内部

同義語：Interior開核

概要

内部（interior）とは、位相空間 $X$ の部分集合 $A$ に含まれる開集合すべての和集合、すなわち $A$ に含まれる最大の開集合 $\operatorname{int}A$ のことであり、開核ともいう。点 $x$ が $\operatorname{int}A$ に属することは、$x$ を含むある開集合が $A$ に含まれること（$x$ が $A$ の内点であること）と同値である。$A$ が開集合であることは $\operatorname{int}A=A$ と同値で、内部をとる操作は単調・冪等で有限個の共通部分を保つが、和集合とは一般に交換しない。閉包とは $\operatorname{int}A=X\setminus\overline{X\setminus A}$ で結ばれる。実数直線で閉区間の内部は開区間、有理数全体の内部は空である。

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前提知識: 位相空間, 開集合, 近傍

定義

内点と内部

$X$ を位相空間、$A\subset X$ を部分集合とする。点 $x\in X$ が $A$ の内点（interior point）であるとは、$x$ を含むある開集合 $U$ が存在して $x\in U\subset A$ となることをいう。これは、$A$ が $x$ の近傍であることと同値である。
$A$ の内点全体の集合を $A$ の内部（interior）または開核といい、$\operatorname{int}A$ と書く。文献によっては $A^\circ$、$\operatorname{Int}A$、$A^i$ とも書く。周囲の空間を明示するときは $\operatorname{int}_X A$ と書く。

定義から直ちに $\operatorname{int}A\subset A$ である。実際、$x\in\operatorname{int}A$ なら $x\in U\subset A$ を満たす開集合 $U$ があるので $x\in A$ である。内部は次のように「$A$ に含まれる開集合の和集合」としても記述でき、教科書によってはこちらを内部の定義とし、内点による記述を特徴づけとして導く（Mun00 §17。逆に内点から出発する流儀は Mat68 第4章）。どちらを出発点にしても同じ概念が得られる。

最大開集合としての特徴づけ

$X$ を位相空間、$A\subset X$ とする。

  1. $\operatorname{int}A=\bigcup\{U\mid U\subset A,\ U\text{ は }X\text{ の開集合}\}$ である。
  2. $\operatorname{int}A$ は開集合であり、$A$ に含まれる任意の開集合 $U$ に対して $U\subset\operatorname{int}A$ が成り立つ。すなわち $\operatorname{int}A$ は $A$ に含まれる最大の開集合である。
  3. $A$ が開集合であることと $\operatorname{int}A=A$ は同値である。

1：右辺の和集合を $V$ とおく。$x\in\operatorname{int}A$ なら、内点の定義よりある開集合 $U$ が $x\in U\subset A$ を満たす。この $U$ は和集合をとる族の元だから $x\in V$ である。逆に $x\in V$ なら、族のある元 $U$（開集合で $U\subset A$）について $x\in U$ であり、これは内点の条件そのものだから $x\in\operatorname{int}A$ である。よって $\operatorname{int}A=V$ である。
2：1 により $\operatorname{int}A$ は開集合の和集合であり、開集合の任意個の和集合は開集合だから、$\operatorname{int}A$ は開集合である。また $U\subset A$ が開集合なら、$U$ は 1 の族の元なので $U\subset\operatorname{int}A$ である。$\operatorname{int}A$ 自身が $A$ に含まれる開集合なので、これは包含に関する最大性を意味する。
3：開集合の記事の局所的特徴づけ（$A$ が開集合であることと $A$ の各点が内点であることの同値性）から従う。$\square$

直感

内部とは、縁ぎりぎりの点を捨てて、まわりに余裕をもって $A$ に入っている点だけを残した「$A$ の芯」である。「$A$ に含まれる最大の開集合」という大域的な記述と、「各点のまわりに $A$ に収まる開集合がある」という局所的な記述が一致することが、内部を扱ううえでの基本である。

例と反例

実数直線上の区間

$\mathbb{R}$ に通常の位相（Euclid空間）を入れる。閉区間（区間） $A=[0,1]$ の内部は開区間 $(0,1)$ である。実際、$0< x<1$ なら $\varepsilon:=\min\{x,1-x\}>0$ について $x\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset[0,1]$ となるから、$x$ は内点である。一方、$0$ を含むどんな開集合もある開区間 $(-\delta,\delta)$（$\delta>0$）を含み、負の数を含んでしまうので $[0,1]$ に収まらない。よって $0$ は内点でなく、同様に $1$ も内点でない。半開区間 $[0,1)$、$(0,1]$ の内部も同じ議論により $(0,1)$ である。

内部が空になる集合

$\mathbb{R}$ の部分集合として、有理数全体 $\mathbb{Q}$ の内部は空集合である。実際、$\mathbb{R}$ の空でない開集合は必ずある開区間 $(a,b)$（$a< b$）を含むが、どの開区間も無理数を含むので、$\mathbb{Q}$ に含まれる空でない開集合は存在しない。同じ理由で無理数全体 $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ の内部も空であり、一点集合 $\{0\}$ の内部も空である。なお、内部が空な二つの集合の和集合 $\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\mathbb{R}$ の内部は $\mathbb{R}$ 全体である。

位相の取り方による違い

内部は集合だけでなく位相の取り方に依存する。集合 $A=[0,1)\subset\mathbb{R}$ について、通常の位相では $\operatorname{int}A=(0,1)$ である。離散位相（すべての部分集合が開集合）では $A$ 自身が開集合なので、prop-interior-largest-open の 3 により $\operatorname{int}A=A$ である。密着位相（開集合は $\emptyset$ と $\mathbb{R}$ のみ）では、$A$ に含まれる開集合は $\emptyset$ だけなので $\operatorname{int}A=\emptyset$ である。一般に離散位相では任意の $A$ について $\operatorname{int}A=A$ である。

反例：和集合と内部は交換しない

「任意の $A,B$ について $\operatorname{int}(A\cup B)=\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B$ が成り立つ」という主張は正しくない。$\mathbb{R}$ で $A=[0,1]$、$B=[1,2]$ とすると、ex-interior-intervals により
$$ \operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B=(0,1)\cup(1,2) $$
だが、$A\cup B=[0,2]$ なので $\operatorname{int}(A\cup B)=(0,2)$ であり、$\operatorname{int}(A\cup B)$ は $\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B$ より点 $1$ の分だけ真に大きい。この例は、包含 $\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B\subset\operatorname{int}(A\cup B)$（prop-interior-basic の単調性から従う）を満たすが、逆の包含を満たさず、上の等号の含意を破る。

反例：無限個の共通部分では等号にならない

prop-interior-basic の 4 は有限個の共通部分には帰納法で拡張できるが、無限個では成り立たない。$\mathbb{R}$ で $A_n:=(-1/n,1/n)$（$n\in\mathbb{Z}_{>0}$）とすると、各 $A_n$ は開集合なので $\operatorname{int}A_n=A_n$ であり $\bigcap_{n}\operatorname{int}A_n=\{0\}$ だが、$\bigcap_n A_n=\{0\}$ の内部は空である（ex-interior-empty）。この例は「任意の族について $\operatorname{int}\bigcap_i A_i=\bigcap_i\operatorname{int}A_i$ が成り立つ」という含意を破る。一般に成り立つのは包含 $\operatorname{int}\bigcap_i A_i\subset\bigcap_i\operatorname{int}A_i$ だけであり、これは単調性から従う。

周囲の空間への依存

内部は「どの空間の中で考えるか」にも依存する。線分 $[0,1]$ を $\mathbb{R}$ の部分集合と見れば内部は $(0,1)$ だが、平面 $\mathbb{R}^2$ の $x$ 軸上の線分 $[0,1]\times\{0\}$ と見れば、その内部は空である。実際、$\mathbb{R}^2$ の空でない開集合は必ずある開円板（開球）を含み、開円板は $x$ 軸に収まらない。一般に $B\subset A\subset X$ に対し、$X$ における内部 $\operatorname{int}_X B$ と、相対位相を入れた $A$ における内部 $\operatorname{int}_A B$ は異なり得るので、必要なら空間を添字で明示する。

性質

内部の基本性質

$X$ を位相空間、$A,B\subset X$ とする。

  1. $\operatorname{int}\emptyset=\emptyset$、$\operatorname{int}X=X$。
  2. （単調性）$A\subset B$ ならば $\operatorname{int}A\subset\operatorname{int}B$。
  3. （冪等性）$\operatorname{int}(\operatorname{int}A)=\operatorname{int}A$。
  4. （共通部分の保存）$\operatorname{int}(A\cap B)=\operatorname{int}A\cap\operatorname{int}B$。

1：$\emptyset$ と $X$ はともに開集合だから、prop-interior-largest-open の 3 より内部は自分自身に一致する。
2：$x\in\operatorname{int}A$ とすると、開集合 $U$ で $x\in U\subset A$ となるものがある。$A\subset B$ より $x\in U\subset B$ でもあるから $x\in\operatorname{int}B$ である。
3：prop-interior-largest-open の 2 より $\operatorname{int}A$ は開集合であり、開集合の内部は自分自身（同 3）だから $\operatorname{int}(\operatorname{int}A)=\operatorname{int}A$ である。
4：$A\cap B\subset A$ と単調性から $\operatorname{int}(A\cap B)\subset\operatorname{int}A$、同様に $\operatorname{int}(A\cap B)\subset\operatorname{int}B$ なので、左辺は右辺に含まれる。逆に $x\in\operatorname{int}A\cap\operatorname{int}B$ とすると、開集合 $U,V$ で $x\in U\subset A$、$x\in V\subset B$ となるものがある。$U\cap V$ は二つの開集合の共通部分だから開集合であり、$x\in U\cap V\subset A\cap B$ となるので $x\in\operatorname{int}(A\cap B)$ である。$\square$

閉包との双対性

$X$ を位相空間、$A\subset X$ とし、$\overline{A}$ で $A$ の閉包（$A$ を含む閉集合すべての共通部分、すなわち $A$ を含む最小の閉集合）を表す。このとき
$$ \operatorname{int}A=X\setminus\overline{X\setminus A},\qquad \overline{A}=X\setminus\operatorname{int}(X\setminus A),\qquad \operatorname{int}(X\setminus A)=X\setminus\overline{A} $$
が成り立つ。

最初の等式を示す。開集合と閉集合は補集合をとることで入れ替わり、包含は反転する。したがって $U\subset A$ が開集合であることは、$F:=X\setminus U$ が $X\setminus A$ を含む閉集合であることと同値である。prop-interior-largest-open の 1 とDe Morganの法則により
$$ \operatorname{int}A =\bigcup\{U\mid U\subset A,\ U\text{ は開集合}\} =\bigcup\{X\setminus F\mid F\supset X\setminus A,\ F\text{ は閉集合}\} =X\setminus\bigcap\{F\mid F\supset X\setminus A,\ F\text{ は閉集合}\} $$
である。右端の共通部分は、$X\setminus A$ を含む閉集合すべての共通部分、すなわち閉包の定義により $\overline{X\setminus A}$ である。よって $\operatorname{int}A=X\setminus\overline{X\setminus A}$ を得る。
二つ目の等式は、最初の等式で $A$ を $X\setminus A$ に置き換えて $\operatorname{int}(X\setminus A)=X\setminus\overline{A}$ を得たのち、両辺の補集合をとれば従う。$\square$

この双対性により、閉包について証明された事実は補集合を介して内部の事実に翻訳でき、逆も成り立つ。たとえば閉包が有限個の和集合を保つこと（閉包）と prop-interior-basic の 4 は互いの双対である。

補足

境界・外部との関係

$A$ の境界を $\partial A:=\overline{A}\setminus\operatorname{int}A$、外部を $\operatorname{ext}A:=\operatorname{int}(X\setminus A)$ と定めると、全空間は
$$ X=\operatorname{int}A\sqcup\partial A\sqcup\operatorname{ext}A $$
と互いに交わらない三つの部分に分割され、$\overline{A}=\operatorname{int}A\sqcup\partial A$、したがって $\operatorname{int}A=\overline{A}\setminus\partial A$ が成り立つ。この分割の証明は 境界 が扱う。

開核作用素

対応 $A\mapsto\operatorname{int}A$ を開核作用素（interior operator）という。$\operatorname{int}X=X$、$\operatorname{int}A\subset A$、冪等性、共通部分の保存の四条件は、閉包に関するクラトフスキの閉包公理（Kuratowskiの閉包公理、閉包）の双対にあたる。逆に、$X$ の部分集合に $X$ の部分集合を対応させる写像 $i$ でこの四条件を満たすものが与えられると、$i(A)=A$ となる $A$ の全体を開集合系とする位相が $X$ にただ一つ定まり、その位相に関する内部が $i$ に一致する（Engelking89 §1.1）。

記法と近縁概念

  • 記号 $A^\circ$ は文脈によって双対空間の極（polar）など別の意味でも使われるので、初出で断るのが安全である。
  • 距離空間では内点を「$x$ を中心とするある開球が $A$ に含まれる点」として定義することが多い。開球は開集合であり、距離位相の開集合はその各点を中心とする開球を含むので、この定義は上の定義と一致する。
  • 多様体論の「境界付き多様体の内部」は、半空間の内部に同相な近傍をもつ点の全体を指す近縁だが別の概念であり、$\mathbb{R}^n$ に埋め込まれた部分集合としての内部とは一般に一致しない。

関連項目

参考文献

[1]
James R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000, §17（Closed Sets and Limit Points：内部と閉包の定義）
[2]
Ryszard Engelking, General Topology, Sigma Series in Pure Mathematics 6, Heldermann Verlag, 1989, §1.1（閉包作用素・開核作用素と位相の一意性）
[3]
松坂和夫, 集合・位相入門, 岩波書店, 1968, 第4章 位相空間（内部・外部・境界）

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