内部

定義

位相空間 $X$ の部分集合 $A$ の内部（または開核）とは、$A$ に含まれる $X$ の開集合の中で最大のものである。
記号では $A^\circ$ や $\text{Int}(A)$ と表される。
これを数式で表すと、$A$ に含まれるすべての開集合の和集合となる。
$$A^\circ = \bigcup \{ U \mid U \subset A, \, U \text{ は } X \text{ の開集合} \}$$
開集合の和集合は常に開集合であるため、$A^\circ$ も必ず開集合である。

内点による特徴づけ（局所的な定義）

内部は、点と集合の包含関係を用いて、各点ごとに定義することもできる。
点 $x$ が $A$ の内部 $A^\circ$ に属するための条件は以下のように記述される。

点 $x$ のある近傍 $U$ が存在して、$U \subset A$ となること。

この条件を満たす点 $x$ を $A$ の内点 (interior point) と呼ぶ。すなわち、内部とは $A$ の内点全体の集合である。
直感的には、「$x$ の周りに少しでも動ける範囲（$U$）があり、その範囲がすべて $A$ に収まっているならば、$x$ は内側にある」と解釈できる。

基本的な性質

内部作用素 $A \mapsto A^\circ$ は、閉包作用素と双対的な以下の性質を満たす。

1. 縮小性: $A^\circ \subset A$。
   （内部は元の集合に含まれる）
2. 白等性: $(A^\circ)^\circ = A^\circ$。
   （内部の内部をとっても変わらない。なぜなら $A^\circ$ は既に開集合だからである）
3. 分配法則: $(A \cap B)^\circ = A^\circ \cap B^\circ$。
   （有限個の共通部分については分配できる）
4. 全体集合: $X^\circ = X$。
   また、$A$ が開集合であるための必要十分条件は $A = A^\circ$ である。

具体例

• ユークリッド空間:
  実数直線 $\mathbb{R}$ 上の閉区間 $A = [0, 1]$ の内部は、両端点を除いた開区間 $A^\circ = (0, 1)$ である。
  有理数集合 $\mathbb{Q}$ の内部は、空集合である（$\mathbb{Q}^\circ = \emptyset$）。なぜなら、どのような開区間をとっても、そこには必ず無理数が含まれるため、$\mathbb{Q}$ の中にすっぽり収まる開集合は存在しないからである。
• 離散空間:
  離散空間ではすべての集合が開集合であるため、任意の部分集合 $A$ について $A^\circ = A$ となる。

関連概念との関係

内部は、閉包や境界、外部と密接な関係がある。

• 閉包との双対性: $A^\circ = X \setminus \overline{(X \setminus A)}$
  （「補集合の閉包」の補集合が内部である）
• 境界との関係: $A^\circ = \bar{A} \setminus \partial A$
  （閉包から境界を取り除いたものが内部である）
• 外部: $A$ の外部とは、補集合の内部 $(X \setminus A)^\circ$ のことである。

関連項目

• 位相空間
• 開集合：内部と一致する集合。
• 閉包：内部の双対概念。
• 近傍：内点の定義に用いられる。
• 境界
• 稠密：内部が空でない稠密集合などを考える際に関連。