イデアル

$n\geq0$ に対し $n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in\mathbb{Z}\}$ は $\mathbb{Z}$ のイデアルであり、単項イデアル $(n)$ に等しい。実際、$nk-nl=n(k-l)$、$r(nk)=n(rk)$ である。
逆に $\mathbb{Z}$ のイデアルはすべてこの形である。$I\neq(0)$ をイデアルとすると、$a\in I$ なら $-a\in I$ なので $I$ は正の整数を含む。その最小のものを $n$ とする。$n\mathbb{Z}\subset I$ は明らかである。$a\in I$ を $n$ で割って $a=qn+r$（$0\leq r< n$）と書くと（除法の原理）、$r=a-qn\in I$ であり、$n$ の最小性から $r=0$ である。よって $I=n\mathbb{Z}$ である。$\mathbb{Z}$ はすべてのイデアルが単項である整域、すなわち単項イデアル整域である。
$m,n\geq1$ について、$(m)\subset(n)$ は $n\mid m$ と同値である（$m\in(n)$ が $n\mid m$ の意味だから）。たとえば $(6)\subsetneq(2)\subsetneq(1)=\mathbb{Z}$ である。

$m,n\geq1$ とし、$\gcd(m,n)$ を最大公約数、$\operatorname{lcm}(m,n)$ を最小公倍数とする。$\mathbb{Z}$ において
$$ (m)+(n)=(\gcd(m,n)),\qquad (m)\cap(n)=(\operatorname{lcm}(m,n)),\qquad (m)(n)=(mn) $$
が成り立つ。積については、$(ma)(nb)=mn(ab)$ の有限和は $mn$ の倍数であり、逆に $mnc$ は $m\in(m)$ と $nc\in(n)$ の積なので $(m)(n)$ の元だから $(m)(n)=(mn)$ である。共通部分 $(m)\cap(n)$ は $m$ と $n$ の公倍数全体であり、$0$ でないイデアルだから、ex-ideal-integers の証明により、そこに属する最小の正の整数、すなわち正の公倍数のうち最小のもの $\operatorname{lcm}(m,n)$ で生成される。和については、ex-ideal-integers により $(m)+(n)=(d)$ となる $d\geq1$ がある。$m,n\in(d)$ だから $d$ は $m,n$ の公約数である。また $d\in(m)+(n)$ だから $d=um+vn$ となる整数 $u,v$ があり、$m,n$ の任意の公約数は $d$ を割り切る。よって $d=\gcd(m,n)$ であり、同時に Bézoutの等式 $\gcd(m,n)=um+vn$ も得られる。
たとえば $(2)(2)=(4)$ だが $(2)\cap(2)=(2)$ なので、積と共通部分は一般には異なる。一方 $(2)+(3)=(1)$ であり、$(2)\cap(3)=(6)=(2)(3)$ である。これは prop-ideal-comaximal の特別な場合である。

$k$ を体とし、1 変数多項式環 $k[x]$ の単項イデアル $(x)=\{xg\mid g\in k[x]\}$ を考える。$f=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ は $f=a_0+x(a_1+a_2x+\cdots+a_nx^{n-1})$ と書けるので、$f\in(x)$ であることと定数項 $a_0$ が $0$ であることは同値である。したがって $(x)$ は定数項が $0$ の多項式全体であり、$x$ に $0$ を代入する環準同型 $k[x]\to k$、$f\mapsto f(0)$ の核に一致する。
$k[x]$ の任意のイデアルは、そこに含まれる次数最小の多項式で生成される単項イデアルである（多項式環 の記事の定理「体上の多項式環は単項イデアル整域」）。一方、2 変数の多項式環 $k[x,y]$ のイデアル $(x,y)$ は単項イデアルでない（同じ記事の例「反例：単項イデアル整域でない多項式環」）。$(x,y)$ は $xg+yh$ の形の多項式全体、すなわち定数項が $0$ の多項式全体であり、原点で値 $0$ をとる多項式の全体である。

体 $K$ のイデアルは $(0)$ と $K$ の 2 つだけである。$0$ でない元はすべて単元なので、$(0)$ でないイデアルは単元を含み、全体に一致するからである。逆に、零環でない可換環 $A$ のイデアルが $(0)$ と $A$ だけなら、$a\neq0$ に対し $(a)=A$ だから $1=ba$ となる $b$ があり、$A$ は体である。これらの証明は 体 の記事の命題「体のイデアル」にある。

$k$ を体、$n\geq2$ とし、$R=M_n(k)$ を $n$ 次正方行列全体のなす環（行列環）とする。$(i,j)$ 成分だけが $1$ で他が $0$ の行列を $E_{ij}$ と書く。
$R$ の両側イデアルは $(0)$ と $R$ だけである。実際、$J\neq(0)$ を両側イデアルとし、$0$ でない $A=(a_{st})\in J$ をとって $a_{pq}\neq0$ とする。行列の積を計算すると、任意の $i,j$ について
$$ E_{ip}\,A\,E_{qj}=a_{pq}E_{ij} $$
である（左辺の $(r,s)$ 成分は $\sum_{t,u}(E_{ip})_{rt}a_{tu}(E_{qj})_{us}$ であり、$r=i$、$t=p$、$u=q$、$s=j$ の項だけが残る）。$J$ は両側イデアルだから左辺は $J$ に属し、さらにスカラー行列 $a_{pq}^{-1}E$（$E$ は単位行列）を掛けて $E_{ij}\in J$ を得る。よって単位行列 $E=E_{11}+\cdots+E_{nn}$ が $J$ に属し、$J=R$ である。
一方、左イデアルとしては自明でないものがある。$RE_{11}$ は第 1 列以外の成分が $0$ の行列全体であり、$(0)$ とも $R$ とも異なる左イデアルである。これは右イデアルではない（環 の記事の例「反例：片側イデアルによる剰余」）。また、元 $E_{11}$ が生成する両側イデアル $(E_{11})$ は上の議論により $R$ 全体であり、左イデアル $RE_{11}$ よりずっと大きい。

$\mathbb{Z}$ のイデアル $(2)$ と $(3)$ の和集合 $(2)\cup(3)$ は $2$ と $3$ を含むが、$2+3=5$ は $2$ でも $3$ でも割り切れないので含まない。よって $(2)\cup(3)$ は加法で閉じておらず、イデアルでない。この例が破るのは「イデアルの和集合はイデアル」という含意である。2 つのイデアルを含む最小のイデアルは和集合ではなく和 $I+J$ であり、$(2)+(3)=(1)$ である（prop-ideal-operations）。ただし、包含について全順序をなすイデアルの族の和集合はイデアルである。このことはZornの補題による極大イデアルの存在証明で使われる（可換環 の記事の定理「極大イデアルの存在」）。

$\mathbb{Z}$ は有理数体 $\mathbb{Q}$ の部分環であるが、$\tfrac12\in\mathbb{Q}$ と $1\in\mathbb{Z}$ の積 $\tfrac12$ が $\mathbb{Z}$ に属さないので、$\mathbb{Q}$ のイデアルではない。これは「部分環ならばイデアル」を破る。逆に $2\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ のイデアルだが $1$ を含まないので部分環ではない。イデアルかつ部分環であるのは、$1$ を含むイデアル、すなわち環全体だけである。
この例は、環準同型によるイデアルの像がイデアルとは限らないことも示している。包含写像 $\iota\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ は環準同型であり、$\mathbb{Z}$ 自身は $\mathbb{Z}$ のイデアルだが、その像 $\iota(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Q}$ のイデアルでない。像がイデアルになるのは準同型が全射のときである（prop-ideal-homomorphism）。