Prokhorovの定理

$F\ne\emptyset$ を閉集合とし、$f_j(x):=\max\{0,1-j\,d(x,F)\}$ とおく。$f_j\in C_b(S)$ で、$F$ が閉なので $f_j\downarrow1_F$ である。優収束定理 により $\rho(F)=\rho'(F)$ である。$f=1$ から全質量も等しい。閉集合の全体は交わりで閉じていて $\mathcal{B}(S)$ を生成するので、Dynkinのπ-λ定理 により $\rho=\rho'$ である。$\square$

$G=S$ なら両辺は $1$ である。$G\ne S$ なら $f_j(x):=\min\{1,j\,d(x,S\setminus G)\}$ とおくと、$f_j\in C_b(S)$、$0\le f_j\le1_G$ で、$S\setminus G$ が閉なので $f_j\uparrow1_G$ である。各 $j$ で
$$ \int f_j\,d\mu=\lim_n\int f_j\,d\mu_n\le\liminf_n\mu_n(G) $$
であり、$j\to\infty$ として単調収束定理を使う。$\square$

要点：$C(K)$ は可分なので対角線論法で部分列をとり、極限の正値線形汎関数に Riesz の定理を当てる。

$(\mu_n)$ を $\Pi$ の列とする。緊密性から、$m\ge1$ についてコンパクト集合 $K_m$ で $\sup_{\mu\in\Pi}\mu(S\setminus K_m)\le2^{-m}$ となるものがとれる。$K_1\cup\dots\cup K_m$ に取り替えて $K_1\subset K_2\subset\cdots$ としてよい。
段 1（各 $K_m$ の上の極限）． $m=1,2,\dots$ と順に lem-pk-compact を制限 $\mu_n|_{K_m}$ に当てて、対角線論法で部分列をとる。添字を付け替えると、各 $m$ について $K_m$ の上の有限な Borel 測度 $\nu_m$ があって
$$ \int_{K_m}g\,d\mu_n\to\int_{K_m}g\,d\nu_m\qquad(g\in C(K_m)) $$
となる。$\nu_m(A):=\nu_m(A\cap K_m)$ により $\nu_m$ を $\mathcal{B}(S)$ の上の測度と見る。$g=1$ とすると $\nu_m(S)=\lim_n\mu_n(K_m)$ なので
$$ 1-2^{-m}\le\nu_m(S)\le1 $$
である。
段 2（単調性）． $\nu_m\le\nu_{m+1}$ を示す。$K:=K_{m+1}$ とし、$0\le g\in C(K)$ とすると、$\int_{K_m}g\,d\mu_n\le\int_Kg\,d\mu_n$ の極限から $\int g\,d\nu_m\le\int g\,d\nu_{m+1}$ である。よって $\Lambda(g):=\int g\,d\nu_{m+1}-\int g\,d\nu_m$ は $C(K)$ の上の正値線形汎関数で、Riesz–Markov–角谷の表現定理 により有限な Borel 測度 $\rho$ で $\Lambda(g)=\int g\,d\rho$ となるものがある。lem-pk-unique を $K$ に当てると $\nu_{m+1}=\nu_m+\rho$ なので、すべての Borel 集合で $\nu_m\le\nu_{m+1}$ である。
段 3（極限の測度）． $\nu(A):=\lim_m\nu_m(A)$ とおく。互いに素な $A_i$ について、単調収束定理（数え上げ測度の上の）から
$$ \nu\Bigl(\bigcup_iA_i\Bigr)=\sup_m\sum_i\nu_m(A_i)=\sum_i\sup_m\nu_m(A_i)=\sum_i\nu(A_i) $$
なので $\nu$ は測度で、$\nu(S)=1$ である。さらに $\nu-\nu_m$ は測度で、全質量は $2^{-m}$ 以下である。
段 4（弱収束）． $f\in C_b(S)$、$\lvert f\rvert\le M$ とする。$f|_{K_m}\in C(K_m)$ なので
$$ \Bigl\lvert\int f\,d\mu_n-\int f\,d\nu\Bigr\rvert\le\Bigl\lvert\int_{S\setminus K_m}f\,d\mu_n\Bigr\rvert+\Bigl\lvert\int_{K_m}f\,d\mu_n-\int_{K_m}f\,d\nu_m\Bigr\rvert+\Bigl\lvert\int f\,d(\nu-\nu_m)\Bigr\rvert $$
で、右辺の第 1 項と第 3 項は $M2^{-m}$ 以下である。$n\to\infty$ とすると第 2 項は $0$ に近づくので $\limsup_n\lvert\int f\,d\mu_n-\int f\,d\nu\rvert\le2M2^{-m}$ であり、$m$ は任意なので $\mu_n\Rightarrow\nu$ である。$\square$

段 1． 開集合の増大列 $G_1\subset G_2\subset\cdots$ で $\bigcup_kG_k=S$ となるものと $\delta>0$ について、$k$ があってすべての $\mu\in\Pi$ で $\mu(G_k)>1-\delta$ となることを示す。そうでないとすると、各 $k$ に $\mu_k\in\Pi$ で $\mu_k(G_k)\le1-\delta$ となるものがある。相対コンパクト性から部分列 $\mu_{k_j}\Rightarrow\mu\in\mathcal{P}(S)$ がとれる。$k$ を固定すると、$k_j\ge k$ なら $G_k\subset G_{k_j}$ なので、lem-pk-open により
$$ \mu(G_k)\le\liminf_j\mu_{k_j}(G_k)\le\liminf_j\mu_{k_j}(G_{k_j})\le1-\delta $$
である。$k\to\infty$ とすると $\mu(S)\le1-\delta$ となり矛盾する。
段 2． $\varepsilon>0$ とする。$S=\emptyset$ なら $\mathcal{P}(S)=\emptyset$ で自明なので、$S$ の可算稠密集合 $\{x_i\}_{i\ge1}$ をとる。各 $m\ge1$ で、開集合 $G^{(m)}_k:=\bigcup_{i\le k}B(x_i,1/m)$ は増大して $S$ に近づく。段 1 により $k_m$ があって、すべての $\mu\in\Pi$ で $\mu(S\setminus G^{(m)}_{k_m})\le\varepsilon2^{-m}$ となる。
$$ A:=\bigcap_{m\ge1}G^{(m)}_{k_m} $$
とおくと、すべての $\mu\in\Pi$ で $\mu(S\setminus A)\le\sum_m\varepsilon2^{-m}=\varepsilon$ である。$A$ は各 $m$ で半径 $1/m$ の有限個の球に覆われるので 全有界 である。$K:=\overline{A}$ も全有界であり、完備空間の閉集合なので完備である。よって $K$ はコンパクトで、$\mu(S\setminus K)\le\varepsilon$ である。$\square$

有限集合の任意の列は定数の部分列をもつので相対コンパクトであり、thm-pk-main の 2 により緊密である。$\square$

$K=S$ がすべての $\varepsilon$ に対して使えるので $\mathcal{P}(S)$ は緊密である。thm-pk-main の 1 による。$\square$

そうでないとすると、$f\in C_b(S)$、$\delta>0$ と部分列 $(\mu_{n_j})$ で $\lvert\int f\,d\mu_{n_j}-\int f\,d\mu\rvert\ge\delta$ となるものがある。thm-pk-main の 1 により、$(\mu_{n_j})$ はさらに弱収束する部分列をもち、その極限は仮定により $\mu$ である。これは $\delta$ の不等式に反する。$\square$

$\varepsilon>0$ とする。1 から $M$ を、2 から各 $j\ge1$ について $\delta_j>0$ を、すべての $\mu\in\Pi$ で $\mu(\{\lvert x(0)\rvert>M\})\le\varepsilon/2$、$\mu(\{w_x(\delta_j)>1/j\})\le\varepsilon2^{-j-1}$ となるようにとる。$x\mapsto x(0)$ と $x\mapsto w_x(\delta)$ は連続なので
$$ K:=\{x:\lvert x(0)\rvert\le M\}\cap\bigcap_{j\ge1}\{x:w_x(\delta_j)\le1/j\} $$
は閉集合で、すべての $\mu\in\Pi$ で $\mu(S\setminus K)\le\varepsilon$ である。$K$ の元は同程度連続で、$0$ での値が有界なので一様に有界である。Arzelà–Ascoliの定理 により $K$ はコンパクトである。$\square$

$x\in S$ をとり、$\nu_n:=\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}\delta_{T^ix}$ とおく。cor-pk-compact-space により部分列 $\nu_{n_j}\Rightarrow\nu$ がとれる。$f\in C(S)$ について、和が打ち消し合うので
$$ \Bigl\lvert\int f\circ T\,d\nu_n-\int f\,d\nu_n\Bigr\rvert=\frac1n\lvert f(T^nx)-f(x)\rvert\le\frac{2\|f\|_\infty}n $$
である。$f\circ T$ も連続なので極限で $\int f\circ T\,d\nu=\int f\,d\nu$ となり、lem-pk-unique により $T_*\nu=\nu$ である。$\square$