ホモトピー切除定理

要点：全射でない一次写像の像は $U$ を覆わないので、それを避けて単体をとる。

有限個への帰着． $f\colon(I^i,\partial I^i,J^{i-1})\to(X,B,x_0)$ の像はコンパクトなので、$A\setminus C$ の有限個の胞体 $e_1,\dots,e_N$ としか交わらない（rem-hex-tools の 2）。$A':=C\cup e_1\cup\cdots\cup e_N$ は部分複体で、$f$ は $X':=A'\cup B$ に入る。$\pi_i(A',C)\to\pi_i(X',B)$ の像は $\pi_i(A,C)\to\pi_i(X,B)$ の像に写るので、全射性は $A\setminus C$ が有限個の胞体 $e_1,\dots,e_N$ からなる場合に示せばよい。単射性も、以下のホモトピー $F$ の像について同じ帰着ができる。
一次化． $X\setminus e_j$ と $X\setminus e$ は部分複体なので、$X$ はそれぞれに胞体を一つ貼った空間である。rem-hex-tools の 3 と lem-hex-simplex を $e_1,\dots,e_N,e$ に順に使う。各段は $e_j$（または $e$）に写らない点を動かさず、そこに写る点をその胞体の中で動かす。$J^{i-1}$ は $x_0\in C$ に写るので動かず、底面は $B$ に写るので $e_j$ に写らず、$e$ に写る底面の点は $e\subset B$ の中を動く。よってこれは $(X,B,x_0)$ への写像のままのホモトピーである。後の段は前の段で選んだ単体の逆像を動かさない。こうして、$f$ を同じ類の写像に取り替えて、$(r+1)$ 単体 $\Delta_j\subset e_j$ と $(s+1)$ 単体 $\Delta\subset e$ の上で $f$ は一次であるとしてよい。
点の選択． $\Delta$ の内部の点 $q$ をとる。$f^{-1}(q)$ は凸多面体 $K_j\cap L_j^{-1}(q)$ の有限和で、$L_j$ は $\mathbb R^i\to\mathbb R^{s+1}$ の全射なので、各々の次元は $i-s-1$ 以下である。$\pi\colon I^i\to I^{i-1}$、$(s,u)\mapsto s$ を射影とし、
$$ T:=\pi^{-1}\bigl(\pi(f^{-1}(q))\bigr)=\pi(f^{-1}(q))\times I $$
とおくと、$T$ は次元 $i-s$ 以下の凸多面体の有限和である。$f(T)\cap\Delta_j$ は、$T$ と $f^{-1}(\Delta_j)$ の凸多面体の共通部分を一次写像で写した像の有限和なので、次元 $i-s$ 以下の凸多面体の有限和である。$i\le r+s$ なら $i-s< r+1$ なので、これは $\Delta_j$ の内部を覆わない。よって $\Delta_j$ の内部の点 $p_j$ で $f(T)$ に入らないものがとれる。このとき $\pi(f^{-1}(p_j))$ と $\pi(f^{-1}(q))$ は交わらない。
引き離す関数． $f(J^{i-1})=\{x_0\}$ で $x_0\notin e\cup e_1\cup\cdots\cup e_N$ なので、$f^{-1}(q)$ と $f^{-1}(p_j)$ は $J^{i-1}$ と交わらないコンパクト集合である。とくに $\pi(f^{-1}(q))$ は $I^{i-1}$ の内部にあり、$f^{-1}(q)$ の点の $u$ 座標はある $1-\delta$（$0< \delta< 1$）以下である。また $f$ は底面を $B$ に写し、$p_j\notin B$ なので、$f^{-1}(p_j)$ の点の $u$ 座標は正である。$\pi(f^{-1}(q))$ の開近傍 $V$ を、閉包が $I^{i-1}$ の内部にあり $\pi(f^{-1}(p_j))$（$j=1,\dots,N$）と交わらないようにとり、連続関数 $\varphi\colon I^{i-1}\to[0,1-\delta/2]$ を、$\pi(f^{-1}(q))$ の上で $1-\delta/2$、$V$ の外で $0$ となるようにとる。すると

• (a) $f^{-1}(q)$ の点 $(s,u)$ は $u< \varphi(s)$ を満たす（グラフの下にある）。
• (b) $f^{-1}(p_j)$ の点 $(s,u)$ は $\varphi(s)=0< u$ を満たす（グラフの上にある）。
• (c) $\partial I^{i-1}$ の上で $\varphi=0$ である。

切り取り． $t\in I$ について
$$ f_t(s,u):=f\bigl(s,\ t\varphi(s)+(1-t\varphi(s))u\bigr) $$
とおく。これはグラフ $u=t\varphi(s)$ より上の部分に $f$ を制限し、$u$ の方向に $I^i$ へ引き伸ばした写像である。$P:=\{p_1,\dots,p_N\}$、$Q:=\{q\}$ とする。(c) と $u=1$ の面の値から $f_t(J^{i-1})=\{x_0\}$ である。底面の値 $f_t(s,0)=f(s,t\varphi(s))$ は、$\varphi(s)=0$ なら $f(s,0)\in B$ であり、$\varphi(s)>0$ なら (b) により $P$ に入らない。$B\cap P=\emptyset$ なので、$(f_t)$ は $(X,X\setminus P,x_0)$ への写像のホモトピーである。$f_1$ は $u\ge\varphi(s)$ の部分の値しかとらないので、(a) により $Q$ を避け、底面は $X\setminus(P\cup Q)$ に写る。
図式． 包含が誘導する可換図式
$$ \begin{array}{ccc} \pi_i(A,C) & \xrightarrow{\ e\ } & \pi_i(X,B)\\ \downarrow{\scriptstyle c} & & \downarrow{\scriptstyle d}\\ \pi_i(X\setminus Q,\ X\setminus(P\cup Q)) & \xrightarrow{\ b\ } & \pi_i(X,\ X\setminus P) \end{array} $$
を考える。各胞体の中で $p_j$ や $q$ から境界へ放射状に押し出すと（胞体近似定理 の補題「穴のあいた胞体のつぶし」の証明と同じ構成を、各胞体で同時に行う）、$X\setminus Q$ は $A$ に、$X\setminus(P\cup Q)$ は $C$ に、$X\setminus P$ は $B$ に変位レトラクトする。よって対の長完全列と五項補題（rem-hex-tools の 5）により、$i\ge2$ で $c$ と $d$ は全単射である。$d[f]=[f_0]=[f_1]$ で、$f_1$ は $\pi_i(X\setminus Q,X\setminus(P\cup Q))$ の元 $[f_1]'$ を代表するので、$d[f]=b[f_1]'=b\,c\,(c^{-1}[f_1]')=d\,e\,(c^{-1}[f_1]')$ となる。$d$ は単射なので $[f]=e(c^{-1}[f_1]')$ であり、$e$ は全射である。
単射性． $g_0,g_1\colon(I^i,\partial I^i,J^{i-1})\to(A,C,x_0)$ について $e[g_0]=e[g_1]$ とし、$(X,B,x_0)$ への写像のホモトピー $F\colon I^i\times I\to X$（$F(\cdot,0)=g_0$、$F(\cdot,1)=g_1$）をとる。$F$ の定義域 $I^{i-1}\times I\times I$ の点を $(s,u,\tau)$ と書く。$F$ に同じ一次化を施すと、$g_0,g_1$ は $e_j$ の中で動くだけなので $(A,C,x_0)$ の中のホモトピーで取り替わり、類は変わらない。次元は $i+1$ になり、$\pi(s,u,\tau):=(s,\tau)$ として同じ議論をすると、点 $p_j$ の選択に要る条件は $i+1-s< r+1$、すなわち $i< r+s$ である。$g_0,g_1$ は $e$ に写らないので $F^{-1}(q)$ は $\tau=0,1$ の面と交わらず、$\varphi\colon I^{i-1}\times I\to[0,1)$ を境界で $0$ にとれる。同じ式で切り取った $F_1$ は、各 $\tau$ で $(X\setminus Q,X\setminus(P\cup Q),x_0)$ への写像であり、$\tau=0,1$ では $g_0,g_1$ に一致する。よって $c[g_0]=c[g_1]$ であり、$c$ は単射なので $[g_0]=[g_1]$ である。$\square$

$B\setminus C$ の胞体の次元は $1$ 以上なので、$B$ の $0$ 胞体はすべて $C$ にある。CW 複体の各弧状連結成分は $0$ 胞体を含むので、$C$ を含む $B$ の部分複体はどれも弧状連結である。
全射性． $f\colon(I^i,\partial I^i,J^{i-1})\to(X,B,x_0)$ の像を含む有限部分複体 $L$ をとり（rem-hex-tools の 2）、$B':=C\cup(L\cap B)$ とおく。$B'$ は部分複体で、$B'\setminus C$ の胞体は有限個である。その個数 $N$ についての帰納法で、$\pi_i(A,C)\to\pi_i(A\cup B',B')$ が全射であることを示す。$N=0$ なら $B'=C$ で明らかである。$N>0$ なら、$B'\setminus C$ の胞体のうち次元 $d$ が最大のもの $e'$ をとると、$B'':=B'\setminus e'$ は部分複体である。
$$ X_1:=A\cup B',\qquad A_1:=A\cup B'',\qquad B_1:=B',\qquad C_1:=A_1\cap B_1=B'' $$
とおくと、$A_1\setminus C_1=A\setminus C$ は $(r+1)$ 胞体だけからなり、$B_1\setminus C_1=e'$ は $d\ (\ge s+1)$ 次元の胞体一つで、$C_1$ は弧状連結で $x_0$ を含む。prop-hex-case1 を $s$ の代わりに $d-1\ (\ge s)$ で使うと、$\pi_i(A\cup B'',B'')\to\pi_i(A\cup B',B')$ は $i\le r+s$ で全射である。帰納法の仮定により $\pi_i(A,C)\to\pi_i(A\cup B'',B'')$ も全射なので、合成も全射である。$[f]$ は $\pi_i(A\cup B',B')$ の元の像なので、$e$ の像に入る。
単射性． $e[g_0]=e[g_1]$ を与えるホモトピーの像を含む有限部分複体から同じ $B'$ をとる。$i< r+s$ では、prop-hex-case1 の単射性により $\pi_i(A\cup B'',B'')\to\pi_i(A\cup B',B')$ は単射であり、同じ帰納法で $\pi_i(A,C)\to\pi_i(A\cup B',B')$ は単射である。$[g_0]$ と $[g_1]$ はここで等しいので、$[g_0]=[g_1]$ である。$\square$

$C$ は弧状連結なので、$C$ の中の道 $\gamma$ に沿って基点を取り替えると（$i=1$ では道の終わりに $\gamma$ をつなぐ）、$\pi_i(A,C)$ と $\pi_i(X,B)$ の同型が $e$ と両立する。よって $x_0$ は $C$ の $0$ 胞体としてよい。
次数 1． 胞体近似で道とホモトピーを低い骨格に押し込むと、$B$ の側の胞体を避けられる。

rem-hex-tools の 4 により、$C$ を動かさないホモトピー同値 $(A',C)\simeq(A,C)$、$(B',C)\simeq(B,C)$ で、$A'\setminus C$ の胞体は $r+1$ 次元以上、$B'\setminus C$ の胞体は $s+1$ 次元以上のものをとる。$X':=A'\cup_CB'$ は CW 複体で、$A',B'$ はその部分複体であり、$A'\cap B'=C$ である。二つのホモトピー同値とそのホモトピーは $C$ の上で恒等なので、貼り合わせて対のホモトピー同値 $(X',B')\simeq(X,B)$ を与える（$X'\times I$ は $(A'\sqcup B')\times I$ の商空間である。Hat02 Proposition A.17、p. 532）。対のホモトピー同値は相対ホモトピー群の全単射を誘導し、包含と可換なので、主張は $(X';A',B')$ についての prop-hex-case3 に帰着する。$\square$

要点：$X$ に $D$ の錐 $CD$ を貼り、$X$ と $CD$ の和に thm-hex-main を当てる。$CD$ をつぶすと $X/D$ になる。