対数目盛と片対数グラフ

ある細菌の数 $N$ を 1 時間ごとに数えたところ、次のようになったとする（自作の例）。

$N$ は 1 時間ごとに $3$ 倍になる。つまり $N=200\cdot3^t$ である。常用対数をとると
$$ \log_{10}N=\log_{10}200+t\log_{10}3=2.3010+0.4771\,t $$
なので、$\log_{10}N$ は 1 時間ごとに同じ $0.4771$ ずつ増える。点 $(t,\ \log_{10}N)$ は、傾き $0.4771$ の直線の上に並ぶ。

$y=3x^2$ の値を $x=1,2,5,10$ で計算し、$x$ と $y$ の両方の常用対数をとる。

$\log_{10}y=\log_{10}3+2\log_{10}x$ なので、点 $(\log_{10}x,\ \log_{10}y)$ は傾き $2$ の直線の上に並ぶ。たとえば $x=1$ から $x=10$ へ進むと、横に $1$、縦に $2.4771-0.4771=2$ 進む。傾き $2$ は、$x^2$ の指数 $2$ である。

1 桁分の長さを $\ell=5$ cm とする。$\log_{10}2=0.3010$、$\log_{10}3=0.4771$、$\log_{10}5=0.6990$、$\log_{10}7=0.8451$ なので、$2,3,5,7$ はそれぞれ $O$ から
$$ 5\times0.3010=1.505,\quad 5\times0.4771=2.3855,\quad 5\times0.6990=3.495,\quad 5\times0.8451=4.2255 $$
cm の位置に来る。$20=2\times10$ は $\log_{10}20=1.3010$ なので $6.505$ cm の位置で、$2$ の位置からちょうど 1 桁分（$5$ cm）右にある。$0.5$ は $\log_{10}0.5=-0.3010$ なので $O$ から左へ $1.505$ cm の位置である。

$\ell=5$ cm とする。
(1) $1$ と $2$、$5$ と $10$、$30$ と $60$ は、どれも比が $2$ である。間隔はどれも $5\log_{10}2=1.505$ cm で等しい。
(2) $1$ と $10$、$10$ と $100$ は比が $10$ で、間隔はどちらも $5\log_{10}10=5$ cm、つまり 1 桁分である。
(3) ふつうの目盛では、$1$ と $2$ の間隔（差 $1$）と $30$ と $60$ の間隔（差 $30$）は $30$ 倍違う。対数目盛は「差」ではなく「比」を長さにする目盛である。

ex-lsc-bacteria のデータのうち、$t=1$ の $600$ と $t=4$ の $16200$ だけを使う。cor-lsc-read の 1 により
$$ a=\left(\frac{16200}{600}\right)^{\frac1{4-1}}=27^{\frac13}=3,\qquad C=\frac{600}{3^1}=200 $$
で、$N=200\cdot3^t$ が読める。片対数グラフでは、横に $3$ 進むと縦に $\log_{10}27=3\log_{10}3$ 進む（図 3）。傾きは $\log_{10}3=0.4771$ である。

$y=Cx^p$ のグラフが $(2,12)$ と $(5,75)$ を通るとする（ex-lsc-square の $y=3x^2$ の 2 点）。cor-lsc-read の 2 により
$$ p=\frac{\log_{10}\frac{75}{12}}{\log_{10}\frac52}=\frac{\log_{10}6.25}{\log_{10}2.5}=\frac{2\log_{10}2.5}{\log_{10}2.5}=2,\qquad C=\frac{12}{2^2}=3 $$
である（$6.25=2.5^2$ を使った）。

NASA の惑星の表（NAS25）の、太陽からの距離 $a$（$10^6$ km）と公転周期 $T$（日）を使う。表の注によると、この距離は太陽からの平均距離で、軌道の長半径でもある。地球の値を $1$ とする単位（距離は $149.6\times10^6$ km、周期は $365.2$ 日）に直し、常用対数をとる。

1. 地球と木星の 2 点から、cor-lsc-read の 2 で指数を読むと
   $$ p=\frac{\log_{10}11.86}{\log_{10}5.204}=\frac{1.0741\ldots}{0.7163\ldots}=1.499\ldots $$
   である。水星と海王星の 2 点からは $1.497\ldots$ である。
2. 8 点すべてに回帰直線（散布図と回帰直線 の最小二乗法）を当てはめると、傾きは $1.498$、$Y$ 切片はほぼ $0$ になる。
3. 傾きがほぼ $\dfrac32$、切片がほぼ $0$ なので、thm-lsc-main の 2 により $T\approx a^{\frac32}$、つまり $T^2\approx a^3$ である。実際 $\dfrac{T^2}{a^3}$ を計算すると、水星 $1.002$、金星 $1.001$、火星 $1.000$、木星 $0.998$、土星 $0.987$、天王星 $0.997$、海王星 $0.975$ で、どれも $1$ に近い。

$y=2^x+10$ を $x=0,1,2,3$ で計算すると $11,12,14,18$ で、常用対数は $1.0414$、$1.0792$、$1.1461$、$1.2553$ である。隣どうしの差は $0.0378$、$0.0669$、$0.1092$ で等しくない。$x$ は等間隔なので、lem-lsc-geometric により片対数グラフで一直線に並ばない。実際、比 $\dfrac{12}{11}$、$\dfrac{14}{12}$、$\dfrac{18}{14}$ は等しくない。
$x$ が大きくなると $10$ は $2^x$ に比べて無視できるようになり、グラフは $y=2^x$ の直線に近づく（図 5 の橙）。$x$ が小さいところでは $y$ は $10$ に近く、グラフは水平に近い。片対数グラフでデータが「途中から直線になる」ときは、このように一定の量が足されている可能性がある。

対数目盛には正の数しか書かれていない。$\log_{10}0$ や $\log_{10}(-5)$ は定義されないからである。
(1) 細菌の数を数えたとき、ある時刻の数が $0$ だったら、その点は片対数グラフに打てない。$y$ が $0$ に近づくと点は目盛の下へどこまでも下がっていく（$\log_{10}y\to-\infty$）。
(2) 気温のように負にもなる量は、そのままでは対数目盛に載らない。「$0$ 度」は量がないことを意味しないので、対数をとる意味もない。

1. $y=x^2$ を $x=1,2,3,4$ で計算すると $1,4,9,16$ で、常用対数は $0$、$0.6021$、$0.9542$、$1.2041$ である。隣どうしの差は $0.6021$、$0.3521$、$0.2499$ で減っていくので、片対数グラフでは上に凸に曲がる（図 5 の赤）。比 $4,\ \frac94,\ \frac{16}9$ が一定でないからである。
2. $y=2^x$ を $x=1,2,4,8$ で両対数グラフに打つと、点は $(0,\ 0.301)$、$(0.301,\ 0.602)$、$(0.602,\ 1.204)$、$(0.903,\ 2.408)$ である。隣どうしを結ぶ線分の傾きは $1$、$2$、$4$ と増えていき、下に凸に曲がる（図 2 の右の青）。

1. ex-lsc-kepler の $T=a^{\frac32}$ で、軌道の大きさを $4$ 倍にすると、周期は $4^{\frac32}=8$ 倍になる。これはどの惑星から始めても同じである。
2. 指数関数 $g(x)=2^x$ では、$g(2x)=4^x$ と $g(x)=2^x$ の比 $2^x$ が $x$ によって変わる。$x$ を $2$ 倍にしたときに値が何倍になるかは、$x$ によって違う。指数関数は、スケール不変性のかわりに、$x$ を「足す」ことに対して $g(x+h)=2^hg(x)$ という性質をもつ。