幾何学的群論

$K$ をコンパクトで $GK=X$ となる集合とし、$K$ を含む閉球 $B:=\bar B(x_0,R)$ をとる（$K$ は有界）。$GB=X$ である。
$$ S_0:=\{g\in G\setminus\{1\}\mid d(x_0,gx_0)\le2R+1\} $$
とおく。$g\in S_0$ なら $gx_0$ は閉球 $L:=\bar B(x_0,2R+1)$ と $gL$ の両方に属するので、$gL\cap L\ne\emptyset$ である。$X$ は固有なので $L$ はコンパクトであり、作用が固有だから $S_0$ は有限集合である。$d(x_0,g^{-1}x_0)=d(gx_0,x_0)$ なので $S_0^{-1}=S_0$ である。
(a) 上からの評価。 $g\in G$ に対し $\ell:=d(x_0,gx_0)$ とおき、$\lvert g\rvert_{S_0}\le\ell+1$ を示す。$\ell=0$ なら $g\in S_0\cup\{1\}$ である。$\ell>0$ なら、$k:=\lceil\ell\rceil$ とし、$x_0$ と $gx_0$ を結ぶ測地線分を $k$ 等分する点 $y_0=x_0,y_1,\dots,y_k=gx_0$ をとる。$d(y_{i-1},y_i)=\ell/k\le1$ である。$GB=X$ なので $y_i\in g_iB$ となる $g_i$ があり、$g_0:=1$、$g_k:=g$ とできる。$d(y_i,g_ix_0)\le R$ なので
$$ d(x_0,\,g_{i-1}^{-1}g_ix_0)=d(g_{i-1}x_0,g_ix_0)\le R+1+R=2R+1 $$
であり、$s_i:=g_{i-1}^{-1}g_i$ は $S_0\cup\{1\}$ に属する。$g=g_k=s_1s_2\cdots s_k$ なので $\lvert g\rvert_{S_0}\le k\le\ell+1$ である。とくに $S_0$ は $G$ を生成し、$G$ は有限生成である。
(b) 下からの評価。 $\mu:=\max(\{d(x_0,sx_0)\mid s\in S_0\}\cup\{1\})$ とおく。$g=s_1\cdots s_m$（$s_i\in S_0$）なら、三角不等式と作用の等長性から
$$ d(x_0,gx_0)\le\sum_{i=1}^md(s_1\cdots s_{i-1}x_0,\ s_1\cdots s_ix_0)=\sum_{i=1}^md(x_0,s_ix_0)\le\mu m $$
であり、$d(x_0,gx_0)\le\mu\lvert g\rvert_{S_0}$ である。
(c) まとめ。 $g,h\in G$ について $d(gx_0,hx_0)=d(x_0,g^{-1}hx_0)$ なので、(a)(b) から
$$ d_{S_0}(g,h)-1\le d(gx_0,hx_0)\le\mu\,d_{S_0}(g,h) $$
である。また任意の $x\in X$ は $x\in gB$ となる $g$ をもち、$d(x,gx_0)\le R$ である。よって軌道写像は $(\mu,\max(R,1))$-準等長写像である。別の有限生成系 $S$ については、恒等写像 $(G,d_S)\to(G,d_{S_0})$ が $(C',0)$-準等長写像（Cayleyグラフ の命題「生成系の取り替え」）なので、その合成として軌道写像は準等長写像である（定数は掛け合わせて得られる）。$\square$

右剰余類の代表元 $c_1=1,c_2,\dots,c_k$ をとり（$G=\bigsqcup_iHc_i$）、$\rho:=\max_i\lvert c_i\rvert_S$ とおく。$T:=\{t\in H\setminus\{1\}\mid\lvert t\rvert_S\le2\rho+1\}$ は有限で $T^{-1}=T$ である。$h\in H$ を $h=s_1\cdots s_m$（$m=\lvert h\rvert_S$、$s_j\in S$）と書き、$p_j:=s_1\cdots s_j$ とする。$p_j\in Hc_{i(j)}$ となる $i(j)$ をとり、$p_j=h_jc_{i(j)}$（$h_j\in H$）と書く。$p_0=1$、$p_m=h$ なので $c_{i(0)}=c_{i(m)}=1$、$h_0=1$、$h_m=h$ とできる。すると
$$ h_{j-1}^{-1}h_j=c_{i(j-1)}\,s_j\,c_{i(j)}^{-1} $$
は $H$ の元で、$S$ に関する長さは $2\rho+1$ 以下なので $T\cup\{1\}$ に属する。$h=\prod_j h_{j-1}^{-1}h_j$ より $\lvert h\rvert_T\le\lvert h\rvert_S$ であり、とくに $T$ は $H$ を生成する。逆に $T$ の元は $S$ の元 $2\rho+1$ 個以下の積なので $\lvert h\rvert_S\le(2\rho+1)\lvert h\rvert_T$ である。左不変性から $d_T(h,h')$ と $d_S(h,h')$ について同じ不等式が成り立つ。最後に、任意の $g=hc_i\in G$（$h\in H$）は $d_S(h,g)=\lvert h^{-1}g\rvert_S=\lvert c_i\rvert_S\le\rho$ を満たす。よって包含写像は $(2\rho+1,\rho)$-準等長写像である。$\square$

$\beta_S\preceq\beta_T$ を示す。$f(g)=f(g')$ なら $\frac1\lambda d_S(g,g')-c\le0$、すなわち $d_S(g,g')\le\lambda c$ である。よって $f$ の各ファイバーは、その 1 点 $g$ を中心とする半径 $\lambda c$ の球 $gB_S(\lambda c)$ に含まれ、元の個数は $N:=\beta_S(\lambda c)$ 以下である（左不変性）。また $g\in B_S(r)$ なら $d_T(f(g),f(1))\le\lambda r+c$ なので、$f(B_S(r))$ は中心 $f(1)$、半径 $\lambda r+c$ の球に含まれ、その元は $\beta_T(\lambda r+c)$ 個以下である。よって $\beta_S(r)\le N\beta_T(\lambda r+c)$ である。
$\beta_T\preceq\beta_S$ を示す。$D:=\lvert f(1)\rvert_T$ とおく。$h\in B_T(r)$ に対し $d_T(h,f(g))\le c$ となる $g$ がある。$d_T(f(g),f(1))\le c+r+D$ なので、準等長写像の下からの評価により $\lvert g\rvert_S=d_S(g,1)\le\lambda(r+D+2c)$ である。したがって
$$ B_T(r)\subset\bigcup_{g\in B_S(\lambda(r+D+2c))}f(g)B_T(c) $$
であり、$\beta_T(r)\le\beta_T(c)\,\beta_S(\lambda(r+D+2c))$ である。どちらの不等式も、定数を大きくとれば定義の形になる。$\square$

$m\ne n$ のとき、対称性から $m< n$ としてよい。準等長とすると、thm-ggt-growth-qi と ex-ggt-growth-examples から、ある $C\ge1$ について $(r/n)^n\le C(2Cr+2C+1)^m$ がすべての $r\ge0$ で成り立つ。左辺は $r$ の $n$ 次式、右辺は $m$ 次式なので、$r\to\infty$ で矛盾する。自由群については $3^{\lfloor r\rfloor}\le C(2Cr+2C+1)^n$ が $r\to\infty$ で成り立たない。$\square$