Poincaréの定理(球と多重円板)

$\varphi(z):=\dfrac{\|z\|_\infty}{\|z\|_2}\,z$（$z\ne0$）、$\varphi(0):=0$ とおく。$\|\varphi(z)\|_2=\|z\|_\infty$ なので $\varphi$ は $\mathbb{D}^n$ を $\mathbb{B}_n$ に写す。$\psi(u):=\dfrac{\|u\|_2}{\|u\|_\infty}\,u$（$u\ne0$）、$\psi(0):=0$ とおくと $\psi$ は $\mathbb{B}_n$ を $\mathbb{D}^n$ に写し、$z$ と $\varphi(z)$ は同じ半直線の上にあるので $\|\varphi(z)\|_2/\|\varphi(z)\|_\infty=\|z\|_2/\|z\|_\infty$ となり、$\psi(\varphi(z))=z$ である。同様に $\varphi(\psi(u))=u$ である。$\varphi$、$\psi$ は原点以外で連続で、$\|\varphi(z)\|_2=\|z\|_\infty$、$\|\psi(u)\|_\infty=\|u\|_2$ なので原点でも連続である。よって $\varphi$ は同相写像である。$\square$

$G$ は $C^\infty$ 級である（多重円板 の系「導関数の積分表示と滑らかさ」）。$z_i=x_i+iy_i$ について $\partial_{z_i}=\frac12(\partial_{x_i}-i\partial_{y_i})$、$\partial_{\bar z_i}=\frac12(\partial_{x_i}+i\partial_{y_i})$ とおく。正則関数 $g$ は $\partial_{\bar z_i}g=0$ を満たし、$\partial_{z_i}\bar g=\overline{\partial_{\bar z_i}g}=0$ である。よって
$$ \partial_{z_i}\partial_{\bar z_i}\bigl(g\bar g\bigr)=\partial_{z_i}\bigl(g\,\overline{\partial_{z_i}g}\bigr)=|\partial_{z_i}g|^2 $$
である。仮定の等式の両辺に $\partial_{z_i}\partial_{\bar z_i}$ を当てると $\sum_j|\partial_{z_i}G_j|^2=0$、すなわちすべての $i,j$ で $\partial_{z_i}G_j=0$ である。$G_j$ は正則なので実の偏導関数もすべて $0$ であり、$V$ は連結なので $G$ は定数である。$\square$

そうでないとすると、ある $\rho< 1$ と部分列について $\|F(p_{k_l})\|_2\le\rho$ である。閉球 $K:=\{u\mid\|u\|_2\le\rho\}$ は $\mathbb{B}_n$ のコンパクト集合なので、$F^{-1}(K)$ は $\mathbb{D}^n$ のコンパクト集合であり、連続関数 $\|\cdot\|_\infty$ はその上で $1$ より小さい最大値 $\rho'$ をとる。$p_{k_l}\in F^{-1}(K)$ なので $\|p_{k_l}\|_\infty\le\rho'< 1$ となり、$\|p_k\|_\infty\to1$ に反する。$\square$

固有な正則写像 $F=(F_1,\dots,F_n)\colon\mathbb{D}^n\to\mathbb{B}_n$ があったとして矛盾を導く。
段 1（境界に近い $w$ での極限）． $w_k\in\mathbb{D}$、$|w_k|\to1$ とし、$G_k(z'):=F(z',w_k)$ とおく。$G_k$ は $\mathbb{D}^{n-1}$ 上の正則写像で、各成分の絶対値は $1$ より小さい。Montelの定理 の系「正則写像の族」により、部分列が $\mathbb{D}^{n-1}$ の上で局所一様にある正則写像 $G$ に収束する。各 $z'\in\mathbb{D}^{n-1}$ について $\|(z',w_k)\|_\infty\ge|w_k|\to1$ なので、lem-pbp-proper により $\|G_k(z')\|_2\to1$ であり、$\|G(z')\|_2=1$ である。lem-pbp-sphere（$V=\mathbb{D}^{n-1}$、$m=n-1$）により $G$ は定数である。
段 2（導関数の消滅）． $i\le n-1$ と $z'_0\in\mathbb{D}^{n-1}$ を固定し、閉多重円板 $\overline{\Delta}(z'_0,(\rho,\dots,\rho))$ が $\mathbb{D}^{n-1}$ に含まれる $\rho>0$ をとる。$G_k-G$ の各成分に Cauchy の評価式（多重円板 の系「Cauchy の評価式と Liouville の定理」の 1）を当てると、$|\partial_{z_i}(G_k-G)(z'_0)|$ は $\rho^{-1}$ と $\overline{\Delta}(z'_0,(\rho,\dots,\rho))$ の上での $|G_k-G|$ の最大値の積で押さえられ、局所一様収束により $0$ に近づく。$G$ は定数で $\partial_{z_i}G=0$ なので、部分列について $\partial_{z_i}F(z'_0,w_k)\to0$ である。
段 3（$F$ は $z'$ によらない）． $h(w):=\partial_{z_i}F_j(z'_0,w)$ は $\mathbb{D}$ 上の正則関数である。段 1・2 は任意の列 $|w_k|\to1$ の任意の部分列に当てはまるので、$|w|\to1$ のとき $h(w)\to0$ である。$|w|< \rho< 1$ なら、多重円板 の補題「1 変数の評価」により $|h(w)|\le\max_{|\zeta|=\rho}|h(\zeta)|$ であり、右辺は $\rho\to1$ で $0$ に近づく。よって $h\equiv0$ である。$i$、$j$、$z'_0$ は任意なので、$\mathbb{D}^n$ 上で $\partial_{z_i}F=0$（$i\le n-1$）である。$t\mapsto F(tz',w)$（$0\le t\le1$）を微分すると $\sum_{i\le n-1}z'_i\,\partial_{z_i}F(tz',w)=0$ なので、$F(z',w)=F(0,w)$ である。
段 4（矛盾）． $L:=F(\{0\}\times\{|w|\le\frac12\})$ はコンパクト集合の連続像なので $\mathbb{B}_n$ のコンパクト集合であり、段 3 により $F^{-1}(L)\supset\mathbb{D}^{n-1}\times\{|w|\le\frac12\}$ である。点列 $(1-\frac1k,0,\dots,0)$ はこの集合に含まれるが、$\mathbb{D}^n$ の中に収束する部分列をもたない。よって $F^{-1}(L)$ はコンパクトでなく、$F$ が固有であることに反する。$\square$

平行移動して $a=0$ としてよい。$U$ は有界なので、すべての $z\in U$ で $\|z\|_\infty\le M$ となる $M$ がある。$\overline{\Delta}(0,(r,\dots,r))\subset U$ となる $r>0$ をとる。$f$ を原点のまわりで冪級数に展開し（多重円板 の定理「冪級数展開」）、次数 $m$ の斉次部分を $f_m$（各成分が $m$ 次斉次多項式の写像）と書く。$f(0)=0$、$Df(0)=I$ なので $f(z)=z+\sum_{m\ge2}f_m(z)$ である。
$f$ が原点の近くで恒等写像でないとし、$f_k\ne0$ となる最小の $k\ge2$ をとる。$f^{\ell}:=f\circ\cdots\circ f$（$\ell$ 回）について、原点での展開は
$$ f^{\ell}(z)=z+\ell f_k(z)+(\text{次数 }k+1\text{ 以上の項}) $$
であることを $\ell$ についての帰納法で示す。$\ell-1$ で成り立つとし、$u:=f^{\ell-1}(z)=z+(\text{次数 }k\text{ 以上})$ とおく。$f_k(u)=f_k(z)+(\text{次数 }2k-1\text{ 以上})$ で $2k-1\ge k+1$ であり、$m\ge k+1$ の $f_m(u)$ は次数 $k+1$ 以上なので、$f^{\ell}(z)=f(u)=u+f_k(u)+\cdots=z+(\ell-1)f_k(z)+f_k(z)+(\text{次数 }k+1\text{ 以上})$ となる。ここで、原点を原点に写す正則写像の合成の展開は、展開の合成（形式的冪級数としての代入）で得られることを使った。
$f^{\ell}$ は $U$ を $U$ に写すので各成分の絶対値は $M$ 以下である。多重指数 $\alpha$、$|\alpha|=k$ について、Cauchy の評価式（多重円板 の系「Cauchy の評価式と Liouville の定理」の 1）を $f^{\ell}$ の各成分に使うと
$$ \ell\,\bigl|\partial^\alpha (f_k)_j(0)\bigr|=\bigl|\partial^\alpha(f^{\ell})_j(0)\bigr|\le M\,\alpha!\,r^{-k} $$
がすべての $\ell\ge1$ で成り立つ。よって $\partial^\alpha (f_k)_j(0)=0$ であり、$f_k=0$ となって $k$ の選び方に反する。したがって $f$ は原点の近くで恒等写像であり、$U$ は連結なので、多変数の正則関数 の定理「多変数の一致の定理」を各成分に使うと $U$ 全体で恒等写像である。$\square$

$\theta\in\mathbb{R}$ を固定し、$g(z):=f^{-1}\bigl(e^{-i\theta}f(e^{i\theta}z)\bigr)$ とおく。$U$、$V$ は円形なので $g$ は $U$ から $U$ への正則写像で、$g(0)=0$ である。連鎖律により $Dg(0)=Df(0)^{-1}e^{-i\theta}Df(0)e^{i\theta}=I$ なので、thm-pbp-cartan により $g$ は恒等写像、すなわち $f(e^{i\theta}z)=e^{i\theta}f(z)$ である。原点の近くの展開 $f=\sum_{m\ge1}f_m$ に代入すると、$z$ を固定して $\theta$ の関数として
$$ \sum_{m\ge1}e^{im\theta}f_m(z)=\sum_{m\ge1}e^{i\theta}f_m(z) $$
である。$z$ が原点に十分近ければ両辺は $\theta$ について一様に絶対収束するので、$e^{-im\theta}$ を掛けて $[0,2\pi]$ で積分すると、$m\ge2$ について $f_m(z)=0$ を得る。よって原点の近くで $f=f_1$ は線型写像であり、一致の定理により $U$ 全体で $f=f_1$ である。$\square$

どちらの場合も、cor-pbp-circular により自己同型は線型写像 $A$ の制限である。$A$ は単射なので可逆で、ノルム $N$（1 では $\|\cdot\|_2$、2 では $\|\cdot\|_\infty$）について $N(z)< 1\Leftrightarrow N(Az)< 1$ である。これを $z/t$（$t>0$）に当てると、すべての $t>0$ について $N(z)< t\Leftrightarrow N(Az)< t$ なので、$N(Az)=N(z)$ である。1 では $A$ は Euclid ノルムを保つのでユニタリである。逆にユニタリ行列は $\mathbb{B}_n$ の自己同型を与える。
2 では、$A=(a_{ij})$ が $\|Az\|_\infty=\|z\|_\infty$ を満たす。第 $i$ 行について、$|z_j|\le1$ の範囲での $|\sum_ja_{ij}z_j|$ の最大値は $\sum_j|a_{ij}|$ なので、$\sum_j|a_{ij}|\le1$ である。第 $j$ 列 $Ae_j$ は $\|Ae_j\|_\infty=1$ を満たすので、$|a_{i(j)j}|=1$ となる行 $i(j)$ がある。その行の和が $1$ 以下なので、第 $i(j)$ 行の $j$ 列以外の成分は $0$ である。よって $j\mapsto i(j)$ は単射、したがって全単射であり、$A$ は各行・各列にちょうど 1 つ絶対値 $1$ の成分をもつ行列である。逆にこの形の写像は $\mathbb{D}^n$ の自己同型を与える。$\square$

まず後半を前半から導く。双正則写像 $\Phi\colon\mathbb{B}_n\to\mathbb{D}^n$ があったとする。$a:=\Phi(0)\in\mathbb{D}^n$ とし、
$$ \psi(z):=\Bigl(\frac{z_1-a_1}{1-\bar a_1z_1},\dots,\frac{z_n-a_n}{1-\bar a_nz_n}\Bigr) $$
とおくと、各成分は単位円板の自己同型（双正則写像 の定理「単位円板の自己同型群」）なので、$\psi$ は $\mathbb{D}^n$ の自己同型で $\psi(a)=0$ である。$g:=\psi\circ\Phi$ は $\mathbb{B}_n$ から $\mathbb{D}^n$ への双正則写像で $g(0)=0$ だから、cor-pbp-circular により可逆な線型写像 $A$ の制限であり、$A(\mathbb{B}_n)=\mathbb{D}^n$ となって前半に反する。
前半を示す。$A(\mathbb{B}_n)=\mathbb{D}^n$ とすると $A^{-1}(\mathbb{D}^n)=\mathbb{B}_n$ で、$A^{-1}$ は $\mathbb{C}^n$ の同相写像なので、$\mathbb{D}^n$ の境界を $\mathbb{B}_n$ の境界、すなわち単位球面に写す。
$n\ge2$ なので、$e:=(1,0,0,\dots,0)$、$e':=(1,1,0,\dots,0)$ とその中点 $(1,\frac12,0,\dots,0)$ はどれも $\|\cdot\|_\infty=1$ で、$\mathbb{D}^n$ の境界にある。$u:=A^{-1}e$、$v:=A^{-1}e'$ とおくと $u\ne v$、$\|u\|_2=\|v\|_2=\|\frac{u+v}2\|_2=1$ である。一方、中線定理により
$$ \Bigl\|\frac{u+v}2\Bigr\|_2^2=\frac{\|u\|_2^2+\|v\|_2^2}2-\Bigl\|\frac{u-v}2\Bigr\|_2^2< 1 $$
であり、矛盾する。$\square$