体の拡大の形式的滑らかさ

形式的不分岐であることは $\Omega_{L/K}=0$ と同値である（形式的滑らかさ の命題「形式的不分岐性とKähler微分」）。形式的エタールは形式的に滑らかかつ形式的不分岐なので、前半は thm-ffs-main から従う。分離代数拡大では $\Omega_{L/K}=0$ である（Kähler微分 の命題「分離拡大の微分加群」の 1）。標数 $0$ では、超越基底を $\Lambda$ とすると $\dim_L\Omega_{L/K}=|\Lambda|$ なので（Kähler微分 の例「超越拡大と複素数体」）、$\Omega_{L/K}=0$ は $\Lambda=\emptyset$、すなわち $L/K$ が代数的であることと同値である。$\square$

$K$ 代数 $C$、冪零イデアル $N$、$K$ 代数の準同型 $u\colon K(T)\to C/N$ をとる。各 $t\in T$ について $u(t)$ の $C$ への持上げ $c_t$ を選ぶと（$T$ が無限なら選択公理を使う）、多項式環の普遍性から $K$ 代数の準同型 $v\colon K[T]\to C$、$t\mapsto c_t$ が得られ、$\pi\circ v$ は $u|_{K[T]}$ に一致する。$0$ でない $f\in K[T]$ は $K(T)$ の単元なので $\pi(v(f))=u(f)$ は単元であり、上の事実から $v(f)$ は $C$ の単元である。局所化の普遍性により $v$ は $K$ 代数の準同型 $\tilde u\colon K(T)\to C$ に延び、$\pi\circ\tilde u$ と $u$ は $K[T]$ の上で一致するので、局所化の普遍性の一意性から $\pi\circ\tilde u=u$ である。$\square$

$\Omega_{L/F}=0$（Kähler微分 の命題「分離拡大の微分加群」）なので、$L$ は $F$ 上形式的不分岐であり、持上げは存在すれば一意である。持上げの存在の証明は 形式的エタール の命題「分離代数拡大の形式的エタール性」にある。要点は次の 2 つである。$N^2=0$ の場合、$F$ 上有限次の中間体 $E=F(a)$ では $a$ の最小多項式 $g$ が分離的なので、$u(a)$ の持上げ $c$ を $c-g'(c)^{-1}g(c)$ に 1 回補正すれば $g$ の根になる（$g(c)\in N$ と $N^2=0$ による）。$L/F$ が無限次の場合は、有限次中間体ごとの持上げを一意性で貼り合わせる。$\square$

$L$ が $K$ 上形式的に滑らかであるとする。$\mathbb F_p\to K\to L$ に Kähler微分の基本完全列 の定理「形式的に滑らかな拡大での分裂」を適用すると、$\Omega_K\otimes_KL\to\Omega_L$ は単射である。分離生成拡大 の命題「微分による分離性の判定」（2 ⇒ 1）により、$L/K$ は分離的である。$\square$

$L/K$ を分離的とする。$K$ の絶対 $p$ 基底 $S$ を 1 つとる（p基底 の定理「$p$ 基底の存在」）。$L/K$ が分離的なので、$S$ は $L$ の中で $L^p$ 上 $p$ 独立である（分離生成拡大 の命題「微分による分離性の判定」の 1 ⇒ 3）。同じ存在定理により $S$ を $L$ の絶対 $p$ 基底 $B\supset S$ に延長できる。
$K$ 代数 $C$、$N^2=0$ をみたすイデアル $N$、$K$ 代数の準同型 $u\colon L\to C/N$ をとり、$\pi\colon C\to C/N$ を射影、$\iota\colon K\to C$ を構造射とする。$C=0$ なら主張は自明なので $C\ne0$ とする。$C$ は $K$ 代数なので標数 $p$ の環である。
段階 1：$L^p$ の持上げ。 $x\in L$ に対し、$u(x)$ の持上げ $\tilde x\in C$ を任意にとり、
$$\sigma(x^p):=\tilde x^{\,p}$$
とおく。$x\mapsto x^p$ は単射なので $x$ は $x^p$ から決まる。別の持上げ $\tilde x+n$（$n\in N$）をとっても、標数 $p$ の二項定理と $n^p=0$（$p\ge2$、$N^2=0$）により $(\tilde x+n)^p=\tilde x^{\,p}+n^p=\tilde x^{\,p}$ なので、$\sigma$ は well-defined である。$x+y$、$xy$ の持上げとして $\tilde x+\tilde y$、$\tilde x\tilde y$ をとれば、$\sigma$ が環準同型 $L^p\to C$ であり、$\pi(\sigma(x^p))=u(x)^p=u(x^p)$ を満たすことが分かる。
段階 2：$L$ 全体の持上げ。 各 $b\in B$ について $u(b)$ の持上げ $c_b\in C$ を選ぶ。ただし $b\in S$ については $c_b:=\iota(b)$ とする（$u$ は $K$ 代数の準同型なので $\pi(\iota(b))=u(b)$）。段階 1 により $c_b^{\,p}=\sigma(b^p)$ である。変数 $X_b$（$b\in B$）の多項式環 $L^p[X]$ から $C$ への環準同型 $\Phi$ を、係数には $\sigma$、$X_b$ には $c_b$ を対応させて定める。評価 $\mathrm{ev}\colon L^p[X]\to L$、$X_b\mapsto b$ の核は $X_b^p-b^p$（$b\in B$）で生成される。実際、多項式は関係 $X_b^p=b^p$ を使って制限単項式の $L^p$ 係数の一次結合に書き直せ、その評価が $0$ なら $B$ の $p$ 独立性からすべての係数が $0$ である。$\Phi(X_b^p-b^p)=c_b^{\,p}-\sigma(b^p)=0$ なので、$\Phi$ は環準同型 $\tilde u\colon L\to C$ を誘導する。$L$ の元 $\sum_\nu\lambda_\nu b^\nu$（$\lambda_\nu\in L^p$）に対し $\tilde u\bigl(\sum_\nu\lambda_\nu b^\nu\bigr)=\sum_\nu\sigma(\lambda_\nu)c^\nu$ である。
段階 3：持上げであること。 $\pi\circ\tilde u$ と $u$ はともに環準同型で、$L^p$ の上では段階 1 により、$B$ の上では $c_b$ の選び方により一致する。$L$ は $L^p$ と $B$ で生成されるので $\pi\circ\tilde u=u$ である。
段階 4：$K$ 代数の準同型であること。 $a\in K$ について、$\iota(a)$ は $u(a)$ の持上げなので $\sigma(a^p)=\iota(a)^p=\iota(a^p)$ である。すなわち $\sigma$ は $K^p$ の上で $\iota$ に一致する。$S$ は $K$ の絶対 $p$ 基底なので、$a\in K$ は $a=\sum_\nu\mu_\nu s^\nu$（$\mu_\nu\in K^p$、$s^\nu$ は $S$ の制限単項式）と書ける。$K^p\subset L^p$、$S\subset B$ なので、これは $a$ の $L^p$ 上の制限単項式による表示でもあり、
$$\tilde u(a)=\sum_\nu\sigma(\mu_\nu)c^\nu=\sum_\nu\iota(\mu_\nu)\iota(s)^\nu=\iota(a)$$
となる。よって $\tilde u$ は $K$ 代数の準同型であり、$u$ の持上げである。平方零の場合に持上げが存在したので、冪零イデアル一般でも存在する。$\square$

$R_r:=R/\mathfrak m^r$ とおく。全射 $R_{r+1}\to R_r$ の核 $\mathfrak m^r/\mathfrak m^{r+1}$ は $2r\ge r+1$ により平方零である。thm-ffs-main により $\kappa$ は $k$ 上形式的に滑らかなので、恒等写像 $u_1\colon\kappa\to R_1=\kappa$ から始めて、$k$ 代数の準同型 $u_r\colon\kappa\to R_r$ で $u_{r+1}$ と射影 $R_{r+1}\to R_r$ の合成が $u_r$ になるものを順に選べる。仮定により $(u_r)_r$ は $k$ 代数の準同型 $\sigma\colon\kappa\to R$ を定め、剰余写像との合成は $u_1=\mathrm{id}$ である。$\sigma$ は体からの環準同型なので単射であり、像 $K'$ は $k$ を含む部分体で、剰余写像は $K'\cong\kappa$ を与える。$\square$