない。
$n=2$、$U=\{(x_1,x_2)\mid x_1\ne0\}$ とし、$f=1$（$x_1>0$）、$f=0$（$x_1<0$）とする。$f$ は $U$ 上で $C^\infty$ 級で、$|\alpha|\ge1$ の偏導関数 $\partial^\alpha f$ は $U$ 上ですべて $0$ である。$a=(-1,0)$、$h=(2,0)$ とすると、どの $k$ でも Taylor の主要部は $f(a)=0$、剰余の式の被積分関数も $0$ だが、$f(a+h)=f(1,0)=1$ である。線分 $[a,a+h]$ は $U$ に含まれない点 $(0,0)$ を通るので、thm-mi-taylor の仮定を満たさない。
$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$（$(x,y)\ne(0,0)$）、$f(0,0)=0$ は $\mathbb{R}^2$ のすべての点で偏微分可能で、$\partial_1f(0,0)=\partial_2f(0,0)=0$ である（偏微分 の例「反例：偏微分係数があっても連続でない関数」）。$k=1$、$a=0$ の Peano の形は $f(h)=o(\lvert h\rvert)$ を主張するが、$h=(t,t)$（$t\ne0$）では $f(h)=\frac12$ であり、$f(h)/\lvert h\rvert=\frac1{2\sqrt2\,\lvert t\rvert}$ は $t\to0$ で $0$ に近づかない。$f$ は原点で連続でないので $C^1$ 級でない。
$E_{ij}$ を $(i,j)$ 成分だけが $1$ の $2$ 次正方行列とし、$A=E_{12}$、$B=E_{21}$ とする。$A^2=B^2=0$、$AB=E_{11}$、$BA=E_{22}$ なので $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=I$ である。一方、多項定理の右辺 $A^2+2AB+B^2=2E_{11}$ は $I$ に等しくない。展開の各項 $x_{j_1}\cdots x_{j_k}$ を $x^\alpha$ にまとめる段階で可換性を使っている。
使われる場面
- 冪級数：$n$ 変数の形式的冪級数や収束冪級数は $\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n}c_\alpha x^\alpha$ と書く。多変数の正則関数は多重円板（多重円板）の上でこの形の級数に展開され、係数は $c_\alpha=\partial^\alpha f(0)/\alpha!$ で与えられる。非 Archimedes 的な場合の Tate代数 や 過収束級数 も同じ記法で書かれる。
- 偏微分作用素：定数係数の線形偏微分作用素は $P(\partial)=\sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha\partial^\alpha$ と書ける。緩増加超関数とFourier変換 の Schwartz 空間は、$\sup_x\lvert x^\alpha\partial^\beta f(x)\rvert$（$\alpha,\beta\in\mathbb{N}^n$）がすべて有限な $C^\infty$ 級関数の空間として定義される。
- 微分形式：外微分 や Poincaréの補題 では増加する多重添字 $I$ による $dx^I$ と、単項式 $x^\alpha$ の両方を使う。
この記事の記法と Taylor の公式の多重指数による形は LS90 第 3 章 §17（pp. 192–193）に、多重指数の階乗・長さの記法と多変数の冪級数での使い方は Hor90 §2.2（pp. 26–27）にある。
関連項目
- 前提: 偏微分, 二項定理, Taylorの定理
- 比較: 多項係数, 同じものを含む順列と多項定理, Hesse行列
- 発展: 多重円板, Tate代数, 緩増加超関数とFourier変換, 外微分
参考文献
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