尖点形式

まず二つの式を確かめる。$M\in\operatorname{GL}_2^+(\mathbb{R})$ について $\operatorname{Im}(Mz)=\det M\cdot y/\lvert j(M,z)\rvert^2$ である（上半平面 の記事の命題「作用の基本性質」）。$\gamma\in\Gamma$ なら $f(\gamma z)=j(\gamma,z)^kf(z)$ なので $\varphi(\gamma z)=y^{k/2}\lvert j\rvert^{-k}\lvert j\rvert^k\lvert f(z)\rvert=\varphi(z)$。同様に $\delta\in\Gamma(1)$ について $\varphi(\delta z)=y^{k/2}\lvert j(\delta,z)\rvert^{-k}\lvert f(\delta z)\rvert=y^{k/2}\lvert(f|\delta)(z)\rvert$ である。

1 ⇔ 2．$f|\delta=\sum_{n\ge0}a_nq_h^n$（$h=h_\delta$）で、$\operatorname{Im}z\to\infty$ は $q_h\to0$ と同値である。$a_0=0$ なら $f|\delta=q_h\,G(q_h)$ で $G$ は $\lvert q_h\rvert\le e^{-2\pi/h}$ で正則かつ有界なので、$\operatorname{Im}z\ge1$ で $\lvert(f|\delta)(z)\rvert\le C_\delta\lvert q_h\rvert=C_\delta e^{-2\pi y/h}$ となり（最後の主張）、一様に $0$ に近づく。逆に一様に $0$ に近づけば、$a_0=\lim_{q_h\to0}(f|\delta)$ は $0$ である。

1 ⇒ 3．$\Gamma(1)=\bigsqcup_{i=1}^{\mu}\Gamma\delta_i$ と分ける。上半平面 の記事の定理「基本領域」の 1 により $\mathfrak{H}=\bigcup_{g\in\Gamma(1)}g\mathcal{F}$ で、$g=\gamma\delta_i$ と書けるので $\varphi$ の $\mathfrak{H}$ 上の値の集合は $\bigcup_i\varphi(\delta_i\mathcal{F})$ に等しい。各 $i$ について、$\mathcal{F}\cap\{y\le1\}$ はコンパクトなので $\varphi(\delta_iz)$ はそこで有界であり、$\mathcal{F}\cap\{y\ge1\}$ では $\varphi(\delta_iz)\le C_{\delta_i}y^{k/2}e^{-2\pi y/h}$ で、右辺は $y\ge1$ で有界である。

3 ⇒ 2．$\lvert(f|\delta)(z)\rvert=y^{-k/2}\varphi(\delta z)\le(\sup\varphi)\,y^{-k/2}$ で、$k\ge1$ なので右辺は $y\to\infty$ で $\operatorname{Re}z$ によらず $0$ に近づく。$\square$

1．同定理の 1 は、$g\mapsto(2\pi)^{12}\Delta g$ が同型 $M_{k-12}\to S_k$ であることを述べている（$k<0$ では $M_k=0$ とみる）。$0$ でない定数倍を除けば同じ写像なので主張が従い、$k<12$ では $M_{k-12}=0$ から $S_k=0$ である。

2．$k\ge12$ のとき、1 により $\dim S_k=\dim M_{k-12}$ である。同定理の 3 により、$\dim M_{k-12}$ は $k-12\equiv2\pmod{12}$ なら $\lfloor(k-12)/12\rfloor=\lfloor k/12\rfloor-1$、そうでなければ $\lfloor k/12\rfloor-1+1$ である。$k-12\equiv k\pmod{12}$ なので主張の式になる。$4\le k\le10$ では $S_k=0$ で、$k\not\equiv2$ かつ $\lfloor k/12\rfloor=0$ なので式も $0$ を与える。

3．2 により、$k=12,16,18,20,22,26$ では $\dim S_k=1$ である。$\Delta\neq0$ と、$\Delta E_{k-12}\in S_k$（$E_{k-12}\in M_{k-12}$ と 1）で $q$ 展開が $q+\cdots$ から始まり $0$ でないことから主張が従う。$\square$

まず、$g\in\Gamma(1)$、$g\neq\pm I$ なら $\mathcal{F}\cap g\mathcal{F}\subset\partial\mathcal{F}$ である。$z\in\mathcal{F}\cap g\mathcal{F}$ を $z=gw$（$w\in\mathcal{F}$）と書く。$z\neq w$ なら 上半平面 の記事の定理「基本領域」の 2 により $z$ は境界にある。$z=w$ なら $g$ は $z$ を固定するので、同定理の 3 により $z\in\{i,\rho,-\bar\rho\}\subset\partial\mathcal{F}$ である。$\partial\mathcal{F}$ は 2 本の半直線と円弧の和なので測度 $0$ である。

1．同定理の 1 により $\mathfrak{H}=\bigcup_{g\in\Gamma(1)}g\mathcal{F}$ で、$\Gamma(1)=\bigcup_{\delta\in R}G^{\pm}\delta$ と $-I$ の作用が自明なことから $\mathfrak{H}=\bigcup_{\gamma\in G}\gamma D_R$ である。$\gamma\delta\mathcal{F}\cap\gamma'\delta'\mathcal{F}$（$\gamma,\gamma'\in G$、$\delta,\delta'\in R$）は、$\gamma\delta\neq\pm\gamma'\delta'$ なら前段により測度 $0$ である（$\gamma\delta$ を掛けて戻すと $\mathcal{F}\cap g\mathcal{F}$ の形になり、作用は測度を保つ）。$\gamma\delta=\pm\gamma'\delta'$ なら $\delta'\in G^{\pm}\delta$ から $\delta=\delta'$、したがって $\gamma'=\pm\gamma$ である。よって $\gamma'\neq\pm\gamma$ なら $\gamma D_R\cap\gamma'D_R$ は測度 $0$ の集合の可算和で、測度 $0$ である。

2．$\bar G:=G^{\pm}/\{\pm I\}$ は可算で、その元は $\mathfrak{H}$ に well-defined に作用する。$\{\gamma D'\}_{\gamma\in\bar G}$ は $\mathfrak{H}$ を覆い、重なりは測度 $0$ なので、ほとんどいたるところで $\mathbf 1_D=\sum_{\gamma\in\bar G}\mathbf 1_{D\cap\gamma D'}$ である。単調収束定理と、$z=\gamma w$ の変数変換（$\mu$ の不変性）と $\varphi(\gamma w)=\varphi(w)$ により $$\int_D\varphi\,d\mu=\sum_{\gamma\in\bar G}\int_{D\cap\gamma D'}\varphi\,d\mu=\sum_{\gamma\in\bar G}\int_{\gamma^{-1}D\cap D'}\varphi\,d\mu=\int_{D'}\varphi\,d\mu$$ である。最後の等号は、$\{\gamma^{-1}D\}$ が同じく $\mathfrak{H}$ を覆い重なりが測度 $0$ であることによる。複素数値のときは、まず $\lvert\varphi\rvert$ に当てて $\int_{D'}\lvert\varphi\rvert<\infty$ を得てから、同じ計算を優収束定理で行う。$\square$

1．$\Gamma(1)=\bigsqcup_{i=1}^{\bar\mu_\Gamma}\Gamma^{\pm}\delta_i$ とし、lem-cf-fundamental-set の 1 の $D_R$ をとる。prf-cf-equivalent の最初の段落と同じ計算で $\varphi_{f,g}(\delta_iz)=(f|\delta_i)(z)\overline{(g|\delta_i)(z)}\,y^k$ なので、$\mu$ の不変性により $\int_{D_R}\lvert\varphi_{f,g}\rvert d\mu\le\sum_i\int_{\mathcal{F}}\lvert f|\delta_i\rvert\lvert g|\delta_i\rvert y^k\,d\mu$ である。$\mathcal{F}\cap\{y\le1\}$ はコンパクトで被積分関数は連続である。$\mathcal{F}\cap\{y\ge1\}$ では prop-cf-equivalent の最後の主張により $\lvert f|\delta_i\rvert\le Ce^{-2\pi y/h}$、保型形式 の記事の定義「保型形式」の条件 2 により $\lvert g|\delta_i\rvert\le C'$ で、$\int_1^\infty e^{-2\pi y/h}y^{k-2}dy<\infty$ である。よって $D_R$ の上で絶対可積分で、lem-cf-fundamental-set の 2 により任意の基本集合で同じ値になる。

2．$f\mapsto\langle f,g\rangle$ は線形で、$\langle g,f\rangle=\overline{\langle f,g\rangle}$ は定義から成り立つ（$f,g\in S_k(\Gamma)$ では両方の積分が定義され、互いに共役である）。$\langle f,f\rangle=\bar\mu_\Gamma^{-1}\int_D\lvert f\rvert^2y^kd\mu\ge0$ で、$0$ なら $\lvert f\rvert^2y^k$ は $D_R$ の上でほとんどいたるところ $0$ であり、連続なので空でない開集合 $\delta_1(\mathcal{F}^\circ)$（$\mathcal{F}^\circ$ は $\mathcal{F}$ の内部）の上で $f=0$、一致の定理 により $f=0$ である。

3．$\Gamma^{\pm}=\bigsqcup_j\Gamma'^{\pm}\varepsilon_j$（$[\Gamma^{\pm}:\Gamma'^{\pm}]$ 個）とすると、$\{\varepsilon_j\delta_i\}$ は $\Gamma'^{\pm}\backslash\Gamma(1)$ の代表になり、$\bar\mu_{\Gamma'}=[\Gamma^{\pm}:\Gamma'^{\pm}]\,\bar\mu_\Gamma$ である。$\varphi_{f,g}$ は $\varepsilon_j\in\Gamma$ で不変なので $\int_{\varepsilon_jD_R}\varphi_{f,g}=\int_{D_R}\varphi_{f,g}$ で、$\Gamma'$ の基本集合 $\bigcup_j\varepsilon_jD_R$ の上の積分は $[\Gamma^{\pm}:\Gamma'^{\pm}]$ 倍になる。正規化の因子と打ち消しあう。$\square$

段 1（和の書き換え）．$G_k=\sum_{(m,n)\neq(0,0)}(mz+n)^{-k}$（モジュラー形式 の記事の定理「Eisenstein 級数はモジュラー形式」、絶対収束）で $(m,n)=g(c,d)$（$g\ge1$、$\gcd(c,d)=1$）と書くと $G_k=\zeta(k)\sum_{\gcd(c,d)=1}(cz+d)^{-k}$ である。互いに素な $(c,d)$ はちょうど $\Gamma(1)$ の元の下の行で（Bézoutの等式）、$\gamma,\gamma'$ の下の行が等しいのは $\gamma'\gamma^{-1}$ の下の行が $(0,1)$、すなわち $\gamma'\in\{T^m\}\gamma$ のときに限る。$(c,d)$ と $(-c,-d)$ は $k$ が偶数なので同じ項を与えるから、$R_\infty$ を $\Gamma(1)_\infty\backslash\Gamma(1)$ の代表の集合として $$G_k(z)=2\zeta(k)E_k(z),\qquad E_k(z)=\sum_{\gamma\in R_\infty}j(\gamma,z)^{-k}$$ を得る（$E_k$ は正規化された Eisenstein 級数である）。

段 2（広げる）．$\psi(z):=f(z)y^k$ は $T$ で不変である。$\gamma\in\Gamma(1)$ について $\psi(\gamma z)=j^kf(z)\,y^k\lvert j\rvert^{-2k}=\overline{j(\gamma,z)}^{\,-k}\psi(z)$ である。帯 $B:=\{0\le x<1,\ y>0\}$ と $D_{R_\infty}=\bigcup_{\gamma\in R_\infty}\gamma\mathcal{F}$ はともに $G=\{T^m\}$ の基本集合である（後者は lem-cf-fundamental-set の 1）。$B$ の上で $\lvert\psi\rvert$ は可積分である。実際、prop-cf-equivalent により $y\ge1$ で $\lvert f\rvert\le Ce^{-2\pi y}$、$y<1$ で $\lvert f\rvert\le C'y^{-k/2}$ であり、$\int_1^\infty e^{-2\pi y}y^{k-2}dy$ と $\int_0^1y^{k/2-2}dy$（$k\ge4$）は有限である。lem-cf-fundamental-set の 2 と $\mu$ の不変性により $$\int_B\psi\,d\mu=\int_{D_{R_\infty}}\psi\,d\mu=\sum_{\gamma\in R_\infty}\int_{\mathcal{F}}\psi(\gamma z)\,d\mu=\int_{\mathcal{F}}f(z)\,\overline{E_k(z)}\,y^k\,d\mu=\frac{\langle f,G_k\rangle}{2\zeta(k)}$$ である。和と積分の交換は、同じ計算を $\lvert\psi\rvert$ に当てた $\sum_\gamma\int_{\mathcal{F}}\lvert\psi(\gamma z)\rvert d\mu=\int_B\lvert\psi\rvert d\mu<\infty$ で正当化される。

段 3．Fubini の定理により $\int_B\psi\,d\mu=\int_0^\infty\Bigl(\int_0^1f(x+iy)\,dx\Bigr)y^{k-2}\,dy$ で、$f=\sum_{n\ge1}a_ne^{2\pi in(x+iy)}$ を項別に積分すると内側の積分は $a_0=0$ である。よって $\langle f,G_k\rangle=0$ である。後半は $M_k=\mathbb{C}G_k\oplus S_k$（モジュラー形式 の記事の定理「モジュラー形式の空間の構造」の 2）から従う。$\square$

prop-cf-equivalent により $\lvert f(z)\rvert\le c\,y^{-k/2}$（$z\in\mathfrak{H}$）となる $c$ がある。$y>0$ を固定すると $x\mapsto f(x+iy)$ は周期 $h$ の関数で、級数 $\sum a_nq_h^n$ は $x$ について一様収束するので項別に積分でき、$\int_0^he^{2\pi i(m-n)x/h}dx=h\,\delta_{mn}$ から上の積分の式を得る。よって $\lvert a_n\rvert\le c\,y^{-k/2}e^{2\pi ny/h}$ がすべての $y>0$ で成り立つ。$y=h/n$ とおくと $\lvert a_n\rvert\le c\,e^{2\pi}h^{-k/2}\,n^{k/2}$ である。$\square$

$f\in S_k$ なら thm-cf-hecke-bound による。逆に $f=cG_k+g$（$c\in\mathbb{C}$、$g\in S_k$）と分け、$c\neq0$ とする。$g$ の係数は $O(n^{k/2})$ なので、$\lvert a_n\rvert\ge\lvert c\rvert\frac{2(2\pi)^k}{(k-1)!}n^{k-1}-C\,n^{k/2}$ である。$k\ge4$ では $k-1>k/2$ なので右辺は $n^{k/2}$ のどの定数倍よりも大きくなり、$a_n=O(n^{k/2})$ に反する。よって $c=0$、$f=g\in S_k$ である。$\square$